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开封教育学院学报 九 年第一
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摘要 本文利用 元 数微积分中乘积 数求导数的莱布尼兹公式和定积分的分
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用Mathematica研究自然对数的底数e
用Mathematica 研究自然对数的底数e作 者：陈 龙摘要：e 是一个奇妙有趣的无理数，它取自瑞士数学家欧拉的英文字头。
e 与π被认为是数学中最重要的两个超越数，e 、π及i （i 为虚数单位）三者间存在1-=i e π的关系。
本文利用Mathematica 软件研究了自然对数的底数e ，介绍了e 的一些相关知识、e 与自然对数的关系以及e 的值的计算方法等。
关键词：Mathematica ，e ，自然对数一、引言远在公元前，圆周率π就被定义为“周长与直径之比”。
自古以来，π的近似值一直取为 3.14或722()742851.3 =。
通过许多数学家的努力，π的近似值位数不断增加。
目前用电脑计算圆周率。
由于电脑速度等功能不断改进，今后π的近似值位数会越来越多。
另外一个奇妙有趣的无理数是e ，它取自瑞士数学家欧拉（Euler ，1707-1783）的英文字头。
欧拉首先发现此数并称之为自然数e 。
但是，这种所谓的自然数与常见正整数1，2，3，……截然不同。
确切地讲，e 应称为“自然对数a e log 的底数”。
e 与π被认为是数学中最重要的两个超越数（transcendental number ，若一数为()0=xf 之根，其中f 为某一至少一次的整系数多项式，则此数称为代数数（algebraic number ），否则称为超越数）。
e 、π及i （i 为虚数单位）三者间存在1-=ie π的关系。
本文主要介绍e 的一些知识以及用Mathematica软件来计算e 。
二、欧拉数e考虑数列{}n a ，n a =∑=ni i 0!1=!1!21!111n ++++ ，1≥n ，其中!n =()1231⋅⋅⋅⋅- n n ，1≥n ，1!0=，应用下述关于级数收敛的基本定理之一可证明出其极限存在。
定理1.设数列{}n a 为单调且有界，则当∞→n 时，a a n →（a 为一有限数）。
首先，对n a =∑=ni i 0!1，显然{}na 为单调递增数列。
e值的计算
密级公开学号081629 毕业设计（论文）e值的计算院（系部）：数理系**：***年级：2008级2班专业：信息与计算科学****：***教师职称：副教授2012年 5 月 31日·北京摘要e是数学中最重要的数学符号之一，称为自然常数，是自然对数的底数。
它最先由瑞士数学家欧拉在1727 年使用。
18世纪以来，数学家们在e值的计算上不断取得成果。
从最初的利用极限的定义计算，到级数、连分数，再到其它各种方法，计算得到的e的近似值精度越来越高。
本文在阅读了相关文献的基础上，选择了七种前人研究的经典而又有代表性的方法来介绍e值的计算，理论上计算了近似值与真实值的误差和收敛速度，比较了各种方法的精度，分析了各种方法的优缺点，并利用MATLAB软件将各种方法编程，近似计算e值，比较结果。
在定义的基础上，结合极限的思想，对极限的定义算法进行了改进。
通过各种方法，可以了解一定的e值计算的历史，掌握计算e值的方法和技巧。
e值的计算是一项伟大的数学工程，随着数学科学的快速发展，e值的计算的方法越来越多。
e值的计算的理论研究很大程度的促进了数学和其它学科的发展。
关键词：自然常数，e值的计算，近似计算IAbstractThe number e is one of the most important symbols in mathematics. It is called Natural Constant. It is natural logarithm base. It was first used in 1727 by Euler who was a Swiss mathematician.Since the 18th century, mathematicians obtained lots of achievements in the calculation of e. It is calculated from the initial definition of limit to series, fractions and other methods. The accuracy of the approximation of e was getting higher and higher.Having read the relevant paper, I select seven kinds of methods which are classical and representative to introduce the calculation of the number e. The paper calculates the deviation between e and its approximation and the convergence rate. It also compares the accuracy of these methods. And it analyzes the advantages and disadvantages of these methods. Also, the paper uses MATLAB to write programs for these methods which will calculate different approximation of e and compares the results. Based on the definition and the thought of limit, it improves the algorithm of the limit of definition. When reading the methods of the calculation of e, we can learn about some history of the research on e more or less and master some methods and skills.The calculation of e is a great mathematical project. With the rapid development of mathematics, the methods of the calculation of e are developing more and more. The theoretical research of the calculation of e promotes much to the development of mathematics and other disciplines.Key words：Natural Constant, the calculation of e, the calculation of approximationII目录第一章前言 (1)1.1 e值计算的意义 (1)1.2 e值计算的历史背景 (1)1.3现有的e值计算方法 (3)1.4研究的基本内容，拟解决的主要问题 (3)第二章e的综合知识 (5)2.1极限定义 (5)2.2 e的无理性和超越性 (8)2.3 e的发展、应用 (11)第三章计算e值的方法 (12)3.1 概述 (12)3.2 七种计算e值的方法 (12)第四章结论与展望 (30)参考文献 (31)致谢 (32)附录 (33)III第一章前言1.1 e值计算的意义e是数学中最重要的数学符号之一，称为自然常数，是自然对数的底数。
用有理方法求e的近似值
