平面与平面垂直的判定定理
2.3.2.2平面与平面垂直的判定定理
C是圆周上不同于A、B的任意一点，
求证：平面PAC⊥平面PBC.
P
证明: 设⊙O所在平面为
∵
PA , BC ∴ PA BC
又∵ AB为圆的直径 ∴ AC BC
∵ PA AC A
C
A
O
B
PA 面PAC, AC 面PAC
∵ BC 面PBC ∴ 面PAC 面PBC
“线面垂直，则面面垂直”
课堂作业
P74 习题2.3 B组 1
练习：
1.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为a的
正方形,侧棱 PD a, PA PC 2a:平面PAC⊥平面PBD;
(3)求证:∠PCD为二面角P-BC-D的平面角.
2. 如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形， PA⊥底面ABCD，PA=AD，M为AB的中点， 求证：平面PMC⊥平面PCD.
C β α A B D
E
则∠ABE是二面角-CD-的平面角，
而AB⊥BE，故-CD-是直二面角． ∴⊥ .
注意：两个平面垂直的判定定理，不仅是判定两个
平面互相垂直的依据，而且是找出垂直于一个平面的 另一个平面的依据． 如：建筑工人在砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检 查所砌的墙面是否和水平面垂直，实际上，就是依据 这个原理．
P
F
E
D A M B
C
3. 如图，已知 PA 矩形ABCD所在平面，M、N 分别是AB、PC的中点 MN CD; （1）求证： （2）若PDA 45 ，求证：平面AMN 面PCD
P E N A
D
C
M
B
4.在四面体ABCD中，已知AC⊥BD， ∠BAC=∠CAD=45°，∠BAD=60°， 求证：平面ABC⊥平面ACD.
平面与平面垂直的判定和性质
课堂导入
建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检 查所砌的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线 和墙面紧贴，那么所砌的墙于地面垂直.这是为什 么呢？
W
1
平面与平面垂直的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂 线，那么这两个平面相互垂直。
已知： ，AB, α
求 证：
W
5
该命题是假命题。
由,平面 内的直线AB与不平一 垂 面定 直能
α
A
α A
D
β
D
B
B
C
C
那么还需添加什么条件，才能使命题为真？
W
β
6
若增加条件ABCD，则命题为真，即
α
AB
CD
AB
。
A
D
β
AB CD
B
C
平面与平面垂直的性质定理是：
如果两个平面相互垂直，那么在一个平面 内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
W
7
（1）面面垂直线面垂直； （线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线）
（2）平面 ⊥平面β，要过平面 内一点引平面β
的垂线,只需过这一点在平面内作交线的垂线。
α
D
C
β
W
α A
D
β
B
C
8
例2、已知直线PA垂直于O所在的平面，A为垂足，AB为O的直径，C是圆周 上异于A、B的一点。
1)求证：平面PAC平面PBC；
α A
D
β
B
C
W
12
2)若PA=AB=a,
A C
6a 3
，
求
二面 P B角 C 的 A
证明两个平面垂直的判定定理
证明两个平面垂直的判定定理一、引言在几何学中，平面垂直是一个基本的概念。
两个平面垂直是指它们的法向量垂直。
本文将证明两个平面垂直的判定定理。
二、定义和符号说明1. 平面：由无限多条互不相交的直线组成的集合。
2. 法向量：与平面垂直且长度为1的向量。
3. 垂直：两个向量夹角为90度。
三、定理陈述若两个平面的法向量相互垂直，则这两个平面是垂直的。
四、证明设平面$P_1$和$P_2$分别由点集合$S_1$和$S_2$上所有点组成，它们的法向量分别为$\vec{n_1}$和$\vec{n_2}$，且$\vec{n_1}$与$\vec{n_2}$相互垂直。
首先证明，对于任意一个在平面$P_1$上的点$A\in S_1$，其到平面$P_2$上任意一点距离$d(A,P_2)$等于该点到平面$P_2$上任意一点距离$d(B,P_2)$（其中B为在平面上任意取得一个点）。
假设存在一个在平面上任意取得的点B，使得$d(A,P_2)\neqd(B,P_2)$。
则连接$A$和$B$的线段与平面$P_1$的交点为点$C$，连接$A$和$B$的线段与平面$P_2$的交点为点$D$。
由于$\vec{n_1}$与$\vec{n_2}$相互垂直，则向量$\vec{CD}$在平面上任意取得一条向量$\vec{v}$都与$\vec{n_1}$垂直。
又由于向量$\vec{AB}$在平面上任意取得一条向量$\vec{w}$都在平面内，则向量$\vec{w}$与$\vec{n_1}$垂直。
因此，向量$\vec{v}+\vec{w}$也在平面内且与$\vec{n_1}$垂直。
但是，向量$(\vec{v}+\vec{w})\cdot\cos(\angle ACB)$显然不是法向量。
这与假设矛盾，因此$d(A,P_2)=d(B,P_2)$。
接下来证明，对于任意一个在平面上的点A和B，它们到另一个平面的距离相等。
假设存在一个在平面上任意取得的点C，使得$d(A,P_2)\neqd(B,P_2)$。
2.3.2-平面与平面垂直的判定
l
点1－棱－点2
l
②直立式： A
二面角－AB－
B
C 二面角C－AB－ D
B D
A
1.二面角的概念
(4) 二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于 棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
如图，OA l,OB l ，则∠AOB成为二面角 l
的平面角. 它的大小与点O的选取无关.
