复合材料力学第二章2PPT课件

耦合效应
1 S11 S12 S13 S14 S15 S16 1
2
S22
S23
S24
S25
S26
2
3 4
S33
S34 S44
S35 S45
S36 S46
3 4
5
sym
6
S55
S56
5
S66 6
6
下面讨论几种特殊情况： 1、如果材料有两个正交的材料性能对称平面， 则与这两个平面相垂直的第三个平面也具有对称 性。这种材料称为正交各向异性材料。刚度矩阵 或柔度矩阵有9个独立常数 下面写出应变-应力关系:
1 S11 S12 S13 0 0 0 1
2
S12
S22
S23
0
0
0
2
34
S13 0
S23 0
S33 0
0 S44
0 0
0 0
3 4
ห้องสมุดไป่ตู้
5
0
0
0
0
S55
0
5
6 0 0 0 0 0 S66 67
2、如果材料的某一平面，比如1-2平面是各向 同性平面，则称这种材料为准各向同性材料。 刚度阵元素下标1和2可互换，因此，独立常数 （柔度阵元素）为5个：
把工程常数表示的柔度矩阵元素代入上面各式得：
1 E2
32 E3
0
0
0
S ij
13 E1
23 E2
0
0
1 E3
0
0
1 G 23
0 0
0
0
1
0
0
00
0
G 31
0
0
0
0
0
1
G 1 2
其中
E1, E2, E3 为1，2，3方向上的弹性模量
G23,G31,G12为2-3，3-1，1-2平面的剪切模量
在 i ，其它分量全为零。
i j 为应力在i方向作用时在j方向产生横向应变的泊松比
ij
j i
根据柔度矩阵的对称性 Sij S ji
可得： i j j i 正交各向异性材料三个互等关系 Ei E j
由此可见：只要知道3个弹性模量和3个泊松比，就可
以计算出另3个泊松比。所以：有9个独立的工程常数
下面用二维图形简单解释一下应力-应变关系
S13S 22
, C 22
S11S 33
S
2 13
S
,
C 23
S 1 2 S 1 3 S S2 3 1 1 S
, C 33
S11S 22 S
S
2 12
C 44
1 S 44
, C 55
1 S 55
, C 66
1 S 66
其中：
S S 1 1 S 2 2 S 3 3 S 1 1 S 2 2 3 S 2 2 S 1 2 3 S 3 3 S 1 2 2 2 S 1 2 S 2 3 S 1 3
S11 S12 S13 0 0
S12 S11 S13 0
0
0
0
Sij S013
S13 0
S33 0
0 S44
0 0
0
0
0 0
0 0
0 0
0 0
S44 0
0
2S11 S12
8
3、退化到各向同性材料，独立常数为2个
S11 S12 S12
0
0
0
S12 S11 S12
0
0
0
Sij S012
或者
2W ji
C ji
W 二次微分与次序无关：所以 Cij C ji
刚度矩阵是一个对称矩阵，独立常数为21个
同样可以证明：W
1 2
Siji
j
广义虎克定律(柔度表达式)：
W i i Sijji,j1,2, 6
同理 S ij S ji 柔度矩阵
柔度矩阵也是一个对称矩阵，有21个独立常数5 。
1
ux,2
yv,3
w z
23
vzwy,31
wx uz ,12
uv y x
3
下面考虑单元体的应变能密度或单位体积的功的增量
dW idi dW C ijjdi
积分得单位体积的功为：
W
1 2
Cij
i
j
一次微分可得虎克定律关系式 ( 刚度表达式):
W
i
i
Cij j
二次微分可得：
2W i j C ij
31 231 12 212
工程剪应变
简写
1 2 3 4 5 6
张量剪应变
工程剪应变
应力-应变关系的广义虎克定律用简写符号表示为：
iC ij j i,j 1 ,26
(1)均匀,(2)正交各向异性, (3)线弹性,(4)小变形
刚度矩阵（共36个分量）
以上由第一, 三条基本假设而得。
由第四条基本假设知：在小变形范围内，应变定义为：
§2-1 各向异性材料的应力-应变关系
简单层板是层合板的基本单元，首先讨论各向异性材 料的应力-应变关系。(在材料主方向坐标系上定义)
应力-应变张量符号与简写符号对照
应力
应变
张量
11
22 33
23 23
31 31
12 12
简写
1 2 3 4 5 6
张量
11
22 33
23 223
S12 0
S11 0
0 2 S11 S12
0 0
0
0
0 0 0 0 0 0
0 0
2S11 S12
0
0
2S11 S12
同样可写出几种特殊材料的刚度矩阵形式及独立常数 个数。
2 S 1 1 S 1 2 2 ( 1 / E / E ) 2 ( 1 ) / E 1 / G
§2-2 正交各向异性材料的工程常数
2
1
1 2 L
1 1
L E1
,
1 2
12 E1
L
L
1 1
2 2 2
1
L
2 1
L
2
1
21
E
21 2
L
,
2
2
L E2
11
E1
,
1 2
12 E1
12
21
21 E2
,
2 2
E2
12
12 G 12
下面推导如何用工程常数表示刚度矩阵, 由于刚度矩阵和柔度矩阵是互为逆矩阵所以有：
➢工程常数包括广义的弹性模量，泊松比，剪切模量 等。 ➢通过简单的材料性能实验可确定出这些工程常数， 试件如何制作，到选用什么样实验方法和夹具都有国 家标准，有专门的复合材料实验力学学科来研究。
正交各向异性材料，柔度矩阵用工程常数来表示：
1
E1
21 E2
31 E3
0
0
0
12 E1
第二章 简单层合板的刚度
§2-1 各向异性材料的应力-应变关系 §2-2 正交各向异性材料的工程常数 §2-3 弹性常数的限制 §2-4 正交各向异性材料平面应力问题
应力-应变关系 §2-5 简单层板偏轴应力—应变关系
§2-6 简单层板偏轴应变——应力关系
§2-7 简单层板偏轴工程弹性常数 §2-8 无限刚度的概念
C11 C12 C13 0 0 0
C12 C22 C23
0
0
0
Cij C013
C23 0
C33 0
0 C44
0 0
0
0
0
0
0
0
C55
0
0 0 0 0 0 C66
i Cij j
14
C11
S 22S33 S
S
2 23
, C12
S13S 23
S12S 33 S
,
C13
S13S 23 S