2.2方差与标准差
方差和标准差的计算
标准差是衡量 数据离散程度 的指标，用于 反映数据的波
动大小。
标准差越大， 数据波动越大； 标准差越小， 数据越趋近于
平均值。
标准差的性质
描述数据离散程度
无单位，与平均值无关
与方差成正比
计算公式为：标准差 = sqrt((1/N) * Σ(xi-μ)^2)
标准差பைடு நூலகம்应用场景
金融领域：评估投资组合的风险 统计学：比较不同数据集的离散程度 质量控制：识别生产过程中的异常值 社会科学：研究不同群体的收入或教育水平的差异
方差和标准差的区别与联系
方差和标准差的区别
方差是数据与平均值之差的平方的平均值，用于衡量数据的离散程度。
标准差是方差的平方根，与方差具有相同的量纲，也可以用于衡量 数据的离散程度。 标准差在数学处理上更加方便，很多统计公式和定理都以标准差的形 式出现。
方差和标准差的区别在于它们的计算方法和量纲不同。
方差和标准差可用于检验数据是 否符合某种分布
方差和标准差在金融领域的应用
风险评估：用于衡量投资组合的风险水平 资产配置：确定不同资产类别的权重，以实现风险和收益的平衡 业绩评估：比较不同投资策略或基金经理的表现，以选择更优的投资方案 资本充足率：评估银行的资本充足情况，确保其具备足够的抵御风险能力
方差的优缺点
优点：可以衡量一组数据的 离散程度，是描述数据稳定 性和可靠性的重要指标。
缺点：对于数据中的异常值 敏感，异常值对方差的影响 较大，可能导致结果失真。
标准差的优缺点
优点：可以衡量一组数据的 离散程度，常用于评估数据 的稳定性。
缺点：对极端值的影响较为 敏感，可能导致评估结果失
真。
如何选择使用方差或标准差
苏科版九年级数学目录
第一章图形与证明（二）
1.1等腰三角形的性质与判定
1.2直角三角形全等的判定
1.3平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质和判定1.4等腰梯形的性质与判定
1.5中位线
第二章数据的离散程度
2.1 极差
2.2 方差与标准差
2.3 用计算器求标准差和方差
第三章二次根式
3.1 二次根式
3.2 二次根式的乘除
3.3 二次根式的加减
第四章二元一次方程
4.1 一元二次方程
4.2 一元二次方程的解法
4.3 用一元二次方程解集问题
第五章中心对称图形（二）
5.1 圆
5.2 圆的对称性
5.3 圆周角
5.4 确定圆的条件
5.5 直线与圆的位置关系
5.6 圆与圆的位置关系
5.7 正多边形与圆
5.8 弧长及扇形的面积
5.9 圆锥的侧面积与全面积
第六章二次函数
6.1 二次函数
6.2 二次函数的图像和性质6.3 二次函数与一元二次方程6.4 二次函数的应用
第七章锐角三角函数
7.1 正切
7.2 正弦，余弦
7.3 特殊角的三角函数
7.4 由三角函数值求锐角
7.5 解直角三角形
7.6 锐角三角函数的简单应用
第八章统计的简单应用
8.1 货比三家
8.2 中学生的视力情况检查
第九章概率的简单应用
9.1 抽签方法合理吗？
9.2 概率帮你做估计
9.3 保险公司怎样才能不亏本。
上课第二课时222方差与标准差
B．平均数
C．中位数
D．标准差
【解析】对样本中每个数据都加上一个非零常数时不改变 样本的方差和标准差，众数、中位数、平均数都发生改变
走进高考
3.(2012广东)由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4， 其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为1_,_1_,_3_,3_
(从小到大排列)
8，8，9，10，所以平均数为
x 8 8 9 10 35 ;
4
4
方差为s2 1 [(8 35)2 (9 35)2 (10 35)2 ] 11
44
4
4 16
【解析】(1)当X=8时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是:8,8,9,10.
所以平均数为
x = 8 8= 49 ; 10
21172
21152
21 242
7
21 222
21
232
21 32 2
236 7
S乙2
21122
21132
7
... 21302
466 7
S甲 2 S乙 2 ,从而甲运动员的成绩更稳定
解题
1．平均数和方差都是重要的数字特征，是对总体一种简明的阐 述，平均数反映了数据的中心，是平均水平，而方差和标准差 反映的是数据的稳定程度．进行均值与方差的计算，关键是正 确运用公式． 2．平均数与方差所反映的情况有着重要的实际意义，一般可以 通过比较甲、乙两组样本数据的平均数和方差的差异，对甲、 乙两品种可以做出评价或选择
个,它们是:
考纲解读 典例精析
命题预测 技巧归纳
知识盘点 真题探究
九年级数学 2.2方差与标准差
3 (1)某样本的方差是9，则标准差是______
(2)一个样本的方差是
1 S [( x1 8)2 ( x2 8)2 ( x100 8)2 ] 100
2
8 100 ，平均数是____ 则这个样本中的数据个数是____
(3) 人数相同的九年级甲、乙两班学生在同一次
初中数学九年级上册 （苏科版）
2.2方差和标准差
扬中市梅岭中学
A厂： 40.0，39.9，40.0，40.1，40.2，(单位：mm) 39.8，40.0，39.9，40.0，40.1； B厂： 39.8，40.2，39.8，40.2，39.9， 40.1，39.8，40.2，39.8，40.2。
已知三组数据1、2、3、4、5；11、12、13、14、15
和3、6、9、12、15。 1、求这三组数据的平均数、方差和标准差。
平均数 1、2、3、4、5 11、12、13、14、15 3、6、9、12、15 方差 标准差
3 13 9
2 2 18
√2 √2 3√2
2、对照以上结果，你能从中发现哪些有趣的结论？ 想看一看下面的问题吗？
0
0.1 0.2 -0.2
0.1