直二面角，就说这两个平面互相垂直.记作
a
a
(2) 面面垂直的判定定理：
若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．
注2：① a , a
②该定理作用：“线面垂直面面垂直”
③应用该定理，关键是找出两个平面中的其中任一个的垂线.
两个平面垂直的判定定理
文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一 条垂线，那么这两个平面互相垂直
(3)G是BB1的中点，
A
求证：平面A1C1G⊥平面B1D
总结:
直线A1C1 ⊥平面B1D，则过直线 A1C1 的平面都垂直于平面B1D
A1
D E
D1
C
F Ｂ G GG G
C1
B1
练习
例1:如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在
的平面，C是圆周上不同于A,B的任意一点，求证：
平面PAC 平面PBC.
P
分析：找证出明在：一设⊙个O面所内在与的另平面一为个α面，垂由直已知的条直件线，.
PA⊥α，BC在α内，所以PA ⊥BC
BC⊥平面PAC
C
因为点C是圆周上不同于A，B的任意一
点，AB是⊙O的直径
A
•O
B 所以，∠BCA是直角，即BC ⊥AC
两个平面垂直的判定定理
两个平面垂直的判定定理
在向量空间中，如果a，b两个平面两两垂直，那么a，b两个平面对应的法向量n1，n2正交，则称a，b两个平面垂直是满足的。
定理：
令a，b两个平面的法向量分别为n1，n2，则a，b两个平面垂直的充分必要条件是n1n2=0.
证明：
设a，b两个平面垂直，则a，b两个平面对应的法向量n1，n2正交。
取a，b两个法向量n1，n2任意一组，据定理可知，n1n2=0，即可证明a，b两个平面垂直。
反之，设n1n2=0，则n1，n2两个向量无法构建一个正交系统，因此n1，n2不能构成正交标准基；而正交标准基是构建空间的基本单位，因此不存在两个平面两两垂直，从而证明n1n2=0是a，b两个平面垂直的充分必要条件。
综上所述，故以上结论成立，两个平面垂直的判定定理正确。
扩展：
根据以上两个平面垂直的判定定理，可以进行多维空间中任意平面垂直的判定，平行的判定和平面的->.定。
在多维空间中，例如三维空间中，若x，y两个平面垂直，则前提条件必须满足的是：平面的法向量x，y满足n1n2=0。
若两个平面x，y平行，则n1=kn2，其中k是不等于零的实数，
这里n1，n2分别为平面x，y的法向量。
若 x，y 两个平面平行且垂直于 z面，则 n1n2=0且 n1n3（n3为z平面的法向量）=0。
由此可见，通过求解平面的法向量点积，可以确定几个平面之间的垂直或平行关系，从而验证多维空间中任意两个平面垂直的判定定理。
结论：
以《两个平面垂直的判定定理》为标题，本文研究了该定理的定义与证明，并且讨论了该定理在多维空间中的广泛运用。
综上所述，两个平面垂直的判定定理正确。
平面与平面垂直的判定
2 求点C到平面EDB的距离。
E
D
42
A
5M
3
C 4
O
B
例5：直二面角 -l- , A, AC l于C，B ， BD l于D，若AB与所成角为450，AB与所成角
为300，且CD=1，求AB的长。
A
α
X 45º 3x2 1
l
1
D
C
3x 30º 3x2 1
β
B
直.
