《等差数列的最值》解题方法
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例1说明，当已知等差数列的首 项和公差时，可采用函数最值法求 等差数列的前n项和的最值。
例2 已知等差数列{an}中，a1=-2,并且S3=S7，试 求Sn的最小值及此时的n的值。 解：设该等差数列的公差为d。由S3=S7得
3×（-2）+(3×2/2)×d=7×（-2）+(7×6/2) ×d， 得d=4/9。
S12>0,S13<0 (1) 求公差d的取值范围 (2) 指出S1,S2……S12中哪一个值最大，并
说出理由
1 解：由a1+a2=91,a2+a3=85可得 4a2=176,则a2=44,所以a1=47,
d=-3.
接下来即可用求最值的方法 求得前16项的和最大，最大值为 392。
拼搏
2 解：由a1=31,d=-4可的此数 列的通项公式an=35-4n.
由首项及公差知：该数列为递增等差数列。 欲使前n项和最小必须前n项和都是由负数和零相加得到，
从第n+1项起以后各项均为零或正数，即
an≤0 即
-2+(n-1)×4/9 ≤0
an+1≥0
-2+(n+1-1)×4/9≥0
解法四：设该等差数列的公差为d。由S3=S7得
3×（-2）+(3×2/2)×d=7×（-2）+(7×6/2) ×d，得d=4/9。所以通项公式an=-2+(n-1)×4/9
例 1 已知等差数列{an}中，a1=-2, d=4/9。求前n项和的最值。
解：依求前n项 和的公式有 Sn=-2n+[n(n-1)/2]×4/9 =（2/9）n2-20/9×n =（2/9）×(n2-10n) =（2/9）(n-5)2-50/9
所以n=5时前n项和最小，最小值为-50/9。
小结：
3×（-2）+(3×2/2)×d=7×（-2）+(7×6/2) ×d，得d=4/9。所以通项公式an=-2+(n-1)×4/9
由首项及公差知：该数列为递增等差数列。
解法四：设该等差数列的公差为d。由S3=S7得
3×（-2）+(3×2/2)×d=7×（-2）+(7×6/2) ×d，得d=4/9。所以通项公式an=-2+(n-1)×4/9
Sn=-2n+[n(n-1)/2]×4/9 =2/9×n2-20/9n
=2/9(n2-10n)
=2/9(n-5)2-50/9
所以n=5时前n项和最小，最小值为-50/9。
解法二：设该等差数列的公差为d。由S3=S7得
3×（-2）+(3×2/2)×d=7×（-2）+(7×6/2) ×d， 得d=4/9。 所以通项公式an=-2+(n-1)×4/9
由首项及公差知：该数列为递增等差数列。 欲使前n项和最小必须前n项和都是由负数和零相加得到，
从第n+1项起以后各项均为零或正数，即
an≤0 即
-2+(n-1)×4/9 ≤0
an+1≥0
-2+(n+1-1)×4/9≥0
解得 4.5≤n ≤5 .5 所以n=5 即前5项的和最小，将
n =5 代入前n项和公式，
当n=8时， an=3； 当n=9时， an=-1； 所以与零最靠近的项是 a9. 或由an=35-4n=0，得n=35/4， 当n =9时， an 与零最接近。
进取
由首项及公差知：该数列为递增等差数列。
由方程an=0得 -2+(n-1)4/9=0
解得n=5.5 取 n=5
根据数列递增性可知a1,a2, a3,a4,a5均为负数，从第 六项起以后各项均为正数，因此前五项的和最小。 代入求和公式Sn=5×(-2)+[5×(5-1)/2]×4/9=-50/9
解法三：设该等差数列的公差为d。由S3=S7得 3×（-2）+(3×2/2)×d=7×（-2）+(7×6/2) ×d，
《等差数列的最值》解题方法
等差数列前n项和公式：
Sn=n(a1+an)/2
(1)
Sn=na1+n(n-1)d/2 (2)
对于公式（2）可整理为
Sn=(n2d/2)+[ a1-(d/2)]n 这说明Sn是关于n的一元二次函 数。
等差数列前n项和最值的求法
本节要求：掌握等差数列前n项 和最值的求法。
练习： 1 在等差数列{an}中，a1+a2=91, a2+a3=85,求此数列的最值 及取得最值时的n. 2 在首项是31，公差为-4的等差 数列中，与零最靠近的项是第 几项？
Hale Waihona Puke Baidu 作业：
1 一个首项为a(a>0)的等差数列,前3项和
与前10项和相等,问此数列的前几项和
最大，并求出最大值。 2 设等差数列{an}的前n项和Sn,已知 a13=12,
得d=4/9。
由首项及公差知：该数列为递增等差数列。 等差数列前n项和Sn 是n的二次函数，而S3=S7 正说明二次函数是以n=（3+7）/2为对称轴，
且二次函数开口向上，所以当n =5时Sn有最小值。 将n =5 代入前n项和公式，有
Sn=5×(-2)+[5×(5-1)/2]×4/9=-50/9
解法四：设该等差数列的公差为d。由S3=S7得
有Sn=5×(-2)+[5×(5-1)/2]×4/9=-50/9
小结：等差数列前n项和最值的求法有 （1）函数最值法 （解法一） （2）解方程法 （解法二） （3）对称轴法 （解法三） （4）不等式法 （解法四）
注：（1）当数列是首项为正，公差为负的递减等 差数列时，才有前n项和最大。
（2）当数列是首项为负，公差为正的递增等 差数列时，前n项和才有最小值。
例2 已知等差数列{an}中，a1=-2,并且S3=S7，试 求Sn的最小值及此时的n的值。 解：设该等差数列的公差为d。由S3=S7得
3×（-2）+(3×2/2)×d=7×（-2）+(7×6/2) ×d， 得d=4/9。
S12>0,S13<0 (1) 求公差d的取值范围 (2) 指出S1,S2……S12中哪一个值最大，并
说出理由
1 解：由a1+a2=91,a2+a3=85可得 4a2=176,则a2=44,所以a1=47,
d=-3.