Байду номын сангаасx1
数据
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
x10
B厂
39.8 40.2 39.8 40.2 39.9 40.1 39.8 40.2 39.8 40.2
与平 均数 的差
-0.2 0.2 -0.2 0.2 -0.1 0.1 -0.2 0.2
-0.2 0.2
在一组数据中x1,x2…xn，个数据与它们的平均数分别 是 (x1－x)2, (x2－x)2 …, (xn－x)2 ，
2.2《方差与标准差》教 案 设 计
今天我们一起来探索这个问题。
学生思考计算
从学生熟悉的生活入手，提出问题，引导学生进入新知识的学习，创造一种探索的情境。
通过动手操作观察能更好地促进学生对数学知识的进一步理解。
2
分
钟
数学活动
通过计算发现极差只能反映一组数据中两个极值之间的大小情况，而对其他数据的波动情况不敏感。让我们一起来做下列的数学活动：
1画一画
2填一填A厂
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
X9
X10
数据
与平均值差
B厂
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
X9
X10
数据
与平均值差
3算一算
把所有差相加，把所有差取绝对值相加，把这些差的平方相加。
4想一想
你认为哪种方法更能明显反映数据的波动情况？
学生动笔
学生每两组展开活动。
10
分
钟
师生交流
揭示新知
（3）为什么要除以数据个数n？（是为了消除数据个数的影响）．
5．初步运用
在学生理解了方差概念之后，再回到了引例中，通过计算机床甲、乙两组数据的方差，再根据理论说明哪个机床做得更好？
Ｐ４６
（二）标准差
1．问题：
方差的单位与愿数据的单位相同吗？应该如何办？
2．引出新知----标准差概念
在有些情况下，需要用到方差的算术平方根，即
感知
方差
解决学
生疑问
感知
方差
20
分
钟
实际应用
巩固新知
标准差和方差公式
标准差和方差公式
标准差公式：σ = 根号(Σ(x－x)² / N)
方差公式：σ²= Σ(x－x)² / N
其中σ为标准差，Σ(x-x)²表示所有样本值与平均值之差的平方和，N表示样本数量。
以上两个公式都是求涉及到多个值时，它们之间的离散程度或波动性程度的指标。
标准差表示一组数据的离散程度，是描述数据分布情况的指标，它通过计算所有样本值与其平均值之差的绝对值的平方值的平均数，在此基础上求出根号，得出的就是标准差。
它体现了一组数据的平均偏差程度。
而方差则是指一组数据的波动程度，也即各个值与其平均值之差的平方值的平均数，它可以反映一组数据的离散程度，也可以说它是用来衡量一组数据离散程度的度量。
综上所述，标准差和方差都是用来衡量一组数据之间的离散程度和波动情况的量化指标，它们的公式分别为：σ = 根号(Σ(x
－x)² / N) 和σ² = Σ(x－x)² / N，其中σ表示标准差，Σ(x-x)²表
示所有样本值与平均值之差的平方和，N表示样本数量。
标准差与方差的区别
标准差与方差的区别标准差和方差是统计学中常用的两个概念，它们都是用来衡量数据的离散程度的。
虽然它们都能够反映数据的波动程度，但是它们在计算方法和解释上有所不同。
在实际应用中，了解标准差和方差的区别对于正确理解数据的分布和波动具有重要意义。
首先，我们来看一下方差的定义和计算方法。
方差是一组数据与其平均值之间差异的平方和的平均值。
方差的计算公式为，方差= Σ(Xi μ)² / N，其中Xi代表每个数据点，μ代表数据的平均值，N代表数据的个数。
方差的计算过程中，首先计算每个数据点与平均值的差异，然后将差异的平方求和并除以数据个数，得到方差的值。
方差的计算过程中，将数据与平均值的差异进行了平方处理，这样做的好处是可以消除正负差异，使得数据的波动程度更加明显。
与方差相比，标准差是方差的平方根。
标准差的计算公式为，标准差= √(Σ(Xi μ)² / N)。
在实际应用中，标准差通常被用来衡量数据的波动程度。
标准差的计算方法与方差类似，只是最后需要对方差的值进行开方操作。
标准差的计算结果与原始数据的单位保持一致，这使得标准差更容易被理解和解释。
在解释数据的波动程度时，方差和标准差都可以发挥作用。
然而，由于方差是数据与平均值之间差异的平方和的平均值，因此它的数值通常会比较大。
而标准差是方差的平方根，因此它的数值通常会比较小。
在实际应用中，标准差更容易被理解和解释，因此在解释数据的波动程度时，标准差更为常用。
除了计算方法和解释上的区别，方差和标准差在实际应用中也有着不同的作用。
在统计学和财务领域，方差通常被用来衡量数据的波动程度，而标准差则更常用于风险评估和投资决策。
在自然科学和工程领域，标准差通常被用来衡量数据的稳定性和精度，而方差则更常用于数据分布的分析和模型的建立。
综上所述，标准差和方差在统计学中都是重要的概念，它们都能够反映数据的波动程度。
然而，它们在计算方法、解释和实际应用中都有所不同。
2、2、2、2标准差、方差学案
2、2、2、2标准差、方差教案讲义编写者：数学教师孟凡洲平均数为我们提供了样本数据的重要信息,但是,有时平均数也会使我们作出对总体的片面判断.某地区的统计显示,该地区的中学生的平均身高为176 cm,给我们的印象是该地区的中学生生长发育好,身高较高.但是,假如这个平均数是从五十万名中学生抽出的五十名身高较高的学生计算出来的话,那么,这个平均数就不能代表该地区所有中学生的身体素质.因此,只有平均数难以概括样本数据的实际状态.所以我们学习从另外的角度来考察样本数据的统计量——标准差.一、【学习目标】1、理解标准差、方差的真正含义；2、会用标准差、方差解决简单的题目.二、【自学内容和要求及自学过程】 阅读教材内容，回答问题（标准差、方差） <1>什么是样本平均值？<2>什么是样本标准差和方差？ 