3.过平面α的一条斜线，可作__一__个平
面与平面α垂直.
4.过平面α的一条平行线可作__一__个平
面与α垂直.
已知BSC 900，BSA CSA 600，
又SA SB SC求证：平面ABC 平面SBC
A条件不变求SA与平来自面ABC所成的角B
D
S
C
P107---例5
例1：如图，PA PC a，APC ACB=900， BAC 600，平面PAC 平面ABC， 求PB与平面ABC所成角的正切值。
P
a
a
A 600 M
C
B
例2：如图，正方体ABCD的边长为4 2，O是它的中心，
CE垂直于平面AC，又知CE=3.
1 证明平面EDB 平面OCE。
平面与平面垂直的判定
如何判断平面与平面垂直呢？
平面与平面垂直的判定定理
文字语言： 一个平面经过另一个平面的垂线则两个平面 垂直。
α
图像语言：
A
B β
符号语言： 若AB , AB ,则 .
简记为：“线面垂直，则面面垂直”
P106---例1 例2： O的直径是AB，PA O所在平面， C为圆上不同于AB的任意一点，面PBC与
两个平面垂直判定定理
两个平面垂直判定定理
两个平面垂直判定定理是解析几何中的基本原理，它可以用来判断两个平面是否垂直。
下面我将以人类的视角，用简练的语言来描述这个定理。
我们先来了解一下什么是平面。
平面是一个无限扩展的二维空间，可以用一个平面上的点和法向量来唯一确定。
垂直是指两个物体或者事物之间的夹角为90度，即呈直角。
而两个平面的垂直判定定理告诉我们，如果两个平面的法向量相互垂直，那么这两个平面就是垂直的。
具体来说，设有两个平面A和B，它们的法向量分别为n1和n2。
如果向量n1和向量n2的点积为0，即n1·n2=0，那么平面A和平面B就是垂直的。
这是因为两个向量的点积等于它们的模长乘积再乘以它们的夹角的余弦值，而当夹角为90度时，余弦值为0。
这个定理在解析几何中有着广泛的应用。
例如，在空间几何中，我们可以通过两个平面的法向量来判断它们是否垂直。
在物理学中，我们可以利用这个定理来解决力的合成和分解问题。
在工程学中，我们可以利用这个定理来设计建筑物的结构。
总结起来，两个平面垂直判定定理告诉我们，如果两个平面的法向量相互垂直，那么这两个平面就是垂直的。
这个定理在解析几何中有着重要的应用，可以帮助我们解决各种问题。
希望通过这篇文章
的描述，读者能够更好地理解和应用这个定理。
2.3.2平面与平面垂直的判定定理
C
寻找二面角的平面角
在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二面角 的平面角：
（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D； （2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A. D’ C’ A’ B’ D A B
C
在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二面角 的平面角：
（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D； （2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A. D’ C’ A’ B’ D A O B
S
G3 F
D
G1 E G2
SG⊥△EFG所在平面.故选A.
例3：如下图，在三棱锥S—ABC中，SA⊥平 面ABC，平面SAB⊥平面SBC. （1）求证：AB⊥BC； （2）若设二面角 S—BC—A为45°，SA=BC， 求二面角A—SC—B的大小.
已知：a ，a . 求证：
证明： 设α∩β=CD，AB.
C β α a B D
A
在平面β内过B点作直线BE⊥CD，则 ∠ABE就是二面角α-CD-β的平面角，
∪
E
∪
∵AB⊥β，BE
β，
∴AB⊥BE. ∴二面角α-CD-β是直二面角，∴α⊥β.
back
面面垂直的判定定理
文字语言：如果一个平面经过另一个平面 的一条垂线，那么这两个平面 互相垂直 a 符号语言： a B 图形语言：
a A
该定理作用：“线面垂直面面垂直”
应用该定理，关键是找出两个平面中的其中任一个的垂线.
