2021年数学概念的定义形式
6.3.1实数的有关概念(教案)-2021-2022学年七年级数学下册人教版(安徽)
一、教学内容
本节课选自2021-2022学年七年级数学下册人教版（安徽）第6章第3节，标题为“6.3.1实数的有关概念”。教学内容主要包括以下几点：
1.实数的定义及其分类：有理数和无理数。
2.有理数的概念：整数和分数，以及它们的特点和性质。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了实数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对实数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在本次教学活动中，我深刻地感受到了实数概念教学的挑战性和趣味性。实数这一章节内容较为抽象，特别是无理数的概念，对学生来说是一个难点。通过这次教学，我发现以下几点值得反思：
6.培养学生的数学应用意识，将实数知识应用于解决实际问题，提高数学在实际生活中的运用能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）实数的定义及其分类：这是本节课的核心内容，要求学生掌握实π、√2是无理数。
（2）实数的数轴表示：通过数轴上点的表示，让学生理解实数与数轴上点的一一对应关系，培养学生的数感和空间观念。
同学们，今天我们将要学习的是《实数的有关概念》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过无法用分数表示的数？”（如圆的周长与直径的比值）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索实数的奥秘。
（二）新课讲授（用时10分钟）
5.教学难点突破：在讲解实数的难点时，我尽量用举例和比较的方法帮助学生理解。但从学生的反馈来看，这种方法虽然有一定效果，但仍有待提高。在以后的教学中，我可以尝试更多元化的教学方法，如运用多媒体、实物等教学手段，让学生更直观地感受和理解实数的概念。
2021年高中数学导数知识点总结
2021年高中数学导数知识点总结2021年高中数学导数知识点总结1（一）导数第一定义设函数y=f（x）在点x0的某个领域内有定义，当自变量x 在x0处有增量△x（x0+△x也在该邻域内）时，相应地函数取得增量△y=f（x0+△x）—f（x0）；如果△y与△x之比当△x →0时极限存在，则称函数y=f（x）在点x0处可导，并称这个极限值为函数y=f（x）在点x0处的导数记为f'（x0），即导数第一定义（二）导数第二定义设函数y=f（x）在点x0的某个领域内有定义，当自变量x 在x0处有变化△x（x—x0也在该邻域内）时，相应地函数变化△y=f（x）—f（x0）；如果△y与△x之比当△x→0时极限存在，则称函数y=f（x）在点x0处可导，并称这个极限值为函数y=f（x）在点x0处的导数记为f'（x0），即导数第二定义（三）导函数与导数如果函数y=f（x）在开区间I内每一点都可导，就称函数f （x）在区间I内可导。
这时函数y=f（x）对于区间I内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数y=f（x）的导函数，记作y'，f'（x），dy/dx，df（x）/dx。
导函数简称导数。
（四）单调性及其应用1.利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤（1）求f（x）（2）确定f（x）在（a，b）内符号（3）若f（x）>0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数；若f（x）<0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数2.用导数求多项式函数单调区间的一般步骤（1）求f（x）（2）f（x）>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；f（x）<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间学习了导数基础知识点，接下来可以学习高二数学中涉及到的导数应用的部分。
2021年高中数学导数知识点总结2★高中数学导数知识点一、早期导数概念————特殊的形式大约在1629年法国数学家费马研究了作曲线的切线和求函数极值的方法1637年左右他写一篇手稿《求最大值与最小值的方法》。
2021年数学新高考一卷知识点分布
2021年数学新高考一卷知识点分布2021年新高考一卷数学试卷的知识点分布是根据教育部对数学教育的要求和考试大纲进行设计的。
下面就逐个模块来进行详细说明。
一、函数模块函数模块是数学新高考一卷中的重点和难点模块，主要包括函数的性质、初等函数的图像与性质、函数的应用等。
1.函数的性质：包括函数的定义、定义域、值域、奇偶性、周期性等基本性质，以及函数的极限、连续性等进阶性质。
2.初等函数的图像与性质：主要包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等的图像与性质，包括定义域、值域、最值、增减性、单调性等。
3.函数的应用：主要涉及到数理统计、概率论、数列与数学归纳法、排列与组合等数学概念的应用，经常与实际问题相结合。
二、解析几何模块解析几何模块是新高考一卷数学试卷中的另一个重点，主要包括计算向量的模长、向量的点乘、向量的夹角、平面方程、直线的方程等。
1.向量的模长与夹角：主要包括向量的模长计算、向量夹角的计算、两向量垂直或平行的判断等内容。
2.向量的点乘：主要包括向量的点乘的计算、向量夹角的计算、向量垂直或平行的判断等内容。
3.平面方程与直线方程：主要包括平面的点法式方程、一般式方程、直线的点向式方程、一般式方程等内容。
三、数列与数学归纳法模块数列与数学归纳法是考察学生对数列及其性质的理解和掌握程度的模块。
1.数列的基本概念：主要包括数列的定义、常数数列、等差数列、等比数列等数列的基本概念。
2.数学归纳法：主要包括数学归纳法的基本原理、数学归纳法的应用等。
3.数列的应用：主要与实际问题结合，涉及到等差数列、等比数列的应用等。
四、概率模块概率模块是考察学生对概率及其计算的理解和应用能力的模块。
1.事件与概率：主要包括事件的基本概念、事件的运算与性质、概率的定义与性质等。
2.条件概率与独立性：主要包括条件概率的计算、条件概率的性质、事件的独立性等。
3.排列与组合与概率：主要包括排列与组合的基本概念、概率与排列组合的结合等。
高中数学大概念的内涵及提取
图1大概念的层级
在高中数学中，“用数学的眼光观察世界，用数
图2大概念的层级跃迁
比如,通过对任意角的定义、任意角三角函数
2021 年第 7 期 总第 420 期
中小学教师培训
THE INSERVICE EDUCATION AND TRAINING OF SCHOOL TEACHERS
No. 7 2021 Sum No. 420
定义、终边相同的三角函数值等小概念的学习，学 生会在头脑中形成“三角函数是刻画单位圆质点匀 速运动的函数模型”这个课时概念的“锚点”；再通 过“同角三角函数的基本关系” “诱导公式”等课时 的学习,随着“锚点”效应的增强，“三角函数是刻画 周期现象的函数模型”的章节大概念自然生成;再 联系前面的“指数函数” “对数函数”中的章节大概 念，于是获得了“函数是刻画客观世界变化规律的 重要模型”这一单元大概念;再经历几何与代数、概 率与统计等单元的学习，随着单元大概念的不断累 积，最后，高中数学的课程大概念就得到明晰。
【基金项目】宁波市教育科学规划重点课题“大概念视角下高中数学单元教学的研究"（课题编号：2021YZD079） 【作者简介】吕增锋，正高级教师，研究方向：数学教学。
2021 年第 7 期 总第 420 期
中小学教师培训
THE 1NSERV1CE EDLCAT1ON AND TRA1N1NG OF SCHOOL TEACHERS
的大概念，通过学习可以实现大概念从低层级向高层级的跃迁 ；大概念的提取有八条路径 ，可。大概念是将素养落实到具体教学中的锚点，
对概念的理解有助于学生形成“专家思维”，整体把握知识结构。
【关键词】大概念；高中数学;核心素养;锚点
【中图分类号】G633.6
2021年高中数学知识结构框图(人教版)
高中数学知识结构框图（必修 1）第一章 集合与函数概念含义与表示集合基本关系基本运算列举法 {a,b,c,…}描述法 {x|p(x)}图象法韦恩图; 数轴包含关系 相等关系子集; 真子集交集:A∩B={x|x∈A 且 x∈B}并集:A∪B={x|x∈A 或 x∈B}函数 映射概念 表示补集: 定义域 对应关系 值域 解析法 图象法 列表法单调性性质映射的概念奇偶性1定义 图象特征 定义最值上升或 下降图象特征:对称性第二章 基本初等函数(Ⅰ)根式指分数指数幂指数数与无理数指数幂指数运算性质函数 定义指基 本数 函图象: “一撇或一捺”， 过点(0,1).见教材 P56初 等数性质: 位于 x 轴上方,以 x 轴为渐近线函数定义：(Ⅰ对数对运算性质数与对数函换底公式：数定义： 对数 函图象：位于 y 轴右侧，以 y 轴为渐近线.见教材 P71数性质：过点（1，0）定义：图象见 P77 图 2.3－幂函数具体的五个幂函数特征：过点（1，1），当时在上递增；当时，在上递减。
2第三章 函数的应用函 数 与 方 程函 数 的 应 用函 数 模 型 及 其 应 用方程的根与 函数零点的关函数零点的存在性用二分法求方程的近似解 几种不同增长的函数模型 用已知函数模型解决问题 建立实际问题的函数模型直线上升 指数爆炸 对数增长指数函数，对数函数， 幂函数增长速度的比 较。
