蔡子星模拟题-第三届物理竞赛贴吧排位赛第1次比赛

第三届物理竞赛贴吧排位赛第1次比赛试题
时间180分钟满分160分
命题人：唐鹏、蔡子星作答说明
1、比赛旨在提升物理学习兴趣，发现和培养物理青年人才，促进竞赛教学交流，并方便同
学自我定位；
2、为方便阅卷，题目全部为填空题，答案正确即给分；如果答案不正确，将按步骤适当给
分，所以请尽量给出步骤（可另加纸写步骤）；
3、答案扫描或拍照上传，如果有附加页写步骤，请务写明页码，格式为（当前页/总页数）。

题一【悠悠球】黄俏老师悠悠球玩的不错，蔡子星老师决定用悠悠球玩学生。

如图，将悠悠球视作质量为m、半径为R的匀质圆柱，中间有质量可忽略不计、半径为r 的轴，轻绳绳十分柔软，已经在轴上绕了若干圈。

桌面有缝，可以使轻绳通过。

（1）基础知识考察，此悠悠球以其中心轴为轴转动时的转动惯量I1为：；
（2）轻绳下挂一质量为nm（已知）的小重物A，若悠悠球与桌面间光滑，先用手保持如图所示的静止状态，则释放的瞬间，A物体的加速度a1为；
（3）利用平行轴定理，可以知道悠悠球沿平行于中心轴且过B点的轴转动时的转动惯量I2为；
（4）若第（2）问中，悠悠球与桌面间摩擦系数足够，释放后悠悠球纯滚动，则释放瞬间A物体的加速度a2为，悠悠球中点的加速度a2为，B点处正压力N1为，摩擦力f1为，摩擦系数至少为
μ1=；
（5）在悠悠球右边放一个匀质长方体，若B处光滑，（填“能”或“不能”）通过调节CD处摩擦及长方体尺寸、质量的方法使系统在放手后仍保持平衡？
简述理由：（50字
以内，越少越好）。

（6）第（5）问中，长方体质量km（已知），宽度l（未知），C处光滑，则要使系统在放手后仍静止，则需要B处摩擦系数μB满足条件，D处摩擦系数μD
满足条件，宽度l满足条件。

题二 【橡皮筋】弹簧或弹性绳的劲度系数被定义为k =F/x ，其中F 为弹力，x 为相应的
伸长量。

现有一长度l 0截面积为S 的橡皮筋，测得其劲度系数为k 。

（1） 基础知识考察，将两根这样的橡皮筋并列放置，其劲度系数k 1为 ；然
后再用刚性轻绳与第三根串起来，并绕过光滑动滑轮（如图），此时整个系统的
劲度系数k 2为 ；
（2） 从（1）中可以看出，同种材料制作成不同形状的的橡皮筋之后表现出来的劲度
系数是不一样的，如果我们想定义一个物理量来表示材料本身的弹性，而与其
形状无关，这个量通常叫做弹性模量，例如沿着物体长度方向上的此弹性模量
叫做杨氏模量，若有一材料制成的长度l 0截面积为S 的橡皮筋，在长度方向上有
一个较小的伸长量x 时的弹力为F 。

根据（2）中的描述，你认为此杨氏模量E 可
以定义为 （用l 0,S,x,F 表示，需要让杨氏模量越大代表弹簧
越硬，且各个量之间为线性关系，写出可能的最简表达式）；
（3） 将6根长为l 0/3截面积S 的同种橡皮筋，按照三根并联（取名A 段）、两根并联
（取名B 段）、一根并联（取名C 段），再将三者串联起来的方式捆在一起。

若
用外力F 作用在此复合橡皮筋两端，则A 段的伸长量Δl A 为 （用k,F
表示） ，复合橡皮筋整体的伸长量Δl 1为 （用k,F 表示），由此得出
此复合橡皮筋的劲度系数k 3应该为 （用k 表示）；
（4） 现有一用主题干中同种材料制成的橡皮筋，长度为l 0，不过一端截面积S 1，另
一端截面积为S 2（为便与说明，令S 2>S 1），中间的截面积线性分布，则其劲度
系数k 4可写为 （用k,S,S 1,S 2表示，已知∫(1/x )dx b a =ln b/a ）；
（5） 若此种材料密度为ρ，将（3）中的橡皮筋S 1端悬挂，S 2端自由释放，若平衡后
此橡皮筋总伸长量不大，则此伸长量Δl 为 （用k,l 0,S,S 1,S 2表
示）
题三如图（俯视），在一个半径为R的光滑的固定的碗里，有一根长度为l的轻质牙签，牙签两头固定有质量为m的光滑小球。

开始的时候静止在最低点，牙签沿着x方向。

（1）回复力（或力矩）、能量、动力学微分方程的判定方法是判定简谐振动常见方法，如果判定某系统回复力（或力矩）为F=−kx；或者动、势能表达式为E k+E p=
1/2mẋ2+1/2kx2=常量；或者算得其动力学微分方程为ẍ+(k/m)x=0，其
中m为系统等效质量（或转动惯量）， x为坐标（或角度），ẋ为速度（或角速度），
ẍ为加速度（或角加速度），都可以判定系统做简谐振动。

