第九章 统计与概率的教学

第九章统计与概率的教学

统计与概率主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象。它通过对数据收集、整理、描述和分析以及对时间发生可能性的刻画，来帮助人们科学、客观地认识世界。它是数学科学的一个重要的分支。在新的课程标准中将“统计与概率”作为义务教育阶段数学课程4个学习领域之一，具有重要意义。

第一节统计与概率教学的意义、内容和要求

一、统计与概率教学的意义

1、适应社会发展需要

在以信息和技术为基础的现代社会，人们面临更多的机会和选择，常常需要在不确定的情境中，根据大量无组织的数据，做出合理的决策。概率统计的问题涉及到社会生活的方方面面。例如：“今天天津地区的降水概率是30%”，“这场篮球赛，某球队赢的可能性比较大，”“火车站的日客流量突破十万人次，”“某商场实行购物抽奖，中奖面达到三分之一”等。从小学习统计与概率知识越来越重要，这是时代发展的需要。

2、提高解决实际问题的能力

“统计与概率”与人们的日常工作和社会生活密切相关，在日常生活中常常需要我们在不确定的情景中通过自己的观察，对大量无组织的数据惊醒分析，从这些大量的偶然性现象背后揭示出某些规律来，作出合理的决策，独立地区获得问题的解决。统计与概率所提供的“运用数据进行推断”的思考方法已经成为现代社会一种普遍适用的思维方式。统计与概率的思想方法，将随着社会的不断发展而越来越重要。在义务教育阶段，让学生经历统计与概率活动的全过程，是学生熟悉统计与概率的基本思想方法，帮助学生在面对大量数据和不确定情境中，制定较为合理的决策，有利于发展学生综合运用所学知识解决问题的能力。

3、是学生获得积极的情感体验

统计与概率这一领域的内容对学生来说是充满趣味和吸引力的。动手收集与呈现数据是一个活动性很强并且充满挑战和乐趣的过程，做概率游戏本身就是对思维的一种挑战，也是一个非常有趣的过程。这有助于培养学生对数学的积极情感体验。

二、统计与概率教学的内容

1、统计与概率历史

﹙1﹚概率的历史

概率论起源于博弈问题。15～16世纪意大利数学家帕乔塔塔利亚和卡尔丹的著作中层讨论过“如果两个人赌博提前结束，该如何分配赌金”等概率问题。1654年左右，费马与帕斯卡在一系列通讯中讨论类似的合理分配赌金问题，并用组合方法给出正确解答。他们的通讯引起了荷兰术数学家惠更斯的兴趣，后者在1657年发表《论赌博中的计算》，这是最早的概率论著作。

一般认为，概率论作为一门独立数学分支，其真正奠基人是雅各布·伯努利，他在遗著《猜测术》中首次提出了后来以“伯努利定理”著称的极限定理。伯努利定理刻画了大量的经验观测中呈现的稳定性，作为大数定律的最早形式而在概率论发展史上占有重要地位。

伯努利之后，（棣莫弗）、蒲丰、拉普拉斯、高斯和泊松等对概率论做出了进一步的奠基性贡献。19世纪后期，极限理论的发展成为概率论研究的中心课题，俄国数学家切比雪夫在这方面做出了杰出的贡献。切比雪夫的成果又被他的学生马尔可夫等发扬光大，影响了20世纪概率论发展的进程。19世纪末，概率论在统计物理等领域的应用提出了对概率论基本概念与原理进行解释的需要。另外，科学家们在这一时期发现的一些概率论悖论也揭示出古典概率论中基本概念存在的矛盾与含糊之处。最早对概率论经行严格化尝试的，是我国数学家伯恩斯坦和奥地利数学家冯·米西斯，他们都提出了一些公理来作为概率论的前提，但他们的公理理论都是不完善的。真正严格的公理化概率论只有在测度论与实变函数理论的基础上才可能建立。作为测度论的奠基人，博雷尔早在1905年就指出概率论如果采用测度论术语来表述将会方便许多，并首先将测度

