人教版八年级数学寒假尖端班讲义

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八年级数学寒假班讲义二第8讲-期中复习(一)

1对3辅导讲义学员姓名：学科教师：年级：八年级辅导科目：数学授课日期时间主题第8讲-期中备考（一）学习目标1.解决在一次函数背景下的特殊三角形存在问题中，熟练掌握分类讨论思想；2.期中模拟测试．教学内容（一）上次课课后巩固作业处理，建议让学生互批互改，个别错题可以让学生进行分享，针对共性的错题教师讲解为主。

（二）上次预习思考内容讨论分享（此环节设计时间在10－15分钟）案例：如图，在平面直角坐标系中，点A（1，0），点B（3，0），点C(0，4)，直线l经过点C；（1）若在x轴上方直线l上存在点E使ABE∆为等腰直角三角形，求直线l的解析式；（2）若在x轴上方直线l上存在点F使ABF∆为有一个角为30°的直角三角形，这样的直线l有条.参考答案：（1）342y x=-+或24y x=-+或243y x=-+；（2）6（此环节设计时间在40－50分钟）【知识梳理】知识点一：一次函数的概念1、一般的解析式形如：b kx y += （b k ,是常数，且0≠k )的函数叫做一次函数。

2、一次函数的定义域是一切实数。

3、当0=b 时，解析式b kx y +=就成为kx y =（k 是常数，且0≠k ），这时x y 是的正比例函数。

4、一般的，我们把函数c =y （c 为常数）叫做常值函数。

它的自变量由所讨论的问题决定。

知识点二：一次函数的图像与性质1、一般地，一次函数b kx y +=（b k ，是常数，且0k ≠）的图像是一条直线2、一般地，直线b kx y +=（0≠k ）与y 轴的交点坐标是（0，b ）。

直线b kx y +=（0≠k ）的截距是b 。

3、一般地，一次函数b kx y +=（0b ≠）的图像可由正比例函数kx y =的图像平移得到。

当0>b 时，向上平移b 个单位；当0<b 时，向下平移b 个单位。

如果21b b ≠，那么直线1b kx y +=与直线2b kx y +=平行。

初二年级寒假数学辅导讲义三(6课时)

寒假班初二年级数学复习（第三章）第1课时中心对称与中心对称图形（6课时）一、知识点：1、图形的旋转；图形旋转的性质。

2、中心对称；中心对称的性质。

3、中心对称图形：4、中心对称与中心对称图形之间的关系：区别：（1）中心对称是指两个图形的关系，中心对称图形是指具有某种性质的图形。

（2）成中心对称的两个图形的对称点分别在两个图形上，中心对称图形的对称点在一个图形上。

联系：若把中心对称图形的两部分看成两个图形，则它们成中心对称；若把中心对称的两个图形看成一个整体，则成为中心对称图形 .5、对比轴对称图形与中心对称图形：二、举例：例1：如图，将点阵中的图形绕点O 按逆时针方向旋转900，画出旋转后的图形.例2：画出将ΔABC 绕点O 按顺时针方向旋转180°后的对应三角形。

例3：如图，已知ΔABC 是直角三角形，BC 为斜边。

若AP=3，将ΔABP 绕点A 逆时针旋转后，能与ΔACP ′重合，求PP ′的长。

·O CBCB例4：已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=1200，以BC 为边向形外作等边三角形△BCD ，把△ABD 绕着点D 按顺时针方向旋转600后得到△ECD ，若AB=3，AC=2，求∠BAD例6：如图，直线l 1⊥l 2，垂足为O ，点A 1与点A 关于直线l 1对称，点A 2与点A关于直线l 2对称。

点A1与点A2有怎样的对称关系？你能说明理由吗？4、如图是一个平行四边形土地ABCD ，后来在其边缘挖了一个小平行四边形水塘DFGH ，现准备将其分成两块，并使其满足：两块地的面积相等，分割线恰好做成水渠，便于灌溉，请你在图中画出分界线（保留作图痕迹），简要说明理由.第2课时平行四边形一、知识点：1、平行四边形的定义：2组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

记作：□ABCD ，读作平行四边形ABCD.平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心。

BB2、平行四边形的性质：①平行四边形的对边平行；②平行四边形的对边相等；③平行四边形的对角相等； ④平行四边形的对角线互相平分。

人教版八年级上册数学尖端班精品讲义

量常常有误差，这种验证不是严格的“数学证明”，不能完全令人信服，且形状不同的三角形有无数多个，不可能一一验证，因此需要通过推理的方法去证明任意一个三角形的内角和一定等于 180°．
已知：△ABC，求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°
由此，我们可以得到三角形内角和定理：三角形的内角和等于 180°．由内角和定理不难得到：直角三角形的两个锐角互余．反之：有两个角互余的三角形是直角三角形．三角形的外角把△ABC 的一边 BC 延长，得到∠ACD．象这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．求证：∠ACD＝∠A＋∠B．
【练 5】已知△ABC 中，∠A＝60°．
（1）如图①，∠ABC、∠ACB 的角平分线交于点 O，则∠BOC＝
度；
（2）如图②，∠ABC、∠ACB 的三等分线分别对应交于 O1、O2，则∠BO2C＝
度；
（3）如图③，∠ABC、∠ACB 的 n 等分线分别对应交于 O1、O2，…On－1（内部有 n
－1 个点），
（1）求证：∠1＋∠2＝90°；
（2）BF 平分∠ABD 交 CD 的延长线于 F 点，若∠ABC＝70°，求∠F 的大小；
（3）若 H 是 BC 上一动点，F 是 BA 延长线上一点，FH 交 BD 于 M，交 AD 于 O，FG 平分∠BFH，交 DE 于 N，交 BC 于 G．当 H 在 BC 上运动时（不与 B 重合），求证： BAD DMH 的值为定值． DNG
求∠BOn－1C（用 n 的代数式表示）；
（4）如图③，已知∠ABC、∠ACB 的 n 等分线分别对应交于 O1、O2，…On－1，
若∠BOn－1C＝90°，求 n．
【例 8】（1）如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝

初二年级寒假数学辅导讲义一(4课时)

BC寒假班初二年级数学复习（第一章）第一课时考点1：轴对称及轴对称图形的意义（4课时）一、知识点：1．轴对称： 2．轴对称图形： 3．轴对称的性质： 4．简单的轴对称图形：线段：有两条对称轴：线段所在直线和线段中垂线．角：有一条对称轴：该角的平分线所在的直线．等腰(非等边）三角形：有一条对称轴，底边中垂线．等边三角形：有三条对称轴：每条边的中垂线．等腰梯形：过两底中点的直线正n 边形有n 条对称轴圆有无数条对称轴。

二、基本图形：1．已知：点A 、B 分别在直线l 的同侧，在直线l 上找一点P ，使PA+PB 最短。

变形1：正方形ABCD 中，点E 是AB 边上的一点，在对角线AC 上找一点P ，使PE+PB 最短。

变形2：已知点A （1，6）、点B （6，4），在x 轴和y 轴上各找一点C 、D ，使四边形ACDB 的周长最短。

三、经典考题剖析： 1．（2006无锡市3分）在下面四个图案中，如果不考虑图中的文字和字母，那么不是轴对称图形的是（）4．（2006鸡西市3分）在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )A B C D 6．（2006梅州市3分）小明在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近8时的是下图中的（）11．(2006十堰市3分)如图，在平面直角坐标系中，请按下列要求分别作出ABC △变换后的图形（图中每个小正方形的边长为1个单位）：BlA ．B ．C ．D ．A B C D （1）向右平移8个单位；（2）关于x轴对称；（3）绕点O顺时针方向旋转180 ．考点2：折叠问题一、考点讲解：常见的折叠问题有两种类型：一种是将一个图形沿着某一条直线折叠到另一个位置，这时候，这条直线两旁的图形全等；另一种是将一个图形沿着某一条直线折叠，使两个点重合，此时，这折痕所在的直线是这两点连线的垂直平分线。

二、基本图形：1．将矩形ABCD沿着对角线AC对折，则三角形AFC是三角形。

初二年级寒假数学辅导讲义二(3课时)

寒假班初二年级数学复习（第二章)第1课时勾股定理、勾股定理的应用（3课时）一、知识点:1、勾股定理：２、神秘的数组(勾股定理的逆定理):二、典型例题:例1：⑴一个直角三角形的两条直角边分别为3和４,求斜边的长度⑵一个直角三角形一条直角边为6,斜边为10,求另一条直角边例２：在△ABC 中，AB=1３,AC ＝15,BC=14，。

求B Ｃ边上的高ＡＤ。

例3:在△ABC 中,AB=15,AC=20,B Ｃ边上的高AD=1２，试求BC 的长.(两解)例４:如图,在△ABC 中，A Ｃ=AB ，Ｄ是ＢC 上的一点，ＡD ⊥A Ｂ，A Ｄ＝９cm ，ＢD=15cm,求AC 的长.例5：一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8 km,接着,它又掉头向正东方向航行１5千米.⑴ 此时轮船离开出发点多少k ｍ? ⑵ 若轮船每航行1ｋm,需耗油0．4升，那么在此过程中轮船共耗油多少升?DCBADCBA例6:如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm, BC ＝8c ｍ,现将直角边AC 沿直线折叠,使它落在斜边AB 上,且点C 落到E 点,则C Ｄ的长是多少？例７:如图,四边形ＡBCD 中，A Ｂ=3,BC=4,C Ｄ=12,ＡD=13,∠B=90°,求四边形ABC Ｄ的面积。

例８:有一根70cm 的木棒，要放在50ｃm,４0cm ，30cm 的木箱中,试问能放进去吗？例9:甲、乙两人在沙漠进行探险,某日早晨8∶0０甲先出发，他以6千米/时速度向东南方向行走,1小时后乙出发，他以5千米／时速度向西南方向行走，上午１０∶00时,甲、乙两人相距多远？10:如图，由5个小正方形组成的十字形纸板，现在要把它剪开,使剪成的若干块能够拼成一个大正方形。

（1）如果剪4刀，应如何剪拼？（2）少剪几刀,也能拼成一个大正方形吗？边的长为多少？EDCBABACD第二课时平方根、立方根一、知识点:1、什么叫做平方根？２、平方根的表示方法:3、平方根的性质： 4、算术平方根：5、算术平方根的性质： 6、什么叫做立方根?７、立方根的性质：二、举例:例1：填空题：⑴１６的平方根是 ;２5的平方根是；4916的平方根是； 2．56的平方根是 ;(－２)2的平方根是 ;210-的平方根是。