其周期
为；
-平面内做小振动，则系统的（2）给两个小球一个切向微扰，使得牙签保持在x z
T为。

振动周期
1
（3）给两个小球一个横向微扰，两个质点都获得向y方向的初速度，使得牙签保持
-平面内做同步的小振动，方向不变，两个质点在各自保持x坐标不变，在y z
T为。

则其振动周期
2
<<（注意只有本小问中成立），初态两个小球静止在如图的位置，然（4）假设l R
后给右边的小球一个向y方向的初速度0v，同时给左边的小球一个向x方向的v，求解之后两个小球的坐标随时间的变化关系。

请将你的结果填在下
初速度
面横线上。

y
l
x
R
题四 如图一个顶角θ的直角三角形木块A ，质量为m ，放在摩擦系数为μ的水平地面
上。

上放一个相同角度的梯形木块B ，质量为m 。

A 、B 之间摩擦系数也为μ。

B 被光滑卡口限制只能沿竖直方向上下运动。

假设在运动过程中A 、B 始终没有分离，A 始终没有离开地面。

（1） 当A 沿着x 方向速度为v ，加速度为a 的时候，B 的速度v B 为 ，加速
度a B 为 ；
（2） 假设μ足够大，以至于初态系统能保持静止。

用恒定的沿着x 外力F 作用到A
上面。

以F 为横轴，以A 的加速度为纵轴，画出所有可能的情景（请务必先用
铅笔打草稿）。

（3） 假设μ足够大，以至于初态系统能保持静止。

用周期变化的沿着x 外力F 作用
到A 上面。

00
()t F t F t =（0[0,)t t ∈，0()()F t t F t +=）针对不同请情况，画出A 的速度随时间图像()v t 。

题五如图，一个质量为m半径为r长度为l的均匀圆柱体放在水平地面上。

绕圆柱平行于地面的直径和高有一组电阻可以忽略的线圈，匝数为N，自感大小为L。

初态线圈位于水平方向，沿着ABCD方向有电流0I。

空间中有水平向右的匀强磁场0B。

（1）地面光滑，初态圆柱受到的安培力矩M1为，角加速度β1为；
（2）地面粗糙，圆柱只能纯滚动，初态圆柱的角加速度β2为；
（3）地面粗糙，当圆柱转动角度θ时线圈中的电流大小()
Iθ为；
（4）求当圆柱转动角度θ时候圆柱的角速度ω为；
A B C
D
B
题六【一个薄透镜】题目中涉及的光路全部满足旁轴条件。

（1）单球面折射成像。

当界面为半径为R的球面，物距为u、像距为v时，由折射定律及小角近似可得成像公式：n1/u+n2/v=(n2−n1)/R。

像方焦点定义为平
行光入射时的聚焦点，则左图中系统的右焦距（即像方焦点到光心的距离）f0
为；
（2）如中间图所示为一个放在空气中的薄透镜，已知左边界面半径为R1=20cm，玻璃折射率1.5，空气折射率取1，此透镜的焦距为f=160/3cm，则可以知道
右界面半径R2为cm；
（3）右边图为一个凸面镜，半径为R3，焦点定义类似（1）问，可知反射光的反向延长线可交于一点，可知其焦距为负值，则其焦距为（用R3表示）；
（4）在（2）中薄透镜右界面镀上一薄层银，使其既能反射部分光，又能透射部分光，若在薄透镜左边光轴上放一发光点，使其两个像重合（只考虑单次反射），则这
个发光点应放在透镜左边u处，u为cm，像距v为cm（像在
物的异侧为正，同侧为负）。

（5）（4）问中，将发光点放在右边光轴上，使两个像重合，则物距u2为cm，此时的相距v2为cm。

这两个像的横向放大率之比为，这两个
像的纵向放大率之比为。

（像在物的异侧为正，同侧为负）。

题七 肥皂泡的表面张力系数为σ，用一根绝缘、绝热的细管将两个半径为0r 的球形肥
皂泡联通起来。

肥皂泡外面的气压可以忽略，内部有温度为0T ，定体摩尔热容量为32
V C R =的理想气体。

已知一个肥皂泡的总质量为m 。

（1） 此时肥皂泡内部压强0p 为 ；在微扰下，体系 （填
“是”或“不是”）稳定平衡；
（2） 将绝缘细管封闭，在一个肥皂泡上加Q 的电量，在扰动下，肥皂泡各方向同步
均匀胀大-缩小做振动的周期T 为 ；
（3） 将绝缘细管打开，气体可以自由流通，假设任意时刻气体各处温度相等，为了
保持体系稳定平衡，需要在两只球表面分别加电量Q ，则这个Q 的最小值应该为 。

题八 在密度为0ρ的水中，有一个密度也为0ρ的长度为0l 的静止的潜水艇。

水中任意两
点压强差满足0p g h ρ∆=∆，其中h ∆为两点之间的高度差。

由于不知名的原因，潜水艇以匀速v 沿长度方向运动起来，水仍然保持静止（不考虑侧面水和潜水艇之间的相互作用），不考虑侧面，水各处的压强保持原来的大小。

考虑狭义相对论相应。

（1） 在水参照系中，潜水艇的体积V 1为 ，密度ρ1为 。

（2） 在水参照系中，潜水艇受到的重力G 1为 ，水在上下两个面对潜水
艇的压力差F 1为 。

（3） 在潜水艇参照系中，水的密度ρ2为 ，潜水艇受到的重力
G 2为 ，水在上下面对潜艇的压力差F 2为 。