概率论与数理统计第六章习题答案

第六章
习题6-1
1、由一致估计的定义，对0ε∀>
{}{}
{}()1212max ,,,max ,,,n n P X X X P X X X θεεθεθ-<=-+<<+
()()F F εθεθ=+--+
()0, 0, 01, X x x
F x x x θθθ<⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩
及(){}()()()()1212max ,,,n n X X X X X X F x F x F x F x F x ==⋅⋅⋅
()1F εθ∴+=
(){}()12max ,,,1n
n x F P X X X εθεθθ⎫⎛
-+=<-+≈- ⎪⎝⎭
{}()
12max ,,,111()n
n x P X X X n θεθ⎫⎛
∴-<=--→→∞ ⎪⎝⎭
2、证明：EX μ=
()11111
11n
i i n n i i i i n
n n i i i i i i i i a X E a E X a a a a μ
μ======⎫⎛⎪ ⎪ ==⋅=⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑ 11
n
i
i
i n
i
i a X
a
==∴∑∑是μ的无偏估计量
3、证明： ()
() ()()
2
2
D E E θθθ
=-
()
() ()()
()
2
2
22E D E D θ
θ
θθθ
θ∴=+=+> 2
θ∴不是2θ的无偏估计量
4、证明：()~X P λ
EX λ∴=，()
()2
22E X DX EX λλ=+=+
()22E X EX λ∴-=，即()22E X X λ-=
用样本矩221
1n i i A X n ==∑，1A X =代替相应的总体矩()2
E X 、EX
所以得2λ的无偏估计量： 2211
1n i i A A X X n λ==-=-∑ 5、()~,X B n p ，EX np ∴=
()()()()22222111E X np p n p np n n p EX n n p =-+=+-=+-
()()
()()22
2111E X EX E X X p n n n n -⎫⎛∴
=-=⎪ --⎝⎭
所以用样本矩221
1n i i A X n ==∑，1A X =分别代替总体矩()2
E X 、EX
得2
p 的无偏估计量： ()()()22
2121
111n
i i i A A p X X n n n n =-==---∑
6、()~,1X N m ，()i E X m ∴=，()1i D X =，(1,2)i =
()
()()11212
212121333333E m E X X E X E X m m m ⎫⎛∴=+=+=+= ⎪⎝⎭
()
()()1121221414153
399999D m D X X D X D X ⎫⎛=+=+=+= ⎪⎝⎭
同理可得： ()2E m m =， ()258D m =， ()3E m m =， ()
212
D m =
123,,m m m ∴都是m 的无偏估计量，且在 123
,,m m m 中， 3m 的方差最小
习题6-2
1、（1）()
11
c
c
c
EX x c x
dx c
x dx θθ
θ
θθθθθ+∞
+∞
-+-=
⋅==
-⎰
⎰
EX
EX c
θ∴=
-，令X EX =
X X c θ
∴=-为矩估计量，θ的矩估计值为 x x c
θ=-，其中11n i i x x n ==∑
似然函数为：()()1121
1
,,,;n
n
n n n i
i i i L x x x c x
c
x θθ
θ
θθθθ-+-===
=∏∏ ，i x c > 对数似然函数：()()
()
1
ln ln ln 1ln n
i
i L n n c x θθθθ==+-+∑
求导，并令其为0，得：
1
ln ln ln 0n
i i d L n
n c x d θθ==+-=∑ 1
ln ln L
n
i
i n
x n c
θ=∴=-∑，即θ的最大似然估计量为 1
ln ln L
n
i
i n
X
n c
θ==-∑
（2）2
1
1
11EX EX x x dx EX θθ
θθθ-⎫⎛=⋅=⇒= ⎪--⎝⎭
⎰ 以X EX =，得： 2
1X X θ⎫⎛=⎪ -⎝⎭
为θ的矩估计量
θ的矩估计值为： 2
1x x θ⎫⎛=⎪ -⎝⎭
，其中1
1n
i i x x n ==∑ 而()1
12
121
1
,,,;n n
n