八年级数学寒假班讲义阶段复习

1对3辅导教讲义（6）学员姓名：学科教师：年级：八年级辅导科目：授课日期时间主题阶段性复习与检测教学内容1．巩固复习八年级第一学期的二次根式、一元二次方程、正反比例函数、几何证明章节知识。

（此环节设计时间在10-15分钟）说明：学科教师根据八年级上学期的章节思维导图，通过提问的方式与学生一起回顾相关知识点，也可以通过三人之间的竞争抢答来加强对知识点的巩固，让学生与学生之间多一些互动。

（此环节设计时间在20-30分钟）例题1：如图，正比例函数图像直线l 经过点A （3，5），点B 在x 轴的正半轴上，且∠ABO ＝45°，AH ⊥OB ，垂足为点H 。

（1）求直线l 所对应的正比例函数解析式；（2）求线段AH 和OB 的长度；（3）如果点P 是线段OB 上一点，设OP ＝x ，△APB 的面积为S ，写出S 与x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围。

答案：（1）35y x=（2）AH ＝5，OB ＝8（3）5202S x =-（08x ≤<）试一试：已知：如图，Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，OA ＝3cm ，OB ＝33cm ．以O 为原点、OB 为x 轴建立平面直角坐标系．设P 是AB 边上的动点，从A 向点B 匀速移动，速度为1cm ／秒；Q 是OB 边上的动点，从O 向点B 匀速移动，速度为2cm ／秒．当任意一点到达点B ，运动随之停止．（1）试求B ∠的度数；（2）设P 、Q 移动时间为t 秒，建立△OPQ 的面积S （cm 2）与t （秒）之间的函数关系式，并写出函数的定义域；yxBAOPQyx备用图B AOPQ答案：（1）∠B ＝30°；（2）2132S t t =-yxl BHO A此环节设计时间在60分钟左右（40分钟练习+20分钟互动讲解）。

一、填空题（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．化简二次根式2)3(π-＝．2．在实数范围内因式分解：241x x -+=______________________． 3．方程23x x =的解是_________________． 4．如果反比例函数2k y x-=的图像在当0x >的范围内，y 随着x 的增大而增大，那么k 的取值范围是__________．5．如果关于x 的一元二次方程260x x c -+=（c 是常数）没有实数根，那么c 的取值范围是__ ____． 6．若直角三角形两直角边的长是8和6，则斜边上的高是_______ ___．7．点C 在x 轴上，点C 到点A （﹣1，4）与点B （2，﹣5）的距离相等，则点C 的坐标为． 8．如图，等腰三角形ABC 中，已知,40AB AC A =∠=︒，AB 的垂直平分线交AC 于D ，那么CBD ∠的度数为．9．如图，∠AOE ＝∠BOE ＝15°，EF ∥OB ，EC ⊥OB ，若EC ＝1，那么EF ＝ _________ .10．如图，AD 是ABC △的中线，45ADC ∠=o ，2cm BC =，把ACD △沿AD 对折，使点C 落在E 的位置，那么BE = cm ．BA第9题图CEOF二、选择题（本大题共4题，每题4分，满分16分） 11．下列关于x 的方程一定有实数解的是（）A ．022=+xB ．012=--mx xC ．0222=+-x xD ．02=-+m x x12．下列命题中，不正确的是（） DABC第8题图（A ）各有一个角为95°，且底边相等的两个等腰三角形全等；（B ）各有一个角为40°，且底边相等的两个等腰三角形全等；（C ）各有一个角为40°，且其所对的直角边相等的两个直角三角形全等；（D ）各有一个角为40°，且有斜边相等的两个直角三角形全等．13．在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，︒=∠15B ，AC ＝2，如果将这个三角形折叠，使得点B 与点A 重合，折痕交AB 于点M ，交BC 于点N ，那么BN 等于（）．（A ） 2 （B ） 4 （C ） 6 （D ） 8 14．已知函数)0(≠=k kx y 中y 随x 的增大而增大，那么它和函数(0)ky k x=≠在同一直角坐标平面内的大致图像可能是（）．(A ) (B ) (C ) (D )三、计算题（本大题共3题，第15、16题各6分，第17题8分，满分20分） 15．用配方法解方程：01242=--x x16．计算： 86218322xx x x x x ++17．已知函数21y y y +=，1y 与x 成反比例，2y 与2-x 成正比例，当1=x 时，1-=y ，当3=x 时，5=y 。

八年级数学寒假班讲义二第17讲-平面向量000V42JB244N

1对3辅导讲义学员姓名：学科教师：年级：辅导科目：授课日期时间主题第17讲平面向量学习目标教学内容1．（1）既有、又有的量，叫做向量．（2）向量的也叫向量的模（或向量的长度）——它是一个．（3）零向量：大小为，方向的向量；记作____ ____． 2．（1）方向且大小的两个向量叫做相等向量．（2）方向且大小的两个向量叫做相反向量．（3）方向的两个向量叫做平行向量． 3．向量的运算：（1）向量加法、减法的三角形法则：AB BC +=u u u r u u u r _____________；AC BC -=u u u r u u u r___ ____．（2）向量加法、减法的平行四边形法则：AB AD +=u u u r u u u r _____________；AB AD -=u u u r u u u r___ ____．（3）向量的加法运算律：向量加法满足交换律，即：；向量加法满足结合律，即：．1．下列各式中，正确的个数是（）练习CBAD①若0a =r ，则0a =r ； ②若0a =r r ，则0a =r r ； ③若a b =r r，则a b =r r 或a b =-r r ； ④若0a =r r ，则0a -=r r ．A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个2．设b r 是a r的相反向量，则下列说法错误的是（）A 、a r 与b r 的长度必相等B 、a r ∥b rC 、a r 与b r 所在直线一定平行D 、a r 是b r的相反向量3．下列说法不正确的是（）A 、零向量是没有方向的向量B 、零向量的方向是任意的C 、零向量与任一向量平行D 、零向量只能与零向量相等 4．如图，梯形AECD 中，CD //AE ，AD ＝CE ，点B 在AE 上，BC //AD ．则图中与CD uuu r相等的向量：．与AB u u u r相反的向量：．与AB u u u r平行的向量有：．AD =u u u r．例题1：B AECDar br cr （1）如图1，一只蚂蚁从点A 出发，沿着△ABC 的边爬行一周回到点A ，则AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r；（2）如图2，一只蚂蚁从点A 出发，沿着四边形ABCD 的边爬行一周回到点A ，则AB BC CD DA +++=u u u r u u u r u u u r u u u r；（3）如图3，一只蚂蚁从点A 1出发，沿着n 边形的边爬行一周回到点A 1，那么1223341n A A A A A A A A ++++=u u u u r u u u u r u u u u r u u u u rL ．图1 图2 图3试一试：化简下列各式：①AB ＋BC ＋CA ； ②AB —AC ＋BD —CD ； ③OA —OD ＋AD ；④NQ ＋QP ＋MN —MP ．结果为零向量的个数是（） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4例题2：如图，已知向量a r 、b r 、c r 、d u r，分别画出下列向量：（1）a c b d +--r r r u r （2）()()a cb d -+-r r r u r试一试：如图，已知向量a r 、b r 、c r ；求作：（1） b a -r r ，（2）()a b c --r r r．ABCABC DA2A3A4A5A6An A1abcd例题3：如图，正六边形ABCDEF 的中心是O ，已知AO a =u u u r r ，AB b =u u u r r ，用a r ，b r表示以下向量：EF u u u r =______________，CF uuu r =______________，FA u u u r=______________， CE u u u r =______________，AE u u u r=______________，AC u u u r =______________.试一试：如图，已知向量AB a =u u u r r 、BC b =u u u r r 、CD c =u u u r r 、DE d =u u u r u r ；试用a r 、b r 、c r 、d ur 表示下列向量：（1）AB AC -u u u r u u u r ；（2）AB AE -u u u r u u u r ．例题4.已知：矩形ABCD ，对角线AC 、BD 相交于点O ．（1）利用图中的向量表示：BC CD +=u u u r u u u r_____________；（2）利用图中的向量表示：AO AD -=u u u r u u u r_____________；（3）如果5AB =u u u r ，12BC =u u u r ，则BO =u u u r___________．例题5.如图，□ABOF ，□BCDO ，□ODEF ，用a r 、b r ，c r表示：AF =u u u r ；OC =u u u r ；DF =u u u r ；AE =u u u r；CF =u u u r ．FEDCB OAABCDEODCBA1．已知正方形ABCD 的边长为1，AB a =u u u r r , BC b =u u u r r ，则a b +r r为．2．在□ABCD 中，AC u u u r ＝a r ，AB u u u r ＝b r，则BC uuu r = ．3．在四边形ABCD 中，若AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r ，且AB AD =u u u r u u u r，那么四边形ABCD 为（）A 、矩形B 、菱形C 、正方形D 、不是矩形、菱形的四边形4．已知平行四边形ABCD ，O 为平面上任意一点.设OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，OC c =u u u r r ，OD d =u u u r u r，则（） A 、0a b c d +++=r r r u r r B 、0a b c d -+-=r r r u r r C 、0a b c d +--=r r r u r r D 、0a b c d --+=r r r u r r5.判断下列命题是否为真命题（1）如0a =r ，那么0a =r r ；（）（2）若a r =b r，那么a r =b r ；（）（3）若a r =b r，那么a r //b r ．（）6．化简：（1）()()AB CD BE DE -+-=u u u r u u u r u u u r u u u r ；（2）()BC DA MB CM --+=u u u r u u u r u u u r u u u u r ．7．如图，已知在梯形ABCD 中，AD // BC ，点E 在边BC 上，联结DE ，AC ．（1）填空：CD DE +=u u u r u u u r ___________；BC BA -=u u u r u u u r____________；（2）如果把图中线段都画成有向线段．．．．．．．，那么在这些有向线段所表示的向量中，试写出四个与向量BE u u u r平行的向量是；（3）求作：AB AD +u u u r u u u r．（请说明哪个向量是所求作的向量）8．如图，点E 、F 在平行四边形ABCD 的对角线BD 上，且EB = DF ．（1）填空：BC BA +u u u r u u u r =________；BA AF +u u u r u u u r=_________；BC AF -=u u u r u u u r ．（2）求作：BC AF +u u u r u u u r．ACEBDAECFBDar br cr A BED C 9．已知□ABCD ，点E 是 BC 边的中点，请回答下列问题：（1）在图中求作．．AD u u u r 与DC u u ur 的和向量：AD DC +u u u r u u u r = ；（2）在图中求作．．AD u u u r 与DC u u u r 的差向量：AD DC -u u u r u u u r = ；（3）如果把图中线段都画成有向线段．．．．．．．，那么在这些有向线段所表示的向量中，所有与BE u u u r互为相反向量的向量是；（4）AB BE EA ++=u u u r u u u r u u u r．10.如图，已知向量AB a =u u u r r 、BC b =u u u r r 、CD c =u u u r r 、DE d =u u u r u r ；试用a r 、b r 、c r 、d ur 表示下列向量：（1）AB AC -u u u r u u u r ；（2）AB AE -u u u r u u u r ．11、如图，已知向量a r 、b r 、c r ；求作：（1） b a -r r ，（2）()a b c --r r r．ABCDE【巩固练习】1．下列结论正确的有（）① 向量AB u u u r 与向量BA u u u r 是两个平行向量； ② 若a r 、b r 都是模为1的向量，则a r =b r；③ 两个向量相等的条件是它们的方向和大小必须相同； ④ 对任意一个向量a r ，都有0a >r． A 、1个； B 、2个； C 、3个； D 、4个．2．等边△ABC 中，设AB u u u r =a r ，BC uuur =b r ，CA u u u r =c r ，则下列错误的是（）A 、a b c ==r r r ；B 、0a b c ++=r r r r ；C 、a b c ==r r r ；D 、0a b c ++=r r r．3．下列关系式：① 0AB BA +=u u u r u u u r ；②0AB BA +=u u u r u u u r r；③0AB BA +=u u u r u u u r ；④0AB BA +=u u u r u u u r r ；正确的个数有（）A 、1；B 、2；C 、3；D 、4． 4．在□ABCD 中，下列等式成立的是（）A 、AB CD AD BD +=+u u u r u u u r u u u r u u u r B 、AB CD AC BD +=-u u u r u u u r u u u r u u u r C 、AB CD AC BD -=+u u u r u u u r u u u r u u u r D 、AB CD AC BD -=-u u u r u u u r u u u r u u u r5．已知□OBCA 中，点D 在OB 上．（1）填空：OA AC +u u u r u u u r = ；AD OB -u u u r u u u r = ；与AC uuu r平行的向量有．（2）求作：OA CD AD +-u u u r u u u r u u u r．6．已知，在△ABC 中，BC 、CA 、AB 的中点分别为D 、E 、F ；设BC a =u u u r r ，CA b =u u u r r．（1）用向量a r 、b r分别表示向量AD u u u r 、BE u u u r 、CF uuu r ；（2）求AD u u u r ＋BE u u u r ＋CF uuu r ．7.已知，在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （1,1）关于原点对称的点为B ，点C （3,2）关于x 轴对称的点为D ；（1）求作向量OB uuu r 、BD u u u r；（2）求作：OA OC -u u u r u u u r ；（3）求作：OD OC -u u u r u u u r ．8.已知OA u u u r =a ,OB uuu r =b ,且｜a r｜=｜b ｜=4,∠AOB =60°,①求｜a +b r ｜，｜a r -b r｜②求a +b 与a 的夹角，a -b 与a 的夹角.CABOD F DE BCA甲乙两个同学做“石头、剪刀、布”的游戏，在一个回合中两人能分出胜负的概率是多少？请画出相应的树状图。