结论：<1>样本平均值：nx x x x n+++=21<2>样本标准差：nx x x x x x s s n 222212)()()(-++-+-==小知识帮您解决大问题1o 用样本估计总体时，如果抽样的方法比较合理，那么样本可以反映总体的信息，但从样本得到的信息会有偏差.在随机抽样中，这种偏差是不可避免的.虽然我们用样本数据得到的分布、均值和标准差并不是总体的真正的分布、均值和标准差，而只是一个估计，但这种估计是合理的，特别是当样本量很大时，它们确实反映了总体的信息.2o ①如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数，标准差不变.②如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数k ，标准差变为原来的k 倍.③一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响，区间)3,3(s x s x +-的应用；“去掉一个最高分，去掉一个最低分”中的科学道理.三、【综合练习与思考探索】例1 画出下列四组样本数据的条形图,说明它们的异同点.(1)5,5,5,5,5,5,5,5,5；(2)4,4,4,5,5,5,6,6,6；(3)3,3,4,4,5,6,6,7,7；(4)2,2,2,2,5,8,8,8,8.结论：先画出数据的条形图,根据样本数据算出样本数据的平均数,利用标准差的计算公式即可算出每一组数据的标准差.四组样本数据的条形图如下：四组数据的平均数都是5.0,标准差分别是：0.00,0.82,1.49,2.83.它们有相同的平均数,但它们有不同的标准差,说明数据的分散程度是不一样的.例2甲、乙两人同时生产内径为25.40 mm的一种零件.为了对两人的生产质量进行评比,从他们生产的零件中各抽出20件,量得其内径尺寸如下(单位:mm):甲25.46 25.32 25.45 25.39 25.3625.34 25.42 25.45 25.38 25.4225.39 25.43 25.39 25.40 25.4425.40 25.42 25.35 25.41 25.39乙25.40 25.43 25.44 25.48 25.4825.47 25.49 25.49 25.36 25.3425.33 25.43 25.43 25.32 25.4725.31 25.32 25.32 25.32 25.48从生产的零件内径的尺寸看，谁生产的质量较高?结论：每一个工人生产的所有零件的内径尺寸组成一个总体.由于零件的生产标准已经给出(内径25.40 mm),生产质量可以从总体的平均数与标准差两个角度来衡量.总体的平均数与内径标准尺寸25.40 mm 的差异大时质量低,差异小时质量高;当总体的平均数与标准尺寸很接近时,总体的标准差小的时候质量高,标准差大的时候质量低.这样,比较两人的生产质量,只要比较他们所生产的零件内径尺寸所组成的两个总体的平均数与标准差的大小即可.但是,这两个总体的平均数与标准差都是不知道的,根据用样本估计总体的思想,我们可以通过抽样分别获得相应的样本数据,然后比较这两个样本的平均数、标准差,以此作为两个总体之间差异的估计值.用计算器计算可得甲x ≈25.401，乙x ≈25.406;s 甲≈0.037,s 乙≈0.068.从样本平均数看,甲生产的零件内径比乙的更接近内径标准(25.40 mm),但是差异很小;从样本标准差看,由于s 甲<s 乙,因此甲生产的零件内径比乙的稳定程度高得多.于是,可以作出判断,甲生产的零件的质量比乙的高一些.从上述例子我们可以看到,对一名工人生产的零件内径(总体)的质量判断,与所抽取的零件内径(样本数据)直接相关.显然,我们可以从这名工人生产的零件中获取许多样本.这样,尽管总体是同一个,但由于样本不同,相应的样本频率分布与平均数、标准差等都会发生改变,这就会影响到我们对总体情况的估计.如果样本的代表性差,那么对总体所作出的估计就会产生偏差;样本没有代表性时,对总体作出错误估计的可能性就非常大.这也正是我们在前面讲随机抽样时反复强调样本代表性的理由.在实际操作中,为了减少错误的发生,条件许可时,通常采取适当增加样本容量的方法.当然,关键还是要改进抽样方法,提高样本的代表性.例3、甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单2结论：甲品种的样本平均数为10,样本方差为［（9.8-10）2 +（9.9-10）2+（10.1-10）2+（10-10）2+（10.2-10）2］÷5=0.02.乙品种的样本平均数也为10,样本方差为［（9.4-10）2+（10.3-10）2+（10.8-10）2+（9.7-10）2+（9.8-10）2］÷5=0.24.因为0.24>0.02,所以,由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定.练习题：①在一次歌手大奖赛上,七位评委为歌手打出的分数如下：9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为____________.②若给定一组数据x1,x2,…,x n,方差为s2,则ax1,ax2,…,ax n的方差是____________.③在相同条件下对自行车运动员甲、乙两人进行了6次测试,测得他们的最大速度(单位：m/s)的数据如下：试判断选谁参加某项重大比赛更合适？④某养鱼专业户在一个养鱼池放入一批鱼苗,一年以后准备出售,为了在出售以前估计卖掉鱼后有多少收入,这个专业户已经了解到市场的销售价是每千克15元,请问,这个专业户还应该了解什么？怎样去了解？请你为他设计一个方案.⑤某课外活动小组对该市空气含尘调查，下面是一天每隔两小时测得的数据：0.03、0.03、0.04、0.05、0.01、0.03(单位3M G )（1）求出这组数据的众数和中位数？（2）若国标（国家环保局的标准）是平均值不得超过0.0253M G ；问这一天城市空气是否符合标准？