5.4.角的比较

合集下载

高中数学第五章三角函数5.4三角函数的图象与性质5.4.3正切函数的性质与图象课件新人教A版必修第一

1．运用正切函数单调性比较大小的方法 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用单调性比较大小关系． 2．求函数 y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ 都是常数)的单调区间的方法 (1)若 ω>0，由于 y＝tan x 在每一个单调区间上都是单调递增，故可用“整体代换”的思想，令 kπ－π2<ωx＋φ<kπ＋π2，k∈Z，解得 x 的范围即可．
3．下列关于函数 y＝tan－2x＋π3说法正确的是 A．在区间－π3，1π2上单调递增 B．最小正周期是 π C．图象关于点152π，0成中心对称 D．图象关于直线 x＝－1π2成轴对称
()
【答案】C 【解析】由－π2＋kπ<－2x＋π3<π2＋kπ，k∈Z，得－1π2－k2π<x<51π2－k2π，分别令 k＝1，k＝0，得函数在－172π，－1π2，－1π2，51π2上单调递增，A 错误；函数的最小正周期为 T＝|－π2|＝π2，B 错误；令－2x＋π3＝π2＋π2·k，得 x＝－1π2－4kπ，令 k＝－2，得 x＝152π，C 正确；正切函数的图象不是轴对称图形，D 错误．
由图象可知，函数 y＝|tan x|是偶函数；函数 y＝|tan x|的周期 T＝π；函数 y＝|tan x|的单调递增区间为 kπ，kπ＋π2(k∈Z)，单调递减区间为kπ－π2，kπ(k∈Z)．
1．作出函数y＝|f(x)|的图象一般利用图象变换方法，具体步骤是： (1)保留函数y＝f(x)图象在x轴上方的部分； (2)将函数y＝f(x)图象在x轴下方的部分沿x轴向上翻折． 2．若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图象，再利用周期性，延拓到定义域上即可．
2．(题型 3)函数 y＝3tanωx＋π6的最小正周期是π2，则 ω＝(