八年级数学寒假班讲义二第10讲-平行四边形的判定

精锐教育1对3辅导讲义学员姓名：学科教师：年级：辅导科目：授课日期时间主题第10讲：平行四边形的判定学习目标1．掌握平行四边形判定定理；2．会应用平行四边形的性质定理和判定定理解决相关的几何证明和计算问题．教学内容1、上次课后巩固作业复习；2、平行四边形的判定平行四边形判定定理边（1）两组对边分别平行（2）两组对边分别相等（3）一组对边平行且相等角（4）两组对角分别相等对角线（5）对角线互相平分平行四边形性质定理1如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。

简述为：平行四边形对边相等。

平行四边形性质定理2如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。

简述为：平行四边形对角相等。

平行四边形性质定理3如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。

简述为：平行四边形的两条对角线互相平分。

平行四边形性质定理4平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点平行四边形判定定理：如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形。

②如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形。

③如果一个四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形。

④如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形。

1．能判定四边形ABCD 是平行四边形的条件是：∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 的值为（）．A 、1∶2∶3∶4B 、1∶4∶2∶3C 、1∶2∶2∶1D 、1∶2∶1∶22．如图，E 、F 分别是□ABCD 的边AB 、CD 的中点，则图中平行四边形的个数共有（）．A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个3．已知：四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，如果只给出条件“AB ∥CD ”，那么还不能判定四边形ABCD 为平行四边形，给出以下四种说法：①如果再加上条件“BC ＝AD ”，那么四边形ABCD 一定是平行四边形； ②如果再加上条件“∠BAD ＝∠BCD ”，那么四边形ABCD 一定是平行四边形； ③如果再加上条件“OA ＝OC ”，那么四边形ABCD 一定是平行四边形；④如果再加上条件“∠DBA ＝∠CAB ”，那么四边形ABCD 一定是平行四边形．其中正确的说法是（）． A 、①②B 、①③④C 、②③D 、②③④4．在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，如果要使这个四边形成为平行四边形，那么还需添加一个条件，这个条件可以是．参考答案：1．D ； 2．C ； 3．C ； 4． AB ＝CD （答案不唯一）【例题精讲】例题1：已知：如图，□ABCD 中，平行于对角线AC 的直线MN 分别交DA ﹑ DC 的延长线于点M ﹑N ，交 BA ﹑BC 于点P 、Q ，求证：MP ＝NQ练习EFCBDA参考答案：可证四边形ACQM 和四边形ACNP 为平行四边形，可得MQ ＝AC ＝NP 例题2：如图，△ACD 、△ABE 、△BCF 均为直线BC 同侧的等边三角形．求证：四边形ADFE 为平行四边形；参考答案：可证△EBF ≌△ABC 和△DFC ≌△ABC ，可得EF ＝AC ＝AD 和DF ＝AB ＝AE ，根据两种对边分别相等的四边形是平行四边形例题3：如图，在□ABCD 中，分别从A 、B 、C 、D 四点向对角线作垂线，垂足分别为E 、F 、G 、H ，求证：四边形EFGH 为平行四边形。

八年级数学寒假班讲义1第1讲一次函数的概念、图像及性质

学科教师辅导讲义b ＜0（二）例题讲解例1. 在函数y=（m+6）x+（m-2）中，当_______时是一次函数．当时是正比例函数。

巩固练习：1．一次函数y=（m-2）x+（3-2m ）的图像经过点（-1，-4），则m 的值为（）．A ．-3B ．3C ．1D ．-12、若直线y ＝（m ＋1）x ＋5中，y 的值随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（）A 、m ＜－1B 、m ＞－1C 、m ＝－1D 、m ＜13、正比例函数y ＝-23x 中，y 随着x 的增大而_______________。

例2．一次函数y=kx+b 满足x=0时y=-1；x=1时，y=1，则一次函数的表达式为（）．A ．y=2x+1B ．y=-2x+1C ．y=2x-1D ．y=-2x-1巩固练习：1．如图，线段AB 对应的函数表达式为（）A ．y=-32x+2 B ．y=-23x+2 C ．y=-23x+2（0≤x ≤3） D ．y=-23x+20（0<x<3）2．函数y=-x-1的图像不经过（）象限．A ．第一B ．第二C ．第三D ．第四例3．已知函数y=x-3，若当x=a 时，y=5；当x=b 时，y=3，a 和b 的大小关系是（）A ．a>bB ．a=bC ．a<bD ．不能确定巩固练习：1．若点P （a ，b ）在第二象限内，则直线y=ax+b 不经过（）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2. 若直线y=3x+6与坐标轴围成的三角形的面积为S ，则S 等于（）．A ．6B ．12C ．3D ．24y x O yxOP 的坐标，若不能请说明理由。

3、画直线434--=x y 的图象，并解答下列问题：（1）设它的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B ，求AB 的长。