例1: 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平 面于A，C是圆O上不同于A、B的任意一点. 求证：平面PAC⊥平面PBC
CD sin 30 0 sin 60 0 100 sin 30 0 sin 60 0 25 3 43.3(m)
面面垂直的判定定理
线线垂直
α
线面垂直
证明两个平面垂直有那些方法？ 1.定义法
2.两平面垂直的判定定理
B
面面垂直
3
建筑工人砌墙时， 如何使所砌的墙和水平面垂直？ 应 用 于 生 活
4
如果一个平面经过了另一个平面的 一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
如果:AB⊥β, α过AB ,
那么:α⊥β
证明： ∵AB⊥β,CD 是交线 ∴AB⊥CD 在平面β内过点B作直线BE⊥CD ∴ ∠ABE是二面角α—CD — β的平面角 ∵ AB⊥β BE在β内 ∴AB⊥BE 即∠ABE=90。 ∴二面角α—CD — β是直二面角 ∴α⊥β
α
A
B
D
β E
C
5
平面与平面垂直的判定定理
1
ι
观 察 生 活
注意观察：
1.门轴与地 面的关系
2.门轴与门 面的关系
3.门面与地 面的关系
你发现了什么？
2
二、两个平面垂直的判定定理:
如果一个平面经过了另一个平面的一 条垂线，那么这两个平面互相垂直.
符号:AB⊥α, β经过AB,
β
则α⊥β
A
简记：线面垂直，则面面垂直
2.3.2平面与平面垂直的判定定理(典型)
又 PB=PC，F为BC的中点， PF BC 而 PF EF=F， BC 面PEF. BC PE 故由PE AC，PE BC，AC BC=C， PE 面ABC. PE 面PAC， 面PAC 面ABC.
定理 如果一个平面经过另一个平面的一条 垂线，那么这两个平互相垂直 符号语言： 图形语言：
a B a A
a
作用：线面垂直面面垂直
应用该定理，关键是找出两个平面中的其中任一个的垂线.
例1: 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平 面于A，C是圆O上不同于A、B的任意一点. 求证：平面PAC⊥平面PBC
P
证明： 正方形ABCD中，A C BD
PA 平面ABCD PA BD BD 平面ABCD
A
D
O
B C
BD 平面PAC 平面PAC 平面PBD。 BD 平面PBD
例3： ABCD是正方形，边长为2，O是正方形
的中心，PO⊥平面ABCD ，PO=√2， E是PC的
证明：由AB是圆O的直径，可得AC⊥BC
PA 平面ABC PA BC BC 平面ABC BC AC PA AC A
C A
B
P
BC 平面PAC
BC 平面PBC
O
平面PAC⊥平面PBC
练习
例2、已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足。
求证：平面PAC平面PBD。
P E D A O B C
中点，求证：平面PAC⊥BDE.
练习（P69）
1.如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D
平面与平面垂直的判定定理
l
半 平 面
面
面
棱l
二面角的 画法与记法 2、二面角的记法： 面1－棱－面2
l 为棱，以 （2）、以直线AB 为棱，以 （1）、以直线 , 为半平面的二面角记为： , 为半平面的二面角记为： AB l
l
B
A
B
∠AOB 二面角－AB－
如图，已知△ABC中，∠ABC= 90 ，P 为△ABC所在平面外一点，PA=PB=PC, 求证：平面PAC⊥平面ABC P
C
如图，四边形ABCD是平行四边形， 直线SC⊥平面ABCD，E是SA的中点， 求证：平面EDB⊥平面ABCD
S
D
E
C O
A
B
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为 的正方形，侧棱PD= ，PA=PC= 2a , （1）求证：PD⊥平面ABCD （2）求证:平面PAC⊥平面PBD （3）求证：∠PCD为二面角P-BC-D的平面 角。 P
A
D B C
平面ABD ⊥平面BCD
二、填空题：
无数个平面 1.过平面α的一条垂线可作_____ 与平面α垂直. 无数 个平面与已知平面 2.过一点可作_____ 垂直. 一个平 3.过平面α的一条斜线，可作____ 面与平面α垂直. 一个平 4.过平面α的一条平行线可作____
面与α垂直.