(新教材)大象版小学科学三年级上册：5.4 声音的强弱变化教案

【新教材】大象版小学科学三年级上册：5.4 声音的强弱变化教案4声音的强弱变化【教学分析】教材通过感受钢琴曲声音时强时弱，优美动听。

使学生产生疑惑：影响声音强弱变化的因素是什么呢？通过探究活动弹奏皮筋琴，使学生做出猜想，完成科学探究活动，发现声音的强弱与物体振动之间的关系。

【教学目标】1.影响声音强弱变化的因素是物体振动的幅度。

2.对物体发声时的振动状态进行描述并与声音的变化联系起来。

3.在科学探究中以事实为依据，乐于完成探究活动。

4.意识到人类对产品不断改进以适应自己不断增加的需求。

【教学准备】1.材料准备：多媒体课件、口琴或其他乐器、橡皮筋、纸盒、铅笔。

2.活动场地：教室。

【教学过程】一、口琴演奏，听音导入师：同学们，在音乐课上我们学习了口琴演奏，你们能一起来演奏一首曲子给老师欣赏一下吗？生：能。

（生吹奏乐曲）师：真好听，老师最近被一些问题困扰着，今天想请教同学们，看看聪明的你能不能帮老师解决难题。

（课件出示：问题1：能用口琴吹出强弱不同的声音吗？）生：能。

师：你能演示一下吗？生演示师：是这样吗？生：是（齐答）师：谁能告诉老师，应该怎样区分，它们有什么不一样的地方吗？生：老师，你听。

（生演奏）这个声音比较重，就是强，（生演奏）这个声音比较轻，就是弱。

生：还可以通过鼓掌来区分，大力拍，发出来的声音是强，轻轻拍，发出来的声音就是弱。

二、实验探究师：原来是这样，非常感谢同学们帮助老师解决了困扰多时的难题。

有没有信心帮老师解决第二个难题？生：有。

“课件出示：问题2：从同一高度落下的，不同面值的硬币落在桌面上的声音强弱一样吗？”生：不一样，1元的应该强一点，因为它最重。

生：我觉得5角和1角的应该差不多，因为它们的重量感觉也差不多。

生：我不同意，我认为5角要强一点。

师：看来我们有了不同的意见，那就要——生（全体）：用事实说话。

师：是的，让我们通过实验，用事实来说话。

（PPT出示材料）这里给大家准备了三种不同面值的硬币，一元、五角、一角。

《角与角的大小比较》参考教案

《角与角的大小比较》参考教案第一章：角的概念1.1 学习目标让学生了解角的定义，掌握角的表示方法。

让学生通过实物和图形，感受角的大小。

1.2 教学内容角的定义：从一点引出两条射线组成的图形叫做角。

角的表示方法：用符号“∠”表示角，加上顶点的大写字母表示。

角的大小：角的大小与边的长短无关，与两边叉开的大小有关。

1.3 教学活动通过实物展示，让学生感受角的大小，如用三角板上的角进行演示。

引导学生通过图形，观察和比较不同角的大小。

学生分组讨论，分享他们对角的理解和观察。

1.4 练习与巩固让学生绘制不同大小的角，并标出它们的顶点和边。

给出一些图形，让学生指出其中包含的角，并比较它们的大小。

第二章：角的度量2.1 学习目标让学生了解度量角的方法，学会使用量角器。

让学生掌握度量角的大小，并进行角的度量。

2.2 教学内容度量角的方法：使用量角器，将量角器的中心点对准角的顶点，将量角器的零刻度线对准角的一条边，读取另一条边的刻度。

角的度量单位：度、分、秒。

2.3 教学活动演示如何使用量角器度量角的大小，并进行实际操作。

学生分组练习，互相帮助，掌握使用量角器度量角的方法。

2.4 练习与巩固让学生使用量角器度量一些给定的角，并记录下来。

给出一些图形，让学生自行度量其中的角，并记录下来。

第三章：角的比较3.1 学习目标让学生学会比较角的大小，掌握比较角的方法。

让学生能够解决实际问题，运用角的大小比较。

3.2 教学内容比较角的大小：通过观察角的两边叉开的大小，比较角的大小。

实际问题：解决一些需要比较角的大小的问题，如几何图形的构造、实际场景中的应用等。

3.3 教学活动引导学生通过观察角的两边叉开的大小，比较不同角的大小。

给出一些实际问题，让学生运用角的大小比较来解决。

3.4 练习与巩固让学生分组讨论，比较一些给定的角的大小，并分享他们的比较方法。

给出一些实际问题，让学生运用角的大小比较来解决，并进行讨论。

第四章：角的分类4.1 学习目标让学生了解不同类型的角，掌握角的分类。

角的比较方法

角的比较方法在几何学中，角是两条射线共同端点所形成的图形。

角的比较是几何学中非常重要的一部分，它涉及到角的大小、角的性质以及角的比较方法。

本文将介绍几种常见的角的比较方法，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

首先，我们来谈谈角的大小比较方法。

在几何学中，我们通常使用角度的大小来比较角的大小。

角度是用来衡量角的大小的单位，通常用符号“°”表示。

当两个角的度数相同时，我们可以认为它们是相等的；当一个角的度数大于另一个角的度数时，我们可以认为前者是大于后者的；当一个角的度数小于另一个角的度数时，我们可以认为前者是小于后者的。

通过比较角的度数大小，我们可以清晰地了解角的大小关系。

其次，我们来讨论角的性质比较方法。

在几何学中，角可以根据其性质进行比较。

例如，我们可以比较两个角的对顶角、邻补角、邻角等性质。

对顶角是指两个角的顶点和边分别重合，对顶角相等；邻补角是指两个角的和为90度，邻补角互补；邻角是指共享一个公共边且顶点在同一直线上的两个角，邻角互补。

通过比较角的性质，我们可以发现角之间的关系，从而更好地理解和运用角的知识。

最后，我们来探讨角的比较方法在实际问题中的应用。

在实际问题中，我们经常需要比较不同角的大小和性质。

例如，在建筑设计中，我们需要比较不同角的大小来确定建筑物的结构和形状；在地理测量中，我们需要比较不同角的性质来确定地理位置和方向。

通过运用角的比较方法，我们可以更好地解决实际问题，提高工作效率。

综上所述，角的比较方法是几何学中非常重要的一部分。

通过比较角的大小、性质以及在实际问题中的应用，我们可以更好地理解和掌握角的知识，从而更好地应用到实际问题中。

希望本文介绍的角的比较方法能够帮助读者更好地理解和运用这一知识点。

5.4比较角的大小的方法

如果BC落在∠C DEF 外部，那么∠ABC 大于∠DEF,
F
记作∠ABC >∠DEF.
B
东平县初中数学
A
E
D
角的比较方法:叠合法
F C
课中
实施
∠DEF=∠ABC.
E B DA F C E B DA C F
∠DEF＞∠ABC. ∠DEF＜∠ABC.
B DA E 东平县初中数学
探索过程
存在两个角∠1和∠2 1
课中
实施
2
判断下列能比较∠1和∠2 大小的做法是（ D ）
12
A 东平县初中数学 2
∠1 < ∠2
2
1
B
1
12
C D
角的比较方法：
（1）度量法
课中
实施
使用量角器要领：对中、重合、读数。
（2）重合法
要领：1、顶点重合 2、一边重合 3、另一边落在重合边的同侧
东平县初中数学
课中
实施
C B
A
角的和差
右图中有几个角？它们之间有什么关系？
O
∠AOC= ∠AOB + ∠BOC ∠AOB= ∠AOC－ ∠BOC
问题： ∠AOC － ∠AOB= ？
东平县初中数学
认识角的平分线
问题：如右图，虚线OB 是把 ∠AOC对折，使得两条边重合的折痕，那么虚线OB把∠AOC 分成的两个角有什么关系呢？
课中
C
实施
B
∠AOB= ∠BOC
O
A
问题：∠AOC与∠BOC有什么
关系？这个关系怎样用式子来表示?射线OB叫做什么？ ∠AOC= 2∠BOC
东平县初中数学
平分线的定义

【前置性单元导学】北师大版小学数学三年级上册第八单元《认识小数》

【前置性单元导学】北师大版小学数学三年级上册第八单元《认识小数》【单元知识梳理】（一）单元知识学习的前后联系本单元是学生第一次学习小数的相关内容，主要是联系学生的现实生活，以元、角、分和常用的长度单位为背景，让学生初步认识小数。

在四年级下册和五年级上册开始脱离人民币和长度单位的背景，让学生探索并掌握计数单位、小数的性质、小数的计算等。

（二）单元学习内容分析本单元主要是结合现实的购物等活动，以元、角、分和米、分米、厘米等之间的关系为背景，帮助学生初步认识生活中的小数，学习小数的读、写和简单的大小比较、加减法等知识。

