函数极限的证明(精选多篇)

函数极限的证明(精选多篇)
第一篇：函数极限的证明
函数极限的证明(一)时函数的极限：
以时和为例引入.
介绍符号:的意义,的直观意义.
定义(和.)
几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.
例1验证例2验证例3验证证……
(二)时函数的极限：
由考虑时的极限引入.
定义函数极限的“”定义.
几何意义.
用定义验证函数极限的基本思路.
例4验证例5验证例6验证证由=
为使需有为使需有于是,倘限制,就有
例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:
1.定义：单侧极限的定义及记法.
几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.
例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:
th类似有:例10证明:极限不存在.
例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有
=§2函数极限的性质(3学时)
教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。

教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。

教学重点：函数极限的性质及其计算。

教学难点：函数极限性质证明及其应用。

教学方法：讲练结合。

一、组织教学：
我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.
二、讲授新课：
(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.
1.唯一性:
2.局部有界性:
3.局部保号性:
4.单调性(不等式性质):
th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有)
註:若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.
5.迫敛性:
6.四则运算性质:(只证“+”和“”)
(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：
(于正无穷。

把max{a1,...am}记作a。

不妨设f1(x)趋于a;作b>a>=0,m>1;
那么存在n1,当x>n1,有a/mn2时，0ni时，0那么当x>n,有(a/m)
第三篇：二元函数极限证明
二元函数极限证明设p=f(x,y),p0=(a,b)，当p→p0时f(x,y)的极限是x,y 同时趋向于a,b时所得到的称为二重极限。

此外，我们还要讨论x,y先后相继地趋于a,b时的极限,称为二次极限。

我们必须(转载需注明来源：)注意有以下几种情形：’
(1)两个二次极限都不存在而二重极限仍有可能存在
(2)两个二次极限存在而不相等
(3)两个二次极限存在且相等，但二重极限仍可能不存在
2
函数f(x)当x→x0时极限存在，不妨设：limf(x)=a(x→x0)
根据定义:对任意ε>0,存在δ>0,使当|x-x0|而|x-x0|又因为ε有任意性,故可取ε=1,则有:|f(x)-a|再取m=max{|a-1|,|a+1|},则有:存在δ>0,当任意x属于x0的某个邻域u(x0;δ)时,有|f(x)|
证毕
3首先，我的方法不正规，其次，正确不正确有待考察。

1，y以y=x -x的路径趋于0limitedsin(x+y)/x =limitedsinx /x =1而y=x的路径趋于0结果是无穷大。

2，3可以用类似的方法，貌似同济书上是这么说的，二元函数在该点极限存在，是p(x,y)以任何方式趋向于该点。

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f(x,y)={(x +y )/(|x|+|y|)}*sin(1/x)
显然有y->0,f->(x /|x|)*sin(1/x)存在
当x->0,f->(y /|y|)*sin(1/x),sin(1/x)再0处是波动的所以不存在
而当x->0,y->0时
由|sin(1/x)|而x +y 所以|f|所以显然当x->0,y->0时，f的极限就为0 这个就是你说的，唯一不一样就是非正常极限是不存在而不是你说的正无穷或负无穷或无穷，我想这个就可以了
就我这个我就线了好久了
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(一)时函数的极限：
以时和为例引入.
介绍符号:的意义,的直观意义.
定义(和.)
几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.
例1验证例2验证例3验证证……
(二)时函数的极限：
由考虑时的极限引入.
定义函数极限的“”定义.
几何意义.
用定义验证函数极限的基本思路.
例4验证例5验证例6验证证由=
为使需有为使需有于是,倘限制,就有
例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:
1.定义：单侧极限的定义及记法.
几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.
例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:
th类似有:例10证明:极限不存在.
例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有
=§2函数极限的性质(3学时)
教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。