论方法引入概率论重要问题研究。原苏联数学家科尔莫戈罗夫也从1920年代中期起开始从测度论途径探讨整个概率论理论的严格表述，其结果是1933年以德文出版的经典型著作《概率论基础》。科尔莫戈罗夫提出了6条公理，整个概率论大厦可以从这6条公理出发建筑起来。科尔莫戈罗夫的公理系统主见获得了数学家们的普遍承认。由于公理化，概率论成为一门严格的演绎科学，获得了与其他数学分支同等的地位，并通过集合论与其他数学分支密切地联系着。科尔莫戈罗夫是20世纪最杰出的数学家之一，概率论无疑是他科学生涯中最重要的成就。

﹙2﹚统计的历史

简单的统计古来就有，在18、19世纪出现了统计推断思想的萌芽，并有一定发展，但以概率论为基础、以统计推断为主要内容的现代意义的数理统计学，直到20世纪才告成熟。

1763年英国人贝叶斯发表《论机会学说问题的求解》其中的“贝叶斯定理”给出在已知结果E后，对所有原因C计算其条件概率（后验概率）Pｅ(C)的公式，可以看出是最早的一种统计推断程序。拉普拉斯和高斯等利用贝叶斯公式估计参数，特别是高斯由于计算行星轨道的需要建立了以“最小二乘法”为基础的误差分析。这些都是促使统计摆脱了对观测数据的单纯描述二向强调推断的阶段过渡。

英国生物学家和统计学家K·皮尔逊在现代数理统计的建立上起了重要作用。皮尔逊在19世纪末、20世纪初发展了他老师高尔顿首先提出的“相关”与“回归”的理论，成功的创立了生物统计学（1901）。皮尔逊提出了“总体”的概念，明确指出统计学不是研究样本取出的个体是否“拟合”，从理论上确定了总体分布的问题。皮尔逊的工作是所谓“大样本统计”的前驱。他的学生戈赛特在1908年以笔名“学生”发表的“学生分布”则开创了小样本统计理论。小样本理论强调样本必须从总体中随机地抽取，即必须是随机样本，从而使统计学研究对象从群体现象转变为随机现象。

现代数理统计学作为一门独立学科的奠基人是英国数学家费希尔。费希尔毕业与剑桥大学，做过中学教员，曾长期在农业试验站工作，在将统计学应用于农业与遗传学方面有丰富的积累。在1920和1930年代，费希尔提出了许多重要的统计方法，开辟了一系列统计学的分支领域。1946年，瑞典数学家克拉默发表了《统计学的数学方法》，用测度论系统总结了数理统计的发展，标志着现代数理统计学的成熟。

2、统计与数率的教学内容

《标准》对“统计与概率”规定的内容为：统计在第一学段是数据统计初步，第二学段是简单数据统计过程，概率在第一学段不做要求，第二学段，只要求学生体会随机现象，并能对随机现象发生的可能性大小作定性描述。

具体学习内容要求如下：

第一学段：

①能根据给定的标准或者自己选定的标准，对事物或数据进行分类，感受分类与分类标

准的关系。

②经历简单的数据收集和整理过程，了解调查、车辆等收集数据的简单方法，并运用自

己的方式，（文字、图画、表格等）呈现整理数据的结果。

③通过对数据的简单分析，体会运用数据进行表述与交流的作用，感受数据蕴涵的信息。

第二学段：

（1）简单数据统计过程

①经历简单的数据收集、整理、描述和分析数据的过程（可使用计算器）

②会根据实际的问题设计简单的调查表，选择适当的方法（如调查、实验、测量）收集数

据。

③认识条形统计图、扇形统计图、折线统计图；能根据分析问题的需要，选择适当的统计

图。

④体会平均数的意义，能计算平均数，能用自己的语言解释其实际意义。