概率论重点题

概率统计重难点题

1．已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男

孩的概率（小孩为男为女是等可能的）.

【解】 设A ={其中一个为女孩}，B ={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故

()6/86()()

7/8

7

P AB P B A P A =

==

或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.

6()7

P B A =

2．已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此

人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.

【解】 设A ={此人是男人}，B ={此人是色盲}，则由贝叶斯公式

()()

()()()

()()()()

P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A =

=

+

0.50.05

200.50.050.50.0025

21

⨯=

=

⨯+⨯

3．在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中

任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.

【解】 设A i ={第一次取出的3个球中有i 个新球}，i =0,1,2,3.B ={第

二次取出的3球均为新球} 由全概率公式，有

3

()()()

i i i P B P B

A P A ==

∑

3

3

12

3

21

3

3

3

699689679633333333

1515

15

15

15

15

15

15

C C C C C C C C C C C

C

C

C

C

C

C

C =∙

+

∙

+

∙

+

∙

0.089=

4．某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”.

统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？

【解】 设A ={该客户是“谨慎的”}，B ={该客户是“一般的”}，

C ={该客户是“冒失的”}，

D ={该客户在一年内出了事

故}

则由贝叶斯公式得

()()(|)

(|)()

()(|)()(|)()(|)

P AD P A P D A P A D P D P A P D A P B P D B P C P D C =

=

++

0.20.05

0.057

0.20.050.50.150.30.3

⨯=

=⨯+⨯+⨯31.设随机变量

X ~U （0,1），试求：

（1） Y =e X 的分布函数及密度函数； （2） Z =-2ln X 的分布函数及密度函数. 【解】（1）

(01)1P X <<= 故

(1e e )

1

X

P Y <=

<=

当1y ≤时()()0Y F y P Y y =≤=

当1

)(ln )X

Y F y P y P X y =

≤=≤

ln 0

d ln y x y

=

=⎰

当y ≥e 时()(e )1X Y F y P y =≤=

即分布函数

0,1()ln ,

1e 1,e

Y y F y y y y ≤⎧⎪

=<<⎨⎪≥⎩

故Y 的密度函数为

11e ,

()0,Y y y f y ⎧<<⎪

=⎨⎪⎩

其他

（2） 由P （0

(0)1P Z >=

当z ≤0时，()()0Z F z P Z z =≤=

当z >0时，()()(2ln )Z F z P Z

z P X z =≤=-≤

/2

(ln )(e

)2

z z P X P X -=≤-

=≥

/2

1/2

e

d 1e

z z x --=

=-⎰

即分布函数

-/2

0,

0()1-e ,Z z z F z z ≤⎧=⎨>⎩

故Z 的密度函数为

/2

1e

,0()2

0,z Z z f z z -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩

5．设随机变量X 的密度函数为

f (x )=2

2,0π,π0,.

x

x ⎧<<⎪⎨

⎪⎩

其他

试求Y =sin X 的密度函数. 【解】(01)1P Y

<<=

当y ≤0时，()()0Y F y P Y

y =≤=

当0

Y F y P Y y P X y =≤=≤

(0arcsin )(πarcsin π)P X y P y X =<≤+-≤<

arcsin π

2

2

πarcsin 22d d π

π

y y

x x x x

-=+

⎰

⎰

222211arcsin 1πarcsin ππy y =

+--（）（） 2

arcsin π

y = 当y ≥1时，()1Y F y = 故Y 的密度函数为

6．设随机变量（X ，Y ）的概率密度为

f （x ，y ）=⎩⎨

⎧<<<.

,

0,

10,,1其他x x y

求条件概率密度f Y ｜X （y ｜x ），f X ｜Y （x ｜y ）

.

题11图

【解】()(,)d X f x f x y y

+∞

-∞=⎰

1d 2,

01,0,

.

x x

y x x -⎧=<<⎪=⎨⎪⎩⎰其他