见教材 P98～1003数学二 第一章 空间几何体的知识结构框架第二章 点、直线、平面之间的位置关系的知识结构框架4第三章 直线与方程的知识结构框架 第四章 圆与方程的知识结构框架5数学三数学四 本章知识结构如下：本章知识结构如下：6本章知识结构如下：7。
初中数学概念教学策略
初中数学概念教学策略作者：杨超来源：《教育周报·教研版》2021年第02期数学概念的定义是数学知识体系的基础，是中学数学基础知识的核心;掌握一门学科就是要掌握这门学科核心的、根本的概念。
从这个意义上来看，数学教学=概念教学+命题教学+解题教学。
一、数学概念的意义、组成、特征（1）意义：数学概念一般指客观世界数量关系和空间形式方面的本质属性在人脑中的反映。
数学概念是数学知识体系的基础，同时，又是数学思维的细胞，也是知识与方法的载体。
（2）概念的组成：概念的名称、定义、符号、例子和属性等五个方面。
例如，“平行线”是概念的名称“;在同一平面内，不相交的两条直线”是概念的定义;“∥”是符号;不同位置和方向上的各组平行线可以看作正例及其变式“;两条没有公共点的直线叫做平行线”可以看做是一个反例;“平行线”的属性有：传递性、同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等。
3.概念的特征：概括性和抽象性。
二、数学概念教学的现状现状1：重结果，轻过程。
“一个定义，几项注意”。
一步到位、举例训练、反复练习、迎接考试，急功近利。
“概念教学=解题教学”式大容量训练;经典语言“：教概念不如多讲几道题目。
”观念2：例题教学替代概念的概括过程，认为应用概念就是理解概念，不知道怎样教概念，只知道“模仿+训练”。
三、数学概念教学的方法（1）概念形成模式的教学过程。
概念形成——如果某类数学对象的关键属性主要是由学生对大量同类数学对象的不同例证进行分析、类比、猜想、联想、归纳等活动基础上，独立概括出来的，那么这种概念获得的方式就叫做概念形成。
概念形成的心理过程依次是：①感知、辨别不同事例;②从一类相同事例中抽象出共性;③将这种共性与记忆中的观念相联系;④同已知的其他概念分化;⑤将本质属性一般化;⑥下定义。
（2）概念形成模式教学一般步骤：①概念背景与引入（正例）;②学生分析、比较、综合不同典型例证（让学生多举例）;③从例证中概括共同本质特征得到概念本质属性;④下定义（用多种数学语言准确表示）;⑤概念的辨析（举正反例，分析关键词，考查特例）;⑥概念的应用（代表性、形成用概念作判断的操作步骤）;⑦形成概念系统（建立概念体系，完善认知结构）。
2021年高考数学基础突破——集合与函数：2.函数的概念及其表示
2021年高考数学基础突破——集合与函数2．函数的概念及其表示（同学版，后附老师版）【学问梳理】1．函数与映射的概念函 数映 射两集合A 、B 设A ，B 是两个非空的数集设A ，B 是两个非空的集合 对应关系 f ：A →B 假如依据某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应假如按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应名 称称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数 称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射记 法 y ＝f (x )(x ∈A ) 对应f ：A →B 是一个映射 2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．明显，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：假如两个函数的定义域和对应关系完全全都，则这两个函数相等，这是推断两函数相等的依据．(4)函数的表示法: 表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法． 3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．4．常见函数定义域的求法(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0． (3)一次函数、二次函数的定义域为R ．(4)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x ，定义域均为R ．(5)y ＝tan x 的定义域为|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭. 5．基本初等函数的值域(1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R ．(2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a ＞0时，值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≥4ac －b 24a ；当a ＜0时，值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≤4ac －b 24a ．(3)y ＝kx(k ≠0)的值域是{y |y ≠0}．(4)y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的值域是{y |y ＞0}． (5)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的值域是R ． (6)y ＝sin x ，y ＝cos x 的值域是[－1，1]． (7)y ＝tan x 的值域是R ．【基础考点突破】考点1. 函数的基本概念【例1】M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤3}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个变式训练1. 试推断下列各组中的函数f (x )与g (x )是否表示同一个函数，并说明理由．(1)f (x )＝(x －1)0，g (x )＝1； (2)f (x )＝x ，g (x )＝x 2； (3)f (x )＝x 2，g (x )＝(x ＋1)2； (4)f (x )＝|x |，g (x )＝x 2.考点2. 分段函数【例2】 若函数22,2(),222,2x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，(1)求f (－5)，f (－3)，f [f (－3)]的值；(2)若f (a )＝3，求a 的值．变式训练2.（1）【2022年高考北京理数】设函数33,()2,x x x af x x x a⎧-≤=⎨->⎩.①若0a =，则()f x 的最大值为_________；②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是_______. （2）作出函数y ＝2|x －1|－3|x |的图象．考点3. 求函数解析式【例3】 (1)已知反比例函数f (x )满足f (3)＝－6，求f (x )的解析式； (2)一次函数y ＝f (x )，f (1)＝1，f (－1)＝－3，求f (3)．变式训练3. 已知f (1＋1x )＝1＋x 2x 2＋1x ，试求f (x )．考点4. 函数的定义域 【例4】求函数y =变式训练4.（1）【2022高考江苏卷】函数y =的定义域是 . （2） 函数f (x )＝lg （1－2x ）的定义域为( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，0) C.⎝⎛⎭⎫0，12 D ．⎝⎛⎭⎫－∞，12 考点5. 函数的值域【例5】 求函数22([0,3])y x x x =+∈的值域．变式训练5. 求函数f (x )＝x －1－2x 的值域【基础练习】1．下列四组式子中，f (x )与g (x )表示同一函数的是( )A ．f (x )＝4x 4，g (x )＝(4x )4B ．f (x )＝x ，g (x )＝3x 3 C ．f (x )＝x ，g (x )＝(x )2D ．f (x )＝x 2－4x ＋2，g (x )＝x －22．已知f (x )＝x 2＋x ＋1，则f [f (1)]的值是( )A ．11B ．12C ．13D ．10 3．函数y ＝(x ＋1)0|x |－x的定义域是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)D ．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(0，＋∞) 4．函数y ＝x 2－2x 的定义域为{0,1,2,3}，则其值域为( )A ．{－1,0,3}B ．{0,1,2,3}C ．{y |－1≤y ≤3}D ．{y |0≤y ≤3}5．已知函数f (x )由下表给出，则f (3)等于( )x 1 2 3 4 f (x )－3－2－4－1A.－1 B ．－2 C ．－3 D ．－46．已知f (x2－1)＝2x ＋3，且f (m )＝6，则m 等于( )A ．－14 B.14 C.32D ．－327．等腰三角形的周长为20，底边长y 是一腰长x 的函数，则( )A ．y ＝10－x (0<x ≤10)B ．y ＝10－x (0<x <10)C ．