二项分布及其应用(答案)

二项分布及其应用
【知识要点】
一、条件概率及其性质
1、条件概率
一般地，设A ，B 为两个事件，且0)(>A P ，称)
()()(A P AB P A B P =
为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率。

2、性质
（1）任何事件的条件概率都在0和1之间，即1)(0≤≤A B P .
（2）如果B 和C 是两个互斥事件，则)()()(A C P A B P A C B P ==Y 。

【例题1—1】从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A 为“取到的2个数之和为偶数”，事件B 为“取到的2个数均为偶数”，则=)(A B P （ B ） A 、81 B 、41 C 、52 D 、21 【例题1—2】在一次考试的5道题中，有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，则在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率为 2
1 。

【例题1—3】某地区空气质量监测表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ A ）
A 、0.8
B 、0.75
C 、0.6
D 、0.45
【例题1—4】从混有5张假钞的20张一百元钞票中任意抽取2张，将其中一张在验钞机上检验发现是假钞，则这两张都是假钞的概率为（ A ）
A 、172
B 、152
C 、51
D 、10
3 【例题1—5】把一枚硬币连续抛掷两次，事件A=“第一次出现正面”，事件B=“第二次出现正面”，则=)(A B P （ A ）
A 、21
B 、4
1 C 、61 D 、81 【例题1—6】1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则在从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是
9
4 。

二、相互独立事件及n 次独立重复事件
1、相互独立事件同时发生的概率
(1)相互独立事件的定义：如果事件A （或B ）是否发生对事件B （A ）发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。

一般地，事件A 与B 相互独立，那么事件A 与B ,A 与B ，A 与B 也都是相互独立的。

(2) 相互独立事件同时发生的概率：
对于事件A 和事件B ，用A ·B 表示事件A 与B 同时发生的事件。

如果事件A 与B 相互独立，那么事件A ·B 发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。

即：P(A ·B) =P(A) ·P(B)。

一般地，如果事件n A A A ,,,21⋅⋅⋅相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即：)()()()(2121n n A P A P A P A A A P ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅.
2、独立重复试验与二项分布
（1）独立重复试验的意义：做n 次试验，如果它们是完全同样的一个试验的重复，且它们相互独立，那么这类试验叫做独立重复试验。

(2)一般地，在n 次独立重复实验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概
率为n k p p C k X P k n k k n ,,2,1,
0,)1()(⋅⋅⋅=-==-。

此时称随机变量X 服从二项分布，记作：X ～B(n ，p)，并称p 为成功概率。

【例题2—1】甲，乙两人射击的命中率分别是0.8和0.7，两人同时射击互不影响，结果都命中的概率为( A )
A 、0.56
B 、0.06
C 、0.14
D 、0.24
【例题2—2】一枚硬币连掷5次，则至少一次正面向上的概率为（ B ）
A 、321
B 、3231
C 、32
5 D 、51 【例题2—3】口袋里有大小相同的2个红球和1个白球，有放回地每次摸取1
个球，定义数列}{n a ：⎩⎨⎧-=次摸取白球
，第1次摸取红球第,1n n a n ，如果n S 为数列}{n a 的前n 项
和，那么37=S 的概率为（ B ）
A 、5257)32(）31（⨯C
B 、5227)31(）32（⨯
C C 、5257)31(）31（⨯C
D 、2227)3
2(）31（⨯C 【例题2—4】两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为32和4
3，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（ B ）
A 、21
B 、125
C 、4
1 D 、61 【例题2—5】某人射击5次，每次中靶的概率均为0.9，他至少有2次中靶的概率为 0.99954 。

【例题2—6】设甲，乙两人射击的命中率分别是0.75和0.8，且各次射击相互独立。

若按甲，乙，甲，乙…的顺序轮流射击，直到有一人击中就停止射击，则停止射击时甲射击了两次的概率是（ D ）
A 、803
B 、209
C 、259
D 、400
19 【例题2—7】在4次独立重复实验中，事件A 出现的概率相同，若事件A 至少发生一次的概率为81
65，则事件A 在一次试验中出现的概率为（ A ） A 、31 B 、52 C 、6
1 D 、以上都不对 【例题2—8】甲乙两人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比萨结束。

假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各
局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲乙各胜1局，则再赛2局结束这次比赛的概率为（ B ）
A 、0.36
B 、0.52
C 、0.24
D 、0.648
【例题2—9】在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从桥上游漂流而下的一巨大汽油罐，已知只有5发子弹备用，首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功，每次射击命中率都是3
2，每次命中与否相互独立，则油罐被引爆的概率为 243
232 。

【例题2—10】一考生参加某大学的自主招生考试，需要书面测试，测试题中有4道题，每一道题能否正确做出使相互独立的，并且每一道题被该考生正确做出的概率都是4
3。

若该考生至少正确做出3道题，才能通过书面测试这一关，则这名学生通过书面测试的概率为
256189 。

三、二项分布的数学期望与方差
1、二项分布：如果随机变量的可能取值为0，1，2，，n ，且X 取值的概率P(X=k)= k n k k n p p C k X P --==)1()(，其概率分布列为：
2、如果随机变量ξ服从二项分布（X ～B(n ，p)），则E(ξ)=np,D(ξ)=np(1-p)。

3、有些随机变量虽然不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合运用E(a ξ+b)=a E(ξ)+b 以及E(ξ)=np 求出，同样还可以求出D(a ξ+b)=)(2ξD a 及D(ξ)=np(1-p)求出.
【例题1】甲乙两人在罚球线互不影响地投球，命中的概率分别为32与4
3，投中得1分，投不中得0分。

(1)甲乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和ξ的数学期望；
(2)甲乙两人在罚球线各投两次球，求甲恰好比乙多得1分的概率。

解：（1）12
1721212511210）（E =⨯+⨯+⨯=ξ (2) 36
741433232414131321212=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=C C P 【例题2】某射手每次射击击中目标的概率是3
2，且各次射击的结果互不影响。

(1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；
(2) 假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率；
(3) 假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分。

在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分。

记ξ为射手射击3次后的总得分，求ξ得分布列。

解：（1）243
40)321()32(）2x （3225=-⨯⨯==C P （2）81
8)32()31(31)32(31)31()32(）A （32323=⨯+⨯⨯+⨯=P （3）
【例题3】红队队员甲乙丙与蓝队队员ABC 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘。

已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为0.6，0.5，0.5，假设各盘结果相互独立。

（1）求红队至少两名队员获胜的概率；
（2）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E （ξ）。

解：（1）p=0.6×0.5×（1-0.5）+0.6×（1-0.5）×0.5+（1-0.6）×0.5×0.5+0.6
×0.5×0.5=0.55
（2）
故E（ξ）=0×0.1+1×0.35+2×0.4+3×0.15=1.6.。