（三）单元学习重难点重点：1. 借助元、角、分之间的关系以及米、分米、厘米之间的关系认识小数，能读、写、比较简单的小数。

2. 掌握一位数小数加法和减法的计算方法，并能解决一些简单的实际问题。

难点：1. 把几元几角几分改写成以“元”为单位的小数。

2. 理解一位小数进位加法和退位减法的道理。

【典型题目解析】（一）几元几角几分与以“元”为单位的小数之间的改写例1.用元、角、分表示下列物品的价钱。

思路导航：天天老师：你们在哪儿见过像7.45元、1.05元这样的数？知道它叫什么名字吗？思思：我在商店、超市见过。

航航：它的名字叫小数。

天天老师：大家真是善于观察，知识渊博的孩子！那你们知道它们到底是几元几角几分呢？晓晓：7.45元是7元4角5分，1.05元是1元5分。

天天老师：说的完全正确。

也就是说以“元”为单位的标价，整数部分代表“元”，小数点后面第一位上的数字代表“角”，小数点后面第二位上的数字代表“分”。

例2.用小数表示。

思路导航：天天老师：现在这个问题和上题哪里不同，该怎样解决呢？航航：上面那道题是将单位是元的小数改写成几元几角几分，而这道题刚好相反，是由几元几角几分改写成以元为单位的小数。

思思：那道理相同，有几元就应该在小数的整数部分写几，有几角就在小数部分的第一位上写几，有几分就在小数部分的第二位上写几。

二年级上册角的认识教案

二年级上册角的认识教案第一章：认识角1.1 教学目标让学生通过观察和操作，初步理解角的概念。

能够识别和描述生活中的各种角。

1.2 教学重点理解角的概念，能够识别各种角。

1.3 教学难点理解角的特征，能够用语言描述角。

1.4 教学准备教具：三角板、图片等。

1.5 教学过程1.5.1 导入通过出示各种图片，让学生观察并说出其中的角。

1.5.2 新课导入介绍角的概念：由一点引出的两条射线所围成的图形叫做角。

1.5.3 教学互动学生两人一组，用三角板和直尺画出不同的角，并互相描述。

1.5.4 练习巩固出示各种角的图片，让学生分类并描述。

1.5.5 小结让学生总结本节课所学的内容。

第二章：角的分类2.1 教学目标让学生能够区分锐角、直角、钝角。

2.2 教学重点能够区分锐角、直角、钝角。

2.3 教学难点能够用语言描述锐角、直角、钝角的特点。

2.4 教学准备教具：三角板、图片等。

2.5 教学过程2.5.1 导入通过出示各种角的图片，让学生说出它们的名字。

2.5.2 新课导入介绍锐角、直角、钝角的概念。

2.5.3 教学互动学生两人一组，用三角板和直尺画出锐角、直角、钝角，并互相描述。

2.5.4 练习巩固出示各种角的图片，让学生分类并描述。

2.5.5 小结让学生总结本节课所学的内容。

第三章：角的测量3.1 教学目标让学生能够使用量角器测量角的大小。

能够理解度、分、秒的概念。

3.2 教学重点学会使用量角器，测量角的大小。

3.3 教学难点掌握量角器的使用方法，能够准确测量角的大小。

3.4 教学准备教具：量角器、直尺、三角板等。

3.5 教学过程3.5.1 导入通过回顾上一节课的内容，引出本节课的主题。

3.5.2 新课导入介绍量角器的结构和用法。

3.5.3 教学互动学生两人一组，使用量角器测量三角板上的角，并记录结果。

3.5.4 练习巩固出示各种角的图片，让学生使用量角器进行测量，并记录结果。

3.5.5 小结让学生总结本节课所学的内容。

人教版三年级下册数学第八单元测试卷三套

第8单元过关检测卷一、认真读题，专心填写。

(每空1分，共34分) 1．填上合适的数。

5分米＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫米＝( )米 9角＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫元＝( )元 8厘米＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫ 分米＝( )分米 3元6角＝( )元 2．“天宫一号”是我国首个空间实验室，飞行器全长十点四米，这个数写作( )，重8.5吨，这个数读作( )。

3．与9.8相邻的两个一位小数分别是( )和( )。

4．在里填上“＞”“＜”或“＝”。

0.9米0.6米 7.8元8.7元8.1米7.9米0.7元7角6－3.21.5＋1.5 13.6＋7.930.2－9.75．笔算小数加、减法要把( )对齐才能相加、减。

6．东东跑50米用了9.8秒，乐乐跑50米用了9.2秒，( )跑得快。

7．找规律填数。

(1)5.3，5.4，5.5，5.6，( )，( )，( )。

(2)4.7，5.7，6.7，7.7，( )，( )，( )。

(3)2.8，3.6，4.4，5.2，( )，( )，( )。

8．用0、1、2、3能组成( )个没有重复数字的两位数，分别是( )。

9．用2、3、4、5能组成( )个没有重复数字的两位数，其中个位上是单数的两位数分别是( )。

10．超市在学校和医院中间，从学校到超市有2条路，从超市到医院有3条路，从学校到医院有( )条路。

11．今天学校的早餐有3种粥、4种主食。

乐乐从粥和主食中各选一种搭配自己的早餐，一共有( )种不同的搭配方法。

二、巧思妙断，判断对错。

(每题1分，共5分)1．小数就是比整数小的数。

( )2．大于0.3而小于0.5的小数只有0.4。

( )3．8.45读作八点四十五。

( )4．明明跑50米用了9.2秒，东东跑50米用了8.7秒，明明跑得比东东快0.5秒。

( ) 5．0.90读作零点九。

( )三、反复比较，择优录取。

(每题1分，共5分)1．图( )的阴影部分可以表示为0.3。

2．爸爸从家到单位要走5.6千米。

他走了1.4千米后发现把一份重要文件落在了家里，又回家去取，这样爸爸上班一共走了( )千米。

5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(第2课时)-高一数学上学期同步精讲课件(人教A版必修第一册2)

