广义相对论_第1章

第一章狭义相对论
1.1 经典物理学的时空观
时间和空间是物质的基本属性，如果我们仔细分析一下这两个概念就会发现，时间概念来自于事物运动变化的顺序性；空间概念则来自于物质实体的广延性。

显然，没有物质的存在，就不会有抽象的位置排列、运动和变化，时间和空间的概念也就失去了存在的前提了。

可是，20世纪之前的经典物理学（牛顿力学）却认为时间和空间与运动着的物质没有任何联系，它们是先验地存在的。

只是在建立了相对论以后，人们才认识到时间和空间与运动着的物质密切相关。

经典时空观首先由牛顿提出，在他1687年发表的名著《自然哲学的数学原理》中，对绝对时间和绝对空间是这样表述的：“绝对的、真正的、数学的时间，本质上是一种与外界物体无关的匀速流动。

”“绝对的空间，本质上是与外界无关的，是同一的和静止的、不动的。

”因此，经典时空观又叫牛顿时空观，或者绝对时空观。

有了绝对空间，那么惯性系的定义就水到渠成了，只要相对于绝对空间静止或作匀速直线运动的参考系，就是惯性参考系。

从操作的角度，人们无法找到精确的惯性系，只能说地球是一个较好的、常用的惯性系，太阳系是一个更好的适用惯性系，而FK4系是目前所使用的最好的实用惯性
系，它选取1535颗星体作为一个体系，把这个体系的平均不动的状态作为参照物。

1.1.1 伽利略变换
经典时空观认为时间、空间独立无关，具体反映在不同惯性系之间的变换关系上，就有所谓的伽利略变换。

如图1-1-1，设S和'S是两个惯性参考系，取x轴沿两者的相对速度方向，并且开始时两坐标系的原点重合。

图1-1-1 惯性参考系和伽利略变换
牛顿力学告诉我们，此时固连在两个参考系上的坐标系之间应当存在如下的变换关系：
.',
',
',
't t z z y y vt x x ===-= （1-1-1）
由上面的伽利略变换，很容易得到如下两个结果：
,','x x t t ∆=∆∆=∆ （1-1-2）
这意味着时间间隔和空间间隔分别与坐标系的选择无关，也就是和物体的任意运动无关，时间和空间在牛顿时空的框架下都是绝对的。

1.1.2 相对性原理
1632年，伽利略首先通过实验观察指出，相对于绝对空间作匀速直线运动的任意参考系，力学规律应该是完全相同的，这就是伽利略相对性原理。

具体的情况是，在伽利略变换下，牛顿运动定律的形式应该不变。

设在S 系中牛顿运动定律的形式为
,22dt
x d m f = （1-1-3） 由伽利略变换可以得出'S 系的量
,','dx dx dt dt == （1-1-4）
所以有
.''2222dt
x d dt x d = （1-1-5） 至于质量m 则可用同一个弹簧来度量，设弹簧的弹性系数为k ，伸长为l ∆，此弹性力使待测质量的物体产生加速度。

若测得加速度大
小为a ，则物体的质量为
.a
l k a f m ∆⋅== （1-1-6） 因此，质量的度量就化为时间和长度的度量了，既然时间和长度具有绝对性，那么质量就是不变量了，不随参考系的选择而变化
m m ='. （1-1-7）
由公式（1-1-5）和（1-1-7），我们得到
,'''2222dt
x d m dt x d m = （1-1-8） 可见，在'S 系中的牛顿运动定律具有和S 系完全相同的形式，具有在伽利略变换下的协变性。

1.2 Maxwell 方程和相对性原理
19世纪下半叶，麦克斯韦从介质的弹性理论出发导出了一组电磁场方程，不仅包括了人们熟知的、直观的库仑定律、毕奥-萨伐尔定律、法拉第电磁感应定律等，而且更加完备，也提升了理论的高度，使得电磁理论达到了几近完美的程度。

