《数学物理方法》第一章.ppt
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数学物理方法课件：1-复变函数
n
z
n
ei / n
n
i argz2k
e n ,
k 0,1,2n 1
例： 4 1 i
1 i
2 cos i sin
i
2e 4
4
4
2k
2k
4 1 i 8 2cos 4
i sin 4
,
4
4
(k 0,1,2,3)
9
w0
8
2 cos
16
i sin
16
w2
8
2 cos17
本章首先引入复数的概念及其运算、 平面点集的概念。然后讨论复变函数的连 续性，重点研究解析函数。
3
§1.1 复数与复数运算
（一）复数的概念 1.复数：形如 z= x+ i y 的数被称为复数，其中x ,
y∈R。x=Rez，y=Imz分别为 z 的实部和虚部，i为
虚数单位，其意义为i2=-1
复数相等：z1=z2当且仅当Rez1= Rez2且Imz1= Imz1
绪论
“数学物理方法”研究物理问题中遇到的数学方 程的求解方法。本课程在高等数学和普通物理 学的基础上论述数学物理中的常用方法，为后 续的理论物理课和专业课做准备。
课程的主要内容有：复变函数论和数学物理方程 两大部分。
1
绪论
教材与参考书： ➢ 梁昆淼，《数学物理方法》（第四版），高等教育出版社，
2010年 ➢ 斯颂乐，徐世良等《数学物理方法习题解答》，天津科学
z x iy
代数式
y
z(x, y) cos i sin (三角式)
ei
（指数式）
O
x
x2 y2 z
Argz,
数学物理方法 ppt课件
解： 令
a c c o 2 o c s 3 o s c s n o
b s i s 2 n i s 3 n i n s n i
W a i b co c2 s o c s 3 o s cn o i (s s i2 n i n s3 i n sn i)
z1z2 z1z2
ar z 1g z2 ) (az r1 g az r2g
3、复数的除法
z1 x1 y1i (x1y1i)(x2y2i) z2 x2 y2i (x2y2i)(x2y2i)
x1xx2 2 2 yy12 2y2ix2xy2 2 1 xy12 2y2
或指数式： z1 x1 y1i z2 x2 y2i
有三角
关系： z1z2 z1z2
z1z2 z1z2
2、复数的乘法
z 1 z 2 (x 1 y 1 i)x 2 ( y 2 i)
( x 1 x 2 y 1 y 2 ) i( x 1 y 2 x 2 y 1 )
z1z21 e i1 2 e i2
ei(12) 12
12 [c 1 o 2 ) s is( i 1 n 2 )
使用教材：数学物理方法，梁昆淼编
数学物理方法是物理类及其它相关理工类极为重要的 基础课，数学物理方法是连接数学与物理学的桥梁．是通 往科学研究和工程计算的必经之路．因为它教导我们怎样 将一个自然现象转化为一个数学方程．它非常充分地体现 了科学的精髓，即：定量化．因而数学物理方法在科学中 的地位尤为突出．
( k 0 ,1 ,2 ,3 )
故k取不同值，n z 取不同值
nz e 1/n i(2k)/n
k0 nz1/nei/n
k 1 nz1 /n e i( 2 )/n
k 2 nz1 /n e i( 4 )/n
a c c o 2 o c s 3 o s c s n o
b s i s 2 n i s 3 n i n s n i
W a i b co c2 s o c s 3 o s cn o i (s s i2 n i n s3 i n sn i)
z1z2 z1z2
ar z 1g z2 ) (az r1 g az r2g
3、复数的除法
z1 x1 y1i (x1y1i)(x2y2i) z2 x2 y2i (x2y2i)(x2y2i)
x1xx2 2 2 yy12 2y2ix2xy2 2 1 xy12 2y2
或指数式： z1 x1 y1i z2 x2 y2i
有三角
关系： z1z2 z1z2
z1z2 z1z2
2、复数的乘法
z 1 z 2 (x 1 y 1 i)x 2 ( y 2 i)
( x 1 x 2 y 1 y 2 ) i( x 1 y 2 x 2 y 1 )
z1z21 e i1 2 e i2
ei(12) 12
12 [c 1 o 2 ) s is( i 1 n 2 )
使用教材：数学物理方法，梁昆淼编