（2）求△AOB 周长（O 为坐标原点）。

（3）求点O 到直线的距离。

（4）求△AOB 的面积。

八年级数学寒假班讲义1第4讲整式方程

学科教师辅导讲义年级：初二辅导科目：数学课时数：3课时课题整式方程教学目的1.知道一元整式方程与高次方程的有关概念；2.通过解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程、高次方程，体会分类讨论的思想以及由特殊到一般、一般到特殊的辩证思想.教学内容【知识梳理】1.字母系数：方程0mx n +=、20ax bx c ++=，其中m 、n 、a 、b 、c 是用字母表示的已知数．x 是未知数．项mx 、2ax 、bx 中m 、a 、b 是项的系数，叫做字母系数.n 、c 是常数项，也叫做字母系数．2．含字母系数的一元一次方程：只含有一个求知数且未知数的最高次数为l 的含字母系数的方程叫做含字母系数的一元一次方程．3.含字母系数的一元二次方程：只含有一个未知数且未知数的最高次数为2的含有字母系数的方程叫做含字母系数的一元二次方程．4.含字母系数的一元=次方程的解法解一元二次方程一般方法有；①因式分解法；②开平方法；③配方法；④公式法，当心含字母系数的代数式去乘或除方程两边时，要讨论.5.整式方程的概念：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式，那么这个方程叫做一元整式方程.6.一元n 次方程与一元高次方程：一元整式方程中，含未知数的项的最高次数是n （n 是正整数），这个方程就叫做一元n 次方程；其中次数n 大于2的方程统称为一元高次方程，简称高次方程．7.二项方程：如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项．另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程．关于x 的一元n 次二项方程的一般形式为 0nax b +=(0,0.a b n ≠≠是正整数）．8．二项方程的解法将方程0n ax b +=变形为n b x a=-.当n 为奇数时，方程有且只有一个实数根；当n 为偶数时，如果0ab <，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如果0ab >，那么方程没有实数根，9．双二次方程：只含有偶数次项的一元四次方程，叫做双二次方程，关于x 的双二次方程的一般形式为： ()4200ax bx c a ++=≠.10．解双二次方程的基本思想：解高次方程的基本思想是降次，使其转化为一元一次方程或者一元二次方程．降次通常采用换元法或因式分解法．11．解双二次方程的一般过程(1)换元，设2x y =，则原方程变为关于y 的一元二次方程：()200ay by c a ++=≠ (2)运用公式法、因式分解等方法解一元二次方程；(3)回代．【典型类型讲解】题型一：一元整式方程【例1】解关于x 的方程：()5x a ax b -=+．【例2】解关于x 的方程：220x x a ++=．【借题发挥】1.解关于x 方程：()34b x +=.【例3】判断下列关于x 的方程，哪些是整式方程？这些整式方程分别是一元几次方程？①32230x x +-= ②1532b x x b +=-③21x x += ④4640x -= ⑤212x a x+=+ ⑥42690x x ++=题型二：二项方程的概念及其解法【例4】在下列方程中，不是二项方程的为 ( )(A)51x = (B)6x x = (C)31309x += (D)4160x +=【例5】利用计算器解下列方程（近似根保留三位小数）：(l)51813x =； (2)()()2214212115x x +-=-；(3)31110645125x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭； (4)()45230x --=．【借题发挥】1.利用计算器解下列方程（近似根保留三位小数）：（1）421003x -= （2）312054x +=题型三：双二次方程的概念及其解法【例6】下列方程中①423100x x --=;②4260x x -=；③312160x x -+=;④422651x x x -+=+是双二次方程的有．【例7】解方程：424320x x --=．【借题发挥】1.解下列方程：（1）42560x x -+= （2）422950y y +-=【随堂练习】一、填空题：1．如果方程中只有个未知数，且方程两边都是关于未知数的，那么这个方程叫一元整式方程．2．已知关于x 的方程()()224220a x a x --+-=，当a 时，它是一元一次方程；当a 时，它是一元二次方程．3．关于x 的一元n 次二项方程的一般式为．4．利用计算器解得方程836x =的近似根是（保留四个有效数字）．5．已知二项方程0n x m +=（m 是正数），则当n 为奇数时，方程实数根；当n 为偶数时，方程实数根．6．280x -=是一元次二项方程，它的解为．7.3380x +=是一元次二项方程，它的解为．8．若关于x 的()400,0ax b a b +=≠≠有一根为1x =-，那么它的解为．9．关于x 的双二次方程的一般式为，解双二次方程常用的方法是．10．用换元法解方程425240x x --=时，若设2x y =，那么原方程可化为，这是关于y 的一元次方程．二、选择题：4．下列关于x 的方程中，整式方程的个数是( )．(1)324x x x += (2)421110234x x -+= (3)21ax x a += (4)211x x x ++= (A)1 (B)2 (C)3 (D)45．若关于x 的方程1mx x +=无解，那么m 的取值范围是( )．(A)0m = (B) m ≠O (C) m ≠-1 (D) 1m =-6．下列关于x 的整式方程中，次数最高的是( )．(A)231102x a x +-= (B)422a x x += (C)320x -= (D) 221a b x x += 三、解答题：7．解下列关于x 的方程：(1)1ax x +=； (2)()()211ax ax x +-= ； (3)()()2121a x x a -=-；（4）510x -= ；（5）4160x -=；（6）613022x -=；（7）()3280x -+=；（8）42450x x --=【课堂总结】【课后作业】一、基础复习巩固填空题：1.关于x 的一元n 次二项方程的一般形式为 .2.对于二项方程()00,0nax b a b +=≠≠的解的情况：当n 为奇数时，方程；当n 为偶数时，如果0ab <，那么方程；如果0ab >，那么方程．3.23x =是一元次二项方程，它的解为．4.3270x +=是一元次二项方程，它的解的情况是．5.()600,0ax b a b +=≠≠有一个解3x =，那么它的解的情况是．6.()4230x m +-=有一个解7x =，那么它的另一个解是 .选择题：7．关于x 的方程()4800ax a -=≠的两根可能是( )． (A)1和2 (B)1和O (C)2和-1 (D)2和-28．下列方程中有两个实数根的是( )．(A)680x -= (B)4230x += (C) 580x -= (D) 30x =9．方程423106x x x += ( )．(A)没有实数根 (B)有一个实数根 (C)有两个实数根 (D)有四个实数根10.如果关于x 的方程()()432312110x m x x n x +++--+=是双二次方程，那么m 、n 的值分别为( )．(A)1和1 (B)1和-1 (C) -1和1 (D) -1和-1解下列关于x 的方程： (1)222224x n x n+=-；（2）()()121a x x -=+；（3）2212nx nx +=；（4）442859x x +=+；（5）3357x x +=- ；（6）42540x x -+=；利用计算器解下列方程（结果保留三位有效数字）（1）511803x -= ；（2）4357x -=.二、综合能力提高1.解下列关于x 的方程： ()()2228120x xx x ---+=；。

八年级数学寒假班讲义二-第14讲-三角形、梯形的中位线

1对3辅导讲义学员姓名：学科教师：年级：辅导科目：授课日期时间主题三角形、梯形的中位线学习目标1．理解三角形、梯形的中位线概念；2．掌握三角形、梯形中位线的性质定理，并能用其进行计算和论证；3. 能综合运用三角形、梯形、以及其他特殊四边行有关知识进行计算与证明．教学内容1、上次课后巩固作业复习；2、互动探索1．三角形中位线定理：； 2．梯形中位线定理：．练习：1．已知梯形的中位线长为9cm ，上底长5cm ，那么下底的长是 cm ； 2．梯形的中位线长为20cm ，高为4cm ，则其面积为 cm ²；3．若梯形的中位线被它的两条对角线三等分，则梯形的上底a 与下底b (a <b )的比是（） A 、12 B 、13 C 、23 D 、254．△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，若DE ＝4，AD ＝3，AE ＝2，则△ABC 的周长为______．EDFBCAEF AD BC【知识梳理1】三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半【例题精讲】例1：在梯形ABCD 中，EF 分别是对角线BD 和AC 的中点，求证：1()2EF BC AD =-试一试：如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，点E 、F 、G 分别是BD 、AC 、DC 的中点．已知两底的差是8，两腰和是12，求△EFG 的周长。

例题2：问题1：我们把依次联结任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，依次联结各边中点得到的中点四边形EFGH ．这个中点四边形EFGH 的形状为；说明理由．问题2：将问题1中的四边形特殊化后，又能都到什么特殊的中点四边形？总结一下，完成下表：EFA D BC G FEB DCA FGEHA BCD基础图形顺次联结其各边中点所得的四边形（在图中画出并指出四边形类型）平行四边形矩形菱形正方形梯形等腰梯形问题3：根据问题2的探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的？例题3：如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC内，CE⊥AE，点F在边AB上，EF∥BC．（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；（2）线段BF 、AB 、AC 的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论．例题4：如图，在梯形ABCD 中，AB //CD ，AD ＝BC ，对角线AC 、BD 的交点O ，∠AOB ＝60°，又S 、P 、Q 分别是DO 、AO 、BC 的中点．求证：△SPQ 是等边三角形．※例题5：如图在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 上的点，且BD ＝CE ，M 、N 分别是BE 、CD 的中点．过 MN 的直线交AB 于P ，交AC 于Q ，线段AP 、AQ 相等吗？为什么？FEDBCAQPS OCDA B补充类试题：已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，E 、F 分别是DC 、AB 边的中点，FE 的延长线分别与AD 、BC 的延长线交于H 、G 点．求证：∠AHF ＝∠BGF ．1．若顺次联结四边形ABCD 各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD 一定是的四边形； 2．如图，在梯形ABCD 中，已知AD //CB ，对角线AC ⊥BD ，且AC ＝5cm ，BD ＝12cm ，则梯形的中位线长为 cm ；QPNMABCD E GH FEDABC3．已知：如图，△ABC 中，D 是BC 边的中点，AE 平分∠BAC ，BE ⊥AE 于E 点，若AB ＝5，AC ＝7，求ED ．4．如图，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，过C 作AD 的垂线，交AD 的延长线于点E ，F 为BC 中点，联结EF ；求证：EF //AB .DBCAEDBCAD FEBCA【巩固练习】1．如图，梯形ABCD中，E、F分别为腰AB、CD的中点，若∠ABC和∠DCB的平分线相交与线段EF上的一点P，当EF＝3时，则梯形ABCD的周长为；2．等腰梯形的对角线互相垂直，若连接该等腰梯形各边中点，则所得图形是（）A、平行四边形B、矩形C、菱形D、正方形3．如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F、M分别为AB、DC、BC的中点，且ME＝MF．求证：梯形ABCD是等腰梯形．4．如图，已知BE、CD分别是△ABC的角平分线，并且AE⊥BE于E点，AD⊥DC于D点．求证：（1）DE∥BC；（2）DE＝12(AB+AC−BC)．P FEDB CAFEDMAB CEDB CAGFEDB CA【预习思考】1．菱形的两条对角线之比是2：3，面积是27，则两条对角线的长分别是和．2．如图，已知梯形ABCD的中位线为EF，且△AEF的面积为6cm2，则梯形ABCD的面积为（）A、12 cm2B、18 cm2C、24 cm2D、30 cm23．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A、当AB＝BC时，它是菱形；B、当AC⊥BD时，它是菱形；C、当AC＝BD时，它是正方形；D、当∠ABC＝900时，它是矩形. 4．下列说法：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形。

八年级数学寒假班讲义二第11讲-特殊的平行四边形(上) (2)

1对3辅导讲义学员姓名：学科教师：年级：辅导科目：授课日期时间主题平行四边形的判定学习目标1．掌握平行四边形判定定理；2．会应用平行四边形的性质定理和判定定理解决相关的几何证明和计算问题．教学内容1、上次课后巩固作业复习；互动探索：通过观察下卖弄几幅图，你能想起来数学上的哪些知识点呢？【知识梳理1】1．回顾矩形和菱形除了具备平行四边形的性质以外的特殊性质，完成下表；2．总结一下矩形和菱形的判定，完成下表；矩形的判定菱形的判定四边形矩形四边形菱形平行四边形矩形平行四边形菱形【例题精讲】例题1：已知：在矩形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，∠AOD ＝120°，求：∠BOE边角对角线对称性矩形菱形例题2：如图，已知矩形ABCD 的纸片沿对角线BD 折叠，使C 落在C '处，BC '边交AD 于E ，8AD =，4CD =．（1）求AE 的长；（2）BED △的面积例3：如图1，一张矩形纸片ABCD ，其中AD =8cm ，AB =6cm ，先沿对角线BD 对折，点C 落在点C ′的位置，BC ′交AD 于点G ．（1）求证：AG =C ′G ；（2）如图2，再折叠一次，使点D 与点A 重合，得折痕EN ，EN 交AD 于点M ，求EM ．例题4：如图，已知菱形ABCD 中，∠B ＝∠EAF ＝60°，∠BAE ＝20°，求：∠CEFEOABC DEBCADC'例题5：如图，在ABC △中，90A ∠=o ，AH BC ⊥于H ，B ∠的平分线交AC 于D ，DF BC ⊥ 于F ．求证：四边形AEFD 是菱形．例题6：如图（1），在△ABC 和△EDC 中，AC ＝CE ＝CB ＝CD ，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，AB 与CE 交于F ，ED 与AB 、BC 分别交于M 、H ．（1）求证：CF ＝CH ；A BCDEFABCDEFEFH DABC（2）如图（2），△ABC 不动，将△EDC 绕点C 旋转到∠BCE ＝45°时，试判断四边形ACDM 是什么四边形？并证明你的结论．图（1）图（2）【试一试】1、如图．矩形纸片ABCD 中，已知AD =8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF =3．则AB 的长为（） A ． 3B ． 4C ．5D ．62、如图，在平行四边形ABCD 中，AE 、BF 分别是∠DAB 、∠CBA 的角平分线，AE 、BF 交于O 点，与DC分别交于E 、F 两点。

