交通流量数学模型

交通量优化配置

摘要

城市交通拥挤现象是城市交通规划最为明显的失策现象之一。从某种程度上说，城市交通拥挤现象是汽车社会的产物，特别是在人们上下班的高峰期．交通拥挤现象尤为明显。“据统计，上海市由于交通拥挤，各种机动车辆时速普遍下降，50年代初为25km 现在却降为15kin左右。一些交通繁忙路段，高峰时车辆的平均时速只有3—4km。交通阻塞导致时间和能源的严重浪费，影响城市经济的效率。”城市交通拥挤现象是现代我国大中城市存在的普遍问题．由于公交车、小汽车流量较多，加上餐饮业商贸功能聚集，使本来就不宽的道路变得拥挤不堪，给进行物资运输，急救抢险，紧急疏散等状况带来不便。其中，城市各路段交通流量的合理分配可以有效缓解道路发生拥挤。接下来，我们将模拟一个交通网络，用节点流量方程、环路定理、网络图论模型去合理分配该交通网络的交通流量已达到交通量优化配置。

关键字：交通流量、节点、环路、网络图论

一、问题重述

我们模拟某区域道路网络如图1所示，每条道路等级（车道数）完全相同，某时间段内，有N辆车要从节点1出发，目的地是节点0（假设该时间段内，路网中没有其它车辆）。在该时间段内，道路截面经过的车辆数越多，车辆在该路段行驶的速度就越慢。

我们在此要解决的问题是确定有效的行驶路径及其算法，合理分配每条道路的交通流量，使N辆车从节点1到节点0的总行驶时间最小。

二、模型假设

1）各路段单向通车

2）道路截面经过的车辆数与车辆在该路段行驶的速度成反比例函数关系

3）车流密度均匀不变

4）假设N辆车在极短时间内全部开出（即把车当做质点）5）各环路两条支路对时间负载均衡

三、变量说明

I i m节点到n节点支路的车流数量

t i车辆从m节点到n节点经过所花费的时间

Q 流量

v车速

L纵向路长

2L 横向路长

K反比例系数

ρ*t 车流密度随时间的函数

四、问题分析

若直接对该交通网络进行优化配置则存在很多阻碍，对此我们对此模型进行了一些理想化的处理。

首先我们假设道路截面经过的车辆数与车辆在该路段行驶的速度严格成反比函数的关系，由此排除了双向通车的可能性。例如位于56支路上不可能既有5开向6的车也有6驶向5的车，因为由假设可知车越多行使速度越慢，因此为了使速度最大化我们不能将空间给予车流走“回头路”。

接着由于该图的“树枝”较多，我们把车流当作流量模型（即对每条支路的车流量对时间进行积分然后再找最优配置方案）显然是不切实际的，所以在此我们假设车流密度不随时间发生变化，也就是说我们把车看作质点进行分析。

最后我们来解释一下我们模型的重点，也就是假设5）。就一般而言我们可以任意选取一环路（带进出口的环路）

如图所示：我们假设，那么必有或，不管是哪种可能我们必然

可以通过上调时间花费短的路径负载I使得该路径的行车速度v下降、行使时间t上升，以及下调时间长的路径负载I使得该路径的行车速度v上升、行使时间t下降，那么在这个动态变化中总有一个“时刻”使得以此达到对时间的负载均衡。又因为，所以这个静态点的配置优于原配置。

换而言之，在一个环内当两条支路对于时间负载不均衡时，我们总可以通过调整支路的车流负载以此找到一个静态点使得该点对时间负载均衡，使得该点的时间值小于原状态的时间值。而不管多复杂的电路网络我们总可以把其分解成为一个又一个环路的链接，所以我们认为交通网络中的所有环路在对时间负载均衡时达到最优化配置。

在接下来的模型建立中，我们将以我们的分析假设作为基础进行数学建模，最终用matlab编程完成对该交通优化配置的求解。

五、模型建立

对于该网络的优化配置，首先我们定义一下几点：

●树枝：

（1）串联的节点我们视它为一条树枝；

（2）进入该树枝的车流量等于出去的车流量

●2、节点：

（1）树枝与树枝的连接点；

（2）两条以上的树枝的连接点；

●3、环路：

（1）闭合的树枝；

（2）闭合节点的集合。

1）每条路径上的车流量与行车速度之间的函数关系

现实生活经验告诉我们这两者成反比关系，那么在这里我们理想的认为两者成严格的反比例函数关系

2）车流密度函数

生活经验告诉我们车流密度与某时刻的车间距，车长等关系相关，在这里我们近似认为与车流密度是时间，但为了模型的简化我们不

得不认为那么constant

3）流量

流量大了就必然要控制车速，我们用量纲分析结合这个常识可以得到流量与车速成正比关系

4）每条路径上的行车时间（道路是否优化的标准）

行车时间即为道路的车流数量与车流量的比值

5）时间，流量，路径之间的函数关系

通过上述公式的等效变换我们最终可以得到即

现在我们对最优解下的交通网络列线性方程组，然后求解该线性方程组即可以得到最优解下个路段的交通负载。

该线性方程组的组成分为2部分

（注：由于假设5）中所述对于一个开放的环路内两条树枝对于时间负载均衡，所以沿着该环对时间进行线积分其结果必然是0，那么对于环路就可以用环路定理列出方程组）

由网络图论知识可列有效的节点方程9-1=8个，有效的环路方程5

个，那么13条树枝的最优负载即可通过以下这13个方程进行确定

六、模型求解

我们选择用矩阵运算来求解这个线性方程组，以此得到各个路段之间的车流量,计算结果如下（算法程序见附录）

（行驶速度即为）

其中8,9两条流量为负数表示车流方向与预定方向相反，那么有效的行驶路径就可以是一下8种

a)1-2-3-4-7-0

b)1-2-3-6-7-0

c)1-2-5-6-7-0

d)1-2-5-6-10-0

e)1-2-3-6-10-0

f)1-8-9-10-0

g)1-8-9-5-6-7-0