数学物理方法是物理类及其它相关理工类极为重要的 基础课，数学物理方法是连接数学与物理学的桥梁．是通 往科学研究和工程计算的必经之路．因为它教导我们怎样 将一个自然现象转化为一个数学方程．它非常充分地体现 了科学的精髓，即：定量化．因而数学物理方法在科学中 的地位尤为突出．
( k 0 ,1 ,2 ,3 )
故k取不同值，n z 取不同值
nz e 1/n i(2k)/n
k0 nz1/nei/n
k 1 nz1 /n e i( 2 )/n
k 2 nz1 /n e i( 4 )/n
数学物理方法第一章课件
§1.2 复平面区域与边界的定义在解析函数论中，函数的定义域不是一般的点集，而是满足一定条件的点集，称为区域。
z0的邻域 : 点集 z z z0
称为z0的邻域 z0的去心邻域 : 点集 z 0 z z0 U z0 , ˆ z , U 0 称为z0的去心邻域内点 : G是一个平面点集, z0 G.如果有z0的一个邻域该邻域内的所有点都属于G, 则z0 称为G的内点. 显然，孤立点集没有内点
开集：如果G的每一点都是其内点,则G称为开集区域：平面点集D称为区域，则有 1. D是开集 (开集性 2. D是连通的 (连通性如 0 arg z 就是一个区域 D 的边界点：设 D 为一区域，点 P 不属于 D ，但在 P 的任何邻域内，有区域D 中的点，则称点P为D的边界点。
D的所有边界点组成D的边界。
如区域0 arg z ，其边界为实轴闭区域：区域D与它的边界一起构成闭区域，记为 D
单连通区域与多连通区域： D是平面一个区域，如果在其中任意作一条简单闭曲线，曲线的内部总属于D则称D是单连通的。
否则，称D是多连通的。
单
连通边界线的取向：多连通若观察者沿边界线走时，区域总保持在观察者的左边，那么观察者的走向为边界线的正向；反之，则称为边界线的负向。
《数学物理方法》课件
弹性力学方程的求解
总结词
弹性力学方程是描述弹性物体变形和应力分布的偏微分方程 ，通过求解该方程可以了解物体的弹性和稳定性。
详细描述
弹性力学方程的一般形式为 $nabla cdot sigma = f$，其中 $sigma$ 是应力张量，$f$ 是体力密度，$nabla cdot$ 是散 度算子。求解该方程可以得到应力分布、应变能和弹性常数 等。
在工程学中的应用
机械工程
数学物理方法在机械工程 中广泛应用于分析力学、 热传导、流体力学等问题 。
电子工程
在电子工程中，数学物理 方法用于描述电磁波的传 播、散射和吸收等。
土木工程
在土木工程中，数学物理 方法用于分析结构力学、 地震工程等问题。
在经济学中的应用
金融建模
数学物理方法在金融领域中用于 建立复杂的金融模型，如期权定
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数学物理方法将进一步发展，以适应未来科技发展的需求 ，特别是在能源、环境、生物医学等领域。
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随着人工智能和机器学习的发展，数学物理方法将与这些 技术相结合，以实现更高效、精确的问题解决方案。
06 数学物理方法的实际案例分析
一维波动方程的求解
总结词
一维波动方程是描述一维波动现象的基本方程，通过求解该方程可以了解波的传播规律 。
这些概念在描述物理现象的变化规律 和求解物理问题中发挥着关键作用， 例如在描述速度、加速度、功和能量 等物理量时。
微积分中的基本概念包括极限、连续 性、导数和积分等。
微分方程
微分方程是描述物理现象变化规律的数学工具，它表示一个或多个未知函数的导数 之间的关系。
微分方程的基本类型包括常微分方程、偏微分方程和积分微分方程等。
数学物理方法第三版.ppt
在极坐标下，先令z沿径向逼近零，
即z ei 0
则：lim lim lim ei z0 z 0 z 0
lim
0
u iv
ei
u
i
v
e
i
再令z沿横向逼近于零，
即z ei iei 0
则：lim lim lim ei z0 z 0 z 0
i ei lim u iv
u(x, x
y)
v( x, y
y)
v(x, y) u(x, y)
x
y
以上条件为复数z可导的必要条件，又称 为柯西—黎曼条件（简称C-R条件）。
极坐标系下的C-R条件
u
v
u
v
推导极坐标下的C-R方程
证明：由定义可知
u(x, y) iv(x, y) u(,) iv(,)
