§4.2刚体的转动惯量

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n
可知： 一定时， miri2越大，刚体转动动能亦越大。
n
i 1
miri2反映刚体的转动惯性大小。
i 1
一、转动惯量
n
J miri2 i 1
单位：千克·米2 ，kg ·m2
mi
ri
☻与刚体质量有、关质；量对转轴的分布有、关转；轴位置有关。
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Chapte作r 4者. 刚：体杨的茂转田作动者：§杨4.茂2 田刚体的转动惯量
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刚体转动时，刚体内的各质点作圆周运动，刚体的动
能等于各质点动能之和：
Ek
1 2
m1v12
1 2
0
M
J 1 MR2 2
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三、几种典型刚体的转动惯量
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J 1 mr 2 2
J
1 2
m(
r12
r22
)
J 1 mr 2 1 ml 2
4
12
匀质球壳J ຫໍສະໝຸດ r 2J 2 mr 2 5
J 2mr 2
3
转轴在何处 ？ (解毕)
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可知：J
1 3
ml
2
1 12
ml
2
m(
l 2
)2J
Cm(
l 2
)2
一般地， J JCmd 2 （平行轴定理）
3
x3
l 0
1 l 3
3
代入 m l 得： J 1 ml 2
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例 长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕与杆一端垂直的
轴转动，求转动惯量 J。
解：质量线密度： m ，建立坐标系如图所示。
l
取质元：dm dx
l
l
J x2dm x2dx
0
0
3
x3
l 0
1 l 3
3
ml
o
x
dm
x
l
dx
代入 m l 得： J 1 ml 2
ml
dm
x
l / 2
l / 2
l 2
o x dx
l 2
3
x3
l/2 l / 2
1 12
l3
代入 m l 得：
JC
1 12
ml 2
转轴在何处 ？ (解毕)
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例 长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕与杆一端垂直的
轴转动，求转动惯量 J。
解：质量线密度： m ，建立坐标系如图所示。
l
取质元：dm dx
l
l
J x2dm x2dx
0
0
3
x3
l/2 l / 2
1 12
l3
ml
dm
x
xo
l
dx
代入 m l 得：
JC
1 12
ml 2
转轴在何处 ？ (解毕)
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J MR2
R
M
dm
R
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课堂练习： 半径为 R 质量为 M 的圆盘，绕垂直于圆盘
平面的质心轴转动，求转动惯量J。
解： 质量面密度：
M
R2
R
dr ro
R
J r 2dm r 2 2 rdr
质心轴的距离。
对任意两根平行轴，J2 J1 md 2 ? （不成立！）
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课堂练习： 半径为 R 质量为 M 的圆环，绕垂直于圆环 平面的质心轴转动，求转动惯量J。
解：
J R2dm R2 dm
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[定义] 转动惯量J：
n
J miri2 i 1
单位：千克·米2 ，kg ·m2
mi
ri
☻与刚体质量有、关质；量对转轴的分布有、关转；轴位置有关。
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二、转动惯量计算举例
n
1) 刚体由分立质点组成：J miri2
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例 长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕与杆垂直的质心
轴转动，求转动惯量 J。 解：质量线密度： m ，建立坐标系(原点在质心上)。
l
2
J miri2 i 1
ml
dm
x
m1r12 m2r22
l 2
o x dx
l 2
2mb 2 m( 3b )2
11mb 2 (解毕)
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例 在无质轻杆的 b 处 3b 处各系质量为 2m 和 m 的质
点，可绕 o 轴转动，求：质点系的转动惯量J。
解: 由转动惯量的定义
2
J miri2 i 1
2m
m
o
b
3b
① 确定质量密度、建立坐标系(坐标原点在轴上)。
② 确定质量元dm。
③ 由定义计算：J r 2dm
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例 长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕与杆垂直的质心
轴转动，求转动惯量 J。
解：质量线密度： m ，建立坐标系(原点在质心上)。
l
取质元：dm dx
l/2
l/2
JC x2dm x2dx
m2v22
1 2
mnvn2
n i 1
1 2
mivi2
m3
r3 r2
n i 1
1 2
mi (
ri
)2
1 2
(
n i1
mi ri2
) 2
Ek
1( 2
n i1
mi ri2
) 2
r1 m1
m2
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例 在无质轻杆的 b 处 3b 处各系质量为 2m 和 m 的质
点，可绕 o 轴转动，求：质点系的转动惯量J。
解: 由转动惯量的定义
2
J miri2 i 1 m1r12 m2r22
2mb 2 m( 3b )2
2m
m
o
b
3b
11mb 2 (解毕)
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i 1
2) 质量连续分布：J r 2dm
三种情况
n
3) 一般情况：J r 2dm miri2
i 1
质量连续分布时J 的计算要领：
① 确定质量密度、建立坐标系(坐标原点在轴上)。
② 确定质量元dm。
③ 由定义计算：J r 2dm
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3 (the end)
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作业： 4-9，4-10 答疑时间：周二下午1：30－3：30
PS:本课件版权限制，禁止拷贝。谢谢合作！
n
可知： 一定时， miri2越大，刚体转动动能亦越大。
n
i 1
miri2反映刚体的转动惯性大小。
i 1
一、转动惯量
n
J miri2 i 1
mi
m3
ri
r3
r2
r1 m1
m2
1 2
(
n i1
mi ri2
) 2
Ek
1( 2
n i1
mi ri2
) 2
Chapte作r 4者. 刚：体杨的茂转田作动者：§杨4.茂2 田刚体的转动惯量
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转轴在何处 ？ (解毕)
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可知：J
1 3
ml
2
1 12
ml
2
m(
l 2
)2J
Cm(
l 2
)2
一般地， J JCmd 2 （平行轴定理）
d
mc
JC ：对质心轴的转动惯量。 d ：平行于质心轴的转轴到