八年级数学寒假班讲义一元二次方程

1对3辅导教讲义（1）学员姓名：学科教师：年级：八年级辅导科目：授课日期时间主题一元二次方程教学内容1．掌握开平方法、因式分解法、配方法、公式法解一元二次方程并能用适当的方法解一元二次方程；2．了解一元二次方程根的判别式的意义，能用一元二次方程根的判别式判别一元二次方程根的情况，学会运用一元二次方程判别式解决相关应用问题；3．会列一元二次方程解面积问题、增长率问题等常见的应用题．（此环节设计时间在10-15分钟）教法指导：通过案例让学生之间相互讨论有关比赛（握手）、互送礼物问题，通过讨论能够得出相关规律并解决问题．案例：比赛（握手）、互送礼物问题问题1：要组织一次篮球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场（即单循环比赛），现有x支球队，一共要比赛n场．①当x＝2时，n＝场；②当x＝3时，n＝场；③当x＝4时，n＝场；……④根据以上规律，探讨x与n的关系，n＝．【参考答案】1；3；6；(1)2x x问题2：生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，现有x名兴趣小组的同学，一共要赠送标本n 件．①当x ＝2时，n ＝件；②当x ＝3时，n ＝件；③当x ＝4时，n ＝件；……④根据以上规律，探讨x 与n 的关系，n ＝．【参考答案】2；6；12；(1)x x -练习：运用以上知识，解决下列问题：（1）要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式，即每两队之间比赛一场，计划安排28场比赛，设有x 支球队参加比赛，则所列方程化为一般形式为：．（2）一个小组有x 人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则所列方程化为一般形式：．（3）参加一次同学聚会，每两个人都握了一次手，所有人共握手56次．设有x 人参加聚会，则所列方程化为一般形式为：．（4）某次足球赛采用“主客场”制，即每支球队在主场与其他球队比赛一场，在客场与其他球队比赛一场.已知此次比赛一共赛了56场，设有x 支球队参加，那么所列方程为：．答案：（1）2560x x --=；（2）2720x x --=；（3）21120x x --=；（4）2560x x --= （此环节设计时间在50-60分钟）例题1：解方程：()()21112x x ---=．教法指导：可以先通过换元法（设1x y -=）来讲解，再讲解整体思想（1x -看作一个整体）。

人教版初二数学寒假高分班讲义

实战演练
知识模块一一元二次方程的概念课后演练
【练习1】 ⑴ 已知 x 2 是一元二次方程 x2 mx 2 0 的一个解，则 m 的值是 ___________． ⑵ 若方程 2kx2 x k k 2 0 有一个根是 0，则 k 的值是____________． ⑶ 如果 x 1 是关于 x 的方程 2x2 3ax 2a 0 的根，那么关于 y 的方程 y2 3 a 2 的根是________________． ⑷ 已知 3 是关于 x 的方程 x2 2x 3a 1 0 的一个根，则 3a 1 的值是 _____________．
ax2 bx c 0(a 0) 的一个根．
02 0 0 ，则 0 是方程 x2 x 0
的另一个根． ∴ 0,1 是方程
x2 x 0 的两个根，表示为
一元二次方程都可化成如下形式：
x1 =0, x2 =1
ax2 bx c 0 （ a 0 ）．
一元二次方程 2x2 2x 1 0 ，其中 a 2，b 2，c 1 ．
系数为 b ； c 为常数项．
一元二次方程的根：
1 满足 12 1 0 ，则 1是方程
如果 x0 满足 ax02 bx0 c 0(a 0) ，则 x0 就是方程 x2 x 0 的一个根． 0 满足
二次方程；当 m _________时，方程为一元一次方程； ⑵已知 m 是方程 x2 x 1 0 的一个根，求代数式 5m2 5m 2008 的值；
⑶已知 a 是 x2 2009x 1 0 的根，求 a2 2008a a2 1 的值． 2009

八年级数学寒假班讲义二第7讲-平行四边形的性质-

1对3辅导讲义学员姓名：学科教师：年级：辅导科目：授课日期时间主题平行四边形的性质学习目标1．掌握多边形的内角和与外角和定理；2．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形性质定理；3. 会应用平行四边形的性质定理解决相关的几何证明和计算问题．教学内容1、多边形定义：由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。

凸多边形分类1：凹多边形正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

分类2：多边形非正多边形：1、n边形的内角和等于180°（n-2）。

多边形的定理2、任意凸形多边形的外角和等于360°。

3、n边形的对角线条数等于1/2·n（n-3）只用一种正多边形：3、4、6/。

镶嵌拼成360度的角只用一种非正多边形（全等）：3、4。

2．回顾平行四边形的性质；边角对角线对称性平行四边形对边平行且相等对角相等邻角互补对角线互相平分中心对称1．一个多边形的每一个内角都等于144°，那么这个多边形是边形．练习2．如果一个多边形的内角和与外角和相等，这个多边形的边数为． 3．平行四边形两条对角线分别为10和16，则它的一边长可以是（）（A ）15；（B ）12； (C )13； (D )14．4．已知平行四边形ABCD 的两条对角线AC 和BD 相交于点O ，长度分别等于8cm 和12cm ，如果边BC 长等于6cm ，那么△BOC 的周长等于（）（A ）14；（B ）15；（C ）16；（D ）17． 5．在□ABCD 中，若∠B ＝70°，AH ⊥CD 于H ，则∠DAH ＝度． 6．在□ABCD 中,∠A : ∠B ＝ 3:1，则∠C ＝_________ 度．7．已知□ABCD 的面积为4，O 为两条对角线的交点，那么△AOB 的面积是．8．如图，在□ABCD 中，∠BAD 的平分线AE 交BC 于E ，EC ＝2，BE ＝4，那么□ABCD 的周长＝．参考答案：1．10； 2．4； 3． B ； 4．C ； 5．20°； 6．135°； 7．1； 8．20．知识一、多边形的内角和与外角和例题1：（1）一个多边形除了一个内角等于α，其余角的和等于700°，则这个多边形的边数为，α的值为．（2）如图，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F 的度数．ABCDE第8题图参考答案：（1）∵700°÷180°＝3余160°，∴去掉的内角α为：180°—160°＝20°，设这个多边形为n 边形，则（n —2）×180°＝700°＋20°，解得n ＝6，（2）联结AD ，则∠E ＋∠F ＝∠EDA ＋∠F AD∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F 为四边形ABCD 的内角和即∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝360°试一试：如图，小华从M 点出发，沿直线前进10米后，向左转20o ，再沿直线前进10米后，又向左转20o ，……，这样下去，他第一次回到出发地M 时，行走了米．参考答案：180米试一试：如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=__________.参考答案：360°.（提示：把∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6转移到同一个多边形内.）ABCDEF知识二、平行四边形面积计算例题2：□ABCD 的周长为18cm ，它的两条高分别为1cm 和2cm ，则它的面积是 cm 2．参考答案：∵平行四边形ABCD 的周长为18cm ， ∴邻边之和为18÷2＝9（cm ），设一条边长为xcm ，另一条边长为ycm ， ∴9x y +=，根据平行四边形面积可得 2x y =，∴92x y x y +=⎧⎨=⎩，解得：36x y =⎧⎨=⎩， ∴它的面积是：3×2＝6试一试：如图，已知，平行四边形ABCD 中，E 在AC 上，AE ＝2EC ，F 在AB 上，BF ＝2AF ，如果24BEF S cm ∆=，则平行四边形ABCD 的面积为参考答案：218cm例题3：如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，∠B ＝60°，AE 为BC 边上的高，将△ABE 沿AE 所在直线翻折后得△AFE ，那么△AFE 与四边形AECD 重叠部分的面积是．DCA BF EGEABCDF参考答案：73 4试一试：已知□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ODA＝90°，OA＝5cm，OB＝3cm，那么AD＝_ _ cm，AB＝__ _ cm．参考答案：（1）4，213；知识三、平行四边形周长计算例题4：如图，O是□ABCD对角线的交点．△OBC的周长为59，BD=38，AC=24，则AD=____若△OBC与△OAB的周长之差为15，则AB=□ABCD的周长=____.参考答案：28；82知识四、平行四边形的性质例题5：已知：如下图，□ABCD中，MN∥AC，分别交DA﹑DC的延长线于点M﹑N，交BA﹑BC于点P、Q，求证：MQ＝NP．参考答案：证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴MD∥BC，AB∥ND，∵MN∥AC，∴MQ∥AC，AM∥QC，PN∥AC，AP∥CN，∴四边形AMQC、四边形APNC都是平行四边形，∴MQ＝AC，PN＝AC，∴QM＝NP试一试：已知：如图，O为□ABCD的对角线AC的中点，过点O作一条直线分别与AB、CD交于点M、N，点E、F在直线MN上，且OE＝OF．（1）图中共有几对全等三角形？请把它们都写出来；（2）求证：∠MAE＝∠NCF．参考答案：（1）解：有4对全等三角形．分别为△AMO≌△CNO，△OCF≌△OAE，△AME≌△CNF，△ABC≌△CDA；（2）证明：∵OA＝OC，∠1＝∠2，OE＝OF，∴△OCF ≌△OAE ． ∴∠EAO ＝∠FCO ．在平行四边形ABCD 中，AB ∥CD ， ∴∠BAO ＝∠DCO ． ∴∠EAM ＝∠NCF知识五、平行四边形的综合运用例题5：如图，在平面直角坐标系中，点C （－3,0），B （0，3），且∠OBA ＝∠BCO ，直线BA 与x 正半轴交于点A 。