习题
例一
求解析函数u(x, y) x2 y2的虚部v(x, y)
解：因为：u 2x，u 2 y
x
y
所以：v 2 y，v 2x
x
y
即dv 2 ydx 2xdy
v 2 ydx 2xdy c
既然积分与路径无关，为方便计 算，取如图所示路径积分可得：
Y
(X,Y)
0
(X,0)
X
v
外点： Zo及其邻域均不属于点集E，则 该点叫作E的外点。
境界线：若Zo及其邻域内既有属于E的点， 也有不属于E的点，则该点为境界 点，境界点的全体称为境界线。
境界线 内点 境界点 外点
区域
区域：（1）点集中的每个点都是内点 （2）点集是连通的，即点集中
的任何两点都可以用一条曲线连接起来 ，且线上的点全属于该点集。
cos z 1 (e2y e2 y ) 2(cos2 x sin2 x) 2
即z ei 0
则：lim lim lim ei z0 z 0 z 0
lim
0
u iv
ei
u
i
v
e
i
再令z沿横向逼近于零，
即z ei iei 0
则：lim lim lim ei z0 z 0 z 0
i ei lim u iv
u(x, x
y)
v( x, y
y)
v(x, y) u(x, y)
x
y
以上条件为复数z可导的必要条件，又称 为柯西—黎曼条件（简称C-R条件）。
极坐标系下的C-R条件
u
v
u
v
推导极坐标下的C-R方程
证明：由定义可知
u(x, y) iv(x, y) u(,) iv(,)
习题
例一
求解析函数u(x, y) x2 y2的虚部v(x, y)
解：因为：u 2x，u 2 y
x
y
所以：v 2 y，v 2x
x
y
即dv 2 ydx 2xdy
v 2 ydx 2xdy c
既然积分与路径无关，为方便计 算，取如图所示路径积分可得：
Y
(X,Y)
0
(X,0)
X
v
外点： Zo及其邻域均不属于点集E，则 该点叫作E的外点。
境界线：若Zo及其邻域内既有属于E的点， 也有不属于E的点，则该点为境界 点，境界点的全体称为境界线。
境界线 内点 境界点 外点
区域
区域：（1）点集中的每个点都是内点 （2）点集是连通的，即点集中
的任何两点都可以用一条曲线连接起来 ，且线上的点全属于该点集。
cos z 1 (e2y e2 y ) 2(cos2 x sin2 x) 2
数学物理方法 第一章 复变函数
z1
z2
i=e
iπ
iπ / 2
e +1 = 0
This identity is particularly remarkable as it involves e, π, i, 1 and 0, arguably the five Leonhard Eular (1707-1783) Swiss most important constants in 4 mathematician, mathematics.
复数除法图示二
y z2
z1 z= z2
z1
|λ | | z | = | z 2 | | z1 | | λ |= 1 | z1 | | z |= | z2 |
ρ=1
ϕ 2- ϕ 1 ∆ o z2 λ ≈ ∆ o z1 z
o
λ x
z （杨超）13451827646
13
指数运算
z =ρ e
n n inϕ
= ρ (cos nϕ + i sin nϕ ) , 特别当 ρ = 1,
n
e inϕ = (e iϕ ) n = (cos ϕ + i sin ϕ ) n = cos nϕ + i sin nϕ
根式运算
n
z= ρe
n n
[
i(ϕ + 2 kπ )
]
1 n
=n ρ e
i
( ϕ + 2 kπ ) n
ϕ + 2 kπ ϕ + 2 kπ = ρ cos + i sin n n k = 0, 1, 2, ... , n - 1
2 2
(for 0 ≤ ϕ 0 < 2π ) (for 0 ≤ ϕ 0 < π ) (for π ≤ ϕ 0 < 2π )
z2
i=e
iπ
iπ / 2
e +1 = 0
This identity is particularly remarkable as it involves e, π, i, 1 and 0, arguably the five Leonhard Eular (1707-1783) Swiss most important constants in 4 mathematician, mathematics.
