量子力学微扰理论

a(1) (0) kn k
k1
a a (1) (0) kn k
(1) (0) nn n
k1
H (1) a EE n
m n ' (1) (0)
mn m
m
m n '
m
mn
(0) (0)
n
m
(0) m
能量高阶近似
[Hˆ (0) [Hˆ (0)
En(0)]
(0) n
En(0)]
利用本征基矢的正交归一性：
E n (1 ) H n n n (0 )|H ˆ| n (0 )
其中能量的一级近似等于微扰Hamilton 量在 0 级态矢中 的平均值
二、非简并定态的微扰近似
（2）态矢的一级修正ψn(1)
[H ˆ(0 ) E n (0 )]n (1 ) [H ˆ E n (1 )]n (0 )
m
E(0) n
Em(0)
低级微扰近似结果
E n (1 ) H n n n (0 )|H ˆ| n (0 )
(1) n
mn
'
m
Hm n
E(0) n
Em (0)
(0) m
E(2) n
mn
m
'
Hnm 2
E(0) n
Em(0)
三、微扰理论适用条件
§1 非简并定态微扰理论 §2 简并微扰理论及其应用 §3 变分法与氦原子基态
平衡态附近的泰勒展开
§1 非简并定态微扰理论
一、微扰体系的Schrödinger方程
H ˆn Enn
Hˆ Hˆ (0) Hˆ 其H 中 ˆ H ˆ(0)
其中H(0) 所描写的体系是可以精确求解的， 其本征值En(0) ，本征矢 Ψn(0) 。则：
其中λ是很小的实数，表征微 扰程度的参量。
因为 En 、 ψn 都与微扰有关，可以把它们看成是λ的函数而将其 展开成λ的幂级数：
EnEn (0)
E(1) n
E 2 (2) n
n
(0)
n
(1)
2
n
(2) n
其中En(0), λEn(1), λ2 En(2), ... 分别是能量的 0 级近似、1级近似和2级近似等。
k 1
a m (1 )[E n m (0 ) E n (0 )] H ˆm n E n (1 )mn
am (1) nE n (0 H ) m E m (n 0)m E (0)n (0 |)H ˆE |m (0) n (0),m n
（2）态矢的一级修正ψn(1)
注意
(1) n
(1) n
0
方程左乘态矢
[HˆEn(1)]n(0)
ψn(0)
|
[Hˆ (0)
En(0)]
(2) n
[HˆEn(1)]n(1)
E(2) (0) nn
E(k) n
(0) n
Hˆ
(k 1) n
mn '
Hmn
(0)
m
E(0) n
Em(0)
m
mn
'
HmnHnm
mn
'
Hnm 2
m
E(0) n
Em(0)
)
乘开得：
H ˆ2[(0 H )ˆ(0 n () 0) n (2) [H ˆ H ˆ(0 (1 ))n (1 n (1 )) ] H ˆ(1) n (0)] E 2 n ([0 E )n (0 n () 0) n (2) [E E n (0 n (1 ))n (1 n (1 )) E E n (1 n () 2)n (0 n () 0 ])]
H ˆ(0)
E (0)
(0)
n
n
(0) n
H ˆ(0)
E (0) (0)
n
n
(0) n
当 H ≠ 0 时引入微扰，使体系能级发生移动， 由 En(0) → En ，状态由ψn(0)→ψn 。
微扰体系的定态Schrödinger方程
为了明显表示出微扰的微小程度，将其写为：
H ˆH ˆ(1)
而ψn(0) , λψn(1) , λ2 ψn(2) , ...分别是状态矢量 0 级近似、1级近似和2级近似等。
代入Schrödinger方程得：
(H ˆ(0) H ˆ(1)) ( n(0) n(1) 2n(2) )
(En(0)
E(1) n
E 2 (2) n
) (n(0)
n(1) 2n(2)
2:
H ˆ(0)
n (2)H ˆ(1)
E (1)
(0)
n
n
E (2)
(1)
n
n
E (1)
(2)
n
n
(0) n
整理后得：
[H ˆ (0)
En(0)]
(0) n
0
[H ˆ (0)
En(0)]
(1) n
[H ˆ (1)
En(1)]
(0) n
[H ˆ(0) En(0)]
(2) n
左乘 <ψm(0) |
(1) n
a(1) (0) kn k
k 1
[H ˆ(0) En (0)]
a(1) kn
(0) k
[H ˆEn (1)]
(0) n
k1
ak (1n )[Ek(0) En (0)]
(0) k
百度文库
[H ˆEn (1)]
(0) n
k1
a k ( 1 ) [ E n k ( 0 ) E n ( 0 ) ] m ( 0 )|k ( 0 ) m ( 0 )|H ˆ |n ( 0 ) E n ( 1 ) m ( 0 )|n ( 0 )
可解析求解模型
V(x)
V(x)
II I
II
II
I
x
II x
V(x)
II I II x
一、近似方法的出发点
近似方法通常是从简单问题的精确解（解析解）出发，来求解 复杂问题的近似（解析）解。
二、近似解问题分为两类
1、体系 Hamilton 量不是时间的显函数——定态问题 （1）定态微扰论；（2）变分法。 2、体系 Hamilton 量显含时间——状态之间的跃迁问题 （1）与时间 t 有关的微扰理论；（2）常微扰。
3[ ]
3[ ]
( ab ) n a n n a n 1 b n a b n 1b n
根据等式两边λ同幂次的系数应该相等:
0:
H ˆ(0)
E (0)
(0)
n
n
(0) n
1:
H ˆ(0)
n (1)H ˆ(1)
E (0)
(0)
n
n
E (1)
(1)
n
n
(0) n
[H ˆ (1)
En(1)]
E (1)
(2)
n
n
(0) n
体系的能量 和态矢为
En n En (n (00)) En (n (11))En (n (22))
二、非简并定态的微扰近似
1、态矢和能量的一级近似
(1)能量一级修正En (1)
左乘 <ψn(0) |
[H ˆ(0 ) E n (0 )]n (1 ) [H ˆ E n (1 )]n (0 )