人教版八年级下数学尖端班特色讲义

第1讲二次根式与勾股进阶模块一二次根式计算巩固1．二次根式的三大性质0且a≥02＝a(a≥0)(0)||(0)a aaa a≥⎧=⎨-<⎩2．二次根式的运算法则3．最简二次根式a≥0）中的a称为被开方数，满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式，(1)被开方数不含分母：）(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．()在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，井且分母中不含二次根式．4．分母有理化如果计算结果的分母中含有二次根式，需要把分母中的根号去掉，这个过程叫做分目有理化．例如=211===-．5．同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式．同类次根式可以合并，例如:(a b =+ 例1(1)已知实数a 满足|2006－a |a ，求a －20062的值．(2)已知实数m ，n ，p p 的值．练习(x ＋y )2，求x －y 的值．例2(1)化简下列式子:(2)计算②③-④- 练习(1(2)2(其中a ＞0，b ＞0)(3)若a ＋b ＝3，ab ＝1(4)若a ＋b ＝2，ab ＝12模块二二次根式的进阶知识导航21)＝2＋21＋12＝3＋那么反过来，已知3＋，我们也可以把它转化成21)的形式，从而就可以进一步化简；＋1．同样的，类比a2＋6ab＋9b2＝(a＋3b)2，当m≥0且n≥0时，有时我们也会根据解题需求进行这样的配方构造；m＋＋9n＝2＋22＝2．题型一配方例3例4(1)已知a－b－5＝0，求a、b的值．(2)已知a－b－2＝0，求a、b的值．【真题演练】(2016武昌区八下期中)已知4＝x＋y＋z＋9【归纳总结】形如m－n－3＋＋5＝0的等式，除了可以用上述方法直接配方构造外，也可以将根式换元升次；x＝y，则m＝x2，n＝y2＋3，代入得x2－4x＋y2＋2y＋5＝0，配方即可．模块三网格问题例6（2016江岸区八下期中）如图，正方形网格中的每一个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，在现有的网格中，分别按下列要求画以格点为顶点的三角形．（1）在图1中，画一个等腰直角三角形，使它的面积为5．（2）在图2中，画一个三角形，使它的边长分别为，3、．（3）在图3中，画一个三角形，使它三个边长都为有理数．（4）在图4中，画一个直角三角形，使它的三边长都为无理数．图1 图2 图3 图4练习（2017二中八下期中）正方形网格中，小格的顶点叫做格点，三角形三个顶点都在格点上的三角形叫做格点三角形．如图，在边长为1单位长度的小正方形组成的4×4网格中，请按下列要求答题．（1）在图1中画出一个格点菱形，使其面积为4；（2）在图2中画出一个格点三角形，使其三边长分别为4；（3）在4×4正方形网格中，所有的格点三角形的斜边长共有_______种不同值．图1 图2例7 问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形形网格（每个小正方形的面积为1）．再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不用求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上________．思维拓展：（2）我们把上述求△ABC面积的犯法叫做构图法．若△ABC、、（a>0），请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．探索创新：（3）若△ABC m>0，n>0，且m≠n），试运用构图法直接写出这个三角形的面积_______（结果用m、n表示）图1 图2练习（2016粮道街中学八下期中）如图，是由36个边长为1的小正方形组成的6×6的正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形．（1）请你在所给的网格中画出边长为5的格点三角形△ABC．（2）△ABC的面积为_________．模块四二次格式与最值例8（2017二中八下期中）如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km．现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得（1）①若C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？②若E站到C、D站的距离之和最短，则E站应建在离A站多少km处？（2）受（1）小题第②问启发，你能否解决以下问题？正数a、b满足条件a＋b=5，且s s的最小值=_______练习（2017东湖高新区八下期中）若y x 的取值范围内，y 的最小值为________ 课后作业 A 基础巩固1（2017七一中八下期中）如图所示，观察图形：12S S 、、分别是直角三角形的面积．求2221210S S S +++的值为（）A ．40B ．554C ．50D ．3342（2017外校八下期中）任何实数a ，可用[a ]表示不大于a 的最大整数，例如[a ]=4，=1．现对72进行如下操作：72第一次=8第二次=2第三次=1．这样对72只需要进行3次操作后变成1．只需要进行3次操作后变成1的所有正整数中，最大的是（）A ．256B ．255C ．80D ．813．（2017江汉区八下期中）若y <0，则-4________．4．计算：（1 （2-+（3） + （40,0)a b >>5．（2016二中八下期中）已知1,1x y ==，求下列各式的值 ① 222;x xy y ++ ②22;x y - 6．当a =，求24321996a a a --的值7．当a ，求代数式2963a a a -+-的值．8．已知152a b c +--，求a ＋b ＋c 的值．9（2016青山区八下期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点．（1）在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形．（2）①在图25 ②求此三角形最长边上的高图1 图2 图310．如图，在4×4的小正方形网格中，小正方形的边长为1，点O 在格点（网格线的交点）上．（1）试在格点上找点A ．使得OA =A 的坐标；（2）在格点上找出点B 和C ，使得BC =BC ）（3）点M （5，0），点P （x ，0）是线段OM的最小值．第2讲勾股定理综合知识目标模块一勾股定理与三边关系知识导航勾股定理：如果直角三角形的两条直角边分别为a 、b ,斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2．勾股定理逆定理：如果三角形三边长a 、b 、c 满足a 2＋b 2＝c 2,那么这个三角形是直角三角形．例1判断下列说法的正误．（1）在Rt △ABC 中，己知两边长为6和8,则第三边长一定是10．（2）△ABC 的三边为a ，b ,c ，若a 2＝（b ＋c ）（b －c ），那么这个三角形是直角三角形．（3）△ABC 的三边为a ，b ,c ，若∠A ＝∠B ＝∠C ,那么这个三角形是直角三角形．（4）Rt △ABC 的三边为a ，b ,c ，且c 为斜边，h 为斜边的高，则a 2,b 2,c 2能组成三角形．（5）Rt △ABC 的三边为a ，b ,c ，且c 为斜边，h 为斜边的高，则c ＋h ,a ＋b ,h 能组成三角形．（6）Rt △ABC 的三边为a ，b ,c ，且c 为斜边，h 为斜边的高，则21a ,21b ,21h 能组成三角形．（7）Rt △ABC 的三边为a ，b ,c ，且c 为斜边，h练习（2017二中八下期中第10题）已知a ，b ，c 是直角三角形的三边，且c 为斜边，h 为斜边上的高，下列说法:a 2，b 2，c 2能组成一个三角形；②c ＋h ，a ＋b ，h 能组成直角三角形；④21a ，21b ，21h能组成直角三角形．其中错误结论的个数是（） A ．1 B ．2C ．3D ．4模块二勾股定理与实际应用例2如图所示，一根长2.5米的木棍（AB ），斜靠在与地面（OM ）垂直的墙（ON ）上，此时OB 的距离为0.7米，设木棍的中点为P ．若木棍A 端沿墙下滑，且B 端沿地面向右滑行．（1）如果木棍的顶端A 沿墙下滑0．4米，那么木棍的底端B 向外移动多少距离？（2）请判断木棍滑动的过程中，点P 到点O 的距离是否变化，并简述理由．（3）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB 的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值．练习（2017武昌C 组联盟八下期中）如图，一根长25m 的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离底端7m ．如果梯子的顶端下滑4m ，那么梯足将滑动（）A ．5mB ．8mC ．9mD ．15m 例3如图，有两条公路OM 、ON 相交成30°角，沿公路OM 方向离O 点80米处有一所学校A ．当重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶时，在以P 为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P 与学校A 的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶的速度为18千米/时．（1）求对学校A 的噪声影响最大时卡车P 与学校A 的距离；（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间．练习如图，一艘渔船正以30海里/时的速度由西向东追赶鱼群，在A处看见小岛C在船的北偏东60°，40分钟后，渔船行至B处，此时看见小岛C在船的北偏东30°．（1）求小岛C到航线AB的距离；（2）已知以小岛C为中心周围18海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区域的可能，若进入危险区，求出在危险区航行多长时间？（结果保留根号）模块三勾股计算综合例4（2017武昌区八下期中第16题）如图，□ABCD中，BF⊥CD交CD于点F，BE⊥AD交AD于点E，∠EBF＝60°，EFDF＝2，则BC＝_________．CA E练习（2017洪山区八下期中第21题）（2017硚口区八下期中第16题）在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，AD＝CD＝5，∠ABC＝90°，求对角线BD的长．例5如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝4，分别以AB 、BC 、AC 为边作正方形ABED 、BCFK 、ACGH ，再作Rt △PQR ，使∠R ＝90°，点H 在边QR 上，点D 、E 在边PR 上，点G 、F 在边PQ 上，则PQ 的长为．练习如图，正方形ABCD 的边长为10，AG ＝CH ＝8，BG ＝DH ＝6，连接GH ，则线段GH 的长为（）A B ． C ．145 D ．10－例6如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，点E 是AD 上的一点，有AE ＝4，BE 的垂直平分线交BC 的延长线于点F ，连结EF 交CD 于点G ．若G 是CD 的中点，则BC 的长是．练习如图，在直角坐标系中，矩形ABCO 的边OA 在x 轴上，边OC 在y 轴上，点B 的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC 翻折，B 点落在D 点的位置，且AD 交y 轴于点E ．那么点E 的坐标．模块四勾股定理与旋转综合例7如图1，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，ACB的顶点A在△ECD 的斜边DE上（1）求证：AE2＋AD2＝2AC2；（2）如图2，若AE＝2，AC＝，点F是AD的中点，直接写出CF的长是．练习定义，如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N为线段AB的勾股分割点．（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM＝3，MN＝5，求BN的长（2）如图2，在Rt△ABC中，AC＝BC，点M，N在斜边AB上，∠MCN＝45°，求证：点M，N是线段AB的勾股分割点；例8 （1）(2017外校八下期中)如图，四边形ABCD中，AD＝3，CD＝2，∠ABC＝∠ACB ＝∠ADC＝45°，则BD的长为_________．（2）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD＝CD，求证：BD2＝AB2＋BC2．练习如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AC ，∠ABC ＝∠ADC ＝45°，试探究DA 、DB 、DC 之间的数量关系，并证明．BCD课后作业 A 基础巩固1，斜边上的高为2，则这个直角的斜边长为（） A ．3 B ．4 C ．5 D2．（2017武珞路八下期中）如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC ＝30o ,AB ＝2，分别以△ABC 的三条边为直径作半圆，则图中阴影部分的而积S 1，S 2，S 3之间关系成立的是（） A ．S 1＋S 2＋S 3＝0 B ．S 1＋S 2＝S 3 C ．S 1＋S 2＞S 3 D ．S 1＋S 2＜S33．如图，铁路MN 和公路PQ 在点O 处交汇，∠QON ＝30°．公路PQ 上A 处距O 点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN 上沿ON 方向以72千米/时的速度行驶时，A 处受噪音影响的时间为__________．4．(2017黄陂区八下期中第16题)如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，若AB ＝1，BC ＝ 2, CD，ADBD 的长为__________．5．(2017江汉区八下期中)如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，P 是△ABC 的外角平分线AP 、BP 的交点，则AP 的长为____________．6．(2017武昌区八下期中)如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝30°，点E 为AB 的中点，DE ⊥AB 交AB 于点E ，DEBC ＝1，CDCE 的长DABCE7．如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），聪明的小红发现：先测出垂到地面的绳子长m ，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C 到旗杆底部B 的距离n ，利用所学知识就能求出旗杆的长，若m ＝2，n ＝6，求旗杆AB 的长．B 综合训练8．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 是BC 上的一点，求证BD 2＋CD 2＝2AD 2．ABCD9．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ACB ＝∠ADC ＝45°，BD ＝6，CD ＝4，求AD 的长．DCB10．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝BC ，∠ADC ＝30o ,试探究DA 、DB 、DC 之间的数量关系，并证明．ABD2 矩形、菱形性质、判定知识目标目标一掌握矩形的性质和判定目标二掌握菱形的性质和判定目标三综合应用矩形和菱形的性质和判定解题模块一矩形的性质和判定例1 如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于点E,AC、BD交于点O,BE:ED=1:3(1)求证：BE= OE；(2)求∠AOB的度数．ADOECB练如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点0，AE⊥BD于点E，若∠DAE:∠BAE=3:1，求∠EAC的度数？ADOECB例2如图，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点M为DA延长线上一点，MB、DE的延长线交于点N，且∠MNC＝90°．(1)求证：AD=2EN：(2)求证：DM=DN．ENMDCBA 练如图，矩形ABCD 中，点E 在线段CB 的延长线上，连结DE 交AB 于点F ，∠AED=2∠CED ，点G 是DF 的中点，若BE=1，AG=4，求AB 的值。