复数除法图示二
y z2
z1 z= z2
z1
|λ | | z | = | z 2 | | z1 | | λ |= 1 | z1 | | z |= | z2 |
ρ=1
ϕ 2- ϕ 1 ∆ o z2 λ ≈ ∆ o z1 z
o
λ x
z （杨超）13451827646
13
指数运算
z =ρ e
n n inϕ
= ρ (cos nϕ + i sin nϕ ) , 特别当 ρ = 1,
n
e inϕ = (e iϕ ) n = (cos ϕ + i sin ϕ ) n = cos nϕ + i sin nϕ
根式运算
n
z= ρe
n n
[
i(ϕ + 2 kπ )
]
1 n
=n ρ e
i
( ϕ + 2 kπ ) n
ϕ + 2 kπ ϕ + 2 kπ = ρ cos + i sin n n k = 0, 1, 2, ... , n - 1
2 2
(for 0 ≤ ϕ 0 < 2π ) (for 0 ≤ ϕ 0 < π ) (for π ≤ ϕ 0 < 2π )
数学物理方法课件-1 复数与复变函数
sin z sinx iy
sin x cosiy cosx sin iy
sin x ey e y cos x ey e y
2
2i
sin2 x ey e y 2 cos2 x ey e y 2
4
4
1 sin 2 x e2 y 2 e2 y cos2 x e2y 2 e2y 2
所有的无穷大复数（平面上无限远点）投影到唯一的北极 N。故我们为 方便，将无穷远点看作一个点。其模无穷大，幅角无意义。
§1.2 复变函数
1. 定义
zz0
邻域
以复数 z0 为圆心，以任意小实数 为半径
作一圆，则圆内所有点的集合称为z0的邻域.
内点
z0 和它的邻域都属于 E， 则 z0 为 E 的内点。
(2) 极坐标
x cos y sin
z x iy cos i sin 复数的极坐标表示
模 幅角, Argz x2 y2
arctg( y / x)
由于三角函数的周期性，复数的幅角不唯一，且 彼此相差2π的整数倍.
)
,
lim
zz0
g(z)
g ( z0 ),则
lim [ f (z) g(z)]
zz0
f (z0) g(z0)
lim
zz0
f (z)g(z)
f
(z0 )g(z0 )
lim f (z) f (z0 ) zz0 g(z) g(z0 )
(g(z0 ) 0)
§1.4 可导与可微
第一章 复数与复变函数
§1.1 复数与复数运算 1. 复数的基本概念
数学物理方法课件《第一章 复变函数》.ppt
则 z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)( cosθ2+isinθ2) = r1r2[cos (θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)] =r1r2e i(θ1+θ2)
因此 |z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2
但一般地arg(z1z2 ) arg z1 arg z2
•邻域 复平面上以 z 0为中心，任意δ> 0为半径的 圆 | z -z 0|<δ(或 0 <| z –z 0|<δ) 内部的点
的集合称为点 z 0 的δ（去心）邻域 。
记为 U (z0 , )
U(z0, )
或
{z
(U z z0
(z0 ,
}
))即，
z0
(U (z0 , ) {z 0 z z0 })
• 复数的模 | z | x2 y2 0
• 判断复数相等 z1 z2 x1 x2 , y1 y2 ,其中z1 x1 iy1, z2 x2 iy2 z 0 Re(z) Im( z) 0
一般, 任意两个复数不能比较大小。
2. 代数运算
•四则运算 定义 z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：
特别：当|z|=1时，即：zn=cosnθ+isin nθ，则有
(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ
定义
一棣模佛(De Moivre)公式。
zn
1 zn
.
由定义得 z n r nein
2.复数的方根（开方）——乘方的逆运算
因此 |z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2
但一般地arg(z1z2 ) arg z1 arg z2
•邻域 复平面上以 z 0为中心，任意δ> 0为半径的 圆 | z -z 0|<δ(或 0 <| z –z 0|<δ) 内部的点
的集合称为点 z 0 的δ（去心）邻域 。
记为 U (z0 , )
U(z0, )
或
{z
(U z z0
(z0 ,
}
))即，
z0
(U (z0 , ) {z 0 z z0 })
• 复数的模 | z | x2 y2 0
• 判断复数相等 z1 z2 x1 x2 , y1 y2 ,其中z1 x1 iy1, z2 x2 iy2 z 0 Re(z) Im( z) 0
一般, 任意两个复数不能比较大小。
2. 代数运算
•四则运算 定义 z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：
特别：当|z|=1时，即：zn=cosnθ+isin nθ，则有
(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ
定义
一棣模佛(De Moivre)公式。
zn
1 zn
.
由定义得 z n r nein
2.复数的方根（开方）——乘方的逆运算
第一章数学物理方法PPT课件
括有非零自由项的方程称为非齐次方程。 自由项恒等于零的方程称为齐次方程。方 程（1.1.3）为一维齐次波动方程，方程 （1.1.4）为一维非齐次波动方程。
17
三、传输线方程
对于直流电或低频的交流电，基尔霍夫 （Kirchhoff）定律指出同一支路中电流 相等。但对于较高频率的（指频率还没有 高到能显著地辐射电磁波的情况），电路 中的导线的自感和电容的效应不可忽略， 因而同一支路中电流未必相等。
的倾角都很小，即 0,' 0 ，从而由
cos12
4
2! 4!