教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。

教学重点：函数极限的性质及其计算。

教学难点：函数极限性质证明及其应用。

教学方法：讲练结合。

一、组织教学：
我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.
二、讲授新课：
(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.
1.唯一性:
2.局部有界性:
3.局部保号性:
4.单调性(不等式性质):
th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有)
註:若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.
5.迫敛性:
6.四则运算性质:(只证“+”和“”)
(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：
(注意前四个极限中极限就是函数值)
这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.
利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.
例1(利用极限和)
例2例3註:关于的有理分式当时的极限.
例4
例5例6例7
第四篇：函数极限的性质证明
函数极限的性质证明x1=2,xn+1=2+1/xn,证明xn的极限存在，并求该极限
求极限我会
|xn+1-a|以此类推，改变数列下标可得|xn-a||xn-1-a|……
|x2-a|向上迭代，可以得到|xn+1-a|2
只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。

用数学归纳法：
①证明{x(n)}单调增加。

x(2)=√=√5>x(1);
设x(k+1)>x(k)，则
x(k+2)-x(k+1))=√-√(分子有理化)
=/【√+√】>0。

②证明{x(n)}有上界。

x(1)=1设x(k)x(k+1)=√3
当0
当0
构造函数f(x)=x*a(0
令t=1/a，则：t>1、a=1/t
且，f(x)=x*(1/t)=x/t(t>1)
则：
lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t
=lim(x→+∞)(分子分母分别求导)
=lim(x→+∞)1/(t*lnt)
=1/(+∞)
=0
所以，对于数列n*a
，其极限为0
4
用数列极限的定义证明
3.根据数列极限的定义证明：
(1)lim=0
n→∞
(2)lim=3/2
n→∞
(3)lim=0
n→∞
(4)lim0.999…9=1
n→∞n个9
5几道数列极限的证明题，帮个忙。