n i i i i L x x x x x θθθθθ--==⎫⎛
=
=⎪
⎝
⎭
∏
∏ ，01i x ≤≤
()(
)1
ln ln 1
ln 2
n
i
i n
L x θθθ=∴=+
-∑
令1ln 11ln 022n
i i d L n x d θθθ==+⋅⋅=∑， 2
1ln L n
i i n x θ=⎫⎛
⎪ ⎪ ∴=⎪
⎪⎝⎭∑ 所以θ的最大似然估计量 2
1ln L n
i i n x θ=⎫⎛
⎪ ⎪ =⎪ ⎪⎝⎭
∑ （3）()~,X B m p ，EX
EX mp p m
∴=⇒=
p ∴的矩估计量： 111n i i X p X X m mn m
====∑
p ∴的矩估计值为： 1
1n i i p x mn ==∑ 而()()
()
1
1121
1
,,,;11n
n
i
i
i i i
i i i n
n
x m x m x x x x n m
m i i L x x x p C
p
p C p
p ==--
==∑∑=
-=⋅⋅-∏∏ ，0,1,,i
x m = ()()()1
1
1
ln ln ln ln 1i n
n
n x m
i i i i i L p C x p m x p ====+⋅+-⋅-∑∑∑
令() 1
11ln 111101n n n i i L i
i i i d L x m x p x x dp p p mn m ====⋅--⋅=⇒==-∑∑∑ p ∴的最大似然估计量为： 1L p X m
=
2、（1）()0
1
;2
EX xf x dx xdx θ
θ
θθ+∞
-∞
=
=
=
⎰
⎰
令11n i i EX X X n ===∑，22
X X θ
θ∴=⇒=
2X θ
∴= （2）由观测的样本值得：6111
(0.30.80.270.350.620.55)0.481766
i i x x ===+++++≈∑
20.9634x θ
∴== 3、由1
1
1
1122
EX X θ
θθ
θ
θ
+=⨯
+⨯
++⨯
=
= 21X θ
∴=-为θ的矩估计量 4、设p ：抽得废品的概率；1p -：抽得正品的概率 引入{
1, i i X i =
第次抽到废品0,第次抽到正品
，1,2,,60i =
()1i P X p ∴==，()01i P X p ==-，且i EX p =
所以对样本1260,,,X X X 的一个观测值1260,,,x x x
由矩估计法得，p 的估计值为： 601141606015i
i p x ====∑，即这批产品的废品率为115
5、()()2
2
12213132EX θθθθθ=⨯+⨯-+⨯-=-，()14
12133
x =
⨯++=
EX x = ， 3526
x θ
-∴==为矩估计值 ()()()()()()()
3
4511223312121i i i L P X x P X x P X x P X x θθθθθθ========⋅⋅-=-∏()()ln ln25ln ln 1L θθθ=++-
令() ln 1155016
L
d L d θθθθθ=⨯-=⇒=- 6、（1）λ的最大似然估计 L
X λ=， ()
0L
X P X e e λ--∴=== （2）设X ：一个扳道员在五年内引起的严重事故的次数
()~X P λ∴，122n =
得样本均值：
5
011(044142221394452) 1.123122122
r r x r s ==⨯⋅=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑
()
1.12300.3253x P X e e --∴====
习题6-3
3、从总体中抽取容量为n 的样本12,,,n X X X 由中心极限定理：()~0,1,/X U N n n
μ
σ-=
→∞
（1）当2
σ已知时，近似得到μ的置信度为1α-的置信区间为：
22
,X u X u n n αασσ⎫
⎛-⋅+⋅⎪ ⎝⎭ （2）当2
σ未知时，用2
σ的无偏点估计2
s 代替2
σ：
~(0,1),/X N n s n
μ
-→∞
于是得到μ的置信度为1α-的置信区间为：22
,s s X u X u n n αα⎫
⎛-⋅+⋅⎪ ⎝⎭
一般要求30n ≥才能使用上述公式，称为大样本区间估计 4、40n = 属于大样本，2,X N n σμ⎫
⎛∴⎪ ⎝
⎭ 近似
μ∴的95%的置信区间近似为：2x u n ασ
⎫⎛±⋅⎪ ⎝
⎭
其中642x =，3σ=，40 6.32n =≈，2
1.96u α=
()23642 1.966420.9340x u n ασ⎫⎛⎫