可知，当我们略去 和 ' 的所有高于
一次方的各项时，就有
10
cos1, cos' 1
代入到式（1.1.1），便可近似得到
T T'
在u方向弧段 M M ' 的受力总和为
T s in T 's in'g d s ,其 中 g d s
6
A.弦的横振动 B.无穷小的一段弦 B C.受力分析和运动方程
弦的原长 sx 现长 s' (x)2(u)2x
弦长的变化产生回到原位置的张力
u(x) uu
u(x)
B
1
T1
A
T2 2 C
0
x
xx
x
7
设弦上具有横坐标为x的点，在时刻t的位置
为M，位移NM记为u，显然，在振动过程中
位移u是变量x和t的函数，即u=u（x，t）。
5
一、均匀弦的微小横振动 设有一根均匀柔软的细弦，平衡时沿
直线拉紧，而且除了受不随时间变化的张 力及弦本身的重力外，不受其它外力的作 用。下面研究弦作微小横振动的规律。所 谓“横向”是指全部运动出现在一个平面 内，而且弦上的点沿垂直于x轴的方向运 动（如图1.1.1）。所谓“微小”是指运 动的幅度及弦在任意位置处切线的倾角都 很小，以致它们的高于一次方的项可以忽 略不计。
17
三、传输线方程
对于直流电或低频的交流电，基尔霍夫 （Kirchhoff）定律指出同一支路中电流 相等。但对于较高频率的（指频率还没有 高到能显著地辐射电磁波的情况），电路 中的导线的自感和电容的效应不可忽略， 因而同一支路中电流未必相等。
的倾角都很小，即 0,' 0 ，从而由
cos12
4
2! 4!
可知，当我们略去 和 ' 的所有高于
一次方的各项时，就有
10
cos1, cos' 1
代入到式（1.1.1），便可近似得到
T T'
在u方向弧段 M M ' 的受力总和为
T s in T 's in'g d s ,其 中 g d s
6
A.弦的横振动 B.无穷小的一段弦 B C.受力分析和运动方程
弦的原长 sx 现长 s' (x)2(u)2x
弦长的变化产生回到原位置的张力
u(x) uu
u(x)
B
1
T1
A
T2 2 C
0
x
xx
x
7
设弦上具有横坐标为x的点，在时刻t的位置
为M，位移NM记为u，显然，在振动过程中
位移u是变量x和t的函数，即u=u（x，t）。
5
一、均匀弦的微小横振动 设有一根均匀柔软的细弦，平衡时沿
直线拉紧，而且除了受不随时间变化的张 力及弦本身的重力外，不受其它外力的作 用。下面研究弦作微小横振动的规律。所 谓“横向”是指全部运动出现在一个平面 内，而且弦上的点沿垂直于x轴的方向运 动（如图1.1.1）。所谓“微小”是指运 动的幅度及弦在任意位置处切线的倾角都 很小，以致它们的高于一次方的项可以忽 略不计。
数学物理方法课件(北师大版)
sinhz 1 (ez ez), 2
cosz 1 (eiz eiz); 2
coshz 1 (ez ez); 2
注意：|sin z|和|cos z|可以大于1. 3. 根式函数：
根式函数 是多值函 数！
z
r cos
θ
2kπ 2
isin θ
2kπ 2
其中z reiθ reiθ2kπ, k 0,1, θ是主幅角。
r1r2exp[i(θ1 θ2)]
两个复数相乘等于它们的模相乘，幅角相加；
4. 除法运算：
z1 z2
x1x2 y1y2 x22 y22
i
x1y2 x22
x2y1 y22
r1 r2
cos(θ1
θ2) isin(θ1
θ2)
r1 r2
exp[i(θ1
θ2)]
两个复数相除等于它们的模相除，幅角相减；
• 平时成绩：30%
1. 课堂考勤15%：缺课一次扣1分。 2. 课后作业15%：缺交一次扣1分。
上篇 复变函数 下篇 数学物理方程
第一章 复变函数及其导数
§1.1 复数及运算 §1.2 复变函数 §1.3 复变函数的导数 §1.4 解析函数 §1.5 多值函数 §1.6 平面标量场
§1.1 复数及运算
lim f(z) A
zz0
2. 注意！由于z是复数，因此可以从复平面的不同方向 趋于z0 ，存在极限的定义表明他们使函数w趋于同一 个极限值A。如果极限值不同，则函数不存在极限！
例1.