y ＝20－2x (5≤x ≤10)D ．y ＝20－2x (5<x <10) 8．已知函数1,11()1,1x x f x x x ⎧<⎪+=⎨⎪-≥⎩，则f (2)等于( )A ．0 B.13 C ．1 D ．29．函数f (x )＝x ＋|x |x的图象是( )10．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2的值域是( )A ．[0，＋∞)B ．RC ．[0,3]D ．[0,2]∪{3}11．已知a 、b 为实数，集合M ＝{ba ，1}，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．±112．已知映射f ：A →B ，其中集合A ＝{－3,－2,－1,1,2,3,4}，集合B 中的元素都是集合A 中某个元素在映射f下对应的元素，且对任意的a ∈A ，在B 中和它对应的元素是|a |，则集合B 中的元素的个数是( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．713．设a <b ，函数y ＝(x －a )2(x －b )的图象可能是( )14．下图中能表示函数关系的是________．15．设f (x )＝11－x，则f [f (x )]＝________.16．函数y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)的值域是________．17．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ≤2，2x ，x >2，则f (－4)＝________，又f (x 0)＝8，则x 0＝________.18．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋1，x ≥0，x 2，x <0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x 2，x ≤1，2，x >1，则f [g (π)]＝________，g [f (2)]＝________.19．已知全集U ＝R ，函数y ＝x －2＋x ＋1的定义域为A ，函数y ＝2x ＋4x －3的定义域为B . (1)求集合A ，B ；(2)求(∁U A )∪(∁U B )．20．已知二次函数f (x )满足f (0)＝0，且对任意x ∈R 总有f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )．2021年高考数学基础突破——集合与函数2．函数的概念及其表示（老师版）【学问梳理】1．函数与映射的概念函 数映 射两集合A 、B 设A ，B 是两个非空的数集设A ，B 是两个非空的集合对应关系 f ：A →B假如依据某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应假如按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应名 称称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数 称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B的一个映射记 法 y ＝f (x )(x ∈A ) 对应f ：A →B 是一个映射 2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．明显，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：假如两个函数的定义域和对应关系完全全都，则这两个函数相等，这是推断两函数相等的依据．(4)函数的表示法: 表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法． 3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．4．常见函数定义域的求法(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0． (3)一次函数、二次函数的定义域为R ．(4)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x ，定义域均为R ．(5)y ＝tan x 的定义域为|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭. 5．基本初等函数的值域(1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R ．(2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a ＞0时，值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≥4ac －b 24a ；当a ＜0时，值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≤4ac －b 24a ．(3)y ＝kx(k ≠0)的值域是{y |y ≠0}．(4)y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的值域是{y |y ＞0}． (5)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的值域是R ． (6)y ＝sin x ，y ＝cos x 的值域是[－1，1]． (7)y ＝tan x 的值域是R ．【基础考点突破】考点1. 函数的基本概念【例1】M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤3}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【解析】用x ＝a,0≤a ≤2动直线去截图象，哪个始终只有一个交点，哪个就表示具有函数关系．由图可知，图(2)(3)都具有这一性质，而(1)(4)则不具有这一性质，所以有2个具有函数关系． 变式训练1. 试推断下列各组中的函数f (x )与g (x )是否表示同一个函数，并说明理由．(1)f (x )＝(x －1)0，g (x )＝1； (2)f (x )＝x ，g (x )＝x 2； (3)f (x )＝x 2，g (x )＝(x ＋1)2； (4)f (x )＝|x |，g (x )＝x 2.【解】(1)f (x )的定义域是{x |x ∈R ，且x ≠1}，g (x )的定义域是R ，它们的定义域不同，故不是同一个函数； (2)定义域相同都是R ，但是g (x )＝|x |，即它们的解析式不同，也就是对应关系不同，故不是同一个函数； (3)定义域相同都是R ，但是它们的解析式不同，也就是对应关系不同，故不是同一个函数； (4)定义域相同都是R ，解析式化简后都是y ＝|x |，也就是对应关系相同，故是同一个函数．考点2. 分段函数【例2】 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2 (x ≤－2)，x 2 (－2<x <2)，2x (x ≥2).(1)求f (－5)，f (－3)，f [f (－3)]的值；(2)若f (a )＝3，求a 的值．【解析】(1)f (－5)＝－5＋2＝－3，f (－3)＝(－3)2＝3，f [f (－3)]＝f (3)＝2×3＝6.(2)①若a ＋2＝3，则a ＝1>－2不成立，舍去； ②若a 2＝3，则a ＝±3，－2<±3<2成立； ③若2a ＝3，则a ＝32<2不成立，舍去．变式训练2. （1）【2022年高考北京理数】设函数33,()2,x x x af x x x a ⎧-≤=⎨->⎩.①若0a =，则()f x 的最大值为_________；②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是_______. 【答案】2，(,1)-∞-.【解答】解：①若a=0，则33,0()2,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则233,0()2,0x x f x x ⎧-≤'=⎨->⎩，当x ＜﹣1时，()0f x '>，此时函数为增函数；当x ＞﹣1时，()0f x '<，此时函数为减函数， 故当1x =-时，()f x 的最大值为2.②233,()2,x x a f x x a ⎧-≤'=⎨->⎩，令()0f x '=，则x=±1，若f （x ）无最大值，则3123a a a a ≤⎧⎨->-⎩，或312322a a a a a >-⎧⎪->-⎨⎪->⎩，解得：(,1)a ∈-∞-．（2）作出函数y ＝2|x －1|－3|x |的图象． 【解析】当x <0时，y ＝－2(x －1)＋3x ＝x ＋2； 当0≤x <1时，y ＝－2(x －1)－3x ＝－5x ＋2； 当x ≥1时，y ＝2(x －1)－3x ＝－x －2，因此2,052,012,1x x y x x x x +<⎧⎪=-+≤<⎨⎪--≥⎩，依上述解析式作出图象如下图考点3. 求函数解析式【例3】 (1)已知反比例函数f (x )满足f (3)＝－6，求f (x )的解析式； (2)一次函数y ＝f (x )，f (1)＝1，f (－1)＝－3，求f (3)．【解析】(1)设反比例函数f (x )＝k x (k ≠0)，则f (3)＝k 3＝－6，解得k ＝－18，故f (x )＝－18x.