虽然今天我们知道从介质的振动去推导电磁场方程既不正确也无必要，但麦克斯韦的结论还是完全正确的。

真空中麦克斯韦方程组以电场强度和磁感应强度表示的原始形式为
,,0,,
0000t
B E B J t E B E ∂∂-=⨯∇=⋅∇+∂∂=⨯∇=⋅∇ μεμερ （1-2-1） 其中E 为电场强度矢量，B 为磁感应强度矢量，ρ为电荷密度，00,με分别为真空中的介电常数和真空磁导率。

这组方程反映了一般情况下
电荷电流激发电磁场以及电磁场内部运动的规律，在ρ和J 为零的区
域，电场和磁场将通过本身的相互激发而运动传播。

电磁场的相互激发是它存在和运动的主要因素，而电荷和电流则以一定的形式作用于电磁场。

Maxwell 方程组可以通过定义电磁四矢和电磁场张量表示成四
维张量的更加简单的形式。

由于0=⋅∇B ，令
,A B ⨯∇= （1-2-2）
则有
.0)(=∂∂+⨯∇t
A E （1-2-3） 取标势)(t
A E ∂∂+-=∇ ϕ，因此 .t
A E ∂∂--∇= ϕ （1-2-4） 通过公式（1-2-2）、（1-2-4），我们就把电磁场的电场强度和磁感应强度这些主要性质用矢势和标势表示出来了。

把标势和矢势合成为四维的形式，即电磁四矢，有
).,(A c
i A ϕμ= （1-2-5） 作变换
,',
't
A A A ∂∂-=→∇+=→ψϕϕϕψ （1-2-6） 有
.'','E t
A t A
B A A =∂∂--∇=∂∂-∇-=⨯∇=⨯∇ϕϕ （1-2-7） 可见，)','(ϕA 与),(ϕA 描述同一电磁场，式（1-2-6）的变换叫电磁势的规范变换。

规范自由度的存在是由于在势的定义式（1-2-2）、（1-2-4）中，只给
出了A 的旋度，而没有给出A 的散度。

为了确定A ，必须给定它的散
度。

电磁场E 和B 本身对A 的散度没有任何限制，因此作为确定势的
辅助条件，我们可以取A ⋅∇为任意的值。

应用最广泛的两种规范条件
有库仑规范和洛仑兹规范，它们依次是：
,01,
02=∂∂+⋅∇=⋅∇t
c A A ϕ （1-2-8） 库仑规范中t
A E ∂∂--∇= ϕ，此时A 为无源场，因而横场和纵场自然分开为两部分ϕ∇-和t
A ∂∂- 。

洛仑兹规范将使势的基本方程化为特别简单的对称形式，这是理论家们喜欢的。

引入标势和矢势后，Maxwell 方程变为
,,)1(10
2022222ερϕμϕ-=⋅∇∂∂+∇-=∂∂+⋅∇∇-∂∂-∇A t J t c A t A c A （1-2-9） 其中用到了2
00/1c =εμ和)()(2A A A ⋅∇∇+-∇=⨯∇⨯∇。

因此，库仑规范下，Maxwell 方程组变为
.)0(,,1102022222=⋅∇-
=∇-=∇∂∂-∂∂-∇A J t
c t A c A ερϕμϕ （1-2-10）
若采用洛仑兹规范，则Maxwell 方程为
.)01(,1,120222202222=∂∂+⋅∇-=∂∂-∇-=∂∂-∇t
c A t
c J t
A c A ϕερϕϕμ （1-2-11） 采用电磁四矢的定义（1-2-5），上面（1-2-11）的前两式可合并简写为
□μμμJ A 0-=， （1-2-12）
其中ρic J =0，ϕc i A =0，□=μμx x t
c ∂∂∂∂=∇+∂∂-22221，洛仑兹规范可写为 .0=∂∂μμ
x A （1-2-13）
引入一个反对称四维张量，即四维时空中的电磁场张量
,ν
μμνμνx A x A F ∂∂-∂∂= （1-2-14） 则Maxwell 方程可表示为
.,0.0,,,00000t
B E B x F x F x F J t E B E J x F ∂∂-=⨯∇=⋅∇⇔=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=⨯∇=⋅∇⇔=∂∂ νλμμνλλμν
μν
μν
μεμερμ （1-2-15） 由Maxwell 方程组出发，很容易得到真空中电磁波的传播速度为常数00εμ=c 。