令−
2

则−
3

即−
6

)的单调区间和函数
6

+ 2 ≤ 2 − ≤ + 2， ∈ .
6
2
2
+ 2 ≤ 2 ≤ + 2， ∈ .
3

+ ≤ ≤ + ， ∈ .
3

所以函数的单调递减区间是[− + ， + ]， ∈ .
6
3

3
令 + 2 ≤ 2 − ≤ + 2��， ∈ .
调递增，其值从 − 增大到；在每一个闭区间 [, + ] ( ∈ )上都单调递减，
其值从减小到−.
新知探索
思考3：在前面函数的性质中，我们除了奇偶性、单调性外，还学习了函数的最
值.请结合着前面对正余弦函数单调性的研究，找出正余弦函数的最值及其取得
最值时对应的自变量的值.
= ， ∈ 取得最小值的的集合{| =

−
2
+ 2，得 =

−
4

−
2
+ 2, ∈ }.由2 = =
+ .所以，使函数 = −3 2, ∈ 取得最大值的的

4
集合是{| = − + , ∈ }.同理，使函数 = −3 2, ∈ 取得最小值的

[− , ]的单调增区间是[− , ]，且由−
3 3
2 2
2
≤
1

2

+
3

3
≤≤ .
所以，函数 =

5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(第2课时)教学课件(人教版)

（小）值求解.
（3）余弦函数类似.
例4
例4 不通过求值，比较下列各组数的大小
(1)sin( )与sin( )
（1）因为 0，
正弦函数
y
sin
x在区间
,
0 上单调递增，
所以sin( ) sin( ).
分析：可利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小.为此，先用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，然后再比较大小.
,
x
[2,
2]
的单调区间吗？
解：令 z 1 x.由于 z 是 x的减函数，因此函数 y sin z 的减区间就是原函数的增区间. 2
函数
y
sin
z
的单调递减区间是
2
2k，3 2
2k
(k
Z)
由于 2k 1 x 3 2kk Z
2
2 2
得 7 k x kk Z
对于余弦函数 y cos x, x R,有当且仅当 x 2k, k Z时，取得最大值 1；当且仅当 x (2k 1), k Z时，取得最小值-1.
例3
例3 下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出最大值、最小值时自变量x的集合，并求出最大值、最小值. (1) y cos x 1, x R; （1）使函数 y cos x 1, x R取得最大值的 x 的集合，就是使函数 y cos x, x R 取得最大值的 x 的集合{x | x 2k, k Z}；使函数 y cos x 1, x R取得最小值的 x 的集合，就是使函数 y cos x, x R取得最小值的 x 的集合{x | x 2(k 1), k Z}. 函数 y cos x 1, x R的最大值是11 2；最小值是11 0.

2020年人教A版高中数学必修第一册5.4 三角函数的性质(解析版)