(2)设一次函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∵f (1)＝1，f (－1)＝－3，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1－a ＋b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－1，∴f (x )＝2x －1. ∴f (3)＝2×3－1＝5. 变式训练3. 已知f (1＋1x )＝1＋x 2x 2＋1x，试求f (x )．【解析】解法一：(换元法)令t ＝1＋1x ，则t ∈(－∞，1)∪(1，＋∞)，于是x ＝1t －1，代入1＋x 2x 2＋1x 中，可得f (t )＝t 2－t ＋1，即f (x )＝x 2－x ＋1，x ∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．解法二：(配凑法)f (1＋1x )＝1＋x 2x 2＋1x ＝x 2＋2x ＋1x 2－2x x 2＋1x ＝(1＋1x )2－(1＋1x )＋1，由于1＋1x≠1，所以函数解析式为f (x )＝x 2－x ＋1，x ∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．考点4. 函数的定义域 【例4】 求函数1x y +=【解析】要使函数解析式有意义，由1020x x +≥⎧⎨-≠⎩解得x ≥－1且x ≠2，所以函数定义域为{x |x ≥－1且x ≠2}．变式训练4.（1）【2022高考江苏卷】函数232y x x --的定义域是 . （2）函数f (x )＝lg （1－2x ）的定义域为( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，0) C.⎝⎛⎭⎫0，12 D ．⎝⎛⎭⎫－∞，12 【解析】（1）要使函数有意义，必需2320x x --≥，即2230x x +-≤，31x ∴-≤≤．故应填：[]3,1-，（2）要使函数有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧1－2x >0，lg （1－2x ）≥0，解得x ≤0，故选A.考点5. 函数的值域【例5】 求函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0，3])的值域．【解析】(1)(配方法)y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，由于y ＝(x ＋1)2－1在[0，3]上为增函数，所以0≤y ≤15，即函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0，3])的值域为[0，15]．变式训练5. 求函数f (x )＝x －1－2x 的值域解: 法一：(换元法)令1－2x ＝t ，则t ≥0且x ＝1－t 22，于是y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1，由于t ≥0，所以y ≤12，故函数的值域是⎝⎛⎦⎤－∞，12. 法二：(单调性法)f (x )的定义域为⎝⎛⎦⎤－∞，12，简洁推断f (x )为增函数，所以f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫12＝12，即函数的值域是⎝⎛⎦⎤－∞，12.【基础练习】1．下列四组式子中，f (x )与g (x )表示同一函数的是( )A ．f (x )＝4x 4，g (x )＝(4x )4B ．f (x )＝x ，g (x )＝3x 3C ．f (x )＝x ，g (x )＝(x )2D ．f (x )＝x 2－4x ＋2，g (x )＝x －2答案：B解析：A 、C 、D 定义域不同，B 定义域、对应关系、值域都相同． 2．已知f (x )＝x 2＋x ＋1，则f [f (1)]的值是( )A ．11B ．12C ．13D ．10解析：f [f (1)]＝f (3)＝9＋3＋1＝13. 答案：C 3．函数y ＝(x ＋1)0|x |－x的定义域是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)D ．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(0，＋∞)解析：由题知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，|x |>x ，∴x <0且x ≠－1，即定义域为(－∞，－1)∪(－1,0)．答案：C4．函数y ＝x 2－2x 的定义域为{0,1,2,3}，则其值域为( )A ．{－1,0,3}B ．{0,1,2,3}C ．{y |－1≤y ≤3}D ．{y |0≤y ≤3}解析：x ＝0，y ＝0；x ＝1，y ＝－1；x ＝2，y ＝0；x ＝3，y ＝3，∴值域为{－1,0,3}． 答案：A5．已知函数f (x )由下表给出，则f (3)等于( )x 1 2 3 4 f (x )－3－2－4－1A.－1 B ．－2 C ．－3 D ．－4答案：D6．已知f (x2－1)＝2x ＋3，且f (m )＝6，则m 等于( )A ．－14 B.14 C.32D ．－32解析：令2x ＋3＝6，得x ＝32，所以m ＝x 2－1＝12×32－1＝－14，或先求f (x )的解析式，再由f (m )＝6，求m .答案：A7．等腰三角形的周长为20，底边长y 是一腰长x 的函数，则( )A ．y ＝10－x (0<x ≤10)B ．y ＝10－x (0<x <10)C ．y ＝20－2x (5≤x ≤10)D ．y ＝20－2x (5<x <10)解析：∵2x ＋y ＝20，∴y ＝20－2x ，解不等式组20202020x x x y x x ->⎧⎪+>=-⎨⎪>⎩，得5<x <10.答案：D8．已知函数1,11()1,1x x f x x x ⎧<⎪+=⎨⎪-≥⎩，则f (2)等于( )A ．0 B.13 C ．1 D ．2解析：f (2)＝2－1＝1.答案：C9．函数f (x )＝x ＋|x |x的图象是( )解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >0，x －1，x <0，画出f (x )的图象可知选C.答案：C10．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2的值域是( )A ．[0，＋∞)B ．RC ．[0,3]D ．[0,2]∪{3} 答案：D11．已知a 、b 为实数，集合M ＝{ba ，1}，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1解析：∵f ：x →x ，∴M ＝N . ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b a ＝0，解得a ＝1，b ＝0.∴a ＋b ＝1.答案：C12．已知映射f ：A →B ，其中集合A ＝{－3,－2,－1,1,2,3,4}，集合B 中的元素都是集合A 中某个元素在映射f 下对应的元素，且对任意的a ∈A ，在B 中和它对应的元素是|a |，则集合B 中的元素的个数是( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：∵|±3|＝3，|±2|＝2，|±1|＝1，|4|＝4，∴B ＝{1,2,3,4}． 答案：A 13．设a <b ，函数y ＝(x －a )2(x －b )的图象可能是()解析：由于f (a )＝0，f (b )＝0，则函数的图象过点(a,0)，(b,0)．当x <b 时，则x －b <0，(x －a )2>0，此时f (x )<0，即在区间(－∞，a )∪(a ，b )上，函数的图象位于x 轴下方，排解A 、B 、D.答案：C14．下图中能表示函数关系的是________．解析：(3)中元素2对应着两个元素1和3，不符合函数定义．(1)、(2)、(4)均符合函数定义． 答案：(1)(2)(4)15．设f (x )＝11－x，则f [f (x )]＝________.解析：f [f (x )]＝f (11－x )＝11－11－x＝1－x －x＝x －1x .答案：x －1x16．函数y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)的值域是________．解析：画出函数的图象，如右图所示，观看图象可得图象上全部点的纵坐标的取值范围是[f (2)，f (5))，即函数的值域是[2,11)． 答案：[2,11)17．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ≤2，2x ，x >2，则f (－4)＝________，又f (x 0)＝8，则x 0＝________.解析：f (－4)＝(－4)2＋2＝18；令x 2＋2＝8，解得x ＝±6，∵x ≤2，∴x ＝－6；令2x ＝8，解得x ＝4.综上可知x 0＝－6或4.答案：18 4或－ 618．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋1，x ≥0，x 2，x <0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x 2，x ≤1，2，x >1，则f [g (π)]＝________，g [f (2)]＝________.