用有理方法实现无理数e的近似计算摘要e是自然对数的底数,是一个无限不循环小数,其值是2.71828 无理数e的出现,对于数学学科而言,除了自然指数函数、自然对数函数、双曲函数的相关应用之外,与e有关的研究与结果极为丰富,如欧拉公式的复数形式i e +1=0,被人们称为人类最宝贵财富之一,这一公式巧妙地把纳皮尔常数、虚数单位、圆周率、以及0与1联系在一起.对于e而言,除了在数学学科的发展中的重要意义外,其它自然科学的发展也会处处可见与无理数e有关的痕迹,如物体的冷却、细胞的分裂、细菌的繁殖、放射性元素的衰变等,它也是在今天的银行业中对银行家最有帮助的一个数,此外在考古学的碳-14定年法、古画的铅-210或镭-226鉴定法中也有所涉及.所以精确计算出e的近似值就是一件非常重要和有意义的事情了.关键词：超越数; 无理数; 近似值TO REALIZE THE APPROXIMATE CALCULATION OFIRRATIONAL NUMBER E USING THE RATIONALMETHODABSTRACTE is the base number of natural logarithm,it is infinite and not repeating decimal, Its value is2.71828 ,the emergence of the irrational number e, for the mathematical subject, except the related application of natural exponential function, natural logarithm function, hyperbolic function , the study and results of e is extremely abundant , such as the form of the complex number of Euler Formula i e +1=0. Known as one of the most precious human wealth, this formula take the Napierian logarithm, the imaginary unit, the PI, 0 and 1 are linked subtly. For e, except the important meaning in the development of the mathematical subject ,outside the development of other natural science can everywhere find the trace of irrational number e, such as object cooling, cells dividing,bacterial breeding, the decay of radioactive elements and so on.It is a number that is most helpful for bankers in bank now , in addition it is also involved in Carbon dating-14, Ancient paintings of Pb-210or Ra-226methods produced. So, accurate calculate the approximation of e is very important and meaningful.Key words:transcendental number; irrational number; approximate value目录1.前言 (1)2.e的相关理论 (3)2.1e的定义及证明 (3)2.2以e为底的对数叫做自然对数的原因 (4)2.3e在数学分析方面的应用 (5)3.e是无理数及超越数的证明 (8)3.1证明e是无理数 (8)3.2证明e是超越数 (8)4.e的近似计算 (11)4.1利用数列11nn⎛⎫+⎪⎝⎭极限求e的近似值 (11)4.2利用x e幂级数展开求e的近似值 (13)4.3通过匹配试验计算e的近似值 (15)5.结论 (18)参考文献 (19)致谢 (20)1.前 言e ,作为数学常数,是自然对数函数的底数.有时称它为欧拉数（Euler number ）,以瑞士数学家欧拉命名,也有个较鲜见的名字纳皮尔常数,以纪念苏格兰数学家约翰•纳皮尔引进对数.它就像圆周率π和虚数单位i,e 是数学中最重要的常数之一.它的数值约是（小数点后100位）：e ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274 第一次提到常数e ,是约翰•纳皮尔于1618年出版的对数著作附录中的一张表.但它没有记录这常数,只有由它为底计算出的一张自然对数列表,通常认为是由威廉•奥特雷德(William Oughtred)制作.第一次把e 看为常数的是雅各•伯努利(Jacob Bernoulli).已知的第一次用到常数e ,是莱布尼茨于1690年和1691年给惠更斯的通信,以b 表示.1727年欧拉开始用e 来表示这常数;而e 第一次在出版物用到,是1736年欧拉的《力学》(Mechanica).虽然以后也有研究者用字母c 表示,但e 较常用,终于成为标准.用e 表示的确实原因不明,但可能因为e 是“指数”(exponential)一字的首字母.另一看法则称a,b,c 和d 有其他经常用途,而e 是第一个可用字母.不过,欧拉选这个字母的原因,不太可能是因为这是他自己名字Euler 的首字母,因为他是个很谦虚的人,总是恰当地肯定他人的工作.林德曼在魏尔斯特拉斯定理(Lindemann-Weierstrass)中提到了e 是无理数和超越数,由夏尔•埃尔米特(Charles Hermite)于1873年证明.e 是第一个获证为超越数,而不是像刘维尔数故意构造的.1lim 1xx e x →±∞⎛⎫=+ ⎪⎝⎭实际上e 就是欧拉通过这个极限而发现的,它是个无限不循环小数,其值等于2.71828…….以e 为底的对数叫做自然对数,用符号“ln ”表示.以e 为底的对数（自然对数）和指数,从数学角度揭示了自然界的许多客观规律,比如指数函数“x e ”对x 的微分和积分都仍然是函数本身.后人把这个规律叫做“自然律”,其中e 是自然律的精髓.因此,上述求极限e 的公式被英国科学期刊《物理世界》2004年10月号公布为读者选出的科学界历来“最伟大的公式”之一,并且名列第二.e 在数学中和自然指数函数、自然对数函数、双曲函数的相关应用有着密切的联系,此外e 在医学中也有所涉及,很多增长或衰减过程都可以用指数函数模拟.指数函数还有一个比较重要的方面在于它是唯一的函数与其导数相等,而且e 是无理数和超越数,由于e 具有很多特有的性质,所以研究e 的近似值,无论对于数学的学习还是其它学科的研究和应用,意义都是非常大的.通过对e 的一些性质的了解就更能激发我们进一步探索它的渊源、演变过程及对数学和各个学科的影响,更希望对以后更深入的学习数学分析和高等数学有所帮助.2. e 的相关理论2.1 e 的定义及证明e 是自然对数的底数,是一个无限不循环小数,其值是2.71828 ,它是这样定义的：当n →∞时,11nn ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的极限记做e ,即1lim 1nn e n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭.下面先给出e 做为数列极限的一种证明，后面在求e 的近似值的时候将具体给出1lim 1nn e n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭的证明过程.证明1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭证明：所求证的极限等价于同时成立以下两个极限：1lim 1xx e x →+∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭()21-1lim 1xx e x →-∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭()22-先利用数列极限1lim 1nn e n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭证明(1)式成立.为此,作定义[)1,+∞上的两个阶梯函数如下：()11,1,1,21nf x n x n n n ⎛⎫=+≤≤+= ⎪+⎝⎭()111,1,1,2n g x n x n n n +⎛⎫=+≤≤+= ⎪⎝⎭易见f 增且有上界,g 减且有下界.()lim x f x →+∞与()lim x g x →+∞皆存在.于是,由归结原则（取{}{}n x n =）得到()1lim 11nx f x e n →+∞⎛⎫=+= ⎪+⎝⎭()11lim 1n x g x e n +→+∞⎛⎫=+= ⎪⎝⎭另一方面,当1n x n ≤<+时有 1111111n x n+<+≤++ 以及 11111111nxn n x n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+<+<+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭,即有 ()()11xfx g x x ⎛⎫<+< ⎪⎝⎭,[)1,x ∈+∞.从而根据迫敛性定理(1)式得证. 现证(2)为此作代换x y =-,则1111111yyxx y y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=+ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭,且当x →-∞时y →+∞,从而有1111l i m 1l i m 1111y xx y e x y y -→-∞→+∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⋅+= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭以后还常用到e 的另一种极限形式：()1l i m 1aa a e →+= 事实上,令1a x=,则0x a →∞⇔→,所以 ()11l i m 1l i m 1xa x a e a x →∞→⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭2.2以e 为底的对数叫做自然对数的原因对数函数()log 01a x a a >≠且的导数1log a y e x'=,对于a e =便有1y x '=,即ln y x =有()ln y x ''==1x ,而且只有ln x 的导数才等于1x,其他代数函数如:2y x =等的导数是不可能等于1x 的.