北邮频偏估计算法

2. TD-SCDMA 系统帧结构与信号模型
一个TD-SCDMA无线帧的长度为10ms, 分成2个5ms子帧,每10ms帧长内的2个子帧的结 构是完全相同的。每一个5ms的子帧由7个常规时隙和3个特殊时隙组成。系统模型如图1所 示。
图 1 系统框图
设发送的训练序列，即 Midamble 码序列为：
∑ m ( t
( ) ( ) var Δfˆ ≥ CRLB (Δf ) =
3σ 2
π 2Ts N N 2 −1
(28)
-4-
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Mean Square Error
no filters:Kay, Fitz, LR, KayR, CRLB 1010
Kay
108
-5-
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从图 2、3 中可以看出：当信噪比大于某一门限值（大约10dB ）时，4 种算法的估计均
方误差差异不大，均逼近 CRLB，但是当信噪比小于此门限值时，Kay 算法估计均方误差性 能要劣于 Fitz、LR 和 KayR 算法。随着观测长度的增加各算法性能均可得到明显改善。
=
e j⎡⎣2πΔf (kTc +τ )+θ ⎤⎦
+ v(k ),k
= 1, 2,", N
(9)
ห้องสมุดไป่ตู้
− jπ k
其中， N 是观测数据的数目，即频偏估计使用的数据数目，vk
=e 2 amk
n (k ) ，{vk } 为零均
值、方差为σ '2 统计独立的高斯随机序列。
3. 频偏估计算法
下面对基于数据辅助的频偏估计计算，Kay算法[2]，Fitz算法[3]，L&R算法[4]，KayR算法 进行研究。
( ) ( ) e j2πΔft g1 t − iTc −τ ≈ e j2πΔf (iTc +τ ) g1 t − iTc −τ
(6)
于是，接收滤波器的输出为：
π
( ) ( ) x k
≈
am e e j k 2
j ⎡⎣2πΔf (kTc +τ )+θ ⎤⎦
k
+
n
k
(7)
∫ 其中 1
a
∞ −∞
g1
(t
=
1, 2,",
N
−1
(13)
3.2 Fitz 频偏估计算法
此算法是通过求 z (k ) 的自相关来实现的。 z (k ) 的自相关 R (m) 由下式给出：
∑ R (m)
1
N −1
z (k )z* (k − m),1 ≤ m ≤ N −1
N − m k=m
(14)
根据(11)式可以得到：
R (m) = e j2πmΔfTc + v '(m) ,1 ≤ m ≤ N −1
× ⎡⎣nc
(t ) +
jns
(t )⎤⎦ ， n (t )、nc
(t )、ns
(t ) 均为高斯随机过程，均值为
0、方差
为σ 2 。再在接收端对接收信号进行接收滤波，获得 x (t ) ，其离散采样 x (k ) x (kTc +τ ) 具
有以下形式：
∫ x (k ) = r (t ) * g2 (t ) t=kTc +τ =
Δfˆ
=
π
M
(
1 M
+ 1) Tc
M
∑
m=1
arg {R
(m)}
(18)
3.3 L&R 频偏估计算法
对(1.15)式两边求和取平均以平滑噪声项有：
∑ ∑ ∑ ( ) ( ) 1
M
Rm
=1
M e + j 2π mΔfTc 1
M
v' m
(19)
M m=1
M m=1
M m=1
忽略噪声项，有
∑ ( ) ∑ 1
10-2
10-3 -200
-150
-100
-50
0
50
Frequency Offset Hz
100
150
200
图 5 经过滤波器情况下频偏估计均方根误差相对值随频偏变化图
（信噪比设置为 50dB ）
从图 4、5 中可以看出：在高信噪比时，即频偏估计均方误差逼近 CRLB 时，4 种算法 的频偏估计均方根误差相对值差异不大，都随着频偏的绝对值的增加而减小，并且总体随着 信噪比的增大而相应地减小。
∞ −∞
r
(t
)
g2
( kTc
+τ
−
t
)
dt
∑ ∫ ( ) ( ) ( ) =
e
jθ
144
mie
π ji 2
i =1
e g ∞ j 2πΔft
−∞
1
t − iTc −τ
g2
kTc +τ − t
dt + n k
(4)
其中噪声分量为：
n
(
k
)
=
∞
∫−∞
n
(t
)
g2
(
kTc
+
τ
−
t
)