5.4 三角函数性质运用一五点画图【例1】（1）在[0,2π]内用五点法作出y＝－sin x－1的简图. （2）画出函数y＝1＋cos x，x∈[0,2π]的图象．【答案】见解析【解析】（1）①按五个关键点列表②描点并用光滑曲线连接可得其图像，如图所示.（2）①列表如下：②描点：③连线：用光滑的曲线依次连接各点，即得所求的图象．【触类旁通】1．用“五点法”作函数y ＝－2cos x ＋3(0≤x ≤2π)的简图．【答案】见解析【解析】由条件列表如下：描点、连线得出函数y ＝－2cos x ＋3(0≤x ≤2π)的图象如图所示．2.画出函数y ＝3＋2cos x 的简图．【思路总结】五点法画图作形如y ＝a sin x ＋b (或y ＝a cos x ＋b )，x ∈[0,2π]的图象时，可用“五点法”作图，其步骤是：①列表，取x ＝0、π2、π、3π2、2π；②描点；③用光滑曲线连成图．【答案】见解析【解析】(1)列表，如下表所示x 0 π2 π 3π2 2π y ＝cos x 1 0 －1 01 y ＝3＋2cos x53135(2)3.y ＝|sin x |，x ∈[0,4π]【解析】首先用“五点法”作出函数y ＝sin x ，x ∈[0,4π]的简图，再将该简图在x 轴下方的部分翻折到x 轴的上方，即得到y ＝|sin x |，x ∈[0,4π]的简图，如图所示．运用二周期【例2-1】求下列函数的周期．(1)y ＝2sin 2x ；(2)y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6.【答案】（1）π （2）4π【解析】(1)方法一因为2sin(2x ＋2π)＝2sin 2x ，即2sin 2(x ＋π)＝2sin 2x . 由周期函数的定义，可知原函数的周期为π.方法二 T ＝2π2＝π.(2)方法一因为cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6＋2π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6，即cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12x ＋4π＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6.由周期函数的定义，可知原函数的周期为4π. 方法二 T ＝2π12＝4π【例2-2】下列函数中，不是周期函数的是( )A.y ＝|cos x | B ．y ＝cos|x | C ．y ＝|sin x | D ．y ＝sin|x | 【答案】D【解析】画出y ＝sin|x |的图象，易知y ＝sin|x |不是周期函数【触类旁通】1．（2019·平罗中学高一期中（文））函数2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是（）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π【答案】C【解析】因为2sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以其最小正周期为22T ππ==,故选C. 2．（2019·云南高二期末）函数 ()2sin 36f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为__________．【答案】23π【解析】由题得函数的最小正周期22|-3|3T ππ==.故答案为：23π运用三正余弦函数曲线的运用【例3】根据正弦曲线求满足sin x ≥－32在[0,2π]上的x 的取值范围．【解析】在同一坐标系内作出函数y ＝sin x 与y ＝－32的图象，如图所示．观察在一个闭区间[0,2π]内的情形，满足sin x ≥－32的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤53π，2π，所以满足sin x ≥－32在[0,2π]上的x 的范围是{x 0≤x ≤43π或5π3≤x ≤2π}.或⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤53π，2π【触类旁通】1．不等式sin x >0，x ∈[0,2π]的解集为( )A ．[0，π]B ．(0，π) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2【答案】B【解析】由y ＝sin x 在[0,2π]的图象可得．2．直线y ＝12与函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的交点坐标是________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫56π，12【解析】令sin x ＝12，则x ＝2k π＋π6或x ＝2k π＋56π，又∵x ∈[0,2π]，故x ＝π6或56π.3．根据y ＝cos x 的图象解不等式：－32≤cos x ≤12，x ∈[0,2π]．【答案】见解析【解析】函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象如图所示：根据图象可得不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪π3≤x ≤5π6或7π6≤x ≤5π3 运用四奇偶性【例4】（1）下列函数不是奇函数的是 A ．y ＝sin xB ．y ＝sin 2xC ．y ＝sin x ＋2D ．y ＝12sin x（2）（2019·陕西高一期末）若函数()[]()3cos 0,223x f x πϕϕπ+⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的图像关于y 轴对称,则ϕ=（） A ．34π B ．32π C ．23π D ．43π【答案】（1）C （2）B【解析】当x ＝π2时，y ＝sin π2＋2＝3，当x ＝－π2时，y ＝sin(－π2)＋2＝1，∴函数y ＝sin x ＋2是非奇非偶函数．（2）∵函数f （x ）＝cos （323x πϕ++）＝sin 3x ϕ+ （φ∈[0，2π]）的图象关于y 轴对称，∴,32k k Z ϕππ=+∈，由题知 φ32π=，故选：B ．【触类旁通】 1. 判断函数的奇偶性 (1)f (x )＝|sin x |＋cos x ； (2)f (x )＝1－cos x ＋cos x －1.【答案】（1）偶函数（2）既是奇函数又是偶函数【解析】(1)函数的定义域为R ，又f (－x )＝|sin(－x )|＋cos(－x )＝|sin x |＋cos x ＝f (x )，所以f (x )是偶函数．(2)由1－cos x ≥0且cos x －1≥0，得cos x ＝1，从而x ＝2k π，k ∈Z ，此时f (x )＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数． 2．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2 0112π－2 010x 是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数【答案】B 【解析】f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2 0112π－2 010x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2 010x ＋1 005π＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2 010x ＝－cos 2 010x ，f(x)定义域为R ，且f(－x)＝－cos(－2 010x)＝－cos 2 010x ＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数．答案：B 3．下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( )A ．y ＝cos|2x |B ．y ＝|sin x |C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2xD ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2x 【答案】D【解析】y ＝cos|2x |是偶函数；y ＝|sin x |是偶函数；y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝cos 2x 是偶函数；y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－2x ＝－sin 2x 是奇函数，且其最小正周期T ＝π.4．（2019·榆林市第二中学高一期末）已知(0,)ϕπ∈，若函数()cos(2)f x x ϕ=+为奇函数，则ϕ=______．【答案】2π【解析】若函数()cos(2)f x x ϕ=+为奇函数，则(0)0f =，即cos 0ϕ=，解得2k πϕπ=+，又因为(0,)ϕπ∈，所以2ϕπ=运用五单调性【例5】(1)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的一个递减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2B ．[－π，0]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23π，23πD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3(2)求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递增区间．【答案】见解析【解析】 (1)由π3≤x ≤43π，可得π2≤x ＋π6≤32π.所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3是函数的一个减区间．(2)由y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ，得y ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.∴要求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递增区间，只需求出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递减区间．令π2＋2kπ≤2x －π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解之得5π12＋k π≤x ≤11π12＋k π，k ∈Z.∴函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12＋k π，11π12＋k π(k ∈Z)．【触类旁通】1.函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是________．【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z) 【解析】因为－π＋2k π≤2x －π3≤2k π，k ∈Z.