⎛∴±⋅=±⨯≈±⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
故μ的95%的置信区间上限为642.93，下限为641.07
5、100n =属于大样本，2~,X N n σμ⎛⎫
∴ ⎪⎝
⎭近似
μ∴的99%的置信区间近似为：2x u n ασ
⎫⎛±⋅⎪ ⎝
⎭
其中10x =，3σ=，100n =，2
2.58u α=
()()2310 2.58100.7749.226,10.774100x u n ασ⎛⎫⎛⎫
∴±⋅=±⨯=±= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
由此可知最少要准备10.77410000107740()kg ⨯=这种商品，才能以0.99的概率满足要求。

6、这是0-1分布参数的区间估计问题
待业率p 的95%的置信区间为： (
)
221244,,22b b ac b b ac p p a a ⎛⎫
----+-= ⎪ ⎪⎝⎭
其中22
a n u α=+，2
2
2b nX u α=--，2
c nX =，100n =，13
500x =
，2
1.96u α= 则 ()
()12,0.015,0.044p p =
7、选取统计量()~1/X T t n s n
μ
-=
- 令()()
11P T t n αα<-=-和()()
11P T t n αα>-=- 对给定的置信度1α-，查t 分布表可得()1t n α-
由
()1/X t n s n αμ-<-和()1/X t n s n
αμ
->-求出μ 则得μ的1α-的置信下限：()1s
X t n n
α--⋅
μ的1α-的置信上限：()1s
X t n n
α+-⋅
μ的1α-的双侧置信限：()()1,1s s X t n X t n n n αα⎛
⎫--⋅+-⋅ ⎪⎝
⎭
习题6-4
1、()2
~,50X N μ ，μ∴的置信度为95%的置信区间为：2x u n ασ
⎫⎛±⋅⎪ ⎝
⎭
其中500x =，50σ=，25n =，2
1.96u α=
所以灯泡的平均寿命的置信区间为：
()()250500 1.9650019.6480.4,519.625x u n ασ⎛⎫⎛⎫
±⋅=±⨯=±= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ 2、方差2
σ已知，μ∴的置信区间长度为：2
2L u n
ασ
=⋅
2
22n u L ασ⎛⎫∴=⋅ ⎪⎝⎭
由题2
10.950.050.025 1.962
u αα
αα-=⇒=⇒
=⇒=， 1.5σ=， 1.7L =
所以样本容量：2
2 1.5 1.9611.961.7n ⨯⎛⎫
=⨯=
⎪⎝⎭
，所以取12n = 3、()2~,X N
μσ ，μ∴的95%的置信区间为：()21s
x t n n α⎛
⎫±
⋅- ⎪⎝
⎭
其中1950x =，300s =，15n =，()2
14 2.145t α=
()()()
230011950 2.1451950166.1511783.85,2116.1515s x t n n α⎛⎫⎛⎫
∴±⋅-=±⨯=±= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭所以置信上限为2116.15，下限为1783.85
4、()2
~,X N μσ ，μ∴的95%的置信区间为：()21s
x t n n α⎛⎫±⋅- ⎪⎝⎭
其中154x =，8.0187s =，6n =，()0.0255 2.571t =
()()()28.01871154 2.5711548.416145.58,162.426s x t n n α⎛⎫⎛⎫
∴±⋅-=±⨯=±= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
5、μ未知，2
σ∴的1α-的置信区间：()()()()22
2
212211,11n s n s n n ααχχ-
⎛⎫-- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭
其中10.980.020.0110.992
2
α
α
αα-=⇒=⇒
=⇒-
=，20n =，216s =
查表得：20.01(19)36.191χ=，2
0.99(19)7.633χ=
2σ∴的98%的置信区间：()19161916,8.400,39.82736.1917.633⨯⨯⎫
⎛= ⎪⎝⎭
6、9n =，11s =，10.95α-=，查表得20.025(8)17.535χ=，2