这就是说代数函数n y x =不能得到微分为1x dx -的形式,积分是微分的逆运算.所以ln dxx C x=+⎰,就是说一个分式的分子是分母的微分.此分式的积分就是分母以e 为底的对数,只要形状呈()()()()f x dx df x f x f x '=⎰⎰,则()()()ln f x dxf x C f x '=+⎰,这反映了自然界的现象有种种函数关系.而要确立变量之间的函数关系往往需要确立函数的导数或微分的关系式.即微分方程,通过解这种方程,得出所要求的函数关系若方程中存在()()f x dxf x '⎰的项.那么积分后便会出现以e 为底的对数,而且,反映自然界规律的函数关系.总是以指数形式或对数形式出现的,所以必定是以e 为底的对数最能说明以e 为底的指数或对数和自然数界的关系是自然界的复利律(凡函数的导数和函数本身成正比的性质均叫做复利律).我们知道,()x x e e '=即x e 的导数等于其本身.而且一个函数其导数等于其本身的只有x e 所以, 若发现一个函数y , 其导数(变化率)与函数本身成正比.我们便可断定所研究的函数是以e 为底的指数函数或对数函数即dyay dx=±则ax y ce =或ax y ce -=( 其中ac 为常数).若函数的数量是增加的则为正,减少的则为负.由此可知,若写成对数形式,则是以e 为底的对数,除一些经验式外,一般不可能有其它正数为底的指数或对数出现.所以,人们将以e 为底的对数称作自然对数.e 作为数学符号使用最早是欧拉人们为纪念他,才确定用“e ”作为自然对数的底数.2.3 e 在数学分析方面的应用由于数e 不仅是数列11n n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭也是函数()11xf x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当x →∞时的极限,而数学分析的研究对象是函数,确切地说是用极限的方法来研究函数,数学分析中几乎所有的概念都离不开极限,因此数e 这一重要的函数值,在数学分析方面有诸多应用. 1、应用e 求极限利用1lim 1nn e n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭这一重要的极限求出一些函数极限.例:求 2225lim 5x x x x →∞⎛⎫+ ⎪-⎝⎭解: 原式=()2105510221010lim 11log 55x a x f x x x x -→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥+⋅+= ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦10e = ()010a x <≠> 2、应用e 求导数对数函数()()log 010a f x x a x =<≠> 关于x 的导数就是数e 的典型运用. ()()()00limlim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆()0log log lima a x x x xx∆→+∆-=∆0log 1lim a x x x x∆→∆⎛⎫+ ⎪⎝⎭=∆01limlog 1xxa x x x x ∆∆→∆⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 01log lim 1x xa x x x x ∆∆→∆⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1ln x a=3、应用e 计算积分由于()1ln x x '=于是有积分基本公式1ln dx x c x=+⎰.利用这一公式可计算一些积分. 例：计算24dxx x-⎰解: ()()22242222111dx dx x x dx x x x x x x -+==---⎰⎰⎰ 221dx dxx x =+-⎰⎰ 2112121dx dx dxx x x=++-+⎰⎰⎰11121xin C x x+=-++-4 、应用e 判别级数的敛散性这主要是对于含有!n 的数项级数, 可运用司特林公式(()12!201nn n n n e e θπθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭)将!n 表为含有e 的关系式,然后再用柯西或达朗贝尔判别法来判定级数的敛散性.例：判别正项级数12!n n n n n∞=∑的敛散性解:使用柯西判别法2!lim lim n n n n n n n n a n→∞→∞=2!lim nn n n→∞=2212122lim 22lim 221n n n n n n n n e n en e eeθθππ→∞→∞=⋅=⋅⋅=< ∴正项级数12!n n n n n∞=∑收敛5、应用e 求二阶常系数齐次线性微分方程的通解主要是根据指数函数的导数仍然是指数函数这一特性,将二阶常系数齐次线性微分方程转化为特征方程,进而求出此微分方程的通解. 例：求微分方程：250y y y '''++=的通解 解：它的特征方程为:2250r r ++=有一对共轭复根：112r i =-+ ,212r i =--.方程250y y y '''++=的通解 是：()12cos 2sin 2xy eC x C x -=+3. e 是无理数及超越数的证明3.1证明e 是无理数证明：假设e 是有理数,设为q p ,(,p q 为互素自然数) , 任取n p >,则由01!k e k ∞==∑两边同乘以!n 可得()()()11!!!1431,112n e n n n n n n n =++-⋅++++++++ ()*上式左端为正整数,故右端也应为正整数,但右端前1n + 项之和为正整数,而余项之和1n R + 却满足()()()()()11110112123n R n n n n n n +<=+++++++++ ()()()()222211111122111121121112n n n n n n n n n n ⎡⎤++<+++=⋅=<=≤⎢⎥+++++++⎢⎥⎣⎦-+ 即1n R +不是整数,从而()* 式右端不是整数,产生矛盾,所以e 是无理数.3.2证明e 是超越数微积分的出现,使人们对使用以e 为底的指数函数x e 及其反函数ln x 的好处有了更为清醒的认识.如下列运算中不可避免地要出现以e 为底的自然对数:()()1ln ,log ln xxa a aa x x a''==而以e 为底的指数、对数函数在形式上却简单得多: ()ln x '= 1x , 从而ln dx x c x=+⎰, xe 更为特殊,它有任意阶导数且形式不变, 即()()n x x e e = 它是唯一具有这一特性的函数,并有()()n kx n x e k e =, 这一性质在求解微分方程中得到充分的应用.此外,利用以e 为底的指数函数还可定义出一类新的函数--双曲函数: ,22x x x xe e e e shx chx ---+==等.它们与三角函数有许多类似之处,所以猜测e 可能是一个超越数(超越数是不能满足任何整系数代数方程的实数).1873 年, 厄尔米特证明了e 的超越性,具体证明过程如下: 证明：假使e 是代数数, 即存在不全为零的整数01,,,m a a a 使20120m m a a e a e a e +++=()31-第一步,设()f x 是任意n 次多项式,因()()10n f x +=由分部积分公式, 得()()()()()00b bxxnf x e dx ef x f x f x --⎡⎤'=-+++⎣⎦⎰记 ()()()()n F x f x f x f x '=+++ 则 ()()()00bbbx e F F b ef x e dx -=+⎰()32-在()32- 式中依次令0,1,2,,,b m =得 ()()000,e F F =()()()11101xe F F ef x edx -=+⎰()()()222002x e F F e f x e dx -=+⎰()()()00mm m x e F F m e f x e dx -=+⎰ 将以上各式依次乘以01,,,m a a a 并相加.得()()()()()201201001mm m F a a e a e a ea F a F a F m +++=++++()01mii x i i a e f x e dx -=∑⎰0=()33-第二步,由()1 式可知,对任意一个多项式()f x ,()3式均成立.因此只要能找到一个多项式()f x ,使()3 式不成立即可. 令()()()()()11121p p pp f x x x x x m p -=---- 其中p 是大于m 和0a 的素数, 这个多项式的p 阶或更高阶导数具有整系数.