求limzz z1
2z z z2 1
2的极限。
例2. 证明极限limz 不存在。 z0 z
• （二）复变函数的连续性
E
w=f(z) B
cosz 1 (eiz eiz); 2
coshz 1 (ez ez); 2
注意：|sin z|和|cos z|可以大于1. 3. 根式函数：
根式函数 是多值函 数！
z
r cos
θ
2kπ 2
isin θ
2kπ 2
其中z reiθ reiθ2kπ, k 0,1, θ是主幅角。
r1r2exp[i(θ1 θ2)]
两个复数相乘等于它们的模相乘，幅角相加；
4. 除法运算：
z1 z2
x1x2 y1y2 x22 y22
i
x1y2 x22
x2y1 y22
r1 r2
cos(θ1
θ2) isin(θ1
θ2)
r1 r2
exp[i(θ1
θ2)]
两个复数相除等于它们的模相除，幅角相减；
• 平时成绩：30%
1. 课堂考勤15%：缺课一次扣1分。 2. 课后作业15%：缺交一次扣1分。
上篇 复变函数 下篇 数学物理方程
第一章 复变函数及其导数
§1.1 复数及运算 §1.2 复变函数 §1.3 复变函数的导数 §1.4 解析函数 §1.5 多值函数 §1.6 平面标量场
§1.1 复数及运算
lim f(z) A
zz0
2. 注意！由于z是复数，因此可以从复平面的不同方向 趋于z0 ，存在极限的定义表明他们使函数w趋于同一 个极限值A。如果极限值不同，则函数不存在极限！
例1.
求limzz z1
2z z z2 1
2的极限。
例2. 证明极限limz 不存在。 z0 z
• （二）复变函数的连续性
E
w=f(z) B
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一元三次方程 x3 px q 0 (其中 p,q 为实数)的求根公
式，通常也叫做卡丹诺（Cardano）公式：
x 3 q (q)2 ( p)3 3 q (q)2 ( p)3
22 3
22 3
需特别指出：可以证明当有三个不同的实根 时，若要用公式法来求解，则不可能不经过负数 开方(参考：范德瓦尔登著《代数学》,丁石孙译, 科学出版社，1963年)。至此，我们明白了这样 的事实，此方程根的求得必须引入虚数概念。
第一节 复数 第二节 复变函数的基本概念 第三节 复球面与无穷远点
第一节 复数
复数的概念
复数
形如 z=x+i y 的数被称为复数，
其中x , y∈R。x=Rez，y=Imz分别
为z的实部和虚部，i为虚数单位， 其意义为i2=-1
复数相等
复数四则运算？
z1=z2当且仅当 Rez1= Rez2 且 Imz1= Imz2
复平面
（几何表示） 虚轴
复数z=x+iy
z平面
复数与平面向量一一对应
实轴 0的幅角呢？
复数不能 比较大小
模 | z | r x2 y2
主幅角
幅角 2k arg z Argz
复数的表示
代数表示： z=x+iy
三角表示： z=r(cosθ+isinθ)
指数表示： z=reiθ
i
sin
2
n
wn ?
注意 根式函数是多值函数
例如 记
z
r
cos
2k
2
i sin
2k
2
其中z rei , k 0,1, 是主幅角
w0
r
cos
2
i
sin
2
w1
r
cos
2
n
2
举例
_______
设z1
5
5i,
z2
3
4i, 求
z1 z2
和
z1 z2
设z1 x1 iy1, z2 x2 iy2为两个任意复数， 证明：z1z2 z1z2 2 Re(z1z2 )
求(1 i)100 和4 1 i
数学物理方法
绪论
《数学物理方法》 既是理论物理学的基础， 又是物理学与数学联系的桥梁。
《数学物理方法》课程包括复变函数、 数学物理方程、积分变换和特殊函数四大 部分。
课程性质
是既具有数学类型又具有物理类型的二 重性课程。本课程为后续的物理基础课 程和专业课程研究有关的数学物理问题 作准备，也为今后工作中遇到的数学物 理问题的求解提供基础。
欧拉公式
注意
在三角表示和指数表示下，两个复 数相等当且仅当
模相等且幅角相差2kπ
复数的运算
设z1=x1+iy1和 z2=x2+iy2是两个复数 加减运算 z1 + z2 =(x1 + x2) +i(y1 + y2 )
- z2
z1 +(- z2)
