《数学物理方法》第一章.ppt

一元三次方程 x3 px q 0 (其中 p,q 为实数)的求根公
式，通常也叫做卡丹诺（Cardano）公式：
x 3 q (q)2 ( p)3 3 q (q)2 ( p)3
22 3
22 3
需特别指出：可以证明当有三个不同的实根 时，若要用公式法来求解，则不可能不经过负数 开方(参考：范德瓦尔登著《代数学》,丁石孙译, 科学出版社，1963年)。至此，我们明白了这样 的事实，此方程根的求得必须引入虚数概念。
欧拉公式
注意
在三角表示和指数表示下，两个复 数相等当且仅当
模相等且幅角相差2kπ
复数的运算
设z1=x1+iy1和 z2=x2+iy2是两个复数 加减运算 z1 + z2 =(x1 + x2) +i(y1 + y2 )
- z2
z1 +(- z2)
复数加减法满足平 行四边形法则，或 三角形法则
乘法运算
卡丹诺公式出现于十七世纪，那时虚数的地
位就应确定下来，但对虚数的本质还缺乏认识。 “虚数”这个名词是由十七世纪的法国数学家笛 卡儿（Descartes）正式取定的。“虚数”代表 的意思是“虚假的数”，“实际不存在的数”， 后来还有人“论证”虚数应该被排除在数的世界 之外.由此给虚数披上了一层神秘的外衣。
复数的发展
复数概念的进化是数学史中最奇特的一 个篇章，那就是数系的历史发展完全没 有按照教科书所描述的逻辑连续性。人 们没有等待实数的逻辑基础建立之后， 才去尝试新的征程。在数系扩张的历史 过程中，往往许多中间地带尚未得到完 全认识，而天才的直觉随着勇敢者的步 伐已经到达了遥远的前哨阵地。
复数的引入
复平面
（几何表示） 虚轴
复数z=x+iy
z平面
复数与平面向量一一对应
实轴 0的幅角呢？
复数不能 比较大小
模 | z | r x2 y2
主幅角
幅角 2k arg z Argz
复数的表示
代数表示： z=x+iy
三角表示： z=r(cosθ+isinθ)
指数表示： z=reiθ
学习《数学物理方法》，主要矛盾是如何学习 和掌握各种具体的计算方法，逐步培养利用数 学物理方法的知识解决物理问题的能力。
学习方法
《数学物理方法》与《高等数学》是 分不开的，它涉及一元和多元微积分学、 幂级数、付里叶级数、微分方程、场论、 线性代数等。
要勤于思考，多做练习，“熟能生巧” 。当 学完《数学物理方法》以后，你会发现，你的 数学分析水平将有大幅提高。
答疑：
参考书
1.梁昆淼. 数学物理方法. 高等教育出版 社，1998年6月第三版
2.郭敦仁：《数学物理方法》，北京： 人民教育出版社 1965
3. 吴崇试：《数学物理方法》，北京： 北京大学出版社 2003
4.[德]顾樵，《数学物理方法》，科学出 版社
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第一章 复数与复变函数
根式函数
称满足方程 wn z (w 0, n 2) 的复数 w 为 z
1
的 n 次方根，记作 w z n
解：
wn nein z rei
则
n r
ein ei
n r n 2k , k 0,1, 2,
w

n
i 2k
re n
z1z2 (x1x2 y1 y2 ) i(x1 y2 x2 y1)
r1r2 cos(1 2) i sin(1 2)
r1r2 ei(12 )
zn rn ein
两个复数相乘等于 它们的模相乘，幅 角相加
z1 x1x2 y1 y2 i x2 y1 x1 y2
数学物理方法
绪论
《数学物理方法》 既是理论物理学的基础， 又是物理学与数学联系的桥梁。
《数学物理方法》课程包括复变函数、 数学物理方程、积分变换和特殊函数四大 部分。
课程性质
是既具有数学类型又具有物理类型的二 重性课程。本课程为后续的物理基础课 程和专业课程研究有关的数学物理问题 作准备，也为今后工作中遇到的数学物 理问题的求解提供基础。
z2
x22 y22
x22 y22
除法运算

r1 r2
cos(1
2 )

i sin(1
2)
r e 1 i(12 ) r2
(Z2 0)
两个复数相除等于 它们的模相除，幅 角相减
共轭复数及其运算 复数z=x+iy的共轭复数为 z =x-iy
z
共轭复数 z是复数z关于实轴的对称点
,
k 0,1, 2, , n 1
n
z

n
r

cos

2k
n
i sin
2k
n

其中z rei , k 0,1, 2, , n 1 是主幅角
记
w0

n
r

cos

n
i sin

n

w1

n
r
cos


2
n




i
sin


2



举例
_______
设z1

5
5i,
z2

3
4i, 求
z1 z2
和
z1 z2

设z1 x1 iy1, z2 x2 iy2为两个任意复数， 证明：z1z2 z1z2 2 Re(z1z2 )
求(1 i)100 和4 1 i
早在16世纪，对一元二次、一元三次代数方程求解时就引 入了虚数的基本思想.1545年, 卡丹诺（Girolamo Cardano，1501 ~ 1576，意大利数学家）在他的Ars Magna 《大术》书中，给出了虚数的符号和运算法则，但同时也对 这种运算的合法性表示怀疑.卡丹诺对虚数引入的基本思想：
i
sin


2
n

wn ?
注意 根式函数是多值函数
例如 记
z
r

cos

2k
2
i sin

2k
2

其中z rei , k 0,1, 是主幅角
w0
r

cos

2

i
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
sin

2

w1
r
cos


2


第一节 复数 第二节 复变函数的基本概念 第三节 复球面与无穷远点
第一节 复数
复数的概念
复数
形如 z=x+i y 的数被称为复数，
其中x , y∈R。x=Rez，y=Imz分别
为z的实部和虚部，i为虚数单位， 其意义为i2=-1
复数相等
复数四则运算？
z1=z2当且仅当 Rez1= Rez2 且 Imz1= Imz2