且由于()()11!p n n n n p c p --+=⋅所以()f x 的p 阶或更高阶导数必能被p 整除,因()f x 及其前1p -阶导数在1,2x m = 处均为零,则()()()1,2,F F F m 都是p 的整数倍,但当0x =时, ()f x 只有()()()()20000p f f f-'==== 且()()()101!pmp fm -⎡⎤=-⎣⎦, 此时 ()()()()()()()110000p p mp p F f f f -+-=+++ 于是()0F 不能被p 整除.又因p 是大于m 与0a的素数,所以0a 不能被p 整除, 从而()()()0101m a F a F a F m +++ 不能被p 整除,故不等于零.再考察()3中另一部分()01mii x i i a e f x e dx -=∑⎰在区间[]0,m 上,有()()()()11001!1!mp p mp p ii x xm m f x e dx f x e dx p p +-+---<<--⎰⎰而且, 若令01m a a a a =+++ 则 ()()()()()11111!1!p m mp p mii x m m mi i m ma e f x e dx ae ae mp p -++--=<⋅=--∑⎰,因()1lim 01!mp p p m p +-→∞=- 所以当p 充分大时,()01m i ix i i a e f x e dx -=∑⎰可任意小, 可见()3 式右端之和不能等于零,这就产生了矛盾.所以e 不是代数数,故e 是超越数.4. e 的近似计算4.1利用数列11nn ⎛⎫+ ⎪⎝⎭极限求e 的近似值利用熟知的几何平均与算术平均关系不等式, 即对()01,2,i x i n ∀>= 有1212n nn x x x x x x n++≥ ()1成立, 其中等号当且仅当: 12n x x x === 时成立. 1)单调性因()1对任意自然数n 成立,对1n +也成立. 令()111,1,2,,1i n x i n x n+=+== 则由()1有 11111111111n n n n n n n +⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭+⋅<=+⎪++⎝⎭()2 111111n n n n +⎛⎫⎛⎫∴+<+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭故数列11nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭单调递增.2)有界性令()11111,2,,1ni n n n x i n x k k -+⎛⎫=+==+ ⎪⎝⎭,其中k 为大于1的正整数.代入()1有1111111111nnnn n n n n n k k k k n --+⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭++< ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭整理得()111111nn n k n n k k k -⎛⎫⎛⎫-+>+-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭即 111nk kn k k k ⎛⎫-⎛⎫+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()3由()2,()3有 1111nk nn n k ⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()4故数列11nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭有上界.根据数列极限的单调有界准则知11nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭必定收敛.我们用常用对数的工具,能求出e 的近似值,并由误差估计可知,这种近似值可以达到相当高的精确度.为此,我们先证()4式右端随k 的增大而单调减少.对正整数(),1n k k >,改写 ()4为1111nk kkn k k k k k ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫<+< ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()4'由()2知,()4'左端随k 增大而单调增加.现证右端单调减少.事实上,令 ()11,1,2,,i x i n k =-= 11k x += ,由()1有 111111111k k k k k k k k +⎛⎫-+ ⎪⎛⎫⎝⎭-⋅<=⎪++⎝⎭11111111k kk k k k k ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴-<-++即 111kkk k k -⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为单调增加序列,从而1kk k ⎛⎫⎪-⎝⎭为单调减少序列.将()4'两端相减得121111101111k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ---⎡⎤++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-=-+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()()12111111k kk k k k k k k k k k k --+-⎛⎫⎛⎫<⋅= ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭1kk k ⎛⎫ ⎪-⎝⎭ 为单调减少序列,故当2k ≥时,都有224121nk k ⎛⎫⎛⎫≤= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭又1lim 0k k →+∞= , 1lim 01k k k k k k k →+∞⎡⎤+⎛⎫⎛⎫∴-=⎢⎥ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦因此()4'两端当k →∞时都趋于e ,如果将()4'左端作为e 的不足近似值,右端作为过剩近似值,随着k 的增大,其相对误差将越来越小.从而这些近似值的精确度将越来越高.令1,1kkk k k k A B k k +⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,利用常用对数的工具,取不同的k 值,就得到e 的具有不同精确度的近似值,如果取此两者的算术平均值()12k k k C A B =+作为e 的近似值,则其精确度将会更高我们选取某些特定k 值,制成下表ke 的不足近似值e 的过剩近似值两者的算数平均值1kk k A k +⎛⎫= ⎪⎝⎭ 相对误差 1kk k B k ⎛⎫= ⎪-⎝⎭相对误差 ()12k k k C A B =+ 相对误差2 2.25 21710-⨯ 4 24710-⨯ 3.125 21510-⨯3 2.370370 21310-⨯ 3.375 22410-⨯ 2.872685 2610-⨯ 10 2.593742 2510-⨯ 2.867972 2910-⨯ 2.730857 3510-⨯ 1002.7048143510-⨯ 2.731999 3510-⨯ 2.718407 5510-⨯ 1000 2.716924 4510-⨯ 2.719642 4510-⨯ 2.718283 7410-⨯ 10000 2.7181465510-⨯2.7184185510-⨯2.7182829810-⨯由此可见, 在证明数列11nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭的极限存在之后, 利用常用对数作为工具,就能顺利求出e 的近似值.因此本文介绍的方法是行之有效的, 也是比较容易掌握的,4.2利用x e 幂级数展开求e 的近似值上面我们提到利用数列11nn ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的极限求e 的近似值,由于在n 取值较小时收敛速度较慢，通过改进，从等式1lim 1nx e n →∞⎛⎫=+ ⎪⎝⎭出发, 11nn x n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭展开1111211111112!!n k x n k n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++---++ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111!n n n n -⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,在此等式中固定自然数k ()k n ≤,弃去1k +项以后各项, 可得 111121211112!!k e n k n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥+-++--- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ,当n →∞时,有11122!3!!n e y k ≥+++++=对任何自然数k 成立, 即n y e ≤,又根据n x 的表达式,得11122!3!!n n x y n <+++++=由夹逼准则, 有 01lim !n n n y e n ∞→∞===∑事实上, 这正是xe 的幂级数展开式 0!nxn x e n ∞==∑中令1x =时所得结果. 