复数加减法满足平 行四边形法则，或 三角形法则
乘法运算
答疑：
参考书
1.梁昆淼. 数学物理方法. 高等教育出版 社，1998年6月第三版
2.郭敦仁：《数学物理方法》，北京： 人民教育出版社 1965
3. 吴崇试：《数学物理方法》，北京： 北京大学出版社 2003
4.[德]顾樵，《数学物理方法》，科学出 版社
… …
第一章 复数与复变函数
z1z2 (x1x2 y1 y2 ) i(x1 y2 x2 y1)
r1r2 cos(1 2) i sin(1 2)
r1r2 ei(12 )
zn rn ein
两个复数相乘等于 它们的模相乘，幅 角相加
z1 x1x2 y1 y2 i x2 y1 x1 y2
根式函数
称满足方程 wn z (w 0, n 2) 的复数 w 为 z
1
的 n 次方根，记作 w z n
解：
wn nein z rei
则
n r
ein ei
n r n 2k , k 0,1, 2,
w
n
i 2k
re n
复数的发展
复数概念的进化是数学史中最奇特的一 个篇章，那就是数系的历史发展完全没 有按照教科书所描述的逻辑连续性。人 们没有等待实数的逻辑基础建立之后， 才去尝试新的征程。在数系扩张的历史 过程中，往往许多中间地带尚未得到完 全认识，而天才的直觉随着勇敢者的步 伐已经到达了遥远的前哨阵地。
复数的引入
早在16世纪，对一元二次、一元三次代数方程求解时就引 入了虚数的基本思想.1545年, 卡丹诺（Girolamo Cardano，1501 ~ 1576，意大利数学家）在他的Ars Magna 《大术》书中，给出了虚数的符号和运算法则，但同时也对 这种运算的合法性表示怀疑.卡丹诺对虚数引入的基本思想：
z2
x22 y22
x22 y22
除法运算
r1 r2
cos(1
2 )
i sin(1
2)
r e 1 i(12 ) r2
(Z2 0)
两个复数相除等于 它们的模相除，幅 角相减
共轭复数及其运算 复数z=x+iy的共轭复数为 z =x-iy
z
共轭复数 z是复数z关于实轴的对称点
,
k 0,1, 2, , n 1
n
z
n
r
cos
2k
n
i sin
2k
n
其中z rei , k 0,1, 2, , n 1 是主幅角
记
w0
n
r
cos
n
i sin
n
w1
n
r
cos
2
n
卡丹诺公式出现于十七世纪，那时虚数的地
位就应确定下来，但对虚数的本质还缺乏认识。 “虚数”这个名词是由十七世纪的法国数学家笛 卡儿（Descartes）正式取定的。“虚数”代表 的意思是“虚假的数”，“实际不存在的数”， 后来还有人“论证”虚数应该被排除在数的世界 之外.由此给虚数披上了一层神秘的外衣。
学习《数学物理方法》，主要矛盾是如何学习 和掌握各种具体的计算方法，逐步培养利用数 学物理方法的知识解决物理问题的能力。
学习方法
《数学物理方法》与《高等数学》是 分不开的，它涉及一元和多元微积分学、 幂级数、付里叶级数、微分方程、场论、 线性代数等。
要勤于思考，多做练习，“熟能生巧” 。当 学完《数学物理方法》以后，你会发现，你的 数学分析水平将有大幅提高。
式，通常也叫做卡丹诺（Cardano）公式：
x 3 q (q)2 ( p)3 3 q (q)2 ( p)3
22 3
22 3
需特别指出：可以证明当有三个不同的实根 时，若要用公式法来求解，则不可能不经过负数 开方(参考：范德瓦尔登著《代数学》,丁石孙译, 科学出版社，1963年)。至此，我们明白了这样 的事实，此方程根的求得必须引入虚数概念。
第一节 复数 第二节 复变函数的基本概念 第三节 复球面与无穷远点
第一节 复数
复数的概念
复数
形如 z=x+i y 的数被称为复数，
其中x , y∈R。x=Rez，y=Imz分别
为z的实部和虚部，i为虚数单位， 其意义为i2=-1
复数相等
复数四则运算？
z1=z2当且仅当 Rez1= Rez2 且 Imz1= Imz2
复平面
（几何表示） 虚轴
复数z=x+iy
z平面
复数与平面向量一一对应
实轴 0的幅角呢？
复数不能 比较大小
模 | z | r x2 y2
主幅角
幅角 2k arg z Argz
复数的表示
代数表示： z=x+iy
三角表示： z=r(cosθ+isinθ)
指数表示： z=reiθ
i
sin
2
n
wn ?