解析：f [g (π)]＝f (2)＝3×2＋1＝7，g [f (2)]＝g (7)＝2. 答案：7 219．已知全集U ＝R ，函数y ＝x －2＋x ＋1的定义域为A ，函数y ＝2x ＋4x －3的定义域为B . (1)求集合A ，B ； (2)求(∁U A )∪(∁U B )．解：(1)函数y ＝x －2＋x ＋1应满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x ＋1≥0，∴x ≥2.∴A ＝{x |x ≥2}．函数y ＝2x ＋4x －3应满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4≥0，x －3≠0，∴x ≥－2且x ≠3. ∴B ＝{x |x ≥－2且x ≠3}．(2)∁U A ＝{x |x <2}，∁U B ＝{x |x <－2或x ＝3}，∴(∁U A )∪(∁U B )＝{x |x <2或x ＝3}．20．已知二次函数f (x )满足f (0)＝0，且对任意x ∈R 总有f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )．解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∵f (0)＝c ＝0，∴f (x ＋1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ＝ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ， f (x )＋x ＋1＝ax 2＋bx ＋x ＋1＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1.∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1.∴⎩⎨⎧a ＝12，b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x .。
2021年数学七年级知识点(15篇)
2021年数学七年级知识点(15篇)数学七年级知识点11．单项式：在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算。
或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类代数式叫单项式.2．单项式的系数与次数：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数.3．多项式：几个单项式的和叫多项式.4．多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数；注意：（若a、b、c、p、q是常数）ax2+bx+c和x2+px+q是常见的两个二次三项式.5．整式：凡不含有除法运算，或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫整式.整式分类为：单项式、整式.6．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项.7．合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变.8．去（添）括号法则：去（添）括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号；若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号.9．整式的加减：整式的加减，实际上是在去括号的基础上，把多项式的同类项合并.10.多项式的升幂和降幂排列：把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大（或从大到小）排列起来，叫做按这个字母的升幂排列（或降幂排列）.注意：多项式计算的最后结果一般应该进行升幂（或降幂）排列.11.列代数式列代数式首先要确定数量与数量的运算关系，其次应抓住题中的一些关键词语，如和、差、积、商、平方、倒数以及几分之几、几成、倍等等.抓住这些关键词语，反复咀嚼，认真推敲，列好一般的代数式就不太难了.12.代数式的值根据问题的需要，用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算，所得的结果是代数式的值.13.列代数式要注意①字与字母、字母与字母相乘，要把乘号省略；②数字与字母、字母与字母相除，要把它写成分数的形式；③如果字母前面的数字是带分数，要把它写成假分数。
(2021年整理)质数和合数的概念
质数和合数的概念编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（质数和合数的概念）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为质数和合数的概念的全部内容。
质数与合数的基本概念知识点拨1.质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数)。
一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。
要特别记住:0和1不是质数,也不是合数.常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个;除了2其余的质数都是奇数；除了2和5,其余的质数个位数字只能是1、3、7或9考点：（1)值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点(2）除了2和5，其余质数个位数字只能是1、3、7或92.判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p的质数q（均为整数），使得q能够整除p，那么p就不是质数，所以我们只要拿所有小于p的质数去除p就可以了;但是这样的计算量很大，对于不太大的p，我们可以先找一个大于且接近p的平方数K2,再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除p，如没有能够除尽的,那么p就为质数。
例如：149很接近144=12x12,根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数。
例题精讲例1：下面是主试委员会第六届“华杯赛”写的一首诗：美少年华朋会友,幼长相亲同切磋；杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；九天九霄志凌云，九七共庆手相握；聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌；请你将56个字第1行左边第一字逐字编为1—56号，再将号码中的质数由小到大找出来，将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话。
2021_2022学年高中数学第一章集合与函数概念1
符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a)
思考 2：(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用 区间表示吗？
(2)“∞”是数吗？如何正确使用“∞”？ 提示：(1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区 间表示． (2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞” 或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号．
2.了解构成函数的要素，会求一些简单 3．借助 f(x)与 f(a)的关
函数的定义域和值域．(重点) 系，培养逻辑推理素养.
3.能够正确使用区间表示数集．(易混点)
自主 预习 探新 知
1．函数的概念
设 A，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对
定义
应关系 f，使对于集合 A 中的 任意一个数x ，在 集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么
(1)[10,100] (2)(1，＋∞) [结合区间的定义可知(1)为[10,100]， (2)为(1，＋∞)．]
合作 探究 释疑 难
函数的概念
【例 1】 (1)判断下列对应是不是从集合 A 到集合 B 的函数． ①A＝N，B＝N*，对应法则 f：对集合 A 中的元素取绝对值与 B 中元素对应； ②A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,4}，对应法则 f：x→y＝x2，x∈A， y∈B；
2．判断函数相等的方法 (1)先看定义域，若定义域不同，则不相等； (2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．
[跟进训练] 1.下列四个图象中，不是函数图象的是( )
A
B
C
D
B [根据函数的定义知：y 是 x 的函数中，x 确定一个值，y 就随 之确定一个值，体现在图象上，图象与平行于 y 轴的直线最多只能有 一个交点，对照选项，可知只有 B 不符合此条件．故选 B.]