所以k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z.2．（2019·内蒙古高一月考）函数2sin 2([,0])6y x x ππ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭的单调递减区间是________．【答案】5,63ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 【解析】正弦函数sin y u =的单调递减区间为()32,222k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，由()3222262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，得()263k x k k Z ππππ+≤≤+∈，记()2,63A k k k Z ππππ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦，则[]5,0,63Aπππ⎡⎤-=--⎢⎥⎣⎦，故答案为：5,63ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 运用六对称性【例6】（1）函数y ＝sin 522x π⎛⎫+⎪⎝⎭的一个对称中心是( ) A ．,08π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,04π⎛⎫⎪⎝⎭ C ．,03π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．3,08π⎛⎫⎪⎝⎭（2）（2019·天水市第一中学高一期末（理））函数3cos 253y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭图象的一个对称中心和一条对称轴可以是（） A ．5,012π⎛⎫⎪⎝⎭，23x π=B ．5,512π⎛⎫⎪⎝⎭，23x π=C ．2,03π⎛⎫⎪⎝⎭，512x π=D ．2,53π⎛⎫⎪⎝⎭，512x π=（3）（2019·上海市控江中学高一期末）已知ϕ是常数，如果函数()5cos 2y x ϕ=-+的图像关于点4,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，那么ϕ的最小值为（） A ．3πB ．4π C ．6π D ．2π【答案】（1）B （2）B （3）C 【解析】（1）y ＝sin 522x π⎛⎫+⎪⎝⎭=cos2x ，可令2x=2k ππ+，可得x=42k ππ+，k Z ∈, 可得函数的对称中心（42k ππ+，0），结合选项可得，当k=0时，选项B 正确，故选B. （2）由题意，函数3cos 253y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的性质，令2,3x k k Z ππ-=∈，解得,26k x k Z ππ=+∈，当1k =时，23x π=，即函数的一条对称轴的方程为23x π=，令2,32x k k Z πππ-=+∈，解得5,212k x k Z ππ=+∈，当0k =时，512x π=，即函数的一个对称中心为5(,5)12π，故选：B ．（3）由于函数()5cos 2y x ϕ=-+的图象关于点4,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则45cos 203πϕ⎛⎫-⨯+= ⎪⎝⎭， ()4232k k Z ππϕπ∴⨯+=+∈，则()136k k Z ϕππ=-∈，因此，当2k =时，ϕ取得最小值6π，故选：C. 【触类旁通】1．（2019·西藏高一期末）函数()cos()(0)3f x x πωω=->的图像关于直线2x π=对称，则ω的最小值为（） A ．13B ．12C ．23D ．1【答案】C【解析】()cos()(0)3f x x πωω=-> 对称轴为：22(0)3233x k k k πππωπωπωω-=⇒-=⇒=+>当0k =时，ω有最小值为23故答案选C2．“4πϕ=-”是“函数()cos(3)f x x ϕ=-的图象关于直线4x π=对称”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】当4πϕ=-时， ()cos 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，若4x π=时 3cos cos 1444f ππππ⎛⎫⎛⎫=+==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故： 4x π=是对称轴，排除：B,D 函数()cos(3)f x x ϕ=-对称轴若是4x π=，则33,()44k k k z ππϕπϕπ-==-∈则，故排除：C ，答案选A3．（2019·湖南高一期末）函数f(x)=3cos (4x +5π6)图像的一个对称中心是（）A.(π12,0) B.(π6,0)C.(π3,0)D.(5π6,0)【答案】B【解析】由题得4x +5π6=kπ+π2，k ∈Z ,所以x =kπ4−π12(k ∈Z)，所以f(x)=3cos (4x +5π6)图像的对称中心是(kπ4−π12,0)(k ∈Z)．当k=1时，函数的对称中心为(π6,0).故选：B运用七最值（值域）【例7】求下列函数的值域：(1)y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2；(2)y ＝2sin 2x ＋2sin x －12，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6.【答案】（1）⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32（2）⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，72【解析】(1)由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈0，π2可得x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，函数y ＝cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上单调递减，所以函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32.(2)令t ＝sin x ，∴y ＝2t 2＋2t －12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－1.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6，∴12≤sin x ≤1，即12≤t ≤1，∴1≤y ≤72，∴函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，72.【触类旁通】1．函数y ＝2－sin x 的最大值及取最大值时x 的值为( ) A ．y max ＝3，x ＝－π2 B ．y max ＝1，x ＝π2＋2k π(k ∈Z)C ．y max ＝3，x ＝－π2＋2k π(k ∈Z)D ．y max ＝3，x ＝π2＋2k π(k ∈Z)【答案】C【解析】x ＝－π2＋2k π(k ∈Z)时，y ＝sin x 有最小值－1，函数y ＝2－sin x 有最大值3.2．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为________．【答案】－22【解析】当0≤x ≤π2时，－π4≤2x －π4≤3π4，因为函数y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4上的函数值恒为正数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0上的函数值恒为负数，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0上为增函数，所以函数f (x )的最小值为f (0)＝－22.3（2019·榆林市第二中学高一期末）函数2cos sin 1y x x =+-的值域为（） A ．11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．11,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】222111sin sin 1sin sin sin 24y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+=--+ ⎪⎝⎭，[]sin 1,1x ∈-，当1sin 2x =时，函数y 取得最大值为14，当sin 1x =-时，函数y 取得最大值为2-，所以函数的值域为12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选C运用八比较函数值的大小【例8】不求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小：（1）sin 14°与sin 156°；（2）cos 515°与cos 530°．【答案】（1）sin14°<sin156°（2）cos515°>cos530° 【解析】利用三角函数单调性比较．（1）∵sin156°＝sin(180°－24°)＝sin24°．∵－90°<14°<24°<90°，∵y ＝sin x 在[－90°，90°]上是增函数， ∴sin14°<sin24°，即sin14°<sin156°．（2）cos 515°＝cos(515°－360°)＝cos155°， cos 530°＝cos(530°－360°)＝cos170°，∵90°<155°<170°<180°而y ＝cos x 在[90°，180°]上是减函数． ∴cos155°>cos170°即cos515°>cos530°．【触类旁通】不求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π与sin 493π；(2)cos 870°与sin 980°. 【答案】见解析【解析】(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，sin 493π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫16π＋π3＝sin π3，因为y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6<sin π3，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π<sin 493π.(2)cos 870°＝cos(720°＋150°)＝cos 150°，sin 980°＝sin(720°＋260°)＝sin 260°＝sin(90°＋170°)＝cos 170°，因为0°<150°<170°<180°，所以cos 150°>cos 170°，即cos 870°>sin 980°.运用九正切函数性质【例9】(1)求函数y ＝lg(3－tan x )的定义域。

