浅谈平面解析几何解题中运算素养的三个层次

浅谈平面解析几何解题中运算素养的三
个层次
内容摘要：数学运算是数学学科核心素养之一,也是解决数学问题的基本手
段和基本过程之一。

通过数学运算的培养与加强，能更好促进学生数学知识、思
维和能力的形成与发展，形成积极有效、严谨明确思考问题解决的数学品质。

关键词：数学运算，一题多解。

2022年全国高考落幕之后，数学运算的重视程度空前的高涨。

究其原因，很
多题目得分十分艰难，其中一部分试题对数学运算要求很高。

由数学运算能力不强，而导致解题分数不理想，甚至数学总分“崩盘”的大有人在。

尘埃落定，静
心反思：如何培养数学运算素养呢？
《普通高中数学课程标准(2017 年版 2020年修订)》指出:“数学运算是指
在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养。

数学运算主要包括:理解运算对象,掌握运算法则,探究运算思路，选择运算方法,设计运算程序,
求得运算结果。

”[1] 数学运算的具体体现就是数学解题实践能力。

而培养解题
能力的过程是漫长、渐进的。

教师对题目进行有效整理与挖掘，有效拓展与组织，就显得十分重要。

适时强调对学生思维的有效引导，借助有效的联想与升华，促
使学生在解题实践中把数学运算能力平稳提升。

我把这种数学解题能力分为三个层次：一、技法纯熟，计算明确、自如。

这
是运算能力的第一个层次。

通俗地讲就是见题解题，可以根据问题中可利用的运
算条件、信息，组织与其相关的运算思维，运用数学定理、公式，坚决彻底的执
行解题指令；二、体现数学问题实质，可以优化计算、思考。

实现运算过程简化、计算难度降低化。

三、等价转化，借力自然。

利用转化思想，灵活、等价的实现
解决问题的角度、思维构想的方式、运算的手段等发生积极变化。

实现问题解决
的高效化，运算过程、难度降低化，更能够体现数学的简洁、严谨、灵活、高效
的运算要求。

鉴于以上对数学运算的分析与理解，结合一道解析几何问题，具体阐述一下
我对数学运算教学的体会。

（2022年4月宁波二模T17）已知点是椭圆的左顶点,过
点且斜率为的直线与椭圆C交于另一点(点在第一象限)，以原点为圆心，为半径的圆在点处的切线与轴交于点，若，则椭圆C离心率的取
值范围为。

虽然是一道解析几何填空题，看似平常但劲道十足，着眼点有新意，综合性
较强，比较深刻的考查了直线与椭圆相关联的知识点。

表面上是直线与椭圆相交
的问题，其内涵十分丰富，入口很“友善”、很宽泛，可以从很多方面、不同角
度加以分析。

体现层次一：能思考，可以解题，以通法、常见解法为依托，稳扎稳打。

本题的条件叙述清晰、简明：相交、交点、切线，每一个都熟悉清楚。

很自
然联想到此类题目的解题通法----求-解方程组，解出交点坐标，于是题目的解
法便会有这样的体现：
法 1:
易知直线直线，
联立，消去，得由韦达定理可得
，则
可得接下来，什么情况都可能出现，比如设切
线方程，进而求出点坐标，再求两个线段长度进行比较，天啊，掉入一个恐
怖的解题泥沼而不能够自拔。

这样的现象也是很多同学对解析几何有解题心理阴
影的根本原因！
其实题中的条件可以优化，虽然是线段长度比较，但是这种比较不一定是要求出线段长度，可以进行有效的转化。

在中，由可得，即，所以得
，
即
体现层次二：本质体现、数形结合。

解析几何的最大特点是用数据入微刻
画几何图形中的数学逻辑，相当于把图形数字化。

利用好图形的直观性，把握住
数的微观性，相辅相成，可以形成更有效的解法。

法2：做,为垂足，很容易得到,,
而直接构建不等式,可得
，即
:以上两种解法都是在求解出点坐标的前提下完成的。

解题一定要注意题型
解法特征，即使明确解题运算方向，也要注意优化运算程序。

解析几何运算中一
个最显著的计算方法是“设而不求”，可以最大化的减少计算强度。

法3:设则。

以原点为圆心为半径
的圆方程为，处的切线方程为
要使，只要，只要，即只要.
即即，从而。

只需要点在椭圆内或椭圆上，即
很明显，同样是用坐标解题，这种方法较之前的解法计算量小得多。

另外，
巧用点坐标，也可以用椭圆的参数方程，即三角换元。

法4：设，可得由得，由
得。

这样就有不等式可得
，即
数学运算的过程应该是有目的的，有预判的。

需要不断优化，不断的自我修
正和自我说明。

因此教学实践中教师一定要努力引导学生学会对运算过程进行审视、反思。

及时做出调整，在不断的运算实践中得到思维上精炼、优化，运算能
力上的提升与深化。

体现层次三本质等价，思维转化。

转化就是运算中非常重要、非常有效的
一种手段。

运用转化思维，可以更加高效解决数学问题。

法5：
分析：由于本题中是用动点连带一个不等关系，所以思考和计算起来有一定
的复杂度。

如果我们这样思考：让点的位置“定”下来，即只需要思考一种极
端的情况：,由此确定点后，只要椭圆的形状变“圆”，就可以保证
题中的要求恒成立！这样一来，动点、不等关系都转化为了相对静态的等式关系了。

由，不妨设，所以，而且，
故，轻松就得到了，这样代入椭圆方程，可得，题中所
求的离心率
法6：类似于法5的解法，在直角三角形中，由射影定理可得
即，同样可得。

这两种解法都是巧妙的利用图形的变化规律以及计算要求，进行了有效的等
与不等、动与静的转化，从而大大的降低了计算难度、思维难度！我们把计算的
眼光变得锐利一点，交点的实质思考的再轻松一点，我们甚至可以这样等价思考：
法7：求极端情况下的点，不要只关注到是直线与椭圆的交点，还可以降
维到时两条直线的交点，即只要求两条直线的交点即可。

联立方程
，马上就可以得到，这样的解题运算才是最高境界，所谓是道
法自然！
通过以上的解法对比，发现解法越来越简洁、高效。

解法简化的过程体现的
是数学运算素养的真实要求：首先可以做到遇题能算，能够达到解题的基本要求；其次实现解法的巧妙以及思维优化，提高解题效率；最后是借形转化，巧妙规避
了繁杂计算。

越是简洁的解法，相对的思维越是放松状态，计算能力体现的越是
游刃有余，越是自然、丝滑。

通过长期、有目的性的训练，可以达到构建并形成有效的思维模式、提高数
学运算素养的目标。

减少学生的计算盲从性、无序的尝试性。

计算具有流畅性、
确定性、自信性，做到思路清晰、方法活络、方向准确、计算合理。

[1].《普通高中数学课程标准(2017 年版 2020年修订)》。