当0x =时有)()()()()()200002!!n nn f f f x f f x x x R x n '''=+++++()麦克劳林公式（其中()n R x 是拉格朗日余项,泰勒公式还有佩亚诺型余项()(())n n o x R a x =-,柯西余项()(1)(1)(())()/!n n f n a x x x R a a n θ+=++--等）当1x =时有 ()()11111,012!3!!1!e e n n θθ=++++++<<+ 故 ()()()311!1!n e R n n θ=<++, 故 ()()111311,012!3!!1!e n n θ≈++++++<<+ 当2n =时,便有 2 2.5e = ,()2310.53!R <=, 3e ≈ 同理 当5n =时 5 2.758333333e =,()25311106!720R -<=<, 2.762433333e ≈ 当7n =时 7e =2.75992063,()47311108!40320R -<=<, 2.759994634e ≈ 从而略去()1n R 而求得e 的近似值 2.71828183e ≈这种计算e 的近似值的方法在知道了111112!3!!e n =+++++ 和误差估计公式的情况下收敛速度较快，误差较小.4.3通过匹配试验计算e 的近似值通过一个著名试验——匹配试验, 来构造无理数e 的估计公式. 在高等数学中, e 常通过下列两式近似得到：1、由1lim 1n n e n →∞⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,得到 11nn e e n ⎛⎫=+≈ ⎪⎝⎭ ()n 充分大 ()12、由01!n e n ∞==∑,得到 01!nn i e e i ==≈∑()2 ()2式的近似误差为()31!n e e n -≤+因而近似效果很好.下面通过“匹配试验”构造e 的估计公式的基本思想是: 在“匹配试验”中寻找概念与e 或e 的近似值相关的随机事件, 利用“频率稳定于概率”的结论, 得到e 的频率估计公式.e 的估计公式概率论中著名的“匹配试验”是: 某人写了n 封不同的信, 又写了n 个不同地址的信封, 然后将n 封信随机地放入n 个信封内. 在此试验中我们关心 {}n A =没有一封信装对地址 显然 ()()()001=!knn n P A p n k =-∑,故 ()10p n e -≈ ()3 不妨令 ()10n r e p n -=- ,即()10n e p n r -=+ 其中()31!n r n ≤+ ,因而()3式近似程度很高.若将匹配试验独立地重复N 次, 若n A 发生()k N 次, 由贝努里大数定律()()0k N pNp n −−−→ ()N →∞ , 即 ()()0k N p n N ≈ ,所以 ()1k N e N-≈.从而得到e 的估计公式()()ˆNeN k N = ()4 匹配试验的模拟与e 的估计在实际试验时, 考虑n A 不如考虑n A 方便. {} n A =至少有一封信与地址一致, 显然 ()11n p A e -≈-利用扑克进行匹配试验并对e 进行了估计.方法是：取扑克中两种花色共26张牌, 每次随机取两张,若成对则认为是一个匹配.试验时,先将牌充分洗匀,若出现对子时停止试验.洗匀后再进行下一轮试验,否则摸完26张牌.共进行了2500次试验,有对子出现的有1578次.则()922k N =由()4 ,()()ˆ 2.711496746eN N k N == 而 2.718281828e ≈ ,故 ()3ˆ 6.810eN e --<⨯ 在给定置信概率1α-时, e 的近似区间估计为e 的()()()()()()111\1\221,1N N k N k N k N k N U k N U k N N N N N αα----⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪+--- ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 证：由于()()()()()0110,1k N p n Nk N k N N N N N -⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭−−−−−−→ ()N →∞对置信概率1α-,()0p n 的置信上、下限分别为 上限：()()01\2N k N p n U N α-=+ ()()1k N k N N ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ;下限：()()01\2N k N p n U N α-=- ()()1k N k N N ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 由于()10p n e -≈,故e 的近似置信上、下限分别为:()01\u e p n ≈ ,()01\L e p n ≈ 利用上述性质可以得到e 的 95%的区间估计为 []2.579226,2.858067若要使()ˆeN 估计e 的精度达到410- (()195%α-=,N 需94.87710⨯次, 显然手工试验是十分困难的. 随着计算机的出现和发展, 可以把真正的匹配试验利用统计模拟试验方法来代替, 即把匹配试验在计算机上实现.5.结论通过对e的近似值的研究,我们知道了e在生产生活中的重要性,它和数学研究以及其他自然科学都有着密切的联系.通过几种求e的近似值的方法的比较,可以看出利用x e幂级数展开求e的近似值是传统的方法,按部就班,便于理解;利用数列11nn⎛⎫+⎪⎝⎭极限求e的近似值在n取到10k,k的值较大时精确度较高,操作简便;匹配试验的模拟与e的估计是试验的方法虽然理论性强,但是操作复杂,有了计算机的辅助作用也不失为一种求e的近似值的好的方法.以上几种方法都能达到 2.71828183e≈ 的效果.通过本文更是证明了数学是一门基础科学,它是描述大自然与社会规律的语言,是科学与技术的基础,也是推动科学技术发展的重要力量,它是人类生产生活必不可少的工具,它使我们的生活变得更快捷,更准确.[1] 华东师范大学数学系,《数学分析》,上册,高等教育出版社,1997年:134页-139页[2]M·克莱因.古今数学思想[M].上海：上海科学技术出版社,1979.[3]华东师范大学数学系编.数学分析[M].北京：高等教育出版社,1981.[4]闵鹤嗣，严士健.初等数论[M].北京：人民教育出版社,1982.[5]张楚廷. 数学文化[M]. 北京:高等教育出版社,2000.[6]刘玉琏．教学分析．北京：高等教育出版社，1994[7]吕世虎等.从高等数学看中学数学[M].北京: 科学出版社, 1995年:47页-57页.[8]宋秉信.湘潭教育学院.怀化师专学报,1998年;第17 卷:第2 期.[9]孙本旺译. 数学分析[M]. 湖南: 湖南人民出版社, 1981年:318页- 322页.[10]格.马.菲赫金哥尔茨.吴亲仁.陆秀丽译.数学分析原理( 第一卷, 第一分册) [ M] . 北京: 人民教育出版社, 1979年:96页- 102页.[11]张新仁,徐化忠山.东电大学报,2002 年第3 期.致 谢本文是在刘文莉老师精心指导下完成的.刘老师以其严谨求实的治学态度、认真踏实的工作作风对我产生了深刻的影响.通过此次毕业论文写作,我也学到了许多数学教学理论方面的知识,对于现在数学在生活中的应用也有了较深入的了解.其次,我要感谢父母对我的供养与支持,使我得以完成学业.诚挚的感谢鞍山师范学院教过我的所有老师,四年来精心的教导与栽培.感谢四年来与我朝夕相伴、同甘共苦的同学们.在老师和同学的细心帮助下,使得我的论文得以顺利完成.谢谢！。
自然常数e详解
自然常数e详解作者：崔艳吴娟来源：《科教导刊·电子版》2018年第08期摘要自然常数e是最重要的数学常数之一，人们对它却知之甚少，通过对自然常数e 的由来、含义、e在实际计算中的应用及含有e的公式为例，详细解释了这个重要的无理数。
关键词自然常数极限欧拉公式中图分类号：TP274 文献标识码：A自然常数e和圆周率，黄金分割数一起被称为“三大数学常数”及“三个最著名无理数”，和圆周率及虚数单位i一样，e是最重要的数学常数之一，自然常数的知名度比圆周率低很多。
e通常用作自然对数的底数，还经常出现在数学和物理学之中，但它从哪里来？它究竟是什么意思？1自然常数e的由来在18世纪初，数学大师莱昂哈德·欧拉（Leonard Euler）发现了这个自然常数e（又称欧拉数）。
当时，欧拉试图解决由另一位数学家雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）在半个世纪前提出的问题。
伯努利的问题与复利有关。
假设你在银行里存了一笔钱，银行每年以100%的利率兑换这笔钱。
一年后，你会得到（1+100%）1=2倍的收益。
现在假设银行每六个月结算一次利息，但只能提供利率的一半，即50%。