小结：
O
B 所以，∠BCA是直角，即BC ⊥AC
又因为BC在平面PBC内， 所以，平面PAC ⊥平面PBC。
又因为PA与AC是ΔPAC所在平面内的两条相交直线， 所以，BC ⊥平面PAC。
复习：两个平面垂直的判定定理：
面面垂直判定定理公式
面面垂直判定定理公式
面面垂直判定定理是初中数学中比较重要的一个定理，它是在平面几何中对于垂直关系的判定定理。
所谓面面垂直，就是指两个平面互相垂直，也可以说是两个面所成的角度为90度。
那么，面面垂直判定定理的公式是怎么样的呢？
在空间直角坐标系中，设有两个平面P1和P2，它们的方程分别为：
P1：Ax+By+Cz+D1=0
P2：Ax+By+Cz+D2=0
那么，P1和P2互相垂直的充分必要条件是A、B、C满足：
A1A2+B1B2+C1C2=0
其中，A1、A2分别是P1和P2的法向量在x轴上的分量，B1、B2分别是P1和P2的法向量在y轴上的分量，C1、C2分别是P1和P2的法向量在z轴上的分量。
以上就是面面垂直判定定理的公式，但只有知道公式是不够的，我们还需要了解如何应用这个定理来解决实际问题。
首先，我们可以通过观察两个平面的方程是否满足公式中的条件来判断它们是否垂直。
如果满足条件，那么两个平面就互相垂直。
其次，我们可以应用面面垂直判定定理来解决一些比较常见的几何问题，例如：求空间中一条直线与一个平面的垂线、求平行于某个面的平面、求两个平面的夹角等。
综上所述，面面垂直判定定理是初中数学中比较重要的一个定理，掌握它可以帮助我们解决很多几何问题。
因此，我们在学习数学时要认真理解这个定理的公式，并且多做一些练习题来加深对它的理解。
同时，我们还需要关注一些具体的应用场景，这样才能在实际问题中使用它更加得心应手。
平面与平面垂直的定义与判定
2．直线与平面垂直的判定定理(1)自然语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．(2)图形语言：如图所示．(3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α.(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．如图，∠P AO就是斜线AP与平面α所成的角．(2)当直线AP与平面垂直时，它们所成的角是90°.(3)当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是0°.(4)线面角θ的范围：0°≤θ≤90°.1列说法中正确的个数是()①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l⊥α；②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l 垂直．A．0B．1 C．2 D．32．下列说法中，正确的是()A．若直线l与平面α内无数条直线垂直，则l⊥αB．若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行C．若a∥b，a⊂α，l⊥α，则l⊥b D．若a⊥b，b⊥α，则a∥α3如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D为BB1的中点．求证：AD⊥平面A1DC1.6.如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是()A．60°B．45°C．30° D．120°7．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，P A⊥平面ABC，P A＝8，则P到BC的距离是()A. 5 B．25C．3 5 D．459.)正方体ABCD－A1B1C1D1中，面对角线A1B与对角面BB1D1D所成的角为________．10.如图，AB是圆O的直径，P A垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为点N.求证：AN⊥平面PBM.11如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求A1B与平面AA1D1D所成的角；(2)求A1B与平面BB1D1D所成的角．13．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝22，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF.14．如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是()A．平行B．垂直相交C．垂直但不相交D．相交但不垂直16．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2.(1)求证：AC⊥B1D；(2)求三棱锥C－BDB1的体积．17.如图，P A⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点．(1)求证：MN∥平面P AD；(2)若PD与平面ABCD所成的角为45°，求证：MN⊥平面PCD.19.在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若P A＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心；(2)若P A ⊥PB ，PB ⊥PC ，PC ⊥P A ，则点O 是△ABC 的________心.21..在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1，CD 1的中点，则( )A.MN ∥C 1D 1B.MN ⊥BC 1C.MN ⊥平面ACD 1D.MN ⊥平面ACC 122.如图，已知P A ⊥平面ABC ，BC ⊥AC ，则图中直角三角形的个数为________.23.如图所示，已知六棱锥P －ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，P A ＝2AB ，则下列结论正确的是( )A ．PB ⊥AD B ．平面P AB ⊥平面PBCC ．直线BC ∥平面P AED ．直线PD 与平面ABC 所成的角为45°24.直角三角形ABC 所在平面外有一点S ，且SA ＝SB ＝SC ，点D 为斜边AC 的中点．(1)求证：SD ⊥平面ABC ；(2)若AB ＝BC ，求证：BD ⊥平面SAC ..平面与平面垂直的判定定理文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.符号语言：,l l αβαβ⊥⊂⇒⊥(1)文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． (2)图形语言：(3)符号语言： ⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝la ⊂αa ⊥l ⇒a ⊥β.(4)作用：①面面垂直⇒线面垂直；②作面的垂线． 特征：线面垂直⇒面面垂直要点四：求点线、点面、线面距离的方法(1)若P 是平面α外一点，a 是平面α内的一条直线，过P 作平面α的垂线PO ，O 为垂足，过O 作OA ⊥a ，连接PA ，则以PA ⊥a ．则线段PA 的长即为P 点到直线a 的距离(如图所示)．(2)一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫直线与平面的距离．(3)求点面距离的常用方法：①直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形来求解．②转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解．③体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解．1．三棱锥S -ABC 中，∠BSC ＝90°，∠ASB ＝60°，∠ASC ＝60°，SA ＝SB ＝SC ．求证：平面ABC ⊥平面SBC ．2.如图所示，在四棱锥S -ABCD 中，底面四边形ABCD 是平行四边形，SC ⊥平面ABCD ，E 为SA 的中点．求证：平面EBD ⊥平面ABCD ．3.．如下图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AC=BC ，D 是AB 的中点。
平面与平面垂直的判定定理(高中数学人教版必修二)
解:因为 CDG 是坡面,设 DH 是地平面的垂线
段,DH 就是所求的高度.作 HG⊥AB,垂足为 G,
那么 DG⊥AB,∠DGH 就是坡面和地平面所成
的二面角的平面角,所以∠DGH=600 .