2021小学数学11到20的认识知识点
2021小学数学11到20的认识知识点正确地理解和形成一个数学概念，必须明确这个数学概念的内涵——对象的“质”的特征，及其外延——对象的“量”的范围。
一般来说，数学概念是运用定义的形式来揭露其本质特征的。
下面是小编整理的小学数学11到20的认识知识点，仅供参考希望能够帮助到大家。
小学数学11到20的认识知识点1、数数：根据物体的个数，可以用11—20各数来表示。
2、数的顺序：11—20各数的顺序是：11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、3、比较大小：可以根据数的顺序比较，后面的数总比前面的数大，或者利用数的组成进行比较。
4、11—20各数的组成：都是由1个十和几个一组成的，20由2个十组成的。
如：1个十和5个一组成15。
5、数位：从右边起第一位是个位，第二位是十位。
6、11—20各数的读法：从高位读起，十位上是几就读几十，个位上是几就读几。
20的读法，20读作：二十。
7、写数：写数时，对照数位写，有1个十就在十位上写1，有2个十就在十位上写2.有几个一，就在个位上写几，个位上一个单位也没有，就写0占位。
8、十加几、十几加几与相应的减法(1)、10加几和相应的减法的计算方法：10加几得十几，十几减几得十，十几减十得几。
如：10+5=1517-7=1018-10=8(2)、十几加几和相应的减法的计算方法：计算十几加几和相应的减法时，可以利用数的组成来计算，也可以把个位上的数相加或相减，再加整十数。
(3)、加减法的各部分名称：在加法算式中，加号前面和后面的数叫加数，等号后面的数叫和。
在减法算式中，减号前面的数叫被减数，减号后面的数叫减数，等号后面的数叫差。
9、解决问题求两个数之间有几个数，可以用数数法，也可以用画图法。
还可以用计算法(用大数减小数再减1的方法来计算)。
养成良好的解题习惯好处要想学好数学，多做题目是难免的，熟悉掌握各种题型的解题思路。
刚开始要从基础题入手，以课本上的习题为准，反复练习打好基础，再找一些课外的习题，以帮助开拓思路，提高自己的分析、解决能力，掌握一般的解题规律。
2021年人教版九年级上册数学概念定义公式归纳
九年级上册数学概念、定义、公式归纳一、二次根式1.2.二次根式被开方数为非负数。
所有二次根式都是非负数。
3.4.二次根式乘法法则：反过来也合用。
5.二次根式除法法则：，反过来也合用。
6.被开方数不含分母、不含能开得尽方因数或因式二次根式，称为最简二次根式。
7.二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相似二次根式进行合并。
二、一元二次方程8.等号两边都是整式，只具有一种未知数，并且未知数最高次数是2，这样方程叫一元二次方程。
9.一元二次方程普通形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c是常数项。
10.解一元二次方程基本思路是“降次”。
办法有四种：①直接开平办法。
如果方程能化成x²=p或（mx+n）²=p（p≥0）形式，那么x=±√p，或mx+n=±√p。
②配办法：（1）移项，把常数项移到等号右边。
（2）系数化为1，方程两边同除以二次项系数。
（3）配方，等号两边同加一次项系数一半平方。
（4）直接开平方。
③公式法。
（1）运用根鉴别式b²-4ac判断根状况。
若鉴别式△不大于0，则方程无实数根；若等于0，则有两个相等实数根；若不不大于0，则有两个不相等实数根。
（2）△≥0时，运用一元二次方程求根公式“-b±√b²-4ac /2a”来解方程。
④因式分解法。
把方程化为mn=0形式。
11.求两个单位时间段平均增长（减少）率公式：a(1±x)²=b三、旋转12.把一种平面图形绕着平面内某一点O转动一种角度，叫做图形旋转。
点O叫旋转中心，转动角叫旋转角，转动方向有顺时针和逆时针两种。
13.旋转性质：①相应点到旋转中心距离相等。
②相应点与旋转中心所连线段夹角等于旋转角。
③旋转先后图形全等。
14.把一种图形绕着某一点旋转180°，如果它可以与另一种图形重叠，那么就说这两个图形中心对称。
义务教育数学课程标准(2021年版)》
义务教育数学课程标准(2021年版)》义务教育数学课程标准（2021年版）第一部分前言数学是研究数量关系和空间形式的科学。
随着现代信息技术的飞速发展，数学更加广泛应用于社会生产和日常生活的各个方面。
数学作为对于客观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具，不仅是自然科学和技术科学的基础，而且在人文科学与社会科学中发挥着越来越大的作用。
特别是20世纪中叶以来，数学与计算机技术的结合在许多方面直接为社会创造价值，推动着社会生产力的发展。
数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。
作为促进学生全面发展教育的重要组成部分，数学教育既要使学生掌握现代生活和研究中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的不可替代的作用。
一、课程性质义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程，具有基础性、普及性和发展性。
数学课程能使学生掌握必备的基础知识和基本技能，培养学生的抽象思维和推理能力；培养学生的创新意识和实践能力；促进学生在情感、态度与价值观等方面的发展。
义务教育的数学课程能为学生未来生活、工作和研究奠定重要的基础。
二、课程基本理念1.数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标，要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。
2.课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律。
课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验与理解、思考与探索。
课程内容的组织要重视过程，处理好过程与结果的关系；要重视直观，处理好直观与抽象的关系；要重视直接经验，处理好直接经验与间接经验的关系。
课程内容的呈现应注意层次性和多样性。
3.教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。
有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是研究的主体，教师是研究的组织者、引导者与合作者。
数学教学活动，特别是课堂教学应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；要注重培养学生良好的数学研究惯，使学生掌握恰当的数学研究方法。
2021年国开电大《数学思想与方法》形考任务答案第一关 -第十关
2021年国开电大《数学思想与方法》形考任务答案第一关至第十关第一关巴比伦人是最早将数学应用于（）的。
在现有的泥板中有复利问题及指数方程。
正确答案是：C.商业《九章算术》成书于（），它包括了算术、代数、几何的绝大部分初等数学知识。
正确答案是：C.西汉末年金字塔的四面都正确地指向东南西北，在没有罗盘的四、五千年的古代，方位能如此精确，无疑是使用了（）的方法。
正确答案是：C.天文测量在丢番图时代(约250)以前的一切代数学都是用（）表示的，甚至在十五世纪以前，西欧的代数学几乎都是用（）表示。
正确答案是：A.文字，文字古埃及数学最辉煌的成就可以说是（）的发现。
