现代信号处理方法1_2解析

P(t, f )e j2 (vt f )dtdf
z(u )z*(u )e j2vudu
（1.3.5）
2
2
如果时－频分布 p(t, f )有特定性质要求, 由上式可决定对
核函数的性质要求.
互时－频分布定义
两个连续信号 x(t)，y(t)的互时－频分布定义为：
Pxy(t, f )
两个信号之和 z(t) c1z1(t) c2 z2 (t) 的时－频分布 为：
Pz (t, f ) | c1 |2 Pz1 (t, f ) | c2 |2 Pz2 (t, f ) c1c2*Pz1,z2 (t, f ) c2c1*Pz2,z1 (t, f )
（1.3.8）
上式右端前两项为信号项,后两项为交叉项. 可以由(自)时－频分布与互时－频分布的
S ( f ) s(t)e j2ft dt
s(t) S ( f )e j2tf df
2维Fourier变换
S( f1, f2)
s(t1, t2 )e j2 ( f1t1 f2t2 )dt1dt2
s(t1,t2)
S ( f1, f2 )e j2 ( f1t1 f2t2 )df1df2
Cohen类时－频分布定义
P(t, f )
z(u 1 )z* (u 1 ) ( , v)e j2 (vt f vu)dudvd
2
2
（1.3.1）
式中 ( , v)称为核函数。
时－频分布的作用：
将时间变元t的解析信号 z(t) 变换成时间变元t
和频率变元f的函数p(t, f ) 。
（1.3.3）
P(t, f )
Az
(
,
v)
(
,
v)e
j
2
(vt
f
)
dvd
（1.3.4）
对上式作2维Fourier反变换有
Az ( , v)( , v)
p(t, f )e j2 (vt f )dtdf
则有
P(t, f )e j2 (vt f )dtdf
( , v) Az ( , v)
但应当指出，并不是所有的时－频分布都 满足表中的所有性质，实际中适用的时－频 分布并非一定要满足所有的性质，应该根据 具体情况进行合理取舍。
峰值就是瞬时频率
1d
fi (t)
2
[arg z(t)] dt
与瞬时频率对偶的物理量叫做群延迟，定义如
下：
g( f
)
1
2
d df
[arg Z ( f )]
多分量信号是由两个（或多个）山峰构成, 每 一个山峰都有它自己不同的瞬时频率和瞬时 带宽。
1.3.2 时－频分布定义
Fourier变换另一种形式
x(u 1 ) y*(u 1 )( , v)e j2 (vt f vu)dudvd
2
2
Axy
(
,
v)
(
,
v)e
j 2
( tv f
)
ddv
式中
Axy ( , v)
x(u ) y* (u )e j2vudu
2
2
（1.3.6） （1.3.7）
是x(t) 和 y(t) 的互模函数。
2
2
（1.3.2）
上式就是著名的Wigner-Ville分布 .
记
kz
(t,
)
z(t
)z*
2
(t
)
2
上式是一个双线性变换（双时间信号）。关于
时间t作Fourier反变换
Az ( , v)
z(t )z* (t )e j2tv dt
2
2
Az ( , v)称为模糊函数 。
则（1.3.1)式可写成
特别，当核函数 ( , v) 1 时，注意到
e dv j2v(tu) (t u)
z(u 1 )z*(u 1 )e j2f (t u)du z(t 1 )z*(t 1 )e j2f
2
2
2
2
则（1.3.1)式化为
P(t, f ) z(t 1 )z*(t 1 )e j2f d
定义推导出上式,请学生自己完成上式的推导.
源自文库
1.3.3 时－频分布的基本性质要求
对于任何一种实际和有用的非平稳信号分析，
通常要求时－频分布具有表示信号能量分布的
特性。因此希望时－频分布能够满足下面的性
质：
1.时－频分布必须是实的（且希望是非负的）。
2.时－频分布关于时间t和频率f的积分应给出 信
号的总能量E，即
E
P(t, f )dtdf
3.满足边缘特性。如果把某一特定时间的所有 频率的能量分布累加起来，就应该得到瞬时 功率；如果把某一特定频率的能量分布在全 部时间内累加，就应该得到能量谱密度。因 此，在理想情况下，时间和频率的联合密度 应该满足：
P(t, f )dt | Z ( f ) |2
第一章 信号的时频分析
1.1 引言 1.2 Hilbert变换与解析信号 1.3 时频分布及其性质 1.4 二次型时频分布的交叉项 1.5 Wigner-Ville分布及其应用
1.3时频分布及其性质
1.3.1单分量信号与多分量信号
单分量信号就是在任一时间只有一个频率或一 个频率窄带的信号。
图1.2.2 单分量信号时－频表示及其特征
P(t, f )df | z(t) |2
4.时－频分布的一阶矩给出信号的瞬时频率和 群延迟，即
fP(t, f )df
fi (t)
P(t, f )df
tP(t, f )dt
g(f )
P(t, f )dt
5.有限支撑特性
从能量角度对时－频分布提出的一个基本性 质。在信号处理中，往往要求信号具有有限 的时宽和有限的带宽。如果信号只在某个时 间区间取非零值，并且信号的频谱也只在某 个频率区间取非零值，则称信号及其频谱是 有限支撑的，同样，如果在信号和其频谱的 总支撑区以外，信号的时－频分布等于零， 就称时－频分布是有限支撑的.
弱有限支撑
当 t (t1,t2 ) 时,若 s(t) 0 ,则有 P(t,) 0 当 (1,2 )时,若 S() 0 ,则有 P(t,) 0
强有限支撑
若 S() 0 ,则有 若 s(t) 0 ,则有
P(t,) 0 P(t,) 0
在上面的特性中，边缘特性和非负特性保 证了时－频分布准确反映信号的谱能量、瞬 时功率和总能量。边缘特性可以保证信号的 总体量（平均时间、平均频率、时宽和带宽 等）正确给定。非负性则可以进一步保证分 布的条件期望是切合实际的和物理解释。非 负性和边缘特性一起可以保证时－频分布的 强有限支撑。