注意 根式函数是多值函数
例如 记
z
r
cos
2k
2
i sin
2k
2
其中z rei , k 0,1, 是主幅角
w0
r
cos
2
i
sin
2
w1
r
cos
2
n
2
举例
_______
设z1
5
5i,
z2
3
4i, 求
z1 z2
和
z1 z2
设z1 x1 iy1, z2 x2 iy2为两个任意复数， 证明：z1z2 z1z2 2 Re(z1z2 )
求(1 i)100 和4 1 i
数学物理方法
绪论
《数学物理方法》 既是理论物理学的基础， 又是物理学与数学联系的桥梁。
《数学物理方法》课程包括复变函数、 数学物理方程、积分变换和特殊函数四大 部分。
课程性质
是既具有数学类型又具有物理类型的二 重性课程。本课程为后续的物理基础课 程和专业课程研究有关的数学物理问题 作准备，也为今后工作中遇到的数学物 理问题的求解提供基础。
欧拉公式
注意
在三角表示和指数表示下，两个复 数相等当且仅当
模相等且幅角相差2kπ
复数的运算
设z1=x1+iy1和 z2=x2+iy2是两个复数 加减运算 z1 + z2 =(x1 + x2) +i(y1 + y2 )
- z2
z1 +(- z2)
复数加减法满足平 行四边形法则，或 三角形法则
乘法运算
答疑：
参考书
1.梁昆淼. 数学物理方法. 高等教育出版 社，1998年6月第三版
2.郭敦仁：《数学物理方法》，北京： 人民教育出版社 1965
3. 吴崇试：《数学物理方法》，北京： 北京大学出版社 2003
4.[德]顾樵，《数学物理方法》，科学出 版社
… …
第一章 复数与复变函数
z1z2 (x1x2 y1 y2 ) i(x1 y2 x2 y1)
r1r2 cos(1 2) i sin(1 2)
r1r2 ei(12 )
zn rn ein
两个复数相乘等于 它们的模相乘，幅 角相加
z1 x1x2 y1 y2 i x2 y1 x1 y2
根式函数
称满足方程 wn z (w 0, n 2) 的复数 w 为 z
1
的 n 次方根，记作 w z n
解：
wn nein z rei
则
n r
ein ei
n r n 2k , k 0,1, 2,
w
n
i 2k
re n
复数的发展
复数概念的进化是数学史中最奇特的一 个篇章，那就是数系的历史发展完全没 有按照教科书所描述的逻辑连续性。人 们没有等待实数的逻辑基础建立之后， 才去尝试新的征程。在数系扩张的历史 过程中，往往许多中间地带尚未得到完 全认识，而天才的直觉随着勇敢者的步 伐已经到达了遥远的前哨阵地。
复数的引入
早在16世纪，对一元二次、一元三次代数方程求解时就引 入了虚数的基本思想.1545年, 卡丹诺（Girolamo Cardano，1501 ~ 1576，意大利数学家）在他的Ars Magna 《大术》书中，给出了虚数的符号和运算法则，但同时也对 这种运算的合法性表示怀疑.卡丹诺对虚数引入的基本思想：
z2
x22 y22
x22 y22
除法运算
r1 r2
cos(1
2 )
i sin(1
2)
r e 1 i(12 ) r2
(Z2 0)
两个复数相除等于 它们的模相除，幅 角相减
共轭复数及其运算 复数z=x+iy的共轭复数为 z =x-iy
z
共轭复数 z是复数z关于实轴的对称点
,
k 0,1, 2, , n 1
n
z
n
r
cos
2k
n
i sin
2k
n
其中z rei , k 0,1, 2, , n 1 是主幅角
记
w0
n
r
cos
n
i sin
n
w1
n
r
cos
2
n
卡丹诺公式出现于十七世纪，那时虚数的地
位就应确定下来，但对虚数的本质还缺乏认识。 “虚数”这个名词是由十七世纪的法国数学家笛 卡儿（Descartes）正式取定的。“虚数”代表 的意思是“虚假的数”，“实际不存在的数”， 后来还有人“论证”虚数应该被排除在数的世界 之外.由此给虚数披上了一层神秘的外衣。
学习《数学物理方法》，主要矛盾是如何学习 和掌握各种具体的计算方法，逐步培养利用数 学物理方法的知识解决物理问题的能力。
学习方法
《数学物理方法》与《高等数学》是 分不开的，它涉及一元和多元微积分学、 幂级数、付里叶级数、微分方程、场论、 线性代数等。
要勤于思考，多做练习，“熟能生巧” 。当 学完《数学物理方法》以后，你会发现，你的 数学分析水平将有大幅提高。