⑥从甲、乙两种玉米中各抽10株，分别测得它们的株高如下：甲：25、41、40、37、22、14、19、39、21、42；乙：27、16、44、27、44、16、40、40、16、40；问：（1）哪种玉米的苗长得高？（2）哪种玉米的苗长得齐？结论：①9.5,0.016 ②a 2s 2③甲x ＝33，乙x ＝33，33734722=>=乙甲s s ,乙的成绩比甲稳定,应选乙参加比赛更合适.④这个专业户应了解鱼的总重量,可以先捕出一些鱼（设有x 条）,作上标记后放回鱼塘,过一段时间再捕出一些鱼（设有a 条）,观察其中带有标记的鱼的条数,作为一个样本来估计总体,则鱼塘中鱼的总条数鱼的条数鱼塘中所有带有标记的条鱼中带有标记的条数)(x a a =这样就可以求得总条数,同时把第二次捕出的鱼的平均重量求出来,就可以估计鱼塘中的平均重量,进而估计全部鱼的重量,最后估计出收入.⑤（1）由题知众数是0.03，中位数为0.03；（2）这一天数据平均数是∵ 0.03>0.025∴ 这一天该城市空气不符合国标.⑥分析：看哪种玉米的苗长得高，只要比较 甲、乙两种玉米的均高即可；要比较哪种玉米的苗长得齐，只要看两种玉米高的方差即可，因为方差是体现一组数据波动大小的特征数.（1）-甲X =101（25+41+40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42）＝30；－乙X =101（27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40）＝31，-甲X <－乙X （2）可运算 2S 甲＝104.2，2S 乙＝128.8∴ 2S 甲<2S 乙所以乙种玉米苗长得高，甲种玉米的苗长得齐. 四、【作业】1、必做题：习题2.2A 组4、5、6、7,B 组1、22、选做题：某地区全体九年级的3 000名学生参加了一次科学测试,为了估计学生的成绩,从不同学校的不同程度的学生中抽取了100名学生的成绩如下：100分12人,90分30人,80分18人,70分24人,60分12人,50分4人.请根据以上数据估计该地区3 000名学生的平均分、合格率（60或60分以上均属合格）. 五、【课后练习】 一、选择题1. 下列说法正确的是：(A)甲乙两个班期末考试数学平均成绩相同，这表明这两个班数学学习情况一样(B)期末考试数学成绩的方差甲班比乙班的小，这表明甲班的数学学习情况比乙班好(C)期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同，方差甲班比乙班大，则数学学习甲班比乙班好(D)期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同，方差甲班比乙班小，则数学学习甲班比乙班好 2. 一组数据的方差是2s ，将这组数据中的每一个数据都乘以2，所得到的一组数据的方差是（ ）Ａ. 22s ； Ｂ. 22s ； Ｃ．24s ； Ｄ．2s二填空题3. 如果14：有6个数4，x , －1 ,y , z 6,它们的平均数为5，则x,y,z 三个数的平均数为___________________4、数据12n x x x ⋅⋅⋅，，的平均数为x ，方差为2s 中位数为a ，则数据1233n x x x ⋅⋅⋅+5，3+5，+5的平均数、标准差、方差、中位数分别为____________________三、解答题5．下面是两个学生的五次英语测试成绩：试用平均数与方差分析两位同学的英语成绩，并说明那一位同学的英语成绩比较稳定？。
方差和标准差的关系公式
方差和标准差的关系公式方差和标准差，这俩家伙在数学世界里可是一对重要的“小伙伴”。
咱们先来说说方差，方差是各个数据分别与其平均数之差的平方之和的平均数。
这听起来有点绕口，举个例子啊，比如说有一组数：5、8、10、12、15，它们的平均数是 10。
那每个数与平均数 10 的差的平方分别是：(5 - 10)² = 25，(8 - 10)² = 4，(10 - 10)² = 0，(12 - 10)² = 4，(15 - 10)² = 25 。
然后把这些平方差加起来：25 + 4 + 0 + 4 + 25 = 58 ，再除以数据的个数 5 ，得到方差就是 11.6 。
再来说标准差，标准差其实就是方差的平方根。
还是刚才那组数，方差是 11.6 ，那标准差就是根号下 11.6 ，约等于 3.41 。
记得我之前教过一个学生，叫小李。
这孩子啊，数学基础不算差，可就是一碰到方差和标准差就犯迷糊。
有一次做作业，关于方差和标准差的题目错了一大半。
我就找他来，问他：“小李啊，你觉得方差和标准差咋就这么难理解呢？”他挠挠头说：“老师，我就是弄不明白这俩到底有啥用，感觉好复杂。
”我一听，明白了，这孩子是没搞清楚这俩概念的实际意义。
于是我就给他举了个例子，我说：“你看啊，咱们班这次考试的成绩，平均分是 80 分。
那通过计算方差和标准差，就能知道大家的成绩分布得是不是均匀。
如果方差小，标准差也小，就说明大家的成绩都差不多，比较集中；要是方差大，标准差也大，那就说明成绩差距比较大，有的同学考得特别好，有的同学就不太理想。
这是不是就能帮助老师了解大家的学习情况，然后有针对性地进行辅导呀？”小李听了，眼睛一亮，说：“老师，好像有点明白了。
”从那以后，我给他布置了一些专门针对方差和标准差的练习题，他慢慢就掌握了。
说回方差和标准差的关系公式，简单来说，标准差就是方差的算术平方根。
这就好比一个人的身高和体重，身高是方差，体重是标准差，虽然是两个不同的指标，但其实有着密切的关联。
2.2方差与标准差
4 (1) 数据1、2、3、4、5的方差是_____
（2）A组：0、10、5、5、5、5、5、5、5、5
极差是_______,方差是_______
B组：4、6、3、7、2、8、1、9、5、5
极差是________,方 差是_______
5、已知一组数据ｘ1，ｘ2，…，ｘn的方差是
a.
则数据ｘ1 － 4、ｘ2 － 4，…，ｘn－4的方差 是 .
7 8 9
.
.
. .