dt
(5)
由于 Δf << 1 Tc ，所以 e j2πΔft 在符号内近似为常数，即有：
2πTc m=1
(26)
其中， w(m) 为平滑函数：
w(
m)
=
3
⎡⎣(
N− M
m)(N
(4M 2
− −
m +1) − M
6MN + 3N
(
2
N−
−1)
M
)⎦⎤
(27)
4. 算法性能分析及仿真结果
分别在信号不经过滤波器和信号经过发送和接收滤波器的环境下对 4 种算法进行仿真，
并通过在频偏设置为100Hz 条件下的估计的均方误差、信噪比为 50dB 的条件下获得的均
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TD-SCDMA 系统中频率偏移估计算法研究
张晓琳1
1 北京邮电大学信息与通信工程学院，北京(100876)
E-mail：zhangxiaolin1985@gmail.com
摘 要： 载波同步技术是 TD-SCDMA 系统接收机的关键技术，本文分析了基于数据辅助 的 Kay，Fitz，R&L，KeyR 频偏估计算法，并进行了仿真。结果表明，Fitz、L&R 算法精度 较高，但比 Kay 和 KayR 算法估计范围小；KayR 算法性能是其他几种算法性能的折衷。 关键词：TD-SCDMA 频偏估计 Kay Fitz R&L KeyR 中图分类号：ＴＮ９２
1010
Kay
Fitz
108
LR
KayR
106
CRLB
104
102
100
10-2
10-4
10-6 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 SNR dB
图 3 经过滤波器情况下频偏估计均方误差随信噪比变化图
（频偏设置为100Hz ）
Mean Square Error
)
g2
( kT
−
t
)
dt
=
⎧1 ⎨⎩0
k =0 其他 ；在接收端本地将一 Midamble 码序列经过发送
和接收滤波器：
π
y (k ) = m(t ) ∗ g1 (t ) ∗ g2 (t )
t =kTc +τ
jk
= amke 2
(8)
再将以上两信号对应相除得到输入频偏估计器的采样信号：
z(k)
=
x(k) y(k)
图 4 不经过滤波器情况下频偏估计均方根误差相对值随频偏变化图
（信噪比设置为 50dB ）
-6-
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sample rate=8,SNR=50: Kay, Fitz, LR, KayR 100
10-1
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Kay Fitz LR KayR
RMS ERROR IN HZ/Frequency Offset Hz
3.1 Kay 频偏估计算法
将(9)式改写如下：
( ) ( ) ( ) ρ z k = e j⎡⎣2πΔf (kTc +τ )+θ ⎤⎦ + v k = k e j⎡⎣2πΔf (kTc +τ )+θ +φ(k)⎤⎦
(10)
( ) ( ) 其中 ρ k e jφ(k) 1+ v k e− j⎡⎣2πΔf (kTc +τ )+θ ⎤⎦ ；考虑下式：
改写为：
( ) ( ) ( ) R m = e j2π mΔfTc + v ' m = ρ ' m e j⎡⎣2π mΔfTc +φ '(m)⎤⎦
(23)
( ) ( ) 其中 ρ ' m e jφ '(m) 1+ v ' m e− j2πmΔfTc ；考虑下式：
arg{R (m) R* (m −1)} = 2πΔfTc + φ '(m) −φ '(m −1)
(15)
其中 v '(m) 为零均值噪声项。噪声引起的相位误差为：
e(m) arg{R (m)} − 2π mΔfTc
(16)
对等式两边求和取平均以平滑噪声项得到：
1 M
M
∑e(m)
m=1
=
1 M
M
∑ arg{R (m)} −π
m=1
(M
+1) ΔfTc
(17)
假设噪声项为零，则可以得到 Δf 的估计为：
Fitz
LR
106
KayR
CRLB
104
102
100
10-2
10-4
10-6 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 SNR dB
图 2 不经过滤波器情况下频偏估计均方误差随信噪比变化图
