中考数学压轴题专题解析---平行四边形动点问题

中考数学压轴题专题解析---平行四边形动点问题这节课我们学什么

1.动点平行四边形三定一动方法；

2.动点平行四边形两定两动方法；

知识框图

典型例题分析

1、 动点平行四边形三定一动方法； 例1. 已知抛物线2

(0)y ax

bx c a =++≠，过点)0,3(-A ，)0,1(B ，)3,0(C 三点

（1）求抛物线的解析式；

（2）若抛物线的顶点为P ，求PAC ∠正切值；

（3）若以A 、P 、C 、M 为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的坐标．

【答案：（1）由题意得：⎪⎩

⎪⎨⎧==++=+-3

0039c c b a c b a 解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=321

c b a ∴322

+--=x x y

（2）322+--=x x y 4)1(2

++-=x ∴)4,1(-P ∴52=PA ，2=

PC ，

23=AC

∵222AC PC PA +=∴090=∠PCA ∴3

1

232tan ===∠AC PC PAC （3）∵直线AC 的解析式是：3+=x y

直线AP 的解析式是：62+=x y 直线PC 的解析式是：3+-=x y

当AC 是平行四边形的一条对角线时：直线MC 的解析式是：32+=x y 直线AM 的解析式是：3--=x y ∴)1,2(--M

当PC 是平行四边形的一条对角线时：同理可得∴)7,2(M 当AP 是平行四边形的一条对角线时：∴)1,4(-M

∴)1,2(--M 或)7,2(M 或)1,4(-M 】

例2. 如图，在平面直角坐标系中，直线2

43

y mx m =

-与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，点C 在线段AB 上，且2AOB AOC S S ∆∆=． （1）求点C 的坐标（用含有m 的代数式表示）；

（2）将AOC ∆沿x 轴翻折，当点C 的对应点C ′恰好落在抛物

线

22

183

y x mx m =

++上时，求该抛物线的表达式； （3）设点M 为（2）中所求抛物线上一点，当以A 、O 、C 、M 为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标．

【答案：（1）(3,2)C m -

（2

）该抛物线的表达式为21832

y x x =

-- （3）点M 的坐标为或或】

2、 动点平行四边形两定两动方法；

例3. 如图，抛物线32++=bx ax y 与y 轴交于点C ，与x 轴交于A 、

B 两点，3

1

tan =∠OCA ，6=∆ABC S ．

（1）求点B 的坐标；

（2）求抛物线的解析式及顶点坐标；

xOy (3,

(

-

（3）设点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，如果A 、C 、E 、F 构成平行四边形，

请写出点E 的坐标（不必书写计算过程）．

【答案：（1）(3,0)B -

（2）把2

23y x x =--+,顶点坐标(1,4)-

（3）①AC

为平行四边形的一边时123(1,0),(2(2E E E ---

②AC 为平行四边形的对角线时E 4(3，0）】

例4. 如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，点A 、C 的坐标分别

为

．将AOC ∆绕AC 的中点旋转180°，点O 落到点B 的位置，抛物

线x ax y 322-=经过点A ，点D 是该抛物线的顶点． （1）求证：四边形ABCO 是平行四边形； （2）求a 的值并说明点B 在抛物线上；

（3）若点P 是线段OA 上一点，且APD OAB ∠=∠，求点P 的坐标； （4）若点P 是x 轴上一点，以P 、A 、D 为顶点作平行四边形，该平行四边形的

xOy

另一顶点在y 轴上，写出点P 的坐标．

【答案：（1）证明：∵AOC ∆绕AC 的中点旋转180°，

点O 落到点B 的位置， ∴C AOC AB ≅∆∆ ∴,AO C CB A O B ==， ∴四边形ABCO 是平行四边形．

（2）解： 3=

a ，x x y 3232-=．

点B 的坐标为（3，33）,满足此函数解析式，点B 在此抛物线上．

（3）点P 的坐标为（

3

4

，0）．

（4）)0,1(1P ，)0,1(2-P ，3

(3,0)P 】

例5. 在平面直角坐标系中，经过点(1,0)A -的抛物线2

3y x bx =-++与y 轴交

于点C ，点B 与点A 、点D 与点C 分别关于该抛物线的对称轴对称． （1）求b 的值以及直线AB 与x 轴正方形的夹角；

（2）如果点E 是抛物线上一动点，过E 作EF 平行于x 轴交直线AD 于点F ，且F 在E 的右边，过点E 作EG AD ⊥与点G ，设E 的横坐标为m ，EFG ∆的周长为l ，试用m 表示l ；

（3）点M 是该抛物线的顶点，点P 是y 轴上一点，Q 是坐标平面内一点，如果以点A 、M 、P 、Q 为顶点的四边形是矩形，求该矩形的顶点Q 的坐标．

xOy

【答案：（1）2b =，夹角为45

（2

）21)1)2l m m =-++

（3

）12341

7(0,2(0,2(2,),(2,)22

Q Q Q Q +-】

例6. 在平面直角坐标系中，已知点A （4，0），点B （0，3）．点P 从点A 出发，以每

秒1个单位的速度向右平移，点Q 从点B 出发，以每秒2个单位的速度向右平移，又P 、Q 两点同时出发．

（1）联结AQ ，当ABQ ∆是直角三角形时，求点Q 的坐标；

（2）当P 、Q 运动到某个位置时，如果沿着直线AQ 翻折，点P 恰好落在线段AB 上，求这时AQP ∠的度数；

（3）过点A 作AC AB ⊥，AC 交射线PQ 于点C ，联结BC ，D 是BC 的中点．在点P 、Q 的运动过程中，是否存在某时刻，使得以A 、C 、Q 、D 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，试求出这时ABC ∠cot 的值；若不存在，试说明理由．