0.975(8) 2.180χ=
σ∴的95%的置信区间：()()()220.0250.97588,7.4,21.188s s χχ⎫
⎛⎪
= ⎪⎝⎭
7、（1）2
10.950.05(15) 2.131t ααα-=⇒=⇒=
()()2
0.029(15) 2.705 2.131 2.7050.016 2.689,2.721115s x t n α⎫⎛⎫
⎛∴±=±⨯=±=⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
（2）2
0.050.05(15)27.5αχ=⇒=，2
0.95(15) 6.26χ=
2σ∴的95%的置信区间：
()()()()()22
222212211150.029150.029,,0.000489,0.0021501127.5 6.26n s
n s n n ααχχ-
⎫⎛--⎫⎛⨯⨯⎪ ==⎪ ⎪ --⎝⎭ ⎪⎝⎭
8、2
10.90.1 1.645u ααα-=⇒=⇒=
由115n =，220n =得：
2
2
12
1216991
1.232152060
n n σσ+=+=≈ 2
212
1
2
2
1.645 1.232
2.03u n n ασσ⋅
+
=⨯=，1214.613.2 1.4x x -=-=
12μμ∴-的90%的置信区间为：()()1.4 2.03,1.4 2.030.63,3.43-+=-
9、设有实验课的考分总体：()211
~,X N μσ，无实验课的考分总体：()22
2~,X
N μσ
求12μμ-的99%的置信区间
选统计量()
()()1
2121212
~211
W
X X T t n n S n n μμ---=
+-+，
其中()()22
112212112W n s n s S n n -+-=+-
12μμ∴-的99%的置信区间为：()
()121212
211
2W
X X t n n S n n α⎫
⎛-±+-⋅+⎪ ⎝
⎭
由已知：1284777x x -=-=，22
(121)4(181)6 5.30512182W S -⨯+-⨯==+-，
110.3731218+=，0.00510.990.005(28) 2.7632
t αα-=⇒=⇒= 所以所求置信区间为：()()7 2.763 5.3050.373 1.53,12.47±⨯⨯= 10、令12d μμμ-=，这是成对样本数据，距离差()2
~,d
d
d N
μσ
2
,d d
μσ未知，求d μ的99%的置信区间 由已知：1112.5d =，1454.49d s =，选统计量~(1)/d
d d T t n s n
μ-=
-
12d μμμ∴=-的1α-的置信区间为：()2
1d s d t n n α⎫
⎛±-⋅⎪ ⎝⎭
而0.00510.990.010.005(7) 3.4992
t α
αα-=⇒=⇒
=⇒=
则所求置信区间为：()
()1112.5 3.4991454.49/8687,2912±⨯=-
11、选统计量()22
122
2
/~1,1/A A
B B
S F F n n S σσ=-- 已知20.5419A S =，2
0.6065B S =，1210n n ==
而0.0250.9750.02511
10.95(9,9) 4.03(9,9)(9,9) 4.03
F F F α-=⇒=⇒==
22A B σσ∴的95%的置信区间为：()()()22
22122
9,9,9,90.222,3.601A A
B B S S F F S S αα-⎫⎛=⎪ ⎝⎭
总习题六
1、12,,,n X X X 相互独立，同分布()e λ
i X ∴的密度函数{
, 0()0, 0
x X e x f x x λλ->=
≤，i X 的分布函数{
1, 0()0, 0
x X e x F x x λ-->=≤ ()
{
1, 0()11()0, 0
n y
n
Y X e y F y F y y λ-->∴=--=
≤ 对y 求导：{
, 0()0, 0
n y Y n e y f y y λλ->=
≤ ()~Y e n λ∴，EY n λ∴=
要使cY 为λ的无偏估计量，则()E cY λ=，即1
cn c n
λλ=⇒=
2、（1）()()11
222
111112n n i i i i i i i i E c X X c E X X X X --+++==⎫⎛-=-+⎪ ⎝⎭
∑∑
()1
221
111
2n i i i i i i i c
DX
E X EX EX DX E X -+++==+-++∑