在这种情况下，一年后的收益为（1+50%）2=2.25倍。
而假设银行每月提供8.3%（100%的）复利息，或每周1.9%（100%的）复利息。
在这种情况下，一年后你会赚取投资的（1+）12=2.61倍和（1+）52=2.69倍。
根据这个规律，可以得到一条通式。
如果假设n为利息复利的次数，那么利率就是其倒数，一年后的收益公式为（1+）n。
那么，如果n变得很大，会怎样？如果n变得无限大，那（1+）n是否也会变得无限大？这就是伯努利试图回答的问题，但直到50年后才由欧拉最终获得结果。
当n趋于无穷大时，（1+）n并非也变得无穷大，而是等2.718281828459……事实上e就是通过这个极限而发现的，这是一个类似于圆周率的无限不循环小数（即无理数），1727年欧拉首次用小写字母“e”表示这常数，此后遂成标准，被称为自然常数。
无理数
摘要在实数系中，无理数和有理数相比较，无理数更为抽象，但它在实数系中是不可缺少的，占着重要的枢纽地位。
同时，它也是数系扩充的重要组成部分，即有理数系扩充到实数系。
对于无理数证明的研究，一方面，极大地促进了数学演绎推理的发展；另一方面，也体现了数学研究的严谨性。
因此，在研究无理数时，对于一些常见无理数的证明是非常重要的。
文章首先归纳了方根型无理数的证明方法，然后利用幂级数展开式和定积分的知识论证了一些特殊类型的无理数，最后，验证了 ，e的超越性，并借助Lindemann-Weierstrass定理证明在一定条件下的代数数的三角函数值与反三角函数值的无理性。
关键词：无理数，有理数，超越数ABSTRACTIn the real number system, irrational number is more abstract than rational number, but irrational number are indispensable and occupies an important key position in the real number system. Meanwhile, they are an important part when the rational number system is expanded to the real number system. The study of the proof of irrational number greatly promotes the development of mathematical rational deductive inference. At the same time, it also shows the rigorousness of mathematics. Therefore, the proofs of some common irrational numbers are extremely important. Firstly, the article generalizes the methods to prove irrational numbers with root type. Secondly, it uses the knowledge of power series expansion and definite integral to prove some irrational numbers with special types. Finally, the article demonstrates the transcendence of and e. Moreover, it uses Lindemann-Weierstrass theorem to prove the irrationality of trigonometric function value and anti-trigonometric function value under certain conditions.Key Words:irrational number, rational number, transcendental number目录摘要 (I)ABSTRACT ............................................ I I 一引言 . (1)二有理数与无理数的定义和性质 (1)2.1有理数与无理数的定义 (1)2.2相关性质 (1)三无理数的判定方法 (3)3.1 方根型无理数的证明 (3)3.2 幂级数证明方法 (9)3.3 利用定积分证明 (12)3.4 超越数证明法 ............................................................... 错误！未定义书签。
泰勒定理
泰勒定理，函数极值判定当一个函数给出了具体表达式后，有的函数值并不是很容易计算，例如f(x)＝e x，f(0.312)＝e 0^312，若用十进制表示，如果不借助计算器或查表是很难计算出来的。
如何解决这一难题，多项式函数是各类函数中最简单的一种，因为它只需用到四则运算，从而使我们想到能否用多项式近似表达一般函数，实际上这是近似计算与理论分析的一个重要内容。
若函数为n 次多项式f(x)＝a ０+a 1（x-x ０）＋a ２（x-x ０）２＋……＋a n (x-x ０)n(1) 逐次求它在x=x ０处的各阶导数，有f(x ０)＝a ０，f ′（x ０）＝a １，f ″（x ０）＝2!，a ２，……，f (n)(x ０)＝n!a n即 a ０＝f(x ０)，a １＝f ′（x ０），a ２＝!2)x ("f 0……，a n ＝!n )x (f 0)n (因而(1)式可写为f(x)=f(x ０)+f ′（x ０）（x －x ０）＋!2)x ("f 0 (x －x ０)２＋……＋!n )x (f0)n ( (x －x ０)n(2)所以多项式f(x)的各项系数由其各阶导数值唯一确定对一般函数f(x)，若存在直到n 阶导数，则按(2)式右端也可以相应地写出一个多项式，记作P n (x)，则P n (x)＝f(x ０)＋!1)x ('f 0 (x-x ０)＋!2)x ("f 0(x-x ０)２＋……＋!n )x (f 0)n ( (x-x ０)n 那么f(x)与P n (x)之间有什么关系呢，由拉格朗日定理知，若f(x)在x ０的邻域内存在一阶导数，则f(x)－f(x ０)＝f ′(ζ)(x －x ０) 即 f(x)＝f(x ０)＋f ′（ζ）(x －x ０) 若f(x)在x ０的邻域内存在n+1阶导数，则f(x)=P n (x)＋Ｋ（x －x ０）n ＋１k 与f （n+1）（ζ）有关，因此，我们猜想f(x)=P n (x)＋)!1n ()(f)1n (+ξ+ (x-x ０)n+1因此，有定理(泰勒(Taloyr )定理) 设函数f(x)在区间X 上存在n ＋1阶导数，对每一个x ０∈X ，则任给x ∈X,有 f(x)＝P n (x)＋)!1n ()(f )1n (+ξ+ (x －x ０)n＝f(x ０)＋f ′（x ０）（x －x ０）＋!2)x ("f 0 (x －x ０)２＋……＋!n )x (f0)n ( (x －x ０)n ＋)!1n ()(f )1n (+ξ+ (x-x ０)n(1)ζ介与x ０，x 之间的某一点。
证明e是无理数
证明e是无理数
关于e是无理数的证明，可以用反证法。
如果e是有理数，则可以表示成为两个互质的整数的商，即:e等于p/q，其中p,q都是大于1的正整数。
于是p/q等于e等于1加1/1!加1/2!加1/3!加...加1/q!加1/(q加1)!加1/(q加2)!加...将上式整理一下，得到q!(p/q-1-1/1!-1/2!-...-1/q!)等于1/(q加1)加1/((q加1)(q加2))加1/((q加1)(q加2)(q加3))加...很显然，这个式子的左端是一个整数，而对右端的式子，有0<1/(q加1)加1/((q加1)(q加2))加1/((q加1)(q加2)(q加3))加...<等于1/(q加1)加1/((q加1)(q加2))加1/((q加2)(q加3))加...等于1/(q加1)加1/(q加1)-1/(q加2)加1/(q加2)-1/(q加3)-...等于2/(q加1)<1导出矛盾来了，所以e是有无理数。
1873年，埃尔米特还证明了，e是超越数，即它不可能是任何整系数多项式方程的根。
自然底数e无理数证明
自然底数e无理数证明（原创版）目录1.引言：介绍自然底数 e 和无理数的概念2.e 的历史和发展3.e 的无理性证明4.结论：总结自然底数 e 的无理性正文1.引言自然底数 e 是一个重要的数学常数，它约等于 2.71828。
在数学领域，e 经常出现在各种公式和函数中，如指数函数、对数函数等。
无理数是指不能表示为整数之间的比例的实数，其小数部分既不会终止也不会循环。
自然底数 e 就是一个典型的无理数。
本文将介绍 e 的历史和发展，并重点讨论 e 的无理性证明。
2.e 的历史和发展自然底数 e 的概念最早可以追溯到 17 世纪，当时数学家们试图找到一个常数，使得函数 (1 + x)^(1/x) 在 x 趋近于 0 时的极限等于这个常数。
18 世纪，瑞士数学家欧拉在研究指数函数时发现了 e 的特殊性质，并提出了 e 的概念。
随着数学研究的深入，人们逐渐认识到 e 在数学中的重要地位，如 e 是自然对数函数的底数，满足指数函数的性质等。