正确答案是：A.四棱锥台体积公式《几何原本》中的素材并非是欧几里得所独创，大部分材料来自同他一起学习的（）。
正确答案是：B.柏拉图学派古印度人对时间和空间的看法与现代天文学十分相像，他们认为一劫（“劫”指时间长度）的长度就是（），这个数字和现代人们计算的宇宙年龄十分接近。
正确答案是：C.100亿年根据亚里士多德的想法，一个完整的理论体系应该是一种演绎体系的结构，知识都是从（）中演绎出的结论。
正确答案是：B.初始原理欧几里得的《几何原本》几乎概括了古希腊当时所有理论的（），成为近代西方数学的主要源泉。
正确答案是：C.数论及几何学数学在中国萌芽以后，得到较快的发展，至少在（）已经形成了一些几何与数目概念。
正确答案是：C.六七千年前第二关欧几里得的《几何原本》是一本极具生命力的经典著作,它的著名的平行公设是()。
正确答案是：D.同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交《九章算术》是我国古代的一本数学名著。
“算”是指（），“术”是指（）。
正确答案是：B.算筹解题方法《几何原本》就是用（）的链子由此及彼的展开全部几何学，它的诞生，标志着几何学已成为一个有着比较严密的理论系统和科学方法的学科。
呈现概念多元表征，促进学生深度学习
呈现概念多元表征，促进学生深度学习发布时间：2022-06-27T08:55:27.352Z 来源：《中小学教育》2022年第463期作者：林兰兰[导读] 多元表征比单一表征更有利于激发学习者的学习兴趣，也更能促使学生完整而深入地理解学习内容。
在数学概念的教学中，恰当地呈现数学概念的多元表征，有助于学生深度学习能力的提升。
林兰兰浙江省安吉县高级中学313300摘要：多元表征比单一表征更有利于激发学习者的学习兴趣，也更能促使学生完整而深入地理解学习内容。
在数学概念的教学中，恰当地呈现数学概念的多元表征，有助于学生深度学习能力的提升。
关键词：函数概念单调性概念多元表征深度学习深度学习下的课堂教学应是充分关注学生知识与精神成长的，是一种教师精心预设基础上有效的动态生成过程。
学生在对数学概念的学习过程中，教师如能借助概念的多元表征拓宽学生的知识领域，对学生充分理解数学概念、促进学生对知识的深度学习无疑是大有帮助的。
案例一：函数概念的学习函数概念及其反映的数学思想方法已经渗透到数学的各个领域，是进一步学习数学的重要基础。
同时，函数知识有着广泛的实际应用，并且是学习其他学科知识的重要基础。
因此，函数概念的学习就显得尤为重要。
学生在初中已经接触过函数的概念，知道函数是刻画两个变量之间对应关系的数学模型和工具。
教材在学生已有认知的基础上，以四个问题作铺垫，启发学生概括出它们的本质特征。
问题1：某“复兴号”高速列车在某段时间内路程和时间的关系：S=350t(0≤t≤0.5)。
问题2：某电气维修公司某个工人的工资与其工作天数的关系：w=350d (d∈{1，2，3，4，5，6})。
问题3：以图象的形式给出了北京市2016年11月23日的空气质量指数变化图。
问题4：以表格的形式给出了我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况。
教材以这四个问题为载体，呈现出了函数概念四个维度的具体表征：①情境，②几何，③算术，④代数。
情境维度，如言语描述的情境和图形的情境；几何维度，如图形、图象；算术维度，如数据表格、数、有序数对；代数维度，如解析式、映射、对应。
2021年定义新运算
【知识梳理】欧阳光明（2021.03.07）定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。
一、定义新运算基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝5 2×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.二、定义新运算分类1.直接运算型2.反解未知数型3.观察规律型4.其他类型综合【分类型例题分析】一、直接运算型例 1 若表示，求的值例 2 定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求的值。
6△（3△4）例 3 已知a，b是任意自然数，我们规定：a⊕b= a+b-1，，那么例 4 规定运算“☆”为：若a>b，则a☆b=a＋b；若a=b，则a☆b=a －b＋1；若a<b，则a☆b=a×b。
那么，（2☆3）＋（4☆4）＋（7☆5）= 。
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数学概念的定义方式欧阳光明（2021.03.07）一．给概念下定义的意义和定义的结构前面提到过，概念是反映客观事物思想，是客观事物在人的头脑中的抽象概括，是看不见摸不着的，要用词语表达出来，这就是给概念下定义。
而明确概念就是要明确概念的内涵和外延。
所以，概念定义就是揭示概念的内涵或外延的逻辑方法。
揭示概念内涵的定义叫内涵定义，揭示概念外延的定义叫做外延定义。
在中学里，大多数概念的定义是内涵定义。
任何定义都由被定义项、定义项和定义联项三部分组成。
被定义项是需要明确的概念，定义项是用来明确被定义项的概念，定义联项则是用来联接被定义项和定义项的。
例如，在定义“三边相等的三角形叫做等边三角形”中，“等边三角形”是被定义项，“三边相等的三角形”是定义项，“叫做”是定义联项。
二、常见定义方法。
1、原始概念。
数学定义要求简明，不能含糊不清。
如果定义含糊不清，也就不能明确概念，失去了定义的作用。
例如，“点是没有部分的那种东西”就是含糊不清的定义。
按这个要求，给某概念下定义时，定义项选用的必须是在此之前已明确定义过的概念，否则概念就会模糊不清。
这样顺次上溯，终必出现不能用前面已被定义过的概念来下定义的概念，这样的概念称为原始概念。
在中学数学中，对原始概念的解释并非是下定义，这是要明确的。
比如：代数中的集合、元素、对应等，几何中的点、线、面等2、属加种差定义法。
这种定义法是中学数学中最常用的定义方法，该法即按公式：“邻近的属+种差=被定义概念”下定义，其中，种差是指被定义概念与同一属概念之下其他种概念之间的差别，即被定义概念具有而它的属概念的其他种概念不具有的属性。
例如，平行四边形的概念邻近的属是四边形，平行四边形区别于四边形的其他种概念的属性即种差是“一组对边平行并且相等”，这样即可给平行四边形下定义为“一组对边平行并且相等的四边形叫做平行四边形”。
利用邻近的属加种差定义方法给概念下定义，一般情况下，应找出被定义概念最邻近的属，这样可使种差简单一些。
像下列两个定义：等边的矩形叫做正方形；等边且等角的四边形叫做正方形。
前者的种差要比后者的种差简单。
邻近的属加种差的定义方法有两种特殊形式：（1）发生式定义方法。
它是以被定义概念所反映的对象产生或形成的过程作为种差来下定义的。
例如，“在平面内，一个动点与一个定点等距离运动所成的轨迹叫做圆”即是发生式定义。
在其中，种差是描述圆的发生过程。
（2）关系定义法。
它是以被定义概念所反映的对象与另一对象之间关系或它与另一对象对第三者的关系作为种差的一种定义方式。
例如，若a b=N，则log a N=b(a＞0，a≠1)。
即是一个关系定义概念。
3、揭示外延的定义方法。
数学中有些概念，不易揭示其内涵，可直接指出概念的外延作为它的概念的定义。
常见的有以下种类：（1）逆式定义法。
这是一种给出概念外延的定义法，又叫归纳定义法．例如，整数和分数统称为有理数；正弦、余弦、正切和余切函数叫做三角函数；椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线；逻辑的和、非、积运算叫做逻辑运算等等，都是这种定义法．（2）约定式定义法。