.
. .
.
.
40.3
4
40.2
40.1
40.0
.
6 7 8
39.9
.
9 10
39.8
5
39.7
6
10
1
2
3
4
5
A厂
B厂
如何更加精确地描述两组数据相对于平均数的波动 情况？请填表（见课本P45-46） ： x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 A
数 据
40.0 39.9 40.0 40.1 40.2 39.8 40.0 39.9 40.0 40.1
3）你认为用极差来表示一组数据的离散程度有 哪些缺点？ 极差只能反映一组数据中两个极值之间的大小 情况，而对其他数据的波动情况不敏感，易受 特殊数据的影响。 4）为避免特殊数据的影响，你认为考虑这两组 数据相对于什么数的波动情况较合适？
平均数
作图：将上述数据绘制成图
. . .
1 2 3
.
. .
. . .
2)谈谈方差的作用
方差可以反映一组数据的离散程度，一般来 说，一组数据的方差越小，这组数据离散程 度越小，这组数据就越稳定。
方差和标准差的计算
方差和标准差的计算方差和标准差是统计学中常用的两个概念，它们可以帮助我们衡量数据的离散程度和波动程度。
在实际应用中，我们经常需要计算方差和标准差来分析数据的稳定性和变化程度。
本文将介绍方差和标准差的计算方法，希望能够帮助读者更好地理解和运用这两个重要的统计指标。
方差的计算方法。
方差是衡量数据离散程度的一个重要指标，它可以告诉我们数据的波动程度。
在统计学中，方差的计算公式如下：\[Var(X) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i \overline{X})^2\]其中，\(X_i\) 表示第 i 个数据点，\(\overline{X}\) 表示数据的均值，n 表示数据的总个数。
方差的计算步骤如下：1. 计算数据的均值 \(\overline{X}\)；2. 将每个数据点与均值的差值进行平方；3. 求平方差的平均值，即为方差。
标准差的计算方法。
标准差是方差的平方根，它也是衡量数据波动程度的重要指标。
标准差的计算公式如下：\[SD(X) = \sqrt{Var(X)}\]其中，SD(X) 表示数据的标准差，Var(X) 表示数据的方差。
标准差的计算步骤如下：1. 首先计算数据的方差；2. 对方差取平方根，即为标准差。
示例分析。
为了更好地理解方差和标准差的计算方法，我们通过一个简单的示例来演示具体的计算步骤。
假设我们有以下一组数据，{3, 5, 7, 9, 11}，我们将按照上述步骤计算该组数据的方差和标准差。
首先，计算数据的均值：\[\overline{X} = \frac{3 + 5 + 7 + 9 + 11}{5} = 7\]然后，计算每个数据点与均值的差值的平方：\[(3-7)^2 = 16, (5-7)^2 = 4, (7-7)^2 = 0, (9-7)^2 = 4, (11-7)^2 = 16\]接下来，求平方差的平均值，即为方差：\[Var(X) = \frac{1}{5}(16 + 4 + 0 + 4 + 16) = \frac{40}{5} = 8\]最后，对方差取平方根，即为标准差：\[SD(X) = \sqrt{8} \approx 2.83\]通过以上计算，我们得到该组数据的方差为 8，标准差为约 2.83。
2.2 方差与标准差学案
与平均 值的差 3、算一算 把所有差相加，把所有差取绝对值相加，把这些差的平方相加。 4、想一想 你认为哪种方法更能明显反映数据的波动情况？ （一） 方差： 1、描述一组数据的离散程度可以采取许多方法，在统计中常采用先求这组数据的
1
平均数，再求这组数据与平均数的差的平方和的平均数，用这个平均数来衡量这组数据 的波动大小： 设在一组数据x 1 ，x 2 ，…，x n 中，各数据与它们的平均数 x 的差的平方分别是（x 1 ― 1 x ）2， （x 2 ― x ）2，…（x n － x ）2，那么我们求它们的平均数，即用s2 = [（x 1 ― x ）2 n 2 2 ＋（x 2 ― x ） ＋…＋（x n － x ） ]来表示 2、请你归纳一下方差概念，并说说公式中每一个元素的意义。 3、谈谈方差的作用？（衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差。 一组数据方差越大，说明这组数据波动越大。 ） 4、说说你的疑问： （1）为什么要这样定义方差？（教师引导，在表示各数据与其平均数的偏离程度 时，为了防止正偏差与负偏差的相互抵消） （2）为什么对各数据与其平均பைடு நூலகம்的差不取其绝对值，而要将它们平方？（教师引 导，这主要是因为在很多问题里，含有绝对值的式子不便于运算，且在衡量一组数据波 动大小的“功能”上，方差更强些） （3）为什么要除以数据个数 n？（是为了消除数据个数的影响） 5、初步运用 理解了方差概念之后，再回到了引例中，通过计算机床甲、乙两组数据的方差，再 根据理论说明哪个机床做得更好？ （二）标准差 1、问题：方差的单位与原数据的单位相同吗？应该如何办？ 2、引出新知 —— 标准差概念 在有些情况下，需要用到方差的算术平方根，即 1 它也是一个 s [( x x) ( x x) ( x x) ] 并把它叫做这组数据的标准差。 n 用来衡量一组数据的波动大小的重要的量。
标准差与方差公式
标准差与方差公式
标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差，公式所示：标准差：σ=sqrt(((x1-x)^2 +(x2-x)^2 +......(xn-x)^2)/n )；方差的公式为：s^2=[(x1-x)^2 +...(xn-x)^2]/n。
标准差可以当作不确定性的一种测量。
例如在物理科学中，做重复性测量时，测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。