()
()()2
22222122
1c n c n σ
μμσμσ=-+-++=- 令()()
2
2
1
2121c n c n σσ-=⇒=-
（2）(
)()
()2
2
2
2
2
2
2
22E X cS
E X
cE S
DX E X c c n
σσ
μσ-=-=+-=
+-
令
2
2221
c c n n
σμσμ+-=⇒= 3、（1）EX θ=，i EX EX θ==，2i DX DX θ==，1,2,3,4i =
()()112341
1226363ET E X X X X θθ⎫⎫⎛⎛=+++=+= ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭
()()2123411
2341234255ET E X X X X θθ=+++=+++=
()3123411
444
ET E X X X X θθ=+++=⨯=
13,T T ∴为θ的无偏估计量
（2）2221221036936DT θθθ=
+=，223141
164
DT DT θθ==<
3T ∴更为有效
4、()
()1212EY E aX bX aE X bE X a b μμ=+=+=+=
Y ∴为μ的无偏估计，对(),,1a b a b ∀+=
()22
222
2
2
2
2
12121211a DY a DX b DX a b a n n n n σσσ⎫
⎛=+=⋅+⋅=+-⎪ ⎝⎭
令
0dDY da = 即212
1
21212120,a a n n a b n n n n n n σ⎫⎛--=⇒==⎪
++⎝⎭ 又222
121120d DY da n n σ⎫⎛=+>⎪ ⎝⎭
，所以当121212,n n a b n n n n ==++时，DY 达min 5、由题()110i EX p p p =⨯+-⨯=，()1i DX p p =-
()
()111n i i E p E X E X np p n n
=⎫⎛===⨯=⎪ ⎝⎭∑
p ∴是p 的无偏估计量
而 ()
()()211
111n n
i i i i p p D p D X D X DX n n n ==-⎫⎛
====⎪ ⎝⎭∑∑
由切比雪夫不等式，对0ε∀>
(
)(
)
()()221110n p p P p p P X p D X n
εεεε→∞
--≥=-≥≤=⋅→
(
)lim 0n P p p ε→∞
∴-≥=
p X ∴=为p 的一致无偏估计量
6、()~,X B k p ，1a EX kp ∴==，(
)()()2
2
21a E X
kp p kp ==-+
由此得21121a a a p a +-=，2
12
112a k a a a =+- 用1A X =，2
21
1n i i A X n ==∑代替12,a a 得：
,p k 的矩估计： 2X S p X -=， 22X k X S ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
，其中2211()n
i i S X X n ==-∑
7、()()1
121
1
1
,,,;;!
!
n
i
i
i x x n n
n n i n
i i i i i L x x x f x e
e x x λ
λλ
λ
λλ=--===∑=
==
∏∏
∏
()11
ln ln ln !n n
i i i i L x n x λλλ==⎫
⎛∴=--⎪ ⎝⎭∑∑
令
()11ln 110n n
i i i i d L x n x x d n λλλλ===⋅-=⇒==∑∑ 即1
1n
i i X X n ==∑为λ的最大似然估计
8、()()()2
2
2201121212212
k
k k k EX
EX kC θθθθθθθ-==
-=⨯-+-=-⇒=-∑ θ∴的矩估计： 12
X θ=- 9、()1
1
0121
121EX EX x dx EX
θθθθθ++-=
+=⇒=
+-⎰ θ∴的矩估计： 211X X
θ-=-
而()()()()12121
,,,;11n
n n i n i L x x x x x x x θ
θ
θθθ==
+=+∏ ，()01,1,2,,i x i n <<=
()()1
ln ln 1ln n
i i L n x θθθ=∴=++∑
()1
1
ln ln 011n
i n i i
i d L n n x d x θθθθ==∴=+=⇒=--+∑∑
θ∴的最大似然估计： 1
1
11L n
i
i n
X
X
θ
==--=--
∑ 10、()1
1
!