初二数学寒假班讲义第03讲-一次函数(提高)-学案

初二数学寒假班讲义第03讲-一次函数（提高）-学案学科教师辅导讲义学员编号_________年级八年级上课时数3学员姓名辅导科目数学学科教师授课主题第03讲-一次函数授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标巩固一次函数与正比例函数；掌握一次函数的图象与性质；会应用一次函数与正比例函数。

授课日期及时段T （Textbook-Based）同步课堂体系搭建一.知识梳理1.函数（1）概念如果在一个变化的过程中有两个变量，并且对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，那么我们称是的函数，其中是自变量，是自变量的函数。

（2）表示方法函数有三种表示方法列表法，关系式法，图象法（3）画图像的步骤列表.描点.连线。

2.正比例函数一次函数（为常数，）,当时，变为，这时把叫做的正比例函数。

（1）正比例函数ykx（k0）的图象是经过（0，0）和（1，k）两点的一条直线；（2）当k0时，函数图象经过第一.三象限，y的值随着x值的增大而增大；当k0时，函数图象经过第二.四象限，y的值随着x值的增大而减小.3.一次函数若两个变量间的对应关系可以表示成（为常数，）的形式，则称是的一次函数。

（1）一次函数ykxb（k0）的图象是经过（0，b）；（2）当k0时，y的值随着x值的增大而增大；当k0时，y的值随着x值的增大而减小.（3）图象所在象限当k0，b0时，图象经过第一.二.三象限；当k0，b0时，图象经过第一.三.四象限；当k0，b0时，图象经过第一.二.四象限；当k0，b0时，图象经过第二.三.四象限；4.一次函数的应用利用一次函数的性质解决实际问题。

待定系数法先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法。

考点一函数例1.下列图形中的图象不表示y是x的函数的是（）ABCD 例2.某个函数自变量的取值范围是x1，则这个函数的表达式为（）Ayx1Byx21CyDy例3.王大爷饭后出去散步，从家中走20分钟到离家900米的公园，与朋友聊天10分钟后，用15分钟返回家中下面图形表示王大爷离时间x（分）与离家距离y（米）之间的关系是（）ABCD例4.弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂的物体的质量x（kg）间有下面的关系x012345y1010.51111.51212.5下列说法不正确的是（）Ax与y都是变量，且x是自变量，y是因变量B所挂物体质量为4kg时，弹簧长度为12cmC 弹簧不挂重物时的长度为0cmD物体质量每增加1kg，弹簧长度y 增加0.5cm例5.已知y是x的函数，自变量x的取值范围x0，下表是y与x的几组对应值x123579y1.983.952.631.581.130.88小腾根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y 与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究下面是小腾的探究过程，请补充完整（1）如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表格中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（2）根据画出的函数图象，写出x4对应的函数值y约为；该函数的一条性质考点二一次函数与正比例函数例1.已知y与x成正比例，并且x1时，y8，那么y与x之间的函数关系式为（）Ay8xBy2xCy6xDy5x例2.下列函数中，y是x的一次函数的是（）yx6；y；y；y7xABCD例3.正比例函数y2kx的图象如图所示，则y（k2）x1k图象大致是（）ABCD例4.y（2m1）x3m23是一次函数，则m的值是例5.如图，l1表示某产品一天的销售收入y1（万元）与销售量x（件）的关系；l2表示该产品一天的销售成本y2（万元）与销售量x（件）的关系写出销售收入y1与销售量之间的函数关系式写出销售成本y2与销售量之间的函数关系式，当一天的销售量超过时，生产该产品才能获利（利润收入成本）例6.已知一次函数y（2m4）x（3n），求（1）当m是什么数时，y随x的增大而增大（2）当n为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴下方（3）m，n为何值时，函数图象过原点考点三一次函数的应用例1.一次函数y2x4的图象如图，图象与x轴交于点A，与y轴交于点B（1）求A.B两点坐标（2）求图象与坐标轴所围成的三角形的面积是多少例2.我省某苹果基地销售优质苹果，该基地对需要送货且购买量在2000kg5000kg（含2000kg和5000kg）的客户有两种销售方案（客户只能选择其中一种方案）方案A每千克5.8元，由基地免费送货方案B每千克5元，客户需支付运费2000元（1）请分别写出按方案A，方案B购买这种苹果的应付款y（元）与购买量x（kg）之间的函数表达式；（2）求购买量x在什么范围时，选用方案A比方案B付款少；（3）某水果批发商计划用20000元，选用这两种方案中的一种，购买尽可能多的这种苹果，请直接写出他应选择哪种方案PPractice-Oriented实战演练实战演练课堂狙击1.下列各图象中，不能表示y是x的函数的是（）ABCD2.函数y中自变量x的取值范围是（）Ax0Bx1Cx1Dx13.某星期天小李步行取图书馆看书，途中遇到一个红灯，停下来耽误了几分钟，为了赶时间，他以更快速度步行到图书馆，下面几幅图是步行路程s（米）与行进时间t（分）的关系的示意图，你认为正确的是（）ABCD4.我们知道，在弹性限度内，弹簧挂上重物后会伸长已知一根弹簧的长度（cm）与所挂重物的质量（kg）之间的关系如下表，则下列说法错误的是（）重物的质量（kg）012345弹簧的长度（cm）1212.51313.51414.5A在这一变化过程中，重物的质量是自变量，弹簧的长度是因变量B当所挂重物的质量是4kg时，弹簧的长度是14cmC在弹性限度内，当所挂重物的质量是6kg时，弹簧的长度是16当不挂重物时，弹簧的长度应为12cm5.已知y与x3成正比例，并且x1时，y8，那么y与x之间的函数关系式为（）Ay8xBy2x6Cy8x6Dy5x36.下列函数y2x1，yx，y，yx2中，一次函数的个数是（）A1B2C3D47.已知一次函数ykxb，y随着x的增大而减小，且kb0，则在直角坐标系内它的大致图象是（）ABCD8.若y（a3）xa29是正比例函数，则a9.已知一次函数y（12m）xm1，若函数y随x的增大而减小，并且函数的图象经过二.三.四象限，求m的取值范围10.已知一次函数ykx4，当x2时，y2（1）求一次函数的解析式；（2）将该函数的图象向上平移8个单位，求平移后的图象与坐标轴围成的三角形的面积11.为保障我国海外维和部队官兵的生活，现需通过A港口.B 港口分别运送100吨和50吨生活物资已知该物资在甲仓库存有80吨，乙仓库存有70吨，若从甲.乙两仓库运送物资到港口的费用（元/吨）如表所示港口运费（元/吨）甲库乙库A港1420B港108（1）设从甲仓库运送到A港口的物资为x吨，求总运费y（元）与x（吨）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）求出最低费用，并说明费用最低时的调配方案课后反击1.下列平面直角坐标系中的图象，不能表示y是x的函数的是（）ABCD2.已知函数y，则该函数的自变量的取值范围为（）Ax2Bx2且x3Cx2Dx2且x33.在动画片（喜羊羊与灰太狼）中，有一次灰太狼追赶懒羊羊，在距离羊村60米处的地方上追上了懒羊羊，如图反映了这一过程，其中a表示与羊村的距离，t表示时间根据相关信息，以下说法错误的是（）A一开始懒羊羊与灰太狼之间的距离是30米B15秒后灰太狼追上了懒羊羊C灰太狼跑了60米追上懒羊羊D 灰太狼追上懒羊羊时，懒羊羊跑了60米4.某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是下表的数据鸭的质量/千克0.511.522.533.54烤制时间/分4060801001xx0160180设鸭的质量为x千克，烤制时间为t，估计当x2.8千克时，t的值为（）A128B132C136D1405.函数y （a1）xa1是正比例函数，则a的值是（）A2B1C2或1D26.下列函数y2xyy2x1y2x21，其中一次函数的个数是（）A4B3C2D17.若直线ykxb经过第一.二.四象限，则直线ybxk的图象大致是（）ABCD8.若函数y（a3）x|a|22a1是一次函数，则a9.如果一次函数y（2m）xm3的图象经过第二.三.四象限，求m的取值范围10.将函数y2x3的图象平移，使得它经过点A（4，2），求平移后的函数解析式11.小李是某服装厂的一名工人，负责加工A，B两种型号服装，他每月的工作时间为22天，月收入由底薪和计件工资两部分组成，其中底薪900元，加工A型服装1件可得20元，加工B型服装1件可得12元已知小李每天可加工A型服装4件或B型服装8件，设他每月加工A型服装的时间为x天，月收入为y元（1）求y与x的函数关系式；（2）根据服装厂要求，小李每月加工A 型服装数量应不少于B型服装数量的，那么他的月收入最高能达到多少元直击中考1.【xx临沂】现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展小明计划给朋友快递一部分物品，经了解有甲.乙两家快递公司比较合适甲公司表示快递物品不超过1千克的，按每千克22元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费乙公司表示按每千克16元收费，另加包装费3元设小明快递物品x千克（1）请分别写出甲.乙两家快递公司快递该物品的费用y（元）与x（千克）之间的函数关系式；（2）小明选择哪家快递公司更省钱SSummary-Embedded归纳总结重点回顾一次函数若两个变量间的对应关系可以表示成（为常数，）的形式，则称是的一次函数。