当要决定测量值是否符合预测值，测量值的标准差占有决定性重要角色：如果测量平均值与预测值相差太远（同时与标准差数值做比较），则认为测量值与预测值互相矛盾。
这很容易理解，因为如果测量值都落在一定数值范围之外，可以合理推论预测值是否正确。
标准差应用于投资上，可作为量度回报稳定性的指标。
标准差数值越大，代表回报远离过去平均数值，回报较不稳定故风险越高。
相反，标准差数值越小，代表回报较为稳定，风险亦较小。
标准差与方差的区别
标准差与方差的区别
标准差和方差是统计学中常用的两个概念，它们都是用来衡量数据的离散程度的。
尽管它们都是用来衡量数据的离散程度，但它们有着不同的计算方法和适用场景。
在实际应用中，了解它们的区别对正确理解和分析数据至关重要。
首先，让我们来看看方差。
方差是一组数据与其平均值之差的平方和的平均值。
它的计算公式为，方差 = Σ(xi μ)² / N，其中xi代表每个数据点，μ代表平均值，N代表数据点的个数。
方差的计算方法使得它能够反映数据的离散程度，它越大表示数据越分散，反之则表示数据越集中。
接下来，我们来看看标准差。
标准差是方差的平方根，它的计算公式为，标准
差 = √方差。
标准差与方差的计算方法相似，但是它的单位与原始数据的单位相同，这使得标准差更容易理解和比较。
在实际应用中，标准差通常用来衡量数据的波动程度，它越大表示数据的波动越大，反之则表示数据的波动越小。
从上面的介绍可以看出，方差和标准差的计算方法有所不同，但它们都是用来
衡量数据的离散程度的。
在实际应用中，我们可以根据具体的情况选择使用方差还是标准差来描述数据的离散程度。
如果我们只是简单地想了解数据的离散程度，可以使用方差；如果我们需要将数据的离散程度与原始数据的单位进行比较，可以使用标准差。
总的来说，方差和标准差都是重要的统计指标，它们都能够帮助我们更好地理
解和分析数据。
在实际应用中，我们需要根据具体的情况选择合适的指标来描述数据的离散程度，这样才能更准确地理解数据的特点和规律。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解和运用方差和标准差这两个重要的统计指标。
标准差与方差的区别
标准差与方差的区别标准差和方差是统计学中常用的两个概念，它们都是用来衡量数据的离散程度的。
虽然它们都可以用来描述数据的变异程度，但是它们之间存在着明显的区别。
在本文中，我们将详细介绍标准差和方差的区别，并且讨论它们在实际应用中的意义和作用。
首先，让我们来了解一下方差的概念。
方差是指各个数据与所有数据的平均数之差的平方值的平均数，它是衡量数据分散程度的一种方法。
方差越大，表示数据的离散程度越大；方差越小，表示数据的离散程度越小。
方差的计算公式如下：\[ \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x_i \overline{x})^2 \]其中，\[ \sigma^2 \]表示方差，\[ x_i \]表示第i个数据，\[ \overline{x} \]表示所有数据的平均数，n表示数据的个数。
与方差相比，标准差是方差的平方根，它的计算公式如下：\[ \sigma = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x_i \overline{x})^2} \]标准差的计算公式与方差的计算公式非常相似，唯一的区别就是在计算完方差之后，需要对结果进行开方操作。
标准差的单位与原始数据的单位相同，这使得标准差更容易理解和解释。
在实际应用中，方差和标准差都是用来衡量数据的离散程度的。
但是它们之间的区别在于，方差的数值会受到原始数据单位的影响，而标准差的数值则不会受到原始数据单位的影响。
这意味着，如果原始数据的单位发生变化，方差的数值也会随之变化，而标准差的数值则保持不变。
此外，标准差还具有一种直观的解释，它可以告诉我们数据的大致分布范围。
一般来说，如果数据的标准差较大，那么数据的分布范围也会较大；反之，如果数据的标准差较小，那么数据的分布范围也会较小。
综上所述，标准差和方差都是用来衡量数据的离散程度的，它们之间的区别在于计算公式和数值的单位。
在实际应用中，我们可以根据具体的情况选择使用方差还是标准差来描述数据的变异程度。
福建省仙游第一中学2015-2016学年人教A版高中数学必修三课件：2.2.2-2方差、标准差
x甲 25.401 s甲 0.037
x乙 25.406
s乙 0.068
甲生产的零件内径更接近内径标准，且稳定程 度较高，故甲生产的零件质量较高.
说明：1.生产质量可以从总体的平均数与标准差两 个角度来衡量，但甲、乙两个总体的平均数与标 准差都是不知道的，我们就用样本的平均数与标 准差估计总体的平均数与标准差.
x b，方差仍为 s2 ．
（2）新数据 ax1, ax2 ,, axn的平均数为 ax ，
方差为 a2s2 ．
（3）新数据 ax1 b, ax2 b,, axn b
的平均数为 ax b ，方差为 a2s2．
第二十页，编辑于星期日：十九点 一分。
练习：
(1)若x1, x2 , , xn的方差为4，那么 x1 3, x2 3, , xn 3的方差为 _4___
(2)若x1, x2 , , xn的方差为2，那么 这组数据均乘以4后的方差为 _3_2__
（3）若k1,k2,…, k8的方差为3，则2(k1－3), 2(k2－3), …, 2(k8－3)的方差为___1_2____
第二十一页，编辑于星期日：十九点 一分。
4.在数据统计中，能反映一组数据变化
（1）方差：设在一组数据，x1，x2，…， xn中，各数据与它们的平均数x的差的平方 分别是 (x1 x )2 , (x2 x )2, , (xn x )2
那么我们用它们的平均数，即
s2
1 n [(x1
x )2
( x2
x )2
(xn x )2 ]
来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做
这组数据的方差，一组数据方差越大，则这
例题分析 例1. 计算数据5，7，7，8，10，11的标准差.