D
又 CD 与 AB 所成角为∠DCG= 300 .
DH DG sin 600 CD sin 300 sin 600 100 sin 300 sin 600 25 3 43.3(m)
证明：由AB是圆O的直径，可得AC⊥BC
PA 平面ABC
BC
平面ABC
PA BC BC AC
P
PA AC A
BC 平面PAC
C
BC 平面PBC
A
O
B 平面PAC⊥平面PBC
练习
例2、已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足。 求证：平面PAC平面PBD。 证明：
P
A
A
∪
∵AB⊥β，CD β，∴AB⊥CD.
a
在平面β内过B点作直线BE⊥CD，则
C
B
D
∠ABE就是二面角α-CD-β的平面角，
β
E
∪
∵AB⊥β，BE β，
∴AB⊥BE. ∴二面角α-CD-β是直二面角，∴α⊥β.
back
例1: 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平 面于A，C是圆O上不同于A、B的任意一点. 求证：平面PAC⊥平面PBC
A
二面角画法
3、举出二面角的实例，并画出二面角。
直立式
平卧式
由上可知：各二面角的“张角”不同，那么如 何度量二面角的大小呢？
(4) 二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于 棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
平面与平面垂直的判定 和性质
两直线所成角的取值范围： （0o, 90o ]
直线和平面所成角的取值范围： [ 0o, 90o ] o, 180o ] [ 0 平面和平面所成的角的取值范围：
线面垂直判定定理：
B
l
m n
A
mα nα m∩n=B l⊥m l⊥n
l ⊥α
观察: 教室里的墙面所在平面与地面所在平 面相交,它们所成的二面角及其度数. 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面 角，就说这两个平面互相垂直。 两个平面互相垂直通常画成：直立平面的竖边画 成与水平平面的横边垂直。平面α 与β 垂直，记 作：α ⊥β 。
面面垂直的定义：
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二 面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
β
a
A α b
(1)除了定义之外,如何判定两个平面互相垂 直呢? (2)日常生活中平面与平面垂直的例子?
问题：
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
问题：
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
猜想：
如果一个平面经过了另一个平面的一条 垂线，那么这两个平面互相垂直.
P
l α
l
α
探究
已知AB 面BCD, BC CD 请问哪些平面互相垂直的,为什么?
AB 面BCD 面ABC 面BCD AB 面BCD 面ABD 面BCD CD 面ABC 面ABC 面ACD
B D A
C
面面垂直的性质
D1
α
F
B1
D
C1
A1
D
E
B
C
A
β
如果α⊥β
填空：
无数 个平面 1.过平面α的一条垂线可作_____ 与平面α垂直. 无数个平面与已知平面垂直. 2.过一点可作____
平面与平面垂直的判定定理
A
B
二面角B--B’C--A
A
B
D
O
E
C
二面角A--BC--D
（定义法）
（垂线法）
14
寻找二面角的平面角
在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二面角 的平面角：
（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D；
（2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A.
D’
C’
A’
B’
D A
C B
寻找二面角的平面角
的二面角的平面角,所以∠DGH=600 .
D
又 CD 与 AB 所成角为∠DCG= 300 .