3.e 的无理性证明虽然自古以来，人们都知道 e 是一个无理数，但是直到 20 世纪初，数学家们才给出了 e 的无理性证明。
e 的无理性证明方法有很多，其中最著名的证明方法是利用泰勒级数。
首先，我们考虑函数 f(x) = e^x - x - 1。
我们可以求出 f(0) = 0，然后求 f"(x)，得到 f"(x) = e^x - 1。
令 f"(x) = 0，解得 x = 0。
接下来，我们研究 f""(x)，得到 f""(x) = e^x > 0，说明 f(x) 在 x = 0 处取得极小值。
因此，当 x > 0 时，f(x) > 0；当 x < 0 时，f(x) < 0。
由此可知，函数 f(x) 在实数域上没有零点，即 e^x ≠ x + 1。
这就意味着 e 是一个无理数。
极限e的证明与求法
极限e的证明与求法极限e是一个很重要的数学概念，它常常出现在高等数学中，是一个代表极限概念的重要数学常量。
极限e是一个无理数，它的值接近于2.7182818。
本文旨在论述极限e的证明与求法。
极限e的概念最早出现在18世纪，由Leonhard Euler提出。
如果我们用公式来定义极限e，可以使用如下公式：e= lim n→∞ (1 + 1/n)^n该公式指出，当n无穷大时，极限e就等于(1 + 1/n)^n.因此，通过计算该公式，我们就能得出e的值。
极限e的公式还可以用另一种方式进行定义，即：e= lim x→0 (1 + x)^1/x该公式指出，当x取到0的极限时，极限e为(1 + x)^1/x.因此，我们也可以通过计算该公式，得出e的值。
要求法求e的值，可以利用牛顿迭代法进行求解，即迭代公式为：Xn+1 = Xn - F(Xn)/F(Xn)在此，Xn表示极限e的第n次估计值；F(Xn)表示我们要求解的函数；F(Xn)表示F(Xn)在Xn处的导数值。
牛顿迭代法可以让我们快速求出极限e的近似值，当我们在Xn 处求得的值满足某一个精度要求时，我们就可以停止迭代，得出e的值。
除了通过牛顿迭代法求极限e之外，还可以利用Taylor级数求解。
Taylor级数首先将极限e定义为e= lim x→0 (1+x)^1/x,然后将上式代入Taylor级数：e= lim x→0 (1+x)^1/x= 1 + x/2! + x^2/3! + x^3/4! +通过上式，我们可以将e的值求得极其精确。
另外，我们还可以利用Stirling公式推导极限e：e^n = lim n→∞ (n!/e^n)^1/n = lim n→∞ n^(n+1/2) e^(-n) 将上式代入Taylor级数：e^n =∞ (n!/e^n)^1/n =∞ n^(n+1/2) e^(-n) = 1 + 1/2! + 1/3! + 1/4! +这样我们就得到了极限的值：e= lim n→∞ (n!/e^n)^1/n 。
那些神秘的数学常数
那些神秘的数学常数集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#那些神秘的数学常数我一直觉得，数学中的各种常数是最令人敬畏的东西，它们似乎是宇宙诞生之初上帝就已经精心选择好了的。
那一串无限不循环的数字往往会让人陷入一种无底洞般的沉思——为什么这串数字就不是别的，偏偏就是这个样呢。
除了那些众所周知的基本常数之外，还有很多非主流的数学常数，它们的存在性和无理性同样给它们赋予了浓重的神秘色彩。
今天，就让我们一起来看一看，数学当中到底有哪些神秘的无理常数。
√2 ≈古希腊的大哲学家 Pythagoras 很早就注意到了数学与大千世界的联系，对数学科学的发展有着功不可没的贡献。
他还创立了在古希腊影响最深远的学派之一—— Pythagoras 学派。
Pythagoras 学派对数字的认识达到了审美的高度。
他们相信，在这个世界中“万物皆数”，所有事物都可以用整数或者整数之比来描述。
第一个无理数√2 的发现者就是一位 Pythagoras 学派的学者，他叫做 Hippasus 。
据说，一日 Hippasus 向 Pythagoras 提出了这样的问题：边长为 1 的正方形，对角线长度能用整数之比来表示吗 Pythagoras 自己做了一些思考，证明了这个数确实无法用整数之比来表示。
由于这一发现触犯了学派的信条，因此 Pythagoras 杀害了 Hippasus 。
利用勾股定理可知，这个数是方程 x^2 = 2 的唯一正数解，我们通常就记作√2 。
√2 可能是最具代表性的无理数了，我们之前曾经介绍过很多√2 的无理性的证明。
无理数的出现推翻了古希腊数学体系中的一个最基本的假设，直接导致了第一次数学危机，整座数学大厦险些轰然倒塌。
无理数虽说无理，在生产生活中的用途却是相当广泛。
例如，量一量你手边的书本杂志的长与宽，你会发现它们的比值就约为。
这是因为通常印刷用的纸张都满足这么一个性质：把两条宽边对折到一起，得到一个新的长方形，则新长方形的长宽之比和原来一样。
自然对数的底数e的值
自然对数的底数e的值
e有时被称为自然常数，是一个约等于2.718的无理数。
以e为底的对数称为自然对数，数学中使用自然这个词的还有自然数。
e是自然对数的底数，是一个无限不循环小数，其值是2.71828……，是这样定义的：当n->∞时，(1+1/n)^n的极限。
注：x^y表示x的y次方。
随着n的增大，底数越来越接近1，而指数趋向无穷大，那结果到底是趋向于1还是无穷大呢？其实，是趋向于2.71828……，不信你用计算器计算一下，分别取
n=1,10,100,1000。
但是由于一般计算器只能显示10位左右的数字，所以再多就看不出来了。
e在科学技术中用得非常多，一般不使用以10为底数的对数。
以e 为底数，许多式子都能得到简化，用它是最“自然”的，所以叫“自然对数”。
无理数的认识
01
02
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无限不循环： 无理数是无限 不循环的小数， 无法用分数表 示。
稠密性：无理 数在实数轴上 稠密分布，即 任意两个有理 数之间都存在 无理数。
连续性：无理 数在实数轴上 连续分布，即 任意两个无理 数之间都存在 其他无理数。
非代数性：无 理数不能通过 四则运算和开 方运算得到， 即无理数不是 代数数。
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无理数在数学中广 泛应用，理解无理 数有助于学生解决 实际问题，提高数 学应用能力。
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无理数是数学思维 的重要体现，理解 无理数有助于培养 学生的逻辑思维能 力和抽象思维能力。
无理数在数学教育 中具有重要意义， 理解无理数有助于 学生认识数学的严 谨性和科学性，提 高数学素养。
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提高学生的数学素养和数 学应用能力
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帮助学生理解数学的抽象 性和严谨性
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激发学生对数学的兴趣和 探索精神
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无理数是初中数学的重要内容
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无理数的概念、性质和运算是中考数学的 必考知识点
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中考数学试卷中，无理数相关的题目占比 较大
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掌握无理数的相关知识，有助于提高中考 数学成绩
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无理数是数学中的 基本概念，理解无 理数有助于学生掌 握数学的基本原理 和规律。
05
根号5：用于计算正五边形的边长等
0 2 自然对数的底e：用于计算指数函数、 对数函数等
根号3：用于计算直角三角形的斜边 长度等
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0 6 根 号 7 ： 用于计算正七 边形的边长等
01
计算机科学中的数值计算：无理数在计算机科学中的数值 计算中发挥着重要作用，例如在数值分析、科学计算等领
e的由来
1 1 1000 2.71692元 1000
这令财主大失所望。他以为，结帐次数越多，利息也就增
长得越快。财主根本不知道，
但增
1
1 n
n
的值是随n的增大而增大，
加的数额极其缓慢；并且，不管结算多少次，连本带利的
总和不可能突破一个上限。数学家欧拉把
1
1 n
n
极限记作e，e=2.71828…，即自然对数的底。
湖北宜昌市何老师工作室
• 第一次提到常数e，是约翰•纳皮尔于1618年出版 的对数著作附录中的一张表。但它没有记录这常 数，只有由它为底计算出的一张自然对数列表， 通常认为是由威廉•奥特雷德(William Oughtred) 制作。第一次把e看为常数的是雅各•伯努利 (Jacob Bernoulli).