八年级数学寒假班讲义二第12讲-特殊的平行四边形(下)

1对3辅导讲义学员姓名：学科教师：年级：辅导科目：授课日期时间主题特殊的平行四边形（下）学习目标1．理解正方形的概念；2．掌握正方形的性质与判定并能运用这些性质与判定进行有关的证明和计算．教学内容1、上次课后巩固作业复习；互动探索观察下面几幅图片，你能联系到数学中的哪些知识？【知识梳理1】1．在下图箭头上填上适当条件2．总结一下正方形所具备的性质：正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质： ① 边的性质：对边平行，四条边都相等． ② 角的性质：四个角都是直角．③ 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形．平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）【例题精讲】例题1：如图，在正方形ABCD 中，AC 、BD 交于点O ，△DCE 是等边三角形，AE 、BD 交于点F ，（1）若OF ＝1，求AB 的长；（2）在（1）的条件下，求△ADE 的面积．参考答案：（1）∵∠ADE ＝90°+60°＝150°，AD ＝DC ＝DE∴∠DAE ＝∠DEA ＝15°∵∠DAO ＝45°， ∴∠OAF ＝30°在Rt △AOF 中，AF ＝-OF ＝2，∴3AO =∴在等腰直角△AOB 中，26AB AO ==边角对角线对称性正方形两组对边平行四条边都相等四个角都是直角对角线互相垂直平分且相等每一条对角线平分一组对角中心对称轴对称正方形菱形矩形平行四边形F ODBCAEHFOD BCAE（2）作EH ⊥AD 延长线； ∵∠EDH ＝90°-60°＝30°，∴1116222EH DE CD === ∴1322ADE S AD EH =⋅=V 例题2：如图，正方形ABCD 中点P 是边AB 上的一个动点，且CQ AP =，PQ 与CD 相交于点E 当P 在边AB上运动时，试判断PDQ △的形状并证明．参考答案：证明△ADP ≌△DCQ ，可得△DPQ 为等腰直角三角形例题3：如图，在正方形ABCD 中，已知AE BF ⊥，垂足为P ，AE 与CD 交于点E ，BF 与AD 交于点F ，求证：AE BF =．参考答案：证明△ADP ≌△DCQ ，可得△DPQ 为等腰直角三角形【试一试】：如图，B ，C ，E 是同一直线上的三个点，四边形ABCD 与四边形CEFG 都是正方形，连接BG ，DE ．（1）观察图形，猜想BG 与DE 之间的大小关系，并证明你的结论；（2）若延长BG 交DE 于点H ，求证：BH ⊥DE ．DA CBPQPED ACBF参考答案：（1）解：猜想：BG=DE；∵四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形，∴BC=DC，∠BCG=∠DCE=90°，CG=CE，∴△BCG≌△DCE（SAS），∴BG=DE；∴∠CBG=∠CDE，∵∠CBG+∠BGC=90°，∠CDE+∠CED=90°，∴∠BGC=∠CED，∴∠BHE=∠BCD=90°，∴BG⊥DE；（2）证明：在△BCG与△DHG中，由（1）得∠CBG=∠CDE，∠CGB=∠DGH，∴∠DHB=∠BCG=90°，∴BH⊥DE．例题4：如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，作OE⊥OF，垂足为点O，OE、OF分别与边AB、BC交于点E、F，其中AE＝4，CF＝3，（1）求EF的长；（2）求△EOF的面积。

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全等三角形的证明
【专题简介】这一讲我们将继续学习全等三角形的证明，将重点学习如图找全等条件，如何构造辅助线，如何通过证明全等三角形得到需要证明的结论【学习目标】掌握与全等三角形有关的几何证明技巧【模块一】全等三角形的证明一基础夯实【例 1】已知△ABC，（1）若 AB＝AC，求证：∠B＝∠C（2）若∠B＝∠C，求证：AB＝ AC.
A
B
C
F
E D
巅峰突破【例 9】如图，△ABC 中，AB＝AC，E 在 AB 上，F 在 AC 的延长线上，若 BE＝CF，求证： D 是 EF 的中点.
A
A
E
E
C
B
C
B
D
D
F
F
A
E
C
B
D
F
【练 9】在△ABC 中，AB＞AC，D、E 分别是 AB、AC 上一点，且∠BCD＝∠CBE＝
1 A ，求证：BD＝CE. 2
A
B
C
【练 1】已知△ABC，D 是 BC 上一点，（1）BD＝CD，AD⊥BC，求证：AB＝AC. （2）∠BAD＝∠DAC,AD⊥BC,求证：AB＝AC.
A
B
C
D
【例 2】如图，在△ABE 中，AB＝AE，AD＝AC，∠BAD＝∠EAC，BC、DE 交于点 O．（1）求证：△ABC≌△AED；（2）求证：OB＝OE.
E A F
G
H
O
B
C
【练 6】如图，△ABC 与△AEF 都是等腰直角三角形，其中∠BAC＝∠EAF＝90°，BE 与 CF 交于点 O，求证：（1）BE＝CF （2）BE⊥CF.
C E
A
O B
F
模块 2 辅助线构造技巧初步夯实基础【例 7】在四边形 ABCD 中，AB＝CD，AB∥CD. 求证：AD＝BC.
D
C
F E
A
B
【习 2】如图，AB＝CD，AB∥CD，E、F 是 BD 上两点,DE＝BF，求证：∠DAE＝∠BCF.
D
C
E
F
A
B
【习 3】如图，已知 F 是正方形 ABCD 的边 CD 上任意一点，连 AF，过点 A 作 AE⊥AF 交 CB 延长线于 E，求证:BE＝DF.
（5）已知正 n 边形 AA1 A2 AN 1 ，M 在 AA1 上，N 在 A1 A2 上，AM＝ A1 N，AN 和 AN 1M
交于点 O，则∠MON＝_______.
A M
O B
N
F E
A
M O
A1 N
AN-1 A4
C
D
A2
A3
【例 6】如图，已知△ABC 中，以 AB、AC 为边分别在△ABC 外部作等边△ABE 和等边△ACF，连 BF、CE．求证：（1）∠BOE＝60°；（2）过 A 作 AG⊥CE 于 G，AH⊥BF 于 H，求证： AG＝AH（3）连接 OA，求证：∠AOE＝60°.
A D
B
C
【练 7】已知 AB＝DE，BC＝EF，CD＝FA，∠A＝∠D，求证：∠BCD＝∠F.
F
E
A D
B
C
【例 8】如图，AB＝AE，∠ABC＝∠AED，BC＝ED，AF⊥CD．求证：点 F 是 CD 的中点.
A
B
E
C
F
D
【练 8】如图，在凸五边形中，∠B＝∠E，∠C＝∠D，BC＝DE，AF⊥CD.求证：F 为 CD 中点.
C P
E
A
B
F
Q
【例 4】将两块全等的直角三角形△DCE≌△ACB，如图 1 摆放，其中∠DCE＝∠ACB＝ 90°，∠D＝∠A，（1）求证：AB⊥DE.（2）将图中△DCE 绕点 C 顺时针旋转 45°得到图 2，AB、CD 交于点 N，DE、BC 交于点 M，求证：CM＝CN．
D
B
D
E
MBLeabharlann NE CA
D
C
O
B
E
【练 2】如图，在△ABC 中，D 为 BC 上的一点，DA 平分∠EDC，且∠E＝∠B，ED＝ DC．求证：AB＝AC.
A
E
B
C
D
【例 3】已知：如图，在△ABC 中，H 是高的交点，且 AD＝CD，求证：AB＝HC.
A
E
H
B
D
C
【练 3】如图，已知 BE、CF 分别是△ABC 的 AC、AB 边上的高，在 BE 的延长线上取点 P，使 BP＝AC，在 CF 的延长线上取点 Q，使 CQ＝AB，求证：AQ⊥AP.
A
D
O
B
E C
【例 10】如图，等腰 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E 点为射线 CB 上一动点，连接 AE，作 AF⊥AE 且 AF＝AE，（1）如图 1，过 F 作 FG⊥AC 交 AC 于 G 点，求证：△AGF ≌△ECA；（2）如图 2，连接 BF 交 AC 于 D，若 AD＝CD，求证：E 点为 BC 中点.
F C
E G
A F
B
C D
E
A
B
【练 10】已知△ACB 是等腰直角三角形，AC＝BC，∠ACB＝90°，AE 为中线，过 C 作 CN⊥ AE 于 M，交 AB 于 N，过点 B 作 BF⊥BC 交 CN 延长线于 F.求证：CN＋NE＝AE.
C
E M
A
N
B
F
【习 1】如图，已知，DE⊥AC，垂足分别为 E、F，DE＝BF，AF＝CE，求证：AB∥DC.
A
C
A
【练 4】如图，BD、CE 分别是△ABC 的边 AC 和 AB 边上的高，点 P 在 BD 的延长线上，BP ＝AC，点 Q 在 CE 上，CQ＝AB．求证：（1）AP＝AQ；（2）AP⊥AQ.
P A
D E
Q
B
C
【例 5】已知△ABC 是等边三角形，（1）E、F 分别是 AB、AC 边上的点,且 AE＝BF，AF 与 CE 交于点 O，求证：∠AOE＝ 60°. （2）若 E、F 分别在 AB、AC 延长线上的点，且 AE＝BF，连 AF、CE，求证：∠AOE＝ 60°.
A A
E O
B F
B
C E
O F
C
【练 5】（1）如图 1，已知等边△ABC，M 在 AB 上，N 在 BC 上，AM＝BN，AN 和 CM 交于点 O，则∠MON＝_______. （2）已知正方形 ABCD，M 在 AB 上，N 在 BC 上，AM＝BN，AN 和 DM 交于点 O，则∠MON ＝_______.
A M
O
A
D
MO
B N
C
B
N
C
A
M
O
B
E
N
C
D
（3）已知正五边形 ABCDE，M 在 AB 上，N 在 BC 上，AM＝BN，AN 和 EM 交于点 O，则∠ MON＝_______. （4）已知正六边形 ABCDEF，M 在 AB 上，N 在 BC 上，AM＝BN，AN 和 FM 交于点 O，则∠MON＝_______.