江苏省专科第十届高等数学竞赛题
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第十届专科竞赛题与评分标准
一、填空题（每小题4分，共32分） 1) ()
3
sin sin sin lim
x x x x
→- =
16
.
2）()2arctan e tan ,
x y x x y '=+=则
()2
4
2e
tan sec 1x
x x x x +++.
3） 设由y
x
x y =确定(),y y x =d d y x
=则
()()
()
()
2
2
ln ln 1ln ln 1.y x y y y
x x y x x x y ----或
4）()
2cos ,n y x y
==则 12cos 22n n x π-⎛
⎫
+
⎪⎝
⎭
5） 2
1e d x
x x x
-=⎰
e
x
C x
-
+
6) ()
2
14
arctan d 1x x
x x =+⎰
2
64
π
.
7） 圆 2
2
2
222042219
x y z x y z x y z +-+=⎧
⎨
++--+≤⎩，
的面积为 16π
8) 级数 ()1
11!
2!
n
n
n n n ∞
=+-∑
的和为 4e .3
-
二、（10分）设a 为正常数，使得 2
e ax
x ≤ 对一切正数x 成立，求常数a 的
最小值。
2
2ln e
2ln ,ax
x x x ax a x
≤⇔≤⇔≥
解
（3分）
要求a 的最小值，只要求 ()2ln x f x x
=
的最大值。 （2分）
令()()2
21ln 0x f x x
-'=
= 得e,x = （2分）
由于()()0e 0,e 0,x f x x f x ''<<><<时时
()2e e
f =
所以为其最大值， （2分）
故a 的最小值为 2e
。 （1分）
三、（10分）设()f x 在[]01， 上连续，且()()110
d d f x x x f x x =
⎰
⎰
，
求证：存在 ()01,ξ∈，使得 ()0
d 0.f x x ξ
=⎰
证法1：令()()()0d ,x
F x x t f t t =-⎰ （3分） 则()()()()()()11
1
0=0,
11d d d 0,F F t f t t f t t t f t t =-=
-=⎰
⎰
⎰
应用罗尔定理，()01,ξ∃∈，使得()0,F ξ'= （4分） ()()()()()0
d d ,x
x
F x f t t x f x x f x f t t '=
+-=
⎰
⎰
而
于是 ()()()0
d d 0.F f t t f x x ξ
ξ
ξ'==
=⎰
⎰
（3分）
证法2 ()()()()()0
d ,
00,
,x
F x f
x x F F x f
x '=
==⎰
令则 （3分）
()()()()
()11
1
00
11d d d 0
F f
x x x F x x x F x F x x
'∴=
==
-⎰
⎰⎰
()()()110
1d ,
d 0,F F x x F x x =-
⇒
=⎰
⎰
（3分）
应用积分中值定理，存在 ()0,1,ξ∈ 使得()()()()1
d 10,F x x F F ξξ=-=⎰
于是 ()()0
d 0.F f x x ξ
ξ=
=⎰
（4分）
四、（12分）求广义积分 4
2
1d .1x x
+∞-⎰
2
2
2
2
1111d d 2
12
1x x x
x
+∞+∞=
+
+-⎰
⎰
解
原式 （4分）
111arctan ln
2
2
2
41x x x
+∞+∞+=
+
- （4分）
11arctan 2ln 3.4
2
4
π
=
-- （4分）
五、（12分）过原点()0,0作曲线ln y x =-的切线。求该切线、曲线ln y x =-与x 轴所围的图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积。
()()()()000
0000
1,ln ,,1ln ,,0,0e,
x x y x y x x x x y x x '-=-
∴+=-
-== 解
设切点为切线方程为
用代入可解得
.e
x y =-于是切线的方程为 （3分）