浅谈平面解析几何解题中运算素养的三个层次

浅谈平面解析几何解题中运算素养的三

个层次

内容摘要：数学运算是数学学科核心素养之一,也是解决数学问题的基本手

段和基本过程之一。通过数学运算的培养与加强，能更好促进学生数学知识、思

维和能力的形成与发展，形成积极有效、严谨明确思考问题解决的数学品质。

关键词：数学运算，一题多解。

2022年全国高考落幕之后，数学运算的重视程度空前的高涨。究其原因，很

多题目得分十分艰难，其中一部分试题对数学运算要求很高。由数学运算能力不强，而导致解题分数不理想，甚至数学总分“崩盘”的大有人在。尘埃落定，静

心反思：如何培养数学运算素养呢？

《普通高中数学课程标准(2017 年版 2020年修订)》指出:“数学运算是指

在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养。数学运算主要包括:理解运算对象,掌握运算法则,探究运算思路，选择运算方法,设计运算程序,

求得运算结果。”[1] 数学运算的具体体现就是数学解题实践能力。而培养解题

能力的过程是漫长、渐进的。教师对题目进行有效整理与挖掘，有效拓展与组织，就显得十分重要。适时强调对学生思维的有效引导，借助有效的联想与升华，促

使学生在解题实践中把数学运算能力平稳提升。

我把这种数学解题能力分为三个层次：一、技法纯熟，计算明确、自如。这

是运算能力的第一个层次。通俗地讲就是见题解题，可以根据问题中可利用的运

算条件、信息，组织与其相关的运算思维，运用数学定理、公式，坚决彻底的执

行解题指令；二、体现数学问题实质，可以优化计算、思考。实现运算过程简化、计算难度降低化。三、等价转化，借力自然。利用转化思想，灵活、等价的实现

解决问题的角度、思维构想的方式、运算的手段等发生积极变化。实现问题解决

的高效化，运算过程、难度降低化，更能够体现数学的简洁、严谨、灵活、高效

的运算要求。

鉴于以上对数学运算的分析与理解，结合一道解析几何问题，具体阐述一下

我对数学运算教学的体会。

（2022年4月宁波二模T17）已知点是椭圆的左顶点,过

点且斜率为的直线与椭圆C交于另一点(点在第一象限)，以原点为圆心，为半径的圆在点处的切线与轴交于点，若，则椭圆C离心率的取

值范围为。

虽然是一道解析几何填空题，看似平常但劲道十足，着眼点有新意，综合性

较强，比较深刻的考查了直线与椭圆相关联的知识点。表面上是直线与椭圆相交

的问题，其内涵十分丰富，入口很“友善”、很宽泛，可以从很多方面、不同角

度加以分析。

体现层次一：能思考，可以解题，以通法、常见解法为依托，稳扎稳打。

本题的条件叙述清晰、简明：相交、交点、切线，每一个都熟悉清楚。很自

然联想到此类题目的解题通法----求-解方程组，解出交点坐标，于是题目的解

法便会有这样的体现：

法 1:

易知直线直线，

联立，消去，得由韦达定理可得

，则

可得接下来，什么情况都可能出现，比如设切

线方程，进而求出点坐标，再求两个线段长度进行比较，天啊，掉入一个恐

怖的解题泥沼而不能够自拔。这样的现象也是很多同学对解析几何有解题心理阴

影的根本原因！

其实题中的条件可以优化，虽然是线段长度比较，但是这种比较不一定是要求出线段长度，可以进行有效的转化。在中，由可得，即，所以得

，

即

体现层次二：本质体现、数形结合。解析几何的最大特点是用数据入微刻

画几何图形中的数学逻辑，相当于把图形数字化。利用好图形的直观性，把握住

数的微观性，相辅相成，可以形成更有效的解法。

法2：做,为垂足，很容易得到,,

而直接构建不等式,可得

，即

:以上两种解法都是在求解出点坐标的前提下完成的。解题一定要注意题型

解法特征，即使明确解题运算方向，也要注意优化运算程序。解析几何运算中一

个最显著的计算方法是“设而不求”，可以最大化的减少计算强度。

法3:设则。以原点为圆心为半径

的圆方程为，处的切线方程为

要使，只要，只要，即只要.

即即，从而。只需要点在椭圆内或椭圆上，即

很明显，同样是用坐标解题，这种方法较之前的解法计算量小得多。另外，

巧用点坐标，也可以用椭圆的参数方程，即三角换元。

法4：设，可得由得，由

得。这样就有不等式可得

，即

数学运算的过程应该是有目的的，有预判的。需要不断优化，不断的自我修

正和自我说明。因此教学实践中教师一定要努力引导学生学会对运算过程进行审视、反思。及时做出调整，在不断的运算实践中得到思维上精炼、优化，运算能

力上的提升与深化。

体现层次三本质等价，思维转化。转化就是运算中非常重要、非常有效的

一种手段。运用转化思维，可以更加高效解决数学问题。

法5：

分析：由于本题中是用动点连带一个不等关系，所以思考和计算起来有一定

的复杂度。如果我们这样思考：让点的位置“定”下来，即只需要思考一种极

端的情况：,由此确定点后，只要椭圆的形状变“圆”，就可以保证

题中的要求恒成立！这样一来，动点、不等关系都转化为了相对静态的等式关系了。由，不妨设，所以，而且，

故，轻松就得到了，这样代入椭圆方程，可得，题中所

求的离心率

法6：类似于法5的解法，在直角三角形中，由射影定理可得

即，同样可得。

这两种解法都是巧妙的利用图形的变化规律以及计算要求，进行了有效的等

与不等、动与静的转化，从而大大的降低了计算难度、思维难度！我们把计算的

眼光变得锐利一点，交点的实质思考的再轻松一点，我们甚至可以这样等价思考：

法7：求极端情况下的点，不要只关注到是直线与椭圆的交点，还可以降

维到时两条直线的交点，即只要求两条直线的交点即可。联立方程

，马上就可以得到，这样的解题运算才是最高境界，所谓是道

法自然！

通过以上的解法对比，发现解法越来越简洁、高效。解法简化的过程体现的

是数学运算素养的真实要求：首先可以做到遇题能算，能够达到解题的基本要求；其次实现解法的巧妙以及思维优化，提高解题效率；最后是借形转化，巧妙规避

了繁杂计算。越是简洁的解法，相对的思维越是放松状态，计算能力体现的越是

游刃有余，越是自然、丝滑。

通过长期、有目的性的训练，可以达到构建并形成有效的思维模式、提高数

学运算素养的目标。减少学生的计算盲从性、无序的尝试性。计算具有流畅性、

确定性、自信性，做到思路清晰、方法活络、方向准确、计算合理。

[1].《普通高中数学课程标准(2017 年版 2020年修订)》