lim就省略不打了。

n/(n +1)=0
√(n +4)/n=1
sin(1/n)=0
实质就是计算题，只不过题目把答案告诉你了，你把过程写出来就好了
第一题，分子分母都除以n，把n等于无穷带进去就行
第二题，利用海涅定理，把n换成x，原题由数列极限变成函数极限，用罗比达法则(不知楼主学了没，没学的话以后会学的)
第三题，n趋于无穷时1/n=0，sin(1/n)=0
不知楼主觉得我的解法对不对呀limn/(n +1)=lim(1/n)/(1+1/n )=lim(1/n)/(1+lim(1+n )=0/1=0
lim√(n +4)/n=lim√(1+4/n )=√1+lim(4/n )=√1+4lim(1/n )=1
limsin(1/n)=lim=lim(1/n)*lim/(1/n)=0*1=0
第五篇：函数极限的定义证明
习题1?3
1. 根据函数极限的定义证明:
(1)lim(3x?1)?8;x?3
(2)lim(5x?2)?12;x?2
x2?4??4;(3)limx??2x?2
1?4x3
(4)lim?2.
x??2x?12
1证明(1)分析|(3x?1)?8|?|3x?9|?3|x?3|, 要使|(3x?1)?8|?? , 只须|x?3|??.3
1证明因为?? ?0, ????, 当0?|x?3|??时, 有|(3x?1)?8|?? , 所以lim(3x?1)?8.x?33
1(2)分析|(5x?2)?12|?|5x?10|?5|x?2|, 要使|(5x?2)?12|?? , 只须|x?2|??.5 1证明因为?? ?0, ????, 当0?|x?2|??时, 有|(5x?2)?12|?? , 所以lim(5x?2)?12.x?25
(3)分析
|x?(?2)|??.x2?4x2?4x?4x2?4?(?4)??|x?2|?|x?(?2)|, 要使?(?4)??, 只须
x?2x?2x?2
x2?4x2?4?(?4)??, 所以lim??4.证明因为?? ?0, ????, 当0?|x?(?2)|??时, 有x??2x?2x?2
(4)分析1?4x3111?4x31?2??, 只须|x?(?)|??.?2?|1?2x?2|?2|x?(?)|, 要使2x?12x?1222
1?4x3111?4x3
?2??, 所以lim证明因为?? ?0, ????, 当0?|x?(?)|??时, 有?2.12x?12x?122x??2. 根据函数极限的定义证明:
(1)lim1?x3
2x3
sinxx???1;2(2)limx???x?0.
证明(1)分析
|x|?1
1?x32x311?x3?x3??22x3?12|x|3, 要使1?x32x3?11??, 只须??, 即322|x|2?.
证明因为?? ?0, ?x?(2)分析
sinxx?0?
12?
, 当|x|?x时, 有1x
1?x32x311?x31???, 所以lim?.
x??2x322
1x
sinxx
|sinx|x
?, 要使
sinx
证明因为???0, ?x?
?2
, 当x?x时, 有
xsinxx
?0??, 只须
?
.
?0??, 所以lim
x???
?0.
3. 当x?2时,y?x2?
4. 问?等于多少, 使当|x?2|解由于x?2, |x?2|?0, 不妨设|x?2|?1, 即1?x?3. 要使|x2?4|?|x?2||x?2|?5|x?2|?0. 001, 只要
|x?2|?
0.001
?0.0002, 取??0. 0002, 则当0?|x?2|??时, 就有|x2?4|?0. 001.5
x2?1x?3
4. 当x??时, y?
?1, 问x等于多少, 使当|x|>x时, |y?1|解要使?1?
4x2?3
?0.01, 只|x|?
?3?397, x?.0.01
5. 证明函数f(x)?|x| 当x?0时极限为零.
x|x|
6. 求f(x)?, ?(x)?当x?0时的左﹑右极限, 并说明它们在x?0时的极限是否存在.
xx
证明因为
x
limf(x)?lim?lim1?1,
x?0?x?0?xx?0?x
limf(x)?lim?lim1?1,
x?0?x?0?xx?0?limf(x)?limf(x),??
x?0
x?0
所以极限limf(x)存在.
x?0
因为
lim?(x)?lim??
x?0
x?0
|x|?x
?lim??1,?x?0xx|x|x?lim?1,xx?0?x
lim?(x)?lim??
x?0
x?0
lim?(x)?lim?(x),??
x?0
x?0
所以极限lim?(x)不存在.
x?0
7. 证明: 若x???及x???时, 函数f(x)的极限都存在且都等于a, 则limf(x)?a.
x??
证明因为limf(x)?a, limf(x)?a, 所以??>0,
x???
x???
?x1?0, 使当x??x1时, 有|f(x)?a|?? ;?x2?0, 使当x?x2时, 有|f(x)?a|?? . 取x?max{x1, x2}, 则当|x|?x时, 有|f(x)?a|?? , 即limf(x)?a.
x??
8. 根据极限的定义证明: 函数f(x)当x?x0 时极限存在的充分必要条
件是左极限、右极限各自存在并且相等.
证明先证明必要性. 设f(x)?a(x?x0), 则??>0, ???0, 使当0|f(x)?a|因此当x0??|f(x)?a|这说明f(x)当x?x0时左右极限都存在并且都等于a .再证明充分性. 设f(x0?0)?f(x0?0)?a, 则??>0,??1>0, 使当x0??10, 使当x0取??min{?1, ?2}, 则当0| f(x)?a|即f(x)?a(x?x0).
9. 试给出x??时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明.
解x??时函数极限的局部有界性的定理? 如果f(x)当x??时的极限存在? 则存在x?0及m?0? 使当|x|?x时? |f(x)|?m?
证明设f(x)?a(x??)? 则对于? ?1? ?x?0? 当|x|?x时? 有|f(x)?a|?? ?1? 所以|f(x)|?|f(x)?a?a|?|f(x)?a|?|a|?1?|a|?
这就是说存在x?0及m?0? 使当|x|?x时? |f(x)|?m? 其中m?1?|a|?。