至此，我们对真空中的麦克斯韦方程组进行了简单
的复习，从中我们看到了一个完美对称的形式。

总所周知，物理规律需要用一定的参考系表述出来，在经典力学中我们引入了惯性参考系，并确信力学的基本运动定律对所有惯性系成立。

关于电磁现象，完美的麦克斯韦方程描述的基本规律究竟适用于什么参考系呢？考虑由麦克斯韦方程组导出的波动方程，人们已经认识到电磁波在真空中的传播速度为00εμ=c 。

然而，按照经典时
空观念，由伽利略变换认识到，如果物质相对于某一参考系速度为c ，则变换到另一个参考系时其速度就不可能沿各个方向都为c 。

因此，经典力学一切惯性系等价的相对性原理在电磁现象中就不再成立，由电磁现象应该可以确定一个特殊参考系。

1.3 狭义相对论的基本原理
寻找这个特殊参考系和确定地球相对于这个参考系的运动，成为了19世纪末物理学的一个重要课题。

当时的科学发展水平已使得精确测量光速成为可能，但多次试验结果都没有发现任何绝对运动的效应，从而迫使人们必须接受在真空中光速相对于任何惯性系都等于c 的结论。

在相对论的建立过程中，人们对电磁场的认识也发生了一
个飞跃。

基于经典物理的思想，人们本来对自然现象的认识都带有机械论的局限性，对电磁现象也是这样。

人们认为既然声波、水波等都是在某种介质中的机械振动的传播现象，电磁波也应该是某种充满空间的弹性介质（以太）内的波动现象，以太自然构成了电磁波传播的特殊参考系。

特殊参考系被实验否定的事实以及电磁现象中相对性原理的建立，最终破除了电磁波的机械观，使人们认识到电磁波就是作为物质的电磁场本身的运动形式，而不是在某种“以太”介质内的机械运动现象。

有关光速不变性的实验中，最著名的就是1887年测量光速沿不同方向差异的麦克尔逊-莫莱实验。

图1-3-1 麦克尔逊-莫莱实验装置
图1-3-2 光线传播的经典速度合成法则
实验装置如图1-3-1所示，由光源S 发出的光线在半反射镜M 上分为两束，一束透过M ，被1M 反射回到M ，再被M 反射而到达目镜T ；另一束被M 反射至2M ，再反射回M 而直接达到目镜T 。

为叙述简单计，设调整两臂长度使有效光程l MM MM ==21。

设地球相对于“以太”的绝对运动速度v 沿1MM 方向，则光线M MM 1与M MM 2的传播时间不同，因而有光程差，在目镜T 中将观察到干涉效应。

用经典速度合成法则可以算出光线M MM 1和M MM 2的传播时间，经典速度合成法
则如图1-3-2。

图中v 表示观察者相对于以太的运动速度，u
表示观察者参考系中所看到的沿θ方向传播的光速，c
是以太参考系的光速。

由图可见
,cos 2222θuv v u c ++= （1-3-1）
解出u 得
.cos sin 222θθv v c u --= （1-3-2）
因此，在地球上观察到沿v 方向传播的光速为v c -，逆着v
方向传播的光速为v c +，而垂直于v
方向传播的光速为22v c -。

因此，光线
M MM 1的传播时间为
).1(2222
2
21c
v c l v c lc v c l v c l t +≈-=++-= （1-3-3） 光线M MM 2的传播时间为
).21(2222222c v c l v
c l
t +≈-= （1-3-4） 两束光的光程差为
.22
c
v l t c ≈∆ （1-3-5）
把仪器转动︒90，使两束光位置互换，应该观察到干涉条纹的移动个数为
.222
2c v l t
c λλ
≈∆ （1-3-6） 利用多次反射可以使臂长l 达到10米左右。

设
m 1057-⨯≈λ，8210)/(-≈c v ，
则很容易计算干涉条纹应该移动0.4个左右，而实验观察到的上限仅
为0.01个。

而且，自从第一个实验之后，不同的实验工作者还进行了多次麦克尔逊-莫莱实验，以不断提高的精确度否定了地球相对于以太的运动。

麦克尔逊实验否定了特殊参考系的存在，它表明光速不依赖于观察者所在的参考系，即所谓的光速不变原理。

从上述速度合成律的讨论已经看到，光速不变原理与伽利略变换是矛盾的。

那么，到底什么是更根本的呢？爱因斯坦以他敏锐的洞察力发现了“麦克斯韦电动力学符合相对性原理”和“麦克斯韦场方程在伽利略变换下为不变式”并不等价。

他不是去修改麦克斯韦方程，而是重新审查绝对时空观和与之适应的伽利略时空坐标变换关系。

为此，爱因斯坦确定了新理论的两个基本原理：
（1）狭义相对性原理。

真实的物理规律在所有惯性系中应该形式不变，或者说，一切惯性系都是平权的、不可分辨的。

可以看出，狭义相对性原理实质上是肯定了在所有惯性系中物理规律的绝对性。

这条原理同时也理所当然地否定了宇宙中存在着一个优越的所谓绝对静止的惯性系。

虽然如此，它却肯定了宇宙中应当存在着一群优越的参考系，即全部惯性系。

只有后来发展起来的广义相对论才彻底否定了任何参考系的优越性，从而在任何参考系中肯定了物理规律的绝对性，当然此时需要考虑引力场的作用。

（2）光速不变原理。

任意一个惯性系中的观测者所测得的真空中的光速恒为c。

这条原理实质上说明了麦克斯韦方程组在一切惯性系中形式均不变，亦即肯定了电动力学的正确性和绝对性。

这个基本原理的确立，明确地指出旧理论需要修改的不是电动力学，而是牛顿
力学。

这两条原理是相互独立的，从狭义相对性原理出发，采用爱因斯坦光速不变原理就可以得到洛伦兹变换（狭义相对论时空观的代表）。

这两条原理是在狭义相对论中作为公理提出来的，它们不能也不必通过任何方法来证明，只能通过实验来检验，迄今为止所有实验都是支持这两条原理的。

1.4 洛仑兹变换（包括同时的相对性、尺缩钟慢效应等）
我们从光速不变原理和狭义相对性原理出发，自然而然地可以得到两个参考系之间的洛仑兹变换。

图1-4-1 两个惯性系中光的传播
如图1-4-1，有两个惯性系K 及'K ，设在某一时刻（取为0'==t t ），
K 与'K 的原点是重合的，并且在这时刻位于原点的光源放出一个光讯
号。

在K 中，光讯号的波前是以K 的原点为心的球面，满足下面方程
.022222=-++t c z y x （1-4-1）
由于光速不变，在'K 中，这个光讯号的波前是以'K 的原点为心的球面，即
.0''''22222=-++t c z y x （1-4-2）
对于两个惯性参考系，只要要求()t z y x ,,,与()t z y x '''',,,之间的变换关系满足
,2222222222t c z y x t c z y x '-'+'+'=-++ （1-4-3）
就可以与光速不变原理相适应。

根据两个坐标交换之间的对称性，易得
y y ='，z z ='。

（1-4-4）
同时，由于空间的均匀性保证了坐标变换的线性性质，因此可以设
.
,
22211211t x t t x x αααα+='+=' （1-4-5）
至此，方程（1-4-3）可以写成
.222222t c x t c x '-'=- （1-4-6）
由式（1-4-5）、（1-4-6），得
⎩
⎨
⎧+-='-=',,
θθθθctch xsh t c ctsh xch x （1-4-7） 其中θ为常量。

引入参数θβth =，则
,12
β
β
θ-=
sh .112
β
θ-=
ch （1-4-8）
把（1-4-8）式代入（1-4-7），得：
.1,
12
2
ββ
β
β--=
'--=
'c x t t ct x x （1-4-9）
现在，我们来确定系数β。

由于'K 相对于K 在x 方向以速度→
v 运动，所以对于K 中的观察着，'K 的原点，即0='='='z y x 点的速度该是
v dt dx =，0=dt dy ，0=dt
dz 。

由式（1-4-4）、（1-4-9），可解出
.1,
,
,
12
2
ββ
β
β-'+'=
'='=-'
+'=
c x t t z z y y t c x x （1-4-10） 微分，并针对0='='='z y x 点有
.1,0,0,12
2
β
β
β-'=
==-'
=
t d dt dz dy t cd dx （1-4-11）
故
,0,1122
===--=dt dz dt dy c c dt dx ββ
ββ （1-4-12） 因此
./c v =β （1-4-13）
惯性系K 与'K 之间的时空坐标变换关系为
,/1,
,,
/12
222
2
c
v x c v t t z z y y c v vt
x x -+
='='='--=
' （1-4-14）
或
,/1'',',
',
/1'
'2
222
2
c
v x c v t t z z y y c v vt x x -+
===-+=
（1-4-15）
这就满足著名的Lorentz 变换。

当速度c v <<或1/<<c v 时，如果忽略22
2
c
v =β以上的各级小量，
Lorentz 变换就自然转化为伽利略变换了。

在伽利略变换中，时间与空间是相互分开的；但是，在Lorentz 变换中，时间的变换不再与空间无关。

由Lorentz 变换所描述的时空性质，是根本不同于经典的绝对时空观念的。

下面我们就从Lorentz 变换出发，给出几个具体的结论。

1.4.1 时间间隔的相对性
假设有两个物理事件，对于参考系'K 发生于同一地点，但不同的时间。

根据Lorentz 变换，有
./12
2
t d c
v t d dt '>-'=
（1-4-16）
这表明，在K 中的观者所测得事件的时间间隔大于在'K 中观者的测量结果。

通俗地讲，对'K 静止的时钟，从K 中的观者看来，是走慢了。

反之，同样可以证明对K 静止的时钟，从'K 中的观者看来，是走慢了。

总之，相对于观察者运动的钟，总比相对他静止的钟走得慢。

1.4.2 长度的相对性
相对于'K 系静止的一个直尺，沿x 方向放置，其长度相对于'K 中的观察者为x d '。

如果在K 中有一个观者，在时刻t 进行测量，则由Lorentz 变换得
,/12
2c v dx x d -=
' 或 ./122x d c v dx '-= （1-4-17）
这表明，在K 中的观察者所测得的直尺长度总小于在'K 中的观察者所测得的结果。

通俗地讲，对于'K 为静止的直尺，在K 中的观察者看来，是缩短了。

反之，同样可以证明，对于K 为静止的直尺，在'K 中的观察者看来，也是缩短了。

总之，相对于观察者运动着的直尺，总比静止着的直尺短一些。

1.4.3 同时的相对性
如果对于'K 参考系，时刻t '在两个点同时发生的两个事件，在K
系看来，两个事件的时间差为
./12
22c v x d c v dt -'= (1-4-18)
可见，dt 可能为正，也可能为负，这取决于x d '的符号，说明在相对论中同时是相对的。

1.4.4 时序与因果关系
对于'K 系中的两个事件),(11t x ''及),(22t x ''，由Lorentz 变换得对于K
参考系，其时间间隔为
2212212
12/1)()(c
v x x c v
t t t t -'-'+'-'=
-. (1-4-19) 若012
>'-'t t ，则当)(122x x c
v
'-'足够小，以致于满足 ,0)()(12212<'-'+'-'x x c v
t t 或者 ,21212v
c t t x x >'-''-' （1-4-20）
则事件的时序在K 中就颠倒过来了，这就证明了时序的相对性。

乍一看来，时序的相对性与因果关系是矛盾的。

众所周知，原因总应该发生在结果之前，如果事件A 与B 之间为因果联系，那么先
A 后
B 的时序就应该是绝对的，即无论在哪个惯性系中观察，总应该
得到先A 后B 的结果。

但是，Lorentz 变换却可能使时序改变，亦即可能因果倒置。

怎样才能把因果关系的绝对性与时序的相对性统一起来呢？
如果事件A 与B 之间有因果联系，就应当有某种作用从1x '出发经
过时间间隔12
t t '-'传送到2x '，从而使原因A 得以产生结果B 。

因果事件之间相互作用的传递速度i v 至少应当为
.12
12
t t x x v i '-''-'=
（1-4-21） 考虑式（1-4-20），时序颠倒的条件变为
.2c v v i > （1-4-22）
可见，只有i v 或v 之一大于c 时，才会出现因果倒置的情况，也就是说因果次序的绝对性是不容改变的。

对于没有因果关系的两个事件（
c t t x x >'-''-'12
12
），其时序是可以改变的；有因果联系的两个事件（
c t t x x <'-''-'12
12
）的时序，则无法经Lorentz 变换而改变。

1.4.5 时空间隔的绝对性
在Lorentz 变换下，两个事件的时间间隔及空间间隔都是相对的，但时空间隔却是绝对的。

.222222222222s d z d y d x d t d c dz dy dx dt c ds '='+'+'+'-=+++-= （1-4-23）
由时空间隔，人们还常常定义固有时间间隔（原时间隔）
,ds c
i
d =
τ （1-4-24） 这也是一个不依赖与参考系的绝对量
,1])()()[(112
2
222222222c
u dt dt dz dt dy dt dx c dt dz dy dx dt c c
i
d -=++-
=+++-=
τ （1-4-25）
其中u 是质点相对于K 的速度大小。

τd 的相对性表明，若质点相对于
'K 的速度为u '，就将有
.1122
22c
u t d c u dt d '-'=-=τ （1-4-26）
1.4.6 速度合成律
为了求得相对论的速度合成公式，我们首先把洛伦兹变换式（1-4-15）写成微分形式
.1,
',',
12
22
2
2
c v dx'c v dt'dt dz dz dy dy c v vdy'dx'dx -+=
==-
+=
（1-4-27）
显然，对于K ，质点的速度分量是
,dt dx u x =
,dt dy u y = .dt
dz u z = （1-4-28） 对于'K ，质点的速度分量是
,'''dt dx u x =
,'''dt dy u y = .'
''dt dz u z = （1-4-29） 利用(1-4-27)中最后一式除其前三个式子,并且利用上述表示，就得到
,12c v u'v u'u x x x ++= ,11222c v u'c v u'u x y y +-= ,112
2
2
c
v
u'c v u'u x z z +-= （1-4-30）
这就是爱因斯坦速度合成律。

在低速的情况c v <<，略掉上式中含v/c 的项，得
,v u'u x x +≈ ,y y u'u ≈ .z z u'u ≈ （1-4-31）
这就是牛顿定律的速度合成律。

爱因斯坦速度合成律的一个有趣的性质是：两个小于或者等于c 的速度之和，永远不能超过c 。

为了看清这一点，我们来讨论一个运动光源。

光源发光的速度为c ，若光速相对于实验室的速度为c 5.0，并且二者速度都在x 方向上，则c v 5.0=，c u'x =，0==z y u'u'。

由(1-4-31)式，可得
,501502
2c c
c .c
.c u x =++=
.0==z y u u 亦即光相对于实验室的速度仍为c 。

这个速度合成公式表明了，我们不可能把一个原来以小于光速运动的质点慢慢加速到光速以上，光速是这种加速所能达到的极限。

例题 一列火车在一条平直的铁道上匀速行驶，铁道穿过一个隧道。

在静止时，火车恰好与隧道等长；然而，现在火车以c v 5
3
=的速率运行。

火车司机说：“隧道由于洛仑兹收缩，比火车短，因此火车绝对不可能在任一时刻全部处在隧道之中。

”同时，看守隧道的人则说：“火车因为洛仑兹收缩，比隧道短，所以火车在某时刻是全部处在隧道之中的。

”他们谁也说服不了谁。

（1）司机决定用实验解决这个争论。

它在火车头尾两端各安装一个定时火箭，使得火车的中点与隧道的中点重合之时，两个火箭同时沿
着竖直方向飞出。

这将发生什么结果？画出这些事件的时空图，分别用火车参考系和隧道参考系描述这些事件的先后次序。

（2）隧道看守人也不示弱。

他在隧道两端竖立巨大的定时铁门使得火车中点到达隧道中点时，两门同时关上。

用两种参考系来描述这些事件的先后次序。

解：为了说明事件的次序，用时空图的方法最清楚。

（1）取火车为参考系K ，隧道为参考系'K ，隧道以c v 5
3
-=向x 的负方向运动。

图1-4-2 火车过隧道时空图（火车为“静止系”）
根据Lorentz 变换，我们有
,12
2
c
v
vt x x'-+= .1222c v x c v t t'-+
=
't 轴是0'=x ，即
.0=+vt x
此为过原点、斜率为
5
3
-=Δt Δx 的直线。

同理可以求得'x 轴是过原点、斜率为35
-的直线。

如图1-4-2所示，其中5
3tg -=θ。

在图1-4-2中，E D C B A ,,,,时空点依次分别表示：火车中点与隧道中点相重合、火车尾端火箭爆发、火车前端火箭爆发、火车尾端进入隧道、火车前端从隧道出来。

从时空图上很容易看出，虽然K 系的司机和'K 系的看守员都确认：火箭是在隧道外面发射的，但是各自认定事件的顺序却不相同。

司机认为，事件的顺序是D C B A E ),,,(,，两支火箭都是在比火车短的隧道之外同时爆发的。

看守却认为,事件的顺序是C E A D B ,,,,，一个火箭爆发得太早(A B t't'<)而另一个则爆发得太迟(A C t't'>)；虽然火车比隧道短，但是火箭都是在隧道外面发射的。

（2）按照上述同样的方法做出图1-4-3，取隧道参考系为K ，火车参考系为'K ，火车以c v 5
3
=的速度向x 轴正方向运动，5
3tg =θ。

图1-4-3 火车过隧道时空图（隧道为“静止系”）
在图1-4-3中，E D C B A ,,,,时空点依次分别表示：火车中点与隧道中点相重合、隧道起始处门关上、隧道终了处门关上、火车尾端进入隧道、火车前端撞上铁门。

从时空图上很容易看出，隧道看守认为事件的顺序是E C B A D ),,,(,，火车尾端是在两门关上之前进入隧道的，火车前端是在两门关上之后试图冲出去的，所以火车变短与车撞铁门没有矛盾。

司机则认为，事件的顺序是B D A E C ,,,,，他认为，前方铁门关得太早(A C t't'<)，发生了碰撞，而碰撞的讯号沿着碰撞光锥线传播，尚未传达到后端，故不知道撞车事故的后端继续行驶，使得他在关得太迟的后铁门落下之前进入隧道（D B t't'>）。

1.4.7 相对论力学
现在我们来讨论经典力学规律与新的时空观的关系，牛顿运动
方程与相对论时空观是有矛盾的。

例如相对论时空观断言，不能把物体的速度加速到光速。

但是按照牛顿力学，在原则上总是可以把任何物体加速到大于光速，只要对该物体施加长时间的、足够大的力。

因此牛顿运动方程必须加以修正，修正的原则是相对性原理。

我们要寻找能与狭义相对论相协调的力学规律。

注意到在低速情况下洛仑兹变换应过渡为伽利略变换，所以相对论力学规律在低速范围内应过渡为牛顿运动学方程。

根据这一考虑，我们仍然可以将相对论中的力学规律写成
.)(,)(,)(z z y y x x F m v dt
d
F m v dt d
F m v dt d
=== （1-4-32） 但是不同于牛顿的情况，现在质量m 以及F 不在是绝对的量，即相对于不同的坐标系，其数值是不同的。

只当速度比较小的时候，这二者才是绝对的量。

下面我们从动量守恒定律出发，推出质量m 在不同惯性系之间的变换。

考虑两个质点，相对于K ，它们的质量分别为1m 及2m ，速度都在x 方向上，分别为1u ，2u ，并且两质点的动量和为零。

.02211=+=u m u m P （1-4-33）
两个质点组成的体系的总质量为
,21m m M += （1-4-34）
而整个体系对K 的速度按定义为0==
M
P
V ，即静止。

再从'K 系的观察者来分析这两个质点。

根据相对性原理，如果
力学规律具有式（1-4-32）的形式，则两质点对'K 系的动量仍然具有式(1-4-33)的形式，即
,2211u'm'u'm'P'+= (1-4-35)
这时体系的总质量为
.21m'm'M'+= (1-4-36)
同时，由于'K 相对于K 以速度v 运动，所以对K 为静止的体系，对'K 有速度为v -。

这样，两质点所构成的整个体系对'K 的速度应为
v -，所以动量'P 又可以写成
.M'v P'-=
(1-4-37)
利用(1-4-33)，我们有
.1
221u u
m m -= (1-4-38) 另一方面，由式(1-4-35)以及(1-4-37)，可得
,'(212211）v m'm u'm'u'm'+-=+ (1-4-39)
即
.1221v
u'v u'm'm'++-= (1-4-40) 再由相对论速度合成公式(1-4-30)，有
.112
2222111c
vu'v
u'u ,c vu'v u'u ++=++=
（1-4-41） 将此式代入（1-4-40），得
,111221
22
2
1u u c
vu'c vu'm'm'⨯++
-= （1-4-42）
再用式(1-4-38)，有
,112121
22
2
1m m c
vu'c vu'm'm'⨯++
= （1-4-43） 即
.112
1
222
211
c vu'c vu'm m'm m'++
-= (1-4-44)
注意下列公式
,1111112
12
2
122
2212212
2
1c vu'c u'c v )c vu'(c v)(u'c
u +-
⋅-=++-=-
即
.111122
2
2
122
1
21c
v c
u c u'c
vu'
-⋅--=
+ （1-4-45）
类似地
.111122
2
2
222
2
22c
v c
u c u'c
vu'-⋅--=
+ （1-4-46）
将（1-4-45）、（1-4-46）两式代入(1-4-44)，得到
.111111112
2
2
2
2
22
2
1
2
2
12
2
12
2
12
2
222
2
2
2
11c u'c u c u'c
u
c u'c u c u c u'm m 'm m '--
--=--⨯
--= (1-4-47)
这就是利用相对性原理导出的，对于任意两个质点的对K 及'K 的质量及速度之间必须保持的关系。

可见，只要我们取质点的质量与速度间有如下的关系，就可以满足(1-4-47)
,12
2
c u
αm -=
式中α为常数。

为了确定常数α，我们利用当速度u 很小的时候，m 应该趋近牛顿力学所用的质量，即静止质量0m ，所以0m α=，故
.12
2
0c u
m m -=
（1-4-48）
这是相对论力学重要的结论之一，即质点的质量并不是不变的量，而是与质点的运动状态有关的。

质点速度越大，它的质量越大，只有当速度为零的时候，质量才等于静止质量。

1.4.8 质能关系
由狭义相对论的质点运动方程（1-4-32）出发，注意其中质量是速度的函数如式（1-4-48），所以
,)(dt
dm
u dt u d m u m dt d F →→
→
→
+== （1-4-49）
其中→
u 是质点速度矢量。

外力→
F 作的功仍应等于质点动能的增加，即
.21→
→
⎰⋅=∆s d F E
利用式（1-4-49），上式化为
,2121222
1
2121212
1dm u du m dm u u u d u m s
d u dt dm s d dt u d m E ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=⋅+⋅=⋅+⋅=∆→→→→→
→→→
（1-4-50） 其中1及2分别表示初始及终了两状态。

根据式（1-4-48），可得
).1(22
2
2
m m c u -= （1-4-51）
故
.23220
2m
c m dm du = （1-4-52） 将式（1-4-51）、（1-4-52）代入式（1-4-50），得到
,)1(2122122
02
32202
1
dm c dm m
m c dm m c m m E ⎰⎰⎰
=-+=∆ 即
.2mc E ∆=∆ （1-4-53）
此式表明能量的变化与质量的变化之间有简单的关系，它意味着能量与质量本身之间存在着简单的比例关系，即
./12
2
202
c
u c m mc E -=
= （1-4-54）
可见，即使质点没有运动，只要它的静止质量不为零，它就已经具有能量，这个能量与静止质量成正比。

1.5 Minkowski 度规、光锥的概念
根据前面的讨论，相对论的时间、距离是相对的，同时性也是相对的，但两事件的时空间隔却有绝对意义。

Minkowski 有句名言：。