比较测角仪使用说明

1 目的及适用范围1.1目的：为了使各位员工更好的使用比较测角仪。

1.2使用范围：适合于比较测角仪的各项使用。

2 术语偏向角3 内容比较测角仪是采用比较法测量光学体角度的，其刻度精度为1分/格，测量应用的范围主要有垂直度、平行度、直角棱镜内角精度等。

3.1预备:接通小灯泡电源，调节望远镜目镜的物距，使得望远镜视场中出现的明亮，清晰的分划线。

3.2对于装接CCD摄像头的比较测角仪，先打开电视机电源，再接通CCD电源（关机时步骤相反），调节光照及响应的旋钮，使得电视屏幕上的像最清晰。

4 校准4.1 把标准垂直块用乙醇擦拭干净后，放置在平台上，使得其一个抛光面对准望远镜，轻轻靠紧载台上靠体，并轻压标准块，使标准块与载台平面完全接触（产生光圈时）。

4.2 找到标准块的反射像，调节望远镜成水平。

其方法是：把标准块的亮30刻度像调到与望远镜的分划线对齐（对于装接CCD的比较测角仪，只需用标准块验证一下即可）。

5 测量5.1 垂直度的测量5.1.1 取下标准块，换上待测块，与标准块同样的放置方法，轻轻接压样品，在望远镜中读取反射镜亮30刻度线与望远镜分划线的距离，记一小格为一分，亮像偏上为负，反之则为正。

5.2 平行度的测量（此类测量，要求两平行面为抛光平面）。

5.2.1 先把望远镜调到竖直位置，使得载台平台的反射像的30刻度线基本对准望远镜分划线。

5.2.2 测量时，铺上电容纸，挡去载台的反射像，放上测试样品，此时看到两个反射亮像。

旋转样品方位，使两反射亮像竖线重合，读取亮像线的30刻度线间距离，记为格数X；或者使两亮像的30刻度线在同一水平高度，读取分划线上两亮线的距离X’，测量结果为X/n，或X’/n 分（n 为样品材料折射率）5.3 直角棱镜内角测量(此类测量要求直角棱镜三面抛光)。

方法一:先把望远镜调到与水平方向或45°角，其调节方法如下：5.3.1放上测试样品，直角面朝下，斜面对准望远镜，调节望远镜及载臂，看到清晰的反射亮像。

角的大小比较与运算

30°、45°、60°、90°、15°、75°、105°、 120°、135°、150°、 180°
75°
15°
105 °
15°
120°
角平分线
在一张纸上画出一个角并剪下，将这个角对折，使其两边重合，折痕与角两边所成的两个角的大小有什么关系？
射线OC是∠AOB的角平分线，思考下列问题：
Ａ
Ｃ
C D
A A
B D
B
C
4、如图：OC、OD分别是∠AOB 、∠BOE的平分线，
（1）如果∠AOB=70°，∠BOE=60°，求 ∠DOC的度数.
（2）如果∠1+ ∠2 =55°，求∠AOE的度数.
B
2 1
O
C A
通过这堂课的学习，你有什么收获？
1、比较两个角大小的方法 2、角的运算 3、角平分线
∠AOC =∠AOB + ∠ ＿BO＿C
∠BOD = ∠COD+ ∠ ＿B＿OC D
∠AOC= ∠AOD－∠ ＿CO＿D
∠BOD= ∠ ＿AO＿D－∠ ＿AO＿B
C O
B A
例1：如图O是直线AB上一点，∠AOC＝53°17′ 求∠BOC的度数
C
A
O
B
探究
借助一副三角尺，大家都能画出哪些度数的角？
∠AOB＝ 3 ∠AOM＝ 3 ∠MON＝ 3 ∠NOB.
变式练习
A B
C
1、填空
O
D
(1)∠AOD ＝_______＋________＋__________;
(2) ∠BOC ＝________－__________
＝__________－________;
(3) ∠AOB____∠AOC;（填>或<）

5.4.3正切函数的性质与图象课件(人教版)

(2)比较tan1519°与tan1493°的大小
（2）由tan 1519° = tan 4 × 360° + 79° = tan 79°，
tan 1493° = tan 4 × 360° + 53° = tan 53°，
且0° < 53° < 79° < 90°，
所以tan 79° > tan 53°，

tan(
3
− 2) = tan[−(2
函数的自变量x应满足ቀ2 −
≠

2
+
5
，
12

− )]
3
= −tan(2

)
3

2
≠ + ， ∈ ，即

2
5
+ ，
12
∈ .
所以函数的定义域是ቄ| ≠
∈ }.

