电动力学第二章ppt课件

内边界 条件处理
给势就是给电荷
问题？
球半径为 金属球置于匀强 外场 中，导体球上接 有电池，使球与地保持电 势差 求电势
2 . 球半径为 金属球置于匀强外场 中，求电势
(1)导体球上接有电池，使球与地保持电势差
解：
设：以球心为原点，外场 方向为极轴的正方向建立
球坐标系,设坐标原点电势为 。导体球半径为 ，
分析两介质面
在球的 方向。且
这样可取
假设 E 球对称
设：
这样可满足 E 在切向连续
电荷分布满足了，总边界条件满足了，内部边界满足了，由 解的唯一性定理保证，上面得到的结果就是问题的解。
静电场的方程及边界条件
静电势方程
边界条件
导体的静电条件①
②
③
静电问题的唯一性定理
静电问题有解的条件：
求解区域V内给定自由电荷分布ρ(x) ，在V的边界S
(1)|s f1
证明：设有两组不同的解 和 满足唯一性定理的
条件，令 d
在每个均匀区域内，有：
2 2 /i 2d 0
在任意两均匀区域的界面上，有：
di dj
i
d
ni
j
d
nj
0
在整个区域的边界上，有：
d |s0 或
§1静电场的标势及微分方程 1。静电场的标势
静电场不随时间变化为无旋场
或 库仑场 无旋有势，定义:
积分
电势差
与路径无关
当电荷分布在有限区域的情况下，取无穷远点为 参考点，规定其上电势为0
静电场标势
已知电荷分布求电势 点电荷
叠加原理 连续分布
全空间电荷为0，库仑场的标势为0

例1 求均匀电场 E0的电势。
例1 接地无限大平面导体板附近有一点电荷Q，距
离为a。求空间中的电场。 分析： 电荷分布：一个点电荷。
Q
a
边界面：接地无穷大导体。
求解区域：上半空间（下半空间电势为零）
已知电荷分布和界面电势(等于零)，满足唯一 性定理的要求，可以确定电势。
电荷分布和电场分布：
点电荷Q使导体表面产生 异号的感应电荷。整个电 场是由Q和感应电荷共同 产生的。
当
当
经整理得尖劈问题小结
取
由物理问题可得电势的通解为
空间电场强度为
当 很小时主要贡献为第一项
导体面自由电荷密度为
当 对于三维问题就是尖端放电
分离变量法解题步骤
1。分析题意建立适当的坐标系简化通解形式 2。用数学语言写出空间的物理问题（包括边界条件） 3。写出不同区域的通解形式 4。用外围边界条件清除一些系数 5。用内部边界条件确定其他的系数关系并求解 6。代回系数得到所求电势结论 7。观察结论是否符合问题的物理意义 8。注意：若求场强、电荷密度，要用所在坐标系下
1
写出通解 通解为
由于是轴对称球坐标系,所以关于 对称,通解中没有 表示球外域的电势 表示球内域的电势
处理掉总边界条件
内部边界一类条件确定系数关系
内部边界二类条件确定系数关系
比较系数
联立方程可以解得
2 3
内场为匀强电场，匀强电场 中
极化强度
总偶极矩为
偶极子的电势
介质内
外场为匀强电场与偶极矩的场的叠加
电动力学 第二章
第二章静电场 §1 静电场的标势及微分方程 §2 唯一性定理 §3 拉普拉斯方程 分离变量法 §4 镜像法 §6 电多极矩
本章内容：
电磁场的基本理论应用到最简单的情况： 电荷静止，相应的电场不随时间而变化的 情况。 本章研究的主要问题： 在给定的自由电荷分布以及周围空间介质 和导体分布的情况下，求解静电场。
小于外电场
4
§3拉普拉斯方程——分离变量法
例3：球半径为 接地金属 球置于匀强外场 中， 求电势和导体表面的电荷 面密度
解：设球半径为 ，球外为真空，该问题具有轴对称 性，对称轴为通过球心沿外场 方向的轴线。取此线 为轴线球心为原点建立球坐标系。 为球外势,金属球 为等势体，坐标原点电势为0
由于选择了轴对称，所以关于 对称，通解中没有 同时处理总边界条件
分析：电荷分布：一个点电荷。

边界面：导体球面。
求解区域：球面外区域。
已知电荷分布和界面电势(等于零)，满足唯一 性定理的要求，可以确定电势。
解： 以电场的对称轴为轴线，球心为坐标原点，建 立球坐标系。