DH DG sin 600 CD sin 300 sin 600 100 sin 300 sin 600 25 3 43.3(m)
600 H
300
AC
G
B
答:沿这条路向上走 100 米,升高约 43.3 米.
2.过一点可作_无__数_个平面与已知平面垂直
3.过平面α的一条斜线，可作__一__个平 面与平面α垂直.
4.过平面α的一条平行线可作_一___个平 面与α垂直.
已知：a ，a . 求证：
证明：设α∩β=CD，AB在α上，则B∈CD. α
A
∪
∵AB⊥β，CD β，∴AB⊥CD.
a
在平面β内过B点作直线BE⊥CD，则
一、二面角的概念
(1) 半平面的定义
平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做 半平面．
(2) 二面角的定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．
半
半
平
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2023年度：平面与平面垂直的判定定理
一、定义
在三维空间中，如果两个平面之间的夹角为90度，则称这两个平面是垂直的。
二、定理
两个平面垂直的充分必要条件是：它们的法向量互相垂直。
证明：
设两个平面分别为平面P1和平面P2，它们的法向量分别为n1和n2，夹角为α。
则有：
cosα = n1·n2 / |n1||n2|
其中，·表示向量的点积，|n1|和|n2|表示向量n1和n2的模。
当两个平面垂直时，α=90°，则有：
cos90°=0
即：
n1·n2 = 0
即两个平面的法向量互相垂直。
反之，若两个平面的法向量互相垂直，则有：n1·n2 = 0
即：
cosα = n1·n2 / |n1||n2| = 0 / (|n1||n2|) = 0
即两个平面的夹角为90度，证毕。
三、应用
该定理可以用来解决以下问题：
1. 判断两个平面是否垂直。
给定两个平面的法向量，在计算它们的点积和模的前提下，判断它们是否垂直即可。
2. 求两个平面的交线。
对于两个不相交的平面，它们的交线可以通过它们的法向量和一个公共点求解得到。
3. 求一个平面在另一个平面上的投影。
将需要投影的平面的法向量沿着另一个平面的法向量分解，得到该平面在另一个平面上的投影向量。
4. 计算两个平面的夹角。
给定两个平面的法向量，在计算它们的点积和模的前提下，计算它们的夹角即可。
总结
1. 本文档所涉及简要注释如下：
- 平面：指在三维空间中，由无数个相互平行的直线组成的集合。
- 夹角：指两条直线或两个平面之间的夹角。
- 法向量：指垂直于平面的向量，其长度等于平面到原点的距离。
2. 本文档所涉及的法律名词及注释：
- 三维空间：指以任意三个互不共线的点为基准点所构成的空间。
- 点积：指向量的数量积，是指两个向量对应分量的乘积之和。
- 模：指向量的长度，是指向量末尾点到原点的距离。
- 公共点：指两个平面的交线上的任意一个点。
3. 本文档执行过程中可能出现的纠纷问题及解决方案：
1. 如何处理平面法向量计算错误的问题？
解决方案：应当检查计算步骤是否正确，如有必要可以请数学专业人员协助。
2. 如何处理平面的法向量不唯一的问题？
解决方案：应当通过平面上的一些确定点来求解法向量，确保法向量的唯一性。
3. 如何处理平面交线不存在的问题？
解决方案：如果两个平面不相交，则它们没有交线。
4. 如何处理平面交线无限延长的问题？
解决方案：平面交线无限延长时，需限定它们在某个范围内的交点。
5. 如何处理平面投影向量不存在的问题？
解决方案：若两个平面夹角为0或180度，则它们的投影向量不存在。
6. 如何处理平面夹角无法计算的问题？
解决方案：不能计算平面夹角的原因是两个平面平行或重合，需进一步分析问题。
7. 如何处理计算结果不精确的问题？
解决方案：应采用更高精度的计算方法或选择更准确的数据类型进行计算。
8. 如何处理平面计算结果与实际情况不符的问题？
解决方案：需根据实际情况进行调整或再次检查计算步骤。
9. 如何解决平面计算过程中侵犯他人知识产权的问题？
解决方案：需尊重他人知识产权，如有必要可以聘请专业人员进行代理或咨询。
10. 如何应对平面计算结果在法律上的争议？
解决方案：根据《中华人民共和国民事诉讼法》等相关法律法规，采取相应的法律途径进行解决。