（频偏设置为100Hz ）
sample rate=8: Kay, Fitz, LR, KayR, CRLB 1011
的测量值。Kay 对此进行分析后导出 Δf 的估计值为：
{ } ∑ Δfˆ =
1
N −1
γ (k ) arg z (k ) z* (k −1)
2πTc k=1
(12)
其中{γ (k )} 为窗函数，即：
γ
(k
)
=
3 2
⋅
N
N 2 −1
⎡ ⎢1 − ⎢⎣
⎛ ⎜⎝
2k − N
N
⎞2 ⎟⎠
⎤ ⎥ ⎥⎦
,k
方根误差的相对值及归一化估计均值来考察算法的性能。码片速率为 TD-SCDMA 标准中规
定的1.28 Mchip s ，匹配滤波器的滚降系数为 0.22 ，在不经过滤波器的情况下观测长度 N
为 144 个码片，在经过滤波器的情况下观测长度 N 为 744 个过采样值。每个信噪比下进行
1000 次仿真，并且与 CRLB(Cramer-Rao Lower Bound)进行比较，CRLB 由下式给出：
arg{z (k ) z* (k −1)} = 2πΔfTc + φ (k ) −φ (k −1)
(11)
-2-
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{ } 显然 arg z (k ) z* (k −1) { } 是 2πΔfTc 的带噪声测量值，从 z (k ) 中可以获得 ( N −1) 个这样
M
e j 2π mΔfTc
⎩ m =1
⎫ ⎬ ⎭
(21)
由此可以得到 Δf 的估计为：
∑ Δfˆ
=
π
1
(M +1)Tc
⎧M arg ⎨
⎩ m =1
R (m)⎫⎬
⎭
(22)
-3-
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3.4 KayR 频偏估计算法
该算法也是通过求 z (k ) 的自相关以及相关序列的相位增量来获得频偏估计值的。由(15)
M
Rm
≈1
M e j2π mΔfTc = 1 ⋅ sin π M ΔfTc e jπ (M +1)ΔfTc
M m=1
M m=1
M sin πΔfTc
(20)
当 Δf ≤ 1 ( MTc ) 时， sin π M ΔfTc sin πΔfTc 为正数，有：
∑ ( ) Δf =
π
1 M +1
Tc
arg
⎧ ⎨
1. 引 言
在无线通信系统中,由于设备间的频率偏差和终端移动引起的多普勒频移,使得载波频率 与本地晶振之间存在着较大的频率偏差。只有快速、有效地估计出这个频率偏差,才能进行 频率补偿,达到接收机能够接受的频率偏差,从而进行正常的解调译码。因此,载波频率能否快 速正确的估计是正确接收数据的前提和决定小区初搜成功与否的关键[1]。
(24)
当满足 Δf < 1 (2Tc ) 时，频偏估计可以表示为：
Δfˆ = 1 × arg{R (m) R* (m −1)}
(25)
2π Tc
由于噪声的影响，由上式所得的频偏估计总是存在随机误差，为了减小频偏估计值的抖动，
进行加权平滑，即：
{ } ∑ Δfˆ =
1
M
w(m)× arg R (m) R* (m −1)
no filters,SNR=50: Kay, Fitz, LR, KayR 100
Kay Fitz LR KayR
10-1
RMS ERROR IN HZ/Frequency Offset Hz
10-2
10-3 -200
-150
-100
-50
0
50
Frequency Offset Hz
100 150 200
)
=
144
mie
δ jπ i 2
(t
−
iTc
)
(1)
i =1
则经过发送滤波器后发送的训练序列信号为：
∑ s
(t
)
=
144
mie
jπ i 2
g1
(t
−
iTc
)
(2)
i =1
其中 g1 (t ) 为发送滤波器的冲击响应，是根升余弦滚降波形；该信号经过 AWGN 信道并经
过接收机接收后的信号表示为：
( ) ∑ ( ) ( ) r
t
=
e
j(2πΔft +θ )
144
mie
π ji
2 g1
t − iTc −τ
+n t
(3)
i =1
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其 中 ， Δf 为 频 率 偏 差 ， θ 为 在 (0,π 2) 内 均 匀 分 布 的 相 位 偏 差 ，
n(t) =
1 2