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• 欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学 家，称为数学界的莎士比亚。据统计他那 不倦的一生，共写下了886部书籍和论文， 其中分析、代数、数论占40%，几何占 18%，物理和力学占28%，天文学占11%， 弹道学、航海学、建筑学等占3%。彼得堡 科学院为了整理他的著作，足足忙碌了47 年！数学史上称18世纪为“欧拉时代”。
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• 财主算了算，结算3次，利率为，1元钱一
年到期的本利和是：
1
1 3
2.37037元
3
• 结算4次，1元钱到一年时还。
1
1 4
2.44140元
4
• 财主还想，一年结算1000次，其利息是：
1
1
1000
湖北宜昌市何老1师0工00作室
• 这么大的数，年终肯定发财了。可是，财 主算了算，一元钱结帐1000次，年终还的 金额只有：
无理数e的故事
１ 由图形可知 ｃ＝１， ａ＝ ， ２ ３ ２ ２ ２ 所以 ｂ ＝ ｃ － ａ ＝ ． ４ 注意到 Ａ Ｃ 边大于 Ａ Ｂ 边， 所以 Ａ 点的轨迹方程为
２ ２ １ ｘ ｙ （ ｘ≥ ） － ＝１ １ ３ ２ ４ ４
又因为 Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ·２·｜ ３， ｜＝槡 ｙ Ａ ２ 所以 ｙ ３ Ａ ＝槡
２ ） ， ， 第 二 年 年 末 的 时 候 是 Ｐ（ 依 Ｐ（ １ ＋ ｒ １＋ ｒ）
） 浙江省温州市第二高级中学 （ ０ ０ ７ ３ ２ ０ 唐胜忠
人教版必修一有 在讲到对数函数的 时 候 ， “ 这样一句话 ： 另外 ， 在科 学 技 术 中 常 使 用 以 无 … 为底数的 对 数 ， 以ｅ 为 底 的 理数ｅ ７ １ ８ ２ ８ ＝ ２ ． ， 并且 对数称 为 自 然 对 数 （ ｕ ｒ ａ ｌ ｌ ｏ ａ ｒ ｉ ｔ ｈ ｍ） ｎ ａ ｔ ｇ ” 很多心细的同学对这句话 把ｌ ｏ ｎ Ｎ 记为ｌ Ｎ． ｇ ｅ ， 充满了好奇 ． 对 于 无 理 数π 同学们已经非常的 熟悉 ， 它的历史可以追溯到古代 ， 而无 理 数ｅ 的 数 字π 起 源 于 一 个 几 何 历史不过 ４ ０ ０ 年 左 右． 问题 ： 怎样得到圆的周长和面积 ． 数字ｅ 的 起 源 就不是那么清晰了 ， 它似乎可以追溯到 １ ６ 世纪 １ ｎ 在 增 的一个发现 ， 即复利计算公式（ ｎ １＋ ） ｎ 大时趋于某个固定的极限值 ， 约为 ２ ． ７ １ ８ ２ ８ ． １ ｎ 在 很大时的规 乍一看 ， 表达式 （ ｎ １ ＋ ） ｎ 律确实很令人费解 ． 如果 我 们 只 考 虑 表 达 式 中 的底数 １＋ １， １越来越接近 ， 当 ｎ 增 大 时， ０ ｎ ｎ
５ ２ 得 ４ ｘ －４＝１，即 ｘ＝槡 ． ② 代入 ① ， ２ ５， ） 槡 ） ， ） 所以 Ａ（ ３， Ｃ（ Ｂ（ －１， ０ １， ０ ． 槡 ２
无理数e
无理数ee是自然对数的底数，是一个无限不循环小数，其值是2.71828……，是这样定义的：当n->∞时，(1+1/n)^n的极限。
注：x^y表示x的y次方。
随着n的增大，底数越来越接近1，而指数趋向无穷大，那结果到底是趋向于1还是无穷大呢？其实，是趋向于2.71828……，不信你用计算器计算一下，分别取n=1,10,100,1000。
但是由于一般计算器只能显示10位左右的数字，所以再多就看不出来了。
e在科学技术中用得非常多，一般不使用以10为底数的对数。
以e为底数，许多式子都能得到简化，用它是最“自然”的，所以叫“自然对数”。
这里的e是一个数的代表符号，而我们要说的，便是e的故事。
这倒叫人有点好奇了，要能说成一本书，这个数应该大有来头才是，至少应该很有名吧？但是搜索枯肠，大部分人能想到的重要数字，除了众人皆知的0及1外，大概就只有和圆有关的π了，了不起再加上虚数单位的i=√-1。
这个e究竟是何方神圣呢？在高中数学里，大家都学到过对数（logarithm）的观念，也用过对数表。
教科书里的对数表，是以10为底的，叫做常用对数（common logarithm）。
课本里还简略提到，有一种以无理数e=2.71828……为底数的对数，称为自然对数（natural logarithm），这个e，正是我们故事的主角。
不知这样子说，是否引起你更大的疑惑呢？在十进位制系统里，用这样奇怪的数为底，难道会比以10为底更「自然」吗？更令人好奇的是，长得这么奇怪的数，会有什么故事可说呢？这就要从古早时候说起了。
至少在微积分发明之前半个世纪，就有人提到这个数，所以虽然它在微积分里常常出现，却不是随著微积分诞生的。
那么是在怎样的状况下导致它出现的呢？一个很可能的解释是，这个数和计算利息有关。
我们都知道复利计息是怎么回事，就是利息也可以并进本金再生利息。
但是本利和的多寡，要看计息周期而定，以一年来说，可以一年只计息一次，也可以每半年计息一次，或者一季一次，一月一次，甚至一天一次；当然计息周期愈短，本利和就会愈高。