!i
i
x x
n
n
n i i i i
e L e
x x θ
θ
θθθ--==⋅=
=∏
∏
()()1
1
ln ln ln !n
n
i i i i L n x x θθθ===-+⋅-∑∑
()
1
1
ln 10n
i
n
i i i x d L n x d n θθθθ
==∴=-+=⇒=∑∑
θ∴的最大似然估计： 1
1n
L i i X X n θ===∑
11、因为仪器无系统误差
()11111232232232 4.76232.39671212
n n i i i i X X X n θμ==∴====+-=+⨯≈∑∑ 用样本二阶中心矩2B 估计方差2
σ，有
()2222
11
11()()n n i i i i X X X a X a n n σ===-=---∑∑
()1222
1
1(232)232.39672320.18190.15740.024512i
i X ==---=-=∑ 12、EX 的点估计： ()
()1
25.324.725.124.9950
E X X kg ==+++=
因为50n =，可作大样本处理
由样本得：24.99x =，2
0.122550.35s s =⇒=
则EX 的置信度为95%的置信区间近似为：2
s x u n α⎫⎛±⋅⎪ ⎝⎭
由0.02510.950.025 1.962
u α
α-=⇒
=⇒=
所求置信区间为()0.3524.99 1.9624.893,25.08750⎫
⎛±⨯
= ⎪⎝
⎭
13、p 的1α-的置信区间： ()
221244,,22b b ac b b ac p p a a ⎫
⎛----+-=⎪ ⎪⎝⎭
其中22
a n u α=+，22
2b nX u α=--，2
c nX =
由题：16
0.16100
x =
=，100n =，.02510.95 1.96u α-=⇒= 2
100 1.96103.842a ∴=+=，()2
21000.16 1.9635.842b =-⨯⨯+=-， 21000.16 2.56c =⨯=
p ∴的95%的置信区间为： ()
()12,0.101,0.244p p =
14、()2
~,X N
μσ，25n =，170x =，12s =，0.05α=
（1）μ的95%的置信区间：（2
σ未知）
()()2
121170 2.06165.06,174.9425s x t n n α⎫⎛⎫⎛±-⋅=±⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（2）2
σ的95%的置信区间：（μ未知）
()()()()()22
22221221124122412,,87.80,278.691139.36412.401n s
n s n n ααχχ-
⎫⎛--⎫⎛⨯⨯⎪ =≈⎪ ⎪ --⎝⎭ ⎪⎝⎭
所以σ得95%的置信区间：
(
)
()87.80,278.699.34,16.69≈
15、μ的1α-的单侧置信下限：()1s x t n n
αμ=--
由样本：41116.88x =，1346.843s =，16n =，查表得()0.0515 1.7531t =
1346.843
41116.88 1.753140526.64
μ∴=-⨯≈
16、μ的95%的置信区间：（50n =，可作大样本计算）
()2
1.935
2.266 1.96 1.730,2.80250s x u n α⎫⎛⎫⎛±⋅=±⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
17、40n =， 34
40
p =
，0.025 1.96u = p ∴的95%的置信区间为：
(
)
(
)()122134346
, 1.96/400.7379,0.9607404040p p p p p u n α⎫⎛-⎫⎛⎪ =±⋅
=±⨯
⨯=⎪ ⎪ ⎝⎭
⎪⎝
⎭
18、198.40x =，2110.71x =，2218.73s =，22
232.19s =，15n =，27n =
所以方差比的置信度为90%的置信区间：
()()2
2
1
12
1222122221,1,11,1s s F n n s F n n s αα⎫⎛⎪ ⋅⋅--⎪ -- ⎪
⎝⎭
()22
228.7318.73, 6.160.016,0.45332.19 4.5332.19⎫⎛=⨯⨯=⎪ ⎝⎭
19、100n =，0.0252
0.05 1.96u u αα=⇒==，15.2x =
λ∴的置信度为95%的置信区间为：
()215.215.2 1.9614.44,15.96100x x u n α⎫⎛⎫⎛⎪±⋅=±⨯= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭。