复数的乘除运算

双基限时练(十一)

1．在复平面内，复数z ＝1

2＋i 对应的点位于( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

解析 z ＝12＋i ＝2－i 5＝25－15i ，∵点(25，－1

5)在第四象限．∴复数

z 对应的点在第四象限．

答案 D

2．复数3

(1－i )2的值是( )

A.32i B ．－3

2i C ．i D ．－i

解析

3(1－i )2

＝3－2i

＝3

2i. 答案 A 3.2－3i 3＋2i 等于( ) A ．－15i B.15i C ．－i

D ．i

解析 2－3i 3＋2i ＝(2－3i )(3－2i )(3＋2i )(3－2i )＝6－13i －632＋22＝－i.

答案 C

4.(1－i )(1＋2i )1＋i 等于( )

A ．－2－i

B ．－2＋i

C ．2－i

D ．2＋i

解析 (1－i )(1＋2i )1＋i

＝(1－i )(1＋2i )(1－i )(1＋i )(1－i )

＝

－2i (1＋2i )

2

＝－i(1＋2i) ＝2－i. 答案 C

5．i 是虚数单位，若1＋7i

2－i ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则乘积ab 的值是

( )

A ．－15

B ．－3

C ．3

D ．15

解析

1＋7i 2－i ＝(1＋7i )(2＋i )

(2－i )(2＋i )

＝－1＋3i ＝a ＋b i ，

∴a ＝－1，b ＝3，∴ab ＝－3. 答案 B

6．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数(m ＋n i)(n －m i)为实数的概率为( )

A.1

3 B.1

4 C.16

D.112

解析 (m ＋n i)(n －m i)＝2mn ＋(n 2－m 2)i ，由此复数为实数得n 2

－m 2＝0，即n ＝±m ，故所求的概率为P ＝

66×6

＝1

6.

答案 C

7．复数z 满足方程z i ＝1－i ，则z ＝________.

解析 z ·i ＝1－i ，∴z ＝1－i i ＝(1－i )i

i·i ＝－i(1－i)＝－1－i ，∴z ＝－1＋i.

答案 －1＋i

8．若21－i ＝a ＋b i(i 为虚数单位，a ，b ∈R )，则a ＋b ＝________.

解析 a ＋b i ＝2

1－i ＝1＋i ，

∴a ＋b ＝1＋1＝2. 答案 2

9．若z 1＝1＋i ，z 2＝a －i ，其中i 为虚数单位，且z 1·z 2∈R ，则实数a ＝________.

解析 ∵z 1·z 2＝(1＋i)·(a ＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ∈R ， ∴a ＋1＝0，a ＝－1. 答案 －1 10．若z ＝

2

1－i

，则z 100＋z 50＋1的值是________． 解析 ∵z ＝2

1－i ＝2(1＋i )2＝1＋i 2， ∴z

100

＋z 50

＋1＝⎝

⎛⎭⎪⎫1＋i 2100＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫1＋i 250

＋1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2i 250＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫2i 225

＋1 ＝i 50＋i 25＋1＝－1＋i ＋1＝i. 答案 i

11．定义运算⎪⎪

⎪⎪⎪⎪a c b d ＝ad －bc ，复数z 满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪

z i 1 i ＝1＋i ，求z . 解 由题意知，⎪⎪⎪⎪

⎪⎪z i 1 i ＝i·z －i ＝1＋i ，∴i z ＝1＋2i ，∴z ＝1＋2i

i ＝2－i.

12．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A 、B 、C ，若O C →

＝λOA →＋μOB →

(λ，μ∈R )，求λ＋μ的值．

解 由题意知，A ，B ，C 三点在复平面内的坐标分别为(－1,2)，(1，－1)，(3，－4)，

∵O C →

＝λOA →＋μOB →

，

∴(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)．

∴⎩⎪⎨⎪⎧ －λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧

λ＝－1，μ＝2.

∴λ＋μ＝1.

13．已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部为2. (1)求复数z ；

(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面上的对应点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积．

解 (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．

由已知条件得a 2＋b 2＝2，z 2＝a 2－b 2＋2ab i ， ∴2ab ＝2.解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1. ∴z ＝1＋i 或z ＝－1－i.

(2)当z ＝1＋i 时，z 2＝(1＋i)2＝2i ，z －z 2＝1－i. ∴A (1,1)，B (0,2)，C (1，－1)．

∴S △ABC ＝12|AC |×1＝1

2×2×1＝1. 当z ＝－1－i 时，z 2＝2i. z －z 2＝－1－3i.

∴A (－1，－1)，B (0,2)，C (－1，－3)． S △ABC ＝12|AC |×1＝1

2×2×1＝1. 综上可知△ABC 的面积为1.

14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设复数z ＝cos A ＋isin A ，且满足|z ＋1|＝1.

(1)求复数z ；

(2)求b －c

a cos (60°＋c )的值．

解 (1)∵z ＝cos A ＋isin A ， ∴z ＋1＝1＋cos A ＋isin A . ∴|z ＋1|＝(1＋cos A )2＋sin 2A ＝2＋2cos A ＝1.∴2＋2cos A ＝1， cos A ＝－1

2，∴A ＝120°. ∴sin A ＝32，复数z ＝－12＋32i.

(2)由正弦定理，得：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C (R 为△ABC 外接圆的半径)．

∴b －c a cos (60°＋c )＝sin B －sin C sin A ·cos (60°＋C ). ∵B ＝180°－A －C ＝60°－C ，