根据电场的轴对称性，
Q在’Q必到在球对心称的轴连上线，上即。P
§4 镜象法 四、注意事项
1、象电荷必须放在所研究的场域外。 2、把整个空间看成均匀的无界空间，并且介 电常数是所研究场域的介电常数。 3、象电荷电量不一定与真实的感应电荷或极 化电荷相等。 4、适用范围：场区域的电荷是点电荷，或无 限长导线；导体或介质的边界面必是简单的规 则的几何面（球面，柱面，平面）
二、分离变量法
分离变量法就是将场量的函数表达式中不同坐标相 互分离，即将场量分解为单一坐标函数的乘积的形 式，求出通解。然后再根据给定的边界条件求出实 际问题的的解。
u (r ,,) (r )( )()
不同坐标系中拉氏方程的通解不同。
1. 球坐标：
r 1 2 r(r 2 u r) r 2 s 1i n (s i u ) n r 2 s 1i n 2 u 2 0
第二种情况： d
对导体表面有
ddS0 dddS0
i
0 V i i( d ) 2 d V i S i id d d S 0 d
§2唯一性定理 1。静电问题的唯一性定理 2。有导体时的唯一性定理 唯一性定理说的是只要物理问题满足区域内的电荷分 布和边界条件相同，它们的解就是等价的，就都是问 题的解，没有区别，其解唯一。换句话说：只要保证
问题条件不变，怎么求都行！！！
因此，在实际问题中，可以根据给定的条件作一定的 分析，提出尝试解，只要它满足唯一性定理所要求 的条件，它就是唯一正确的解。
例题（注：用唯一性定理解题） 如图，两同心导体球壳之间 充满两种介质。左半边电容 率为 ，右半边电容率为
，设内球带电量 Q ，外 球壳接地。求空间的电场和 球壳上的电荷分布。
的梯度、散度、旋度公式
§4 镜象法
一、研究的问题 在所考虑的区域内只有一个或者几个点电荷， 区域边界是导体或介质界面
二、镜象法的基本思想 在所求场空间中，使用场空间以外的区域某个 或某几个假想的电荷来代替导体的感应电荷或 介质的极化电荷
§4 镜象法
三、理论基础
镜象法的理论基础是唯一性定理。其实质是在 所研究的场域外的适当地方，用实际上不存在 的“镜象电荷”来代替真实的导体感应电荷或 者介质的极化电荷对场点的作用。在代替的时 候必须保证原有的场方程，边界条件不变
对所有分区求和，得
i
S i
i
d d d S i
i
V i i( d )2 dV
i Vii( d)2dV 0d 0 d 常量
2。有导体时的唯一性定理
只需给出①每个导体的 值 或②每个导体上的电量
证明： 考虑去掉导体后的绝缘介质区域 第一种情况：给出了第一类边界条件
由于导体表面是等势面，所以电场线垂直于导体 表面，而且电场具有轴对称性。设用来代替感应 电荷的假想电荷为Q’。问题是：Q’应该放在什 么位置？电量是多少？
解：以电场的对称轴为Z轴建立直角坐标系， X轴和Y 轴在导体表面上。
根据电场的轴对称性，Q’必在对称轴上，即在Q到 板面的垂线上。设Q’到板面的距离为b，导体板上 方的电势为：
P410|rpQ rQ ||rpQ rQ |
410 x2y2 Q (z a )2x2y2 Q (z b )2
所以，
Q Q 0 x2y2a2 x2y2b2
Q
x2 y2 a2

Q
解：
均匀电场每一点强度
E
相同，其电场线为平行
0
直线。选空间任一点为原点，并设该点上的电
势为 0 ，那么任一点P处的电势为
P (P )00E 0d l
P P
( P ) 0 0 E 0 d l 0 E 0 0 d l
若问题具有轴对称性，取此轴为极轴，通解为
u(r,
)
n
(anrnrb nn 1)P n(co)s
其中 P0cos1，P 1co s co ， s
若问题具有球对称性 u(r) ab r
2. 柱坐标：
1 ( u)12 u2 2 z2u 20
球外为真空，该问题具有轴对称性。
设球内外势分别用
表示。问题表示为
由于选择了轴对称，所以关于 对称，通解中没有
2|r anrnPn(co)s
例4尖劈问题
取
问题转换为
例4尖劈问题的数学问题为
扇形通解为
包含零点
有界
主要讨论当 非常小时的情况，
主要讨论当 非常小时的情况，
零端n与角度反向，终端n与角度同向，
导数
n S
若求解区域内有导体存在，还要给定各导体上的电
势或导体上的电荷。
则V内的电场唯一地确定。
一、拉普拉斯方程
在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的． 例如：① 电容器内部的电场是由作为电极的两个
导体板上所带电荷决定的。 ② 电子光学系统的静电透镜内部，电场是 由分布于电极上的自由电荷决定的。
d
n
|s 0
2d
0
di
dj
i
d
ni
j
d
nj
0
d
|s 0
d
n