− ቁ，
3
变式训练1 求函数 =

tan(
3
由于() = −tan(2
17
因此tan(−
ቁ＞tan(−
ቁ.
4
5
，
变式训练2 借助正切函数的图象和性质解答下列各题：
(1)求函数 = tan + 1 + lg(1 − tan൯的定义域.
(2)比较tan1519°与tan1493°的大小
解：（1）由题意可得ቊ

2
在 − ，

2
tan + 1 ≥ 0，
即−1 ≤ tan < 1.
由右图可得在

− ，
2
2

内正切值

2

鲁教版六年级下5.4角的比较

（1） ∠ B
（2） ∠DCB （3） ∠ DCB
= > =
∠A
∠B ∠A+ ∠B C
40
D
140
A
70
70
B
3、如图：（1）如果BD是∠ABC的角平分线，那么
∠1= ∠2
1 ∠ABC = 2
（2）如果∠ABC=2 ∠2，那么BD是 ∠ABC 的平分线
A
D 1 2 B C
4、如图：OC、OD分别是∠AOB 分、秒关系
1°的
1′的
1 60 1
即1°=60′. 为1分, 记作“1′”，记作“1″”，即1′=60″.
60 为1秒,
1 60 1 60

1
1 360 0

度分秒秒分度
60 60
D C B O A
如图
∠AOB＝∠BOC＝∠COD，
则OB 是
AOC 的平分线， 1 BOC ＝ 2 ∠AOC， 1 BOC ＝ 2 ∠BOD 1 AOD ∠BOC ＝ 3 BOD ＝ 2 AOD` 3
此时OB、OC叫∠ AOD的三等份线
D C B O A
如图
∠AOB＝∠BOC＝∠COD，
则OB 是
（1）如果∠AOB=700， ∠BOE=600，那么∠1+ ∠2= -------650
0 （2）如果∠1+ ∠2 =550，则∠AOE= 110 --------
B
2 1
C
O
A
5、如图，点O在直线AB上，OD、OE分别是∠AOC 、 o 90 ∠BOC的平分线，则 ∠EOD=
E
C
D
B

5.4.3正切函数的性质与图像课件(人教版)(1)

关于原点对称
[0, )
,
正切函数图象
2
2 2
二、正切函数的图像
探究新知
1. 正切函数 =

, [0, )的图像
2
设角的终边与单位圆的交点为(0, 0)
T
y
B
则 =
0
0
=

=

=AT

x
O
M
A(1,0)
远只能被生活选择。你读书时偷的懒，要用一辈子去还，
请努力让自己变得优秀，然后，昂首面对生活的挑战。

当(− , )时，可取(−∞, +∞)内任意实数值，但
2 2
没有最大值和最小值，因此，正切函数的值域是.
探究新知
一、正切函数的性质
6. 渐近线：
当

趋近于
2

2
+ , 时函数值趋近于正无穷和负无穷，
所以 = + , 为其渐近线.
探究新知
一、正切函数的性质
2
3 2
1
即x 2k , k Z .
3
1

所以，函数的定义域是 x | x 2k , k Z .
3

π
π
x ，又 tan( z π) tan z ，
2
3
π
π
π
π
所以 tan[( x ) π] tan( x ) ，
2
3
2
3
π
π
π
π
即 tan[ ( x 2) )] tan( x ) .
求单调区间的方法及注意点

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

注意
角的大小只与开口大小有关，而与角的边的长短无关．
B O E D C
A
探究问题2
如图∠1＞∠2，把∠2移到∠1 上，使它们的顶点重合，一边重合，会有几种情况？由此可以对角如何运算？
问题2
(1) ∠2在∠1内部时，如图 ∠ABC是∠1与∠2的差，记作： ∠ABC＝∠1－∠2； (2) ∠2在∠1外部时，如图127∠DEF是∠1与∠2的和，记作：∠DEF＝∠1＋∠2．
4.角的比较和运算
角的概念复习
角的概念
有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．
角的顶点角的边
B O
●
A
角的概念
角也可以看成是一条射线绕着端点从起始位置旋转到终止位置所组成的图形；射线的起始位置OA称为角的始边，终止位置OB称为角的终边．
B
O
●
A
平角与周角
当角的终边旋转到和始边成一直线时形成的角叫做平角；
课件：利用三角板拼角
能力提升如图，五条射线组成的图形中共有几个角？如果从点O引出 n条射线，能有多少个角？你能找出规律吗？
小结与作业
小结： 1.角的比较方法:度量法、叠合法 2．角的运算：角的和差倍分的度数等于它们的度数的和差倍分； 3．角平分线定义．
1平角＝2直角＝180°．
60
计算 (1)把10.1等于多少分？等于多少秒？
(2)把1800 ″等于多少分，等于多少度。
探究问题1
如何比较两个角的大小？你能想到什么方法？
（1）叠合法（课件：叠合法比较角的大小）（2）度量法
两个角的大小关系
B D
O
A
E
C
∠ >∠β ，∠ <∠β ， ∠ =∠β 必居其一．
数量关系：若OC平分 ∠AOB，则 1 2 （1）∠1＝∠2； 1 O （2）∠1＝∠2＝ ∠AOB；
C
A
2 （3）∠AOB＝2∠1＝2∠2．
探究问题4
如何作一个角的平分线？你能想到什么方法？方法1：度量法；方法2: 折纸法（课件：折纸作角平分线）
问题5 借助手中的一副三角板，你能拼出15°、75°、105° 的角吗？你还可以拼出其他角吗？
归纳角的和差倍分的度数等于它们的度数的和差倍分．
探究问题3
类比线段中点，你能给角平分线下定义吗？从中你能得到什么数量关系？角平分线的定义:从角的顶点出发,把一个角分成两部分的一条射线,叫这个角的平分线．
问题3 类比线段中点，你能给角平分线下定义吗？从中你能得到什么 B 数量关系？
当角的终边旋转到和始边再次重
合时得到的角叫做周角．
角的分类锐角（0°<
直角（ = 90°）
钝角（90°<
< 90°）
<18Leabharlann °）平角（ = 180°）
周角（ = 360°）
角的度量单位及其换算 1°＝ 60′， 1′＝ 60″； 1 1′＝ ( 1 )°， 1″＝ ( 60 ) ′． 1周角＝2平角＝4直角＝360°．