2.2方差与标准差
②数据a1-3，a2 -3，a3 -3 ，…，an -3的平均数为 ----------，方差为--------，
标准差为----------。
标准差为----------。
3Z
Y
Z ③数据3a1，3a2 ，3a3 ，…，3an的平均数为-----------，方差为-----------， 3X 9Y
布置作业
课本P48习题2.2的第1,2题.
巩固练习
已知三组数据1、2、3、4、5；11、12、13、14、15
和3、6、9、12、15。 1、求这三组数据的平均数、方差和标准差。
平均数 1、2、3、4、5 11、12、13、14、15 3、6、9、12、15 方差 标准差
3 13 9
2 2 18
2
在一组数据中,各数据与它们平均数的差的平方的平 均数叫做方差.
2.2 方差与标准差
例题分析
乒乓球的标准直径为40mm,质检部门从A、B两厂生产的乒乓球中各 抽取了10只,对这 些乒乓球的直径进行了检测.结果如下(单位：mm)： A厂：40.0，39.9，40.0，40.1，40.2，39.8，40.0，39.9，40.0，40.1； B厂：39.8，40.2，39.8，40.2，39.9，40.1，39.8，40.2，39.8，40.2.
√2 √2 3√2
2、对照以上结果，你能从中发现哪些有趣的结论？ 想看一看下面的问题吗？
巩固练习
请你用发现的结论来解决以下的问题：
已知数据a1，a2，a3，…，an的平均数为X，方差为Y标准差为Z。则 标准差为----------。
Z X-3
Y ①数据a1+3，a2 + 3，a3 +3 ，…，an +3的平均数为X+3 ，方差为-------， --------
标准差与方差的区别
标准差与方差的区别标准差和方差是统计学中常用的两个概念，它们都是用来衡量数据的离散程度的。
虽然它们都可以反映数据的离散程度，但是它们的计算方法和应用场景有所不同。
接下来，我们将对标准差和方差进行深入的比较和解析，帮助大家更好地理解它们之间的区别。
首先，让我们来了解一下方差。
方差是一组数据与其平均值之差的平方和的平均值。
它的计算公式为，方差= Σ(xi μ)² / N，其中xi代表每个数据点，μ代表数据的平均值，N代表数据的个数。
方差的计算过程比较简单，它可以直观地反映出数据的离散程度，但是由于方差是对数据的平方求和，所以它的单位是数据单位的平方，这在实际应用中可能不太直观。
与方差相比，标准差在计算方法上更为直观和实用。
标准差是方差的平方根，它的计算公式为，标准差= √(Σ(xi μ)² / N)。
标准差的计算过程中先对数据与平均值的差值进行平方求和，然后再对结果取平方根，这样得到的标准差就是数据的标准离散程度。
由于标准差是对方差的平方根，所以它的单位和原始数据的单位是一样的，这样在实际应用中更容易理解和比较。
在实际应用中，方差和标准差都是用来衡量数据的离散程度的，但是它们的应用场景有所不同。
方差更多地用于描述数据的分布情况，而标准差更多地用于度量数据的波动程度。
比如在投资领域，标准差常用来衡量资产价格的波动程度，而方差则更多地用来描述资产收益的分布情况。
在质量控制领域，标准差常用来度量产品质量的稳定性，而方差则更多地用来描述产品质量的差异程度。
在数据分析和统计学中，选择使用方差还是标准差取决于具体的应用场景和需求。
在某些情况下，方差更适合用来描述数据的分布情况，而在另一些情况下，标准差更适合用来度量数据的波动程度。
因此，我们在实际应用中需要根据具体情况选择合适的指标来衡量数据的离散程度。
综上所述，标准差和方差都是用来衡量数据的离散程度的重要指标，它们在计算方法和应用场景上有所不同。
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§2、1 方差与标准差审核人：戴蔚
【目标导航】
1．经历刻画数据离散程度的探索过程，感受表示数据离散程度的必要性.
2．掌握方差和标准差的概念，卉计算方差和标准差，理解它们的统计意义.
3．经历探索极差、方差的应用过程，体会数据波动中的极差、方差的求法时以及区别，积累统计经验.
【要点梳理】
1．我们知道极差只能反映一组数据中两个之间的大小情况，而对其他数据的波动情况不敏感.
2．描述一组数据的离散程度可以采取许多方法，在统计中常采用先求这组数据的，再求这组数据与的差的的平均数，用这个平均数来衡量这组数据的波动性大小
3．设在一组数据X1，X2，X3，X4，……X N中，各数据与它们的平均数的差的平方分别是（X1- ）2，（X2- ）2，（X3-
）2，……，（X n- ）2,,那么我们求它们的平均数，即用S2= .
4．一组数据方差的算术平方根叫做这组数据的。
5．方差是描述一组数据的特征数，可通过比较其大小判断波动的大小，方差说明数据越稳定，6．为什么要这样定义方差？
7．为什么要除以数据的个数n?
8．标准差与方差的区别和联系？
【问题探究】
知识点1.探究计算数据方差和标准差的必要性
例1.质检部门从A、B两厂生产的乒乓球中各抽取了10只，对这些乒乓球的直径进行了检测，结果如下（单位：mm）A厂：40.0 ，39.9 ，40.0 ，40.1 ，40.2 ，39.8 ，40.0 ，39.9 ，40.0 ，40.1
B厂：39.8 ，40.2 ，39.8 ，40.2 ，39.9 ，40.1 ，39.8 ，40.2 ，39.8 ，40.2
思考探索：1、请你算一算它们的平均数和极差？
2、根据它们的平均数和极差，你能断定这两个厂生产的乒乓球直径同样标准吗？
3、观察根据上面数据绘制成的下图，你能发现哪组数据较稳定吗？
直径/mm 直径/mm
A 厂
B 厂
知识点2.如何计算一组数据的方差和标准差
例2.在一组数据中x 1、x 2、x 3…x n 中，它们与平均数的差的平方是(x 1－)2, (x 2－)2 , (x 3－)2 , …, (x n －)2
.
我们用它们的平均数，即用S 2=1N [(x 1－)2＋(x 2－)2 ＋(x 3－)2…＋(x n －)2
]来描述这组数据的离散程度，
并把它叫做这组数据的 .
在有些情况下，需要用方差的算术平方根，即 来描述一组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的标准差.
【变式】甲、乙两台机床生产同种零件，10天出的次品分别是：
甲：0、1、0、2、2、0、3、1、2、4 乙：2、3、1、2、0、2、1、1、2、1
分别计算出两个样本的平均数和方差，根据你的计算判断哪台机床的性能较好？
知识点3.
例3.已知，一组数据x 1,x 2,……，x n 的平均数是10，方差是2，
①数据x 1+3,x 2+3,……，x n +3的平均数是 方差是 ， ②数据2x 1,2x 2,……，2x n 的平均数是 方差是 ， ③数据2x 1+3,2x 2+3,……，2x n +3的平均数是 方差是 ，
你能找出数据的变化与平均数、方差的关系吗？
【课堂操练】
1、一组数据：2-，1-，0，x ，1的平均数是0，则x = .方差=2
S . 2、如果样本方差[]
242322212
)2()2()2()2(4
1
-+-+-+-=x x x x S
， 那么这个样本的平均数为 .样本容量为 .
3、已知321,,x x x 的平均数=x 10，方差=2
S 3，则3212,2,2x x x 的平均数为 ，方差
为 .
4、样本方差的作用是 （ ）
A 、估计总体的平均水平
B 、表示样本的平均水平
C 、表示总体的波动大小
D 、表示样本的波动大小，从而估计总体的波动大小 5、小明和小兵10次100m 跑测试的成绩（单位：s ）如下：
小明：14.8 , 15.5 , 13.9 , 14.4 , 14.1 , 14.7 , 15.0 , 14.2 , 14.9 , 14.5 小兵：14.3 , 15.1 ，15.0 ，13.2 ，14.2 ，14.3 , 13.5 , 16.1 , 14.4 , 14.8 如果要从他们两人中选一人参加学校田径运动会，那么应该派谁去参加比赛？
６、甲、乙两人进行射击比赛，在相同条件下各射击10次，他们的平均成绩均为7环，10次射击的方差分别分别是3和1.2。
设问射击成绩较为稳定的是谁？
【每课一测】
（完成时间：45分钟，满分：100分）
一、填空题（每题5分，共35分）
1、随机从甲、乙两块试验田中各抽取100株麦苗测量高度，计算平均数和方差的结果为：
13=甲x ，13=乙x ，6.3S 2
=甲
，
8.15S 2=乙，则小麦长势比较整齐的试验田是 .
2、样本数据3，6，a , 4，2的平均数是3，则这个样本的方差是 .
3、 数据1x , 2x ,3x ，4x 的平均数为m ，标准差为5，那么各个数据与m 之差的平方和为_________.
4、 已知数据1，2，3，4，5的方差为2，则11，12，13，14，15的方差为_________ ，标准差为_______ 。
5、已知一组数据-1、x 、0、1、-2的平均数为0，那么这组数据的方差是 。
6、若一组数据的方差是1，则这组数据的标准差是 。
若另一组数据的标准差是2，则方差是 。
7、一组数据的方差是0，这组数据的特点是 ；方差能为负数吗? 二、选择题（每题5分，共35分）
8、甲乙两人在相同的条件下各射靶10次，他们的环数的方差是S 甲2
=2.4，•S 乙2
=3.2，则射击稳定性是（ ） A ．甲高 B ．乙高 C ．两人一样多 D ．不能确定
9、若一组数据1a ，2a ，…，n a 的方差是5，则一组新数据12a ，22a ，…，n a 2的方差是 （ ） A ．5 B ．10 C ．20 D ．50
10、 在统计中，样本的标准差可以反映这组数据的 ( )
A ．平均状态
B ．分布规律
C ．离散程度
D ．数值大小
11、已知甲、乙两组数据的平均数分别是80x =甲，90x =乙，方差分别是210S =甲，2
5S =乙，比较这两组数据，下列
说法正确的是 ( ) A ．甲组数据较好 B ．乙组数据较好 C ．甲组数据的极差较大 D ．乙组数据的波动较小 12、下列说法正确的是 （ ）
A ．两组数据的极差相等，则方差也相等
B ．数据的方差越大，说明数据的波动越小
C ．数据的标准差越小，说明数据越稳定
D ．数据的平均数越大，则数据的方差越大
13、对甲、乙两同学100米短跑进行5次测试，他们的成绩通过计算得；甲=乙，S 2
甲=0.025,S 2
乙=0.026,下列说法正确
的是 （ ） A 、甲短跑成绩比乙好 B 、乙短跑成绩比甲好 C 、甲比乙短跑成绩稳定 D 、乙比甲短跑成绩稳定
14、数据70、71、72、73、74的标准差是 （ ）
A B 、2 C 2 D 、54
三、解答题（每题10分，共30分）
15、某中学开展“唱红歌”比赛活动，九年级(1)、(2)班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩(满分为i00分)如图所示． (1)根据图示填写下表；
(2)结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩较好； (3)计算两班复赛成绩的方差。
16、若一组数据1x , 2x ，… , n x 的平均数是2，方差为9，则数据321-x ，322-x ，…，32-n x 的平均数和标准
差各是多少？
17、在一次投篮比赛中，甲、乙两人共进行五轮比赛，每轮各投10个球，他们每轮投中的球数如下表：
（1）甲在五轮比赛中投中球数的平均数是 ，方差是 ； （2）乙在五轮比赛中投中球数的平均数是 ，方差是 ； （3）通过以上计算，你认为在比赛中甲、乙两人谁的发挥更稳定些？。