接下来即可用求最值的方法 求得前16项的和最大，最大值为 392。
拼搏
2 解：由a1=31,d=-4可的此数 列的通项公式an=35-4n.
由首项及公差知：该数列为递增等差数列。 欲使前n项和最小必须前n项和都是由负数和零相加得到，
从第n+1项起以后各项均为零或正数，即
an≤0 即
-2+(n-1)×4/9 ≤0
an+1≥0
-2+(n+1-1)×4/9≥0
解法四：设该等差数列的公差为d。由S3=S7得
3×（-2）+(3×2/2)×d=7×（-2）+(7×6/2) ×d，得d=4/9。所以通项公式an=-2+(n-1)×4/9
例 1 已知等差数列{an}中，a1=-2, d=4/9。求前n项和的最值。
解：依求前n项 和的公式有 Sn=-2n+[n(n-1)/2]×4/9 =（2/9）n2-20/9×n =（2/9）×(n2-10n) =（2/9）(n-5)2-50/9
所以n=5时前n项和最小，最小值为-50/9。
小结：
3×（-2）+(3×2/2)×d=7×（-2）+(7×6/2) ×d，得d=4/9。所以通项公式an=-2+(n-1)×4/9
由首项及公差知：该数列为递增等差数列。
解法四：设该等差数列的公差为d。由S3=S7得
3×（-2）+(3×2/2)×d=7×（-2）+(7×6/2) ×d，得d=4/9。所以通项公式an=-2+(n-1)×4/9
Sn=-2n+[n(n-1)/2]×4/9 =2/9×n2-20/9n
=2/9(n2-10n)
=2/9(n-5)2-50/9
所以n=5时前n项和最小，最小值为-50/9。
解法二：设该等差数列的公差为d。由S3=S7得
3×（-2）+(3×2/2)×d=7×（-2）+(7×6/2) ×d， 得d=4/9。 所以通项公式an=-2+(n-1)×4/9
由首项及公差知：该数列为递增等差数列。 欲使前n项和最小必须前n项和都是由负数和零相加得到，
从第n+1项起以后各项均为零或正数，即
an≤0 即
-2+(n-1)×4/9 ≤0
an+1≥0
-2+(n+1-1)×4/9≥0
解得 4.5≤n ≤5 .5 所以n=5 即前5项的和最小，将
n =5 代入前n项和公式，
当n=8时， an=3； 当n=9时， an=-1； 所以与零最靠近的项是 a9. 或由an=35-4n=0，得n=35/4， 当n =9时， an 与零最接近。
进取
由首项及公差知：该数列为递增等差数列。
由方程an=0得 -2+(n-1)4/9=0
解得n=5.5 取 n=5
根据数列递增性可知a1,a2, a3,a4,a5均为负数，从第 六项起以后各项均为正数，因此前五项的和最小。 代入求和公式Sn=5×(-2)+[5×(5-1)/2]×4/9=-50/9
解法三：设该等差数列的公差为d。由S3=S7得 3×（-2）+(3×2/2)×d=7×（-2）+(7×6/2) ×d，
《等差数列的最值》解题方法
等差数列前n项和公式：
Sn=n(a1+an)/2
(1)
Sn=na1+n(n-1)d/2 (2)
对于公式（2）可整理为
Sn=(n2d/2)+[ a1-(d/2)]n 这说明Sn是关于n的一元二次函 数。
等差数列前n项和最值的求法
本节要求：掌握等差数列前n项 和最值的求法。
练习： 1 在等差数列{an}中，a1+a2=91, a2+a3=85,求此数列的最值 及取得最值时的n. 2 在首项是31，公差为-4的等差 数列中，与零最靠近的项是第 几项？
Hale Waihona Puke Baidu 作业：
1 一个首项为a(a>0)的等差数列,前3项和
与前10项和相等,问此数列的前几项和
最大，并求出最大值。 2 设等差数列{an}的前n项和Sn,已知 a13=12,
得d=4/9。
由首项及公差知：该数列为递增等差数列。 等差数列前n项和Sn 是n的二次函数，而S3=S7 正说明二次函数是以n=（3+7）/2为对称轴，
且二次函数开口向上，所以当n =5时Sn有最小值。 将n =5 代入前n项和公式，有
Sn=5×(-2)+[5×(5-1)/2]×4/9=-50/9
解法四：设该等差数列的公差为d。由S3=S7得
有Sn=5×(-2)+[5×(5-1)/2]×4/9=-50/9
小结：等差数列前n项和最值的求法有 （1）函数最值法 （解法一） （2）解方程法 （解法二） （3）对称轴法 （解法三） （4）不等式法 （解法四）
注：（1）当数列是首项为正，公差为负的递减等 差数列时，才有前n项和最大。
（2）当数列是首项为负，公差为正的递增等 差数列时，前n项和才有最小值。