揭示外延的定义方法还有一种特殊形式，即外延的揭示采用约定的方法，因而也称约定式定义方法。
例如，a0=1(a≠0)，0！=1，就是用约定式方法定义的概念。
三、概念的引入（1）原始概念一般采用描述法和抽象化法或用直观说明或指明对象的方法来明确。
“针尖刺木板”的痕迹引入“点”、用“拉紧的绳”或“小孔中射入的光线”来引入“直线”的方法是直观说明法，“1，2，3，···叫做自然数”是指明对象法。
（2）对于用概念的形成来学习的概念一般可通过阅读实例，启发学生抽象出本质属性，师生共同进行讨论，最后再准确定义。
（3）对于用概念的同化来学习的概念（a）用属加种差定义的概念新概念是已知概念的特例，新概念可以从认知结构中原有的具有较高概括性的概念中繁衍出来。
（b）由概念的推广引入的概念讲清三点：推广的目的和意义；推广的合理性；推广后更加广泛的含义。
（c）采用对比方法引入新概念当新概念与认知结构中已有概念不能产生从属关系，但与已有的旧概念有相似之处时可采用此法。
关键是弄清不同之处，防止概念的负迁移。
（d）根据逆反关系引入新概念多项式的乘法引入多项式的因式分解、由乘方引入开方、由指数引入对数等。
关键是弄清逆反关系。
(4)发生式定义通过阅读实例或引导学生思考，进行讨论，自然得出构造过程，即揭示出定义的合理性。
四、概念的形成的方式概念形成就是让学生阅读大量同类事物的不同例证中独立发现同类事物的本质属性，从而形成概念。
因此，数学概念的形成实质上是抽象出数学对象的共同本质特征的过程。
可概括如下：（1）通过阅读比较，辨别各种刺激模式，在知觉水平上进行分析、辨认，根据事物的外部特征进行概括。
（2）分化出各种刺激模式的属性。
（3）抽象出各个刺激模式的共同属性。
（4）在特定的情境中检验假设，确认关键属性。
（5）概括，形成概念。
（6）把新概念的共同关键属性推广到同类事物中去。
（7）用习惯的形式符号表示新概念。
数学概念的定义什么叫给概念下定义，就是用已知的概念来认识未知的概念，使未知的概念转化为已知的概念，叫做给概念下定义．概念的定义都是由已下定义的概念(已知概念)与被下定义的概念(未知概念)这两部分组成的．例如，有理数与无理数(下定义的概念)，统称为实数(被下定义的概念)；平行四边形(被下定义的概念)是两组对边分别平行的四边形(下定义的概念)．其定义方法有下列几种．1、直觉定义法直觉定义亦称原始定义，凭直觉产生的原始概念，这些概念不能用其它概念来解释，原始概念的意义只能借助于其它术语和它们各自的特征给予形象的描述．如几何中的点、直线、平面、集合的元素、对应等．原始概念是人们在长期的实践活动中，对一类事物概括、抽象的结果，是原创性抽象思维活动的产物．直觉定义为数不多．2、“种+类差”定义法种+类差”定义法：被定义的概念=最邻近的种概念(种)+类差。
这是下定义常用的内涵法。
“最邻近的种概念”,就是被定义概念的最邻近的种概念,“类差”就是被定义概念在它的最邻近的种概念里区别于其它类概念的那些本质属性。
例如,以“平行四边形”为最邻近的种概念的类概念有“矩形”、“菱形”,“菱形”的“邻边相等”是区别于“矩形”的本质属性,“邻边相等”就是“菱形”的类差。
我们先看几个用“种+类差”定义的例子:等腰梯形是两腰相等的梯形．直角梯形是有一个底角是直角的梯形．等腰三角形是两边相等或两角相等的三角形．逻辑上还可以通过总结外延给出定义．例如：“有理数和无理数统称为实数”等．由上述几例可看出,用“种加类差”的方式给概念下定义,首先要找出被定义概念的最邻近的种概念,然后把被定义概念所反映的对象同种概念中的其它类概念所反映的对象进行比较,找出“类差”,最后把类差加最邻近的种概念组成下定义概念而给出定义。
种加类差定义法在形式逻辑中也称为实质定义,属于演绎型定义,其顺序是从一般到特殊。
这种定义,既揭示了概念所反映对象的特殊性,又指出了一般性,是行之有效的定义方法。
由于概念本身的类别特点及类差性质的不同,在叙述形式上也有差异。
这种定义方法，能用已知的种概念的内涵来揭示被定义概念的内涵。
揭示了概念的内涵，既准确又明了，有助于建立概念之间的联系，使知识系统化，因此，在中学数学概念的定义中应用较多．3、发生式定义法发生定义法(也称构造性定义法):通过被定义概念所反映对象发生过程，或形成的特征的描述来揭示被定义概念的本质属性的定义方法称发生定义法。
这种定义法是“种+类差”定义的一种特殊形式。
定义中的类差是描述被定义概念的发生过程或形成的特征,而不是揭示被定义概念的特有的本质属性。
例如，平面(空间)上与定点等距离的点的轨迹叫做圆(球)．此外，中学数学中对圆柱、圆锥、圆台、微分、积分、坐标系等概念也都是采用的发生式定义法．又如：平面内与两个定点的距离的和等于定长的点的轨迹叫做椭圆．围绕一中心点或轴转动，同时又逐渐远离的动点轨迹称为螺线．一直杆与圆相切作无滑动的滚动，此直杆上一定点的轨迹称为圆的渐开线．设是试验E中的一个事件，若将E重复进行n次，其中A发生了次，则称为n次试验中事件A发生的频率．在一定条件下，当试验次数越来越多时，事件A出现的频率逐步稳定于某一固定的常数P，称P为事件A出现的概率．由此可知，只要有人类的数学活动，就有概念的发生式定义．4、逆式定义法这是一种给出概念外延的定义法，又叫归纳定义法．例如，整数和分数统称为有理数；正弦、余弦、正切和余切函数叫做三角函数；椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线；逻辑的和、非、积运算叫做逻辑运算等等，都是这种定义法．5、约定性定义法由于实践需要或数学自身发展的需要而被指定的数学概念．在实践活动中，人们发现一些概念非常重要，便指明这些概念，以便数学活动中使用．比如一些特定的数：圆周率、自然对数的底e等；某些重要的值：平均数、频数、方差等；某类数学活动的概括：比如代数指研究有限多元素有限次运算的数学活动；几何指研究空间及物体在空间结构中结构与形式的数学活动；随机事件指在社会和自然界中，相同条件下，可能发生也可能不发生，但在大量重复试验中其出现的频率呈现稳定性的事情；概率指随机事件发生的可能性大小的数学度量；等等．同时，数学概念有时是数学发展所需要约定的．如零次幂的约定，模为零的向量规定为零向量，模为1的向量规定为单位向量．又如矢量积的方向由右手法则规定．数学教学中应向学生灌输这样一种观念，即数学概念是可以约定的(其更深刻的含义是数学可以创造)．约定是简约思想的结果，它使得数学因为有了这样的约定而运算简便．约定不是惟一的，但应具有合理性或符合客观事物的规律．如规定矢量积的方向按左手法则也不是不可以的．约定不是随意针对的，一般只约定那些有重要作用的概念，如约定当n趋于无限大时的极限为自然对数的底e，因为这个数对计算十分重要．6、刻画性定义刻画性定义法亦称描述性定义法，数学中那些体现运动、变化、关系的概念经严格地给予表述(逾越直觉描述阶段)，这些概念即属于刻画性定义．比如等式函数、数列极限、函数极限等概念．函数概念：设D是实数集的子集，如果对D内每一个，通过给定的法则，有惟一一个实数y与此对应，称是定义在D上的一元实值函数，记为 概念中刻画了变量y 与变量的关系．数列极限概念：对于数列{ }和一个数 ，如果对任意给定的正数，都存在一个自然数 ，对一切自然数n ， ，成立 ，称数n 是数列{ }当n 趋于无限大时的极限，记为 ．概念中刻画了 与 “要多么接近就可以多么接近(只要 )”的程度，使“ 无限接近 ”的直觉说法上升到严格水平．函数极限概念：对于在 附近有定义的函数和一个数A ，如果对任意给定的正数 ，都存在一个正数，对定义域中的x 只要 ，成立 ，称数 是 当 趋近于 时的极限，记为，概念中刻画了 与A“要多接近就可以有多接近（只要）”的程度，是严格的数学概念。