广义相对论_第1章

第一章狭义相对论1.1 经典物理学的时空观时间和空间是物质的基本属性，如果我们仔细分析一下这两个概念就会发现，时间概念来自于事物运动变化的顺序性；空间概念则来自于物质实体的广延性。

显然，没有物质的存在，就不会有抽象的位置排列、运动和变化，时间和空间的概念也就失去了存在的前提了。

可是，20世纪之前的经典物理学（牛顿力学）却认为时间和空间与运动着的物质没有任何联系，它们是先验地存在的。

只是在建立了相对论以后，人们才认识到时间和空间与运动着的物质密切相关。

经典时空观首先由牛顿提出，在他1687年发表的名著《自然哲学的数学原理》中，对绝对时间和绝对空间是这样表述的：“绝对的、真正的、数学的时间，本质上是一种与外界物体无关的匀速流动。

”“绝对的空间，本质上是与外界无关的，是同一的和静止的、不动的。

”因此，经典时空观又叫牛顿时空观，或者绝对时空观。

有了绝对空间，那么惯性系的定义就水到渠成了，只要相对于绝对空间静止或作匀速直线运动的参考系，就是惯性参考系。

从操作的角度，人们无法找到精确的惯性系，只能说地球是一个较好的、常用的惯性系，太阳系是一个更好的适用惯性系，而FK4系是目前所使用的最好的实用惯性系，它选取1535颗星体作为一个体系，把这个体系的平均不动的状态作为参照物。

1.1.1 伽利略变换经典时空观认为时间、空间独立无关，具体反映在不同惯性系之间的变换关系上，就有所谓的伽利略变换。

如图1-1-1，设S和'S是两个惯性参考系，取x轴沿两者的相对速度方向，并且开始时两坐标系的原点重合。

图1-1-1 惯性参考系和伽利略变换牛顿力学告诉我们，此时固连在两个参考系上的坐标系之间应当存在如下的变换关系：.',',','t t z z y y vt x x ===-= （1-1-1）由上面的伽利略变换，很容易得到如下两个结果：,','x x t t ∆=∆∆=∆ （1-1-2）这意味着时间间隔和空间间隔分别与坐标系的选择无关，也就是和物体的任意运动无关，时间和空间在牛顿时空的框架下都是绝对的。

1.1.2 相对性原理1632年，伽利略首先通过实验观察指出，相对于绝对空间作匀速直线运动的任意参考系，力学规律应该是完全相同的，这就是伽利略相对性原理。

具体的情况是，在伽利略变换下，牛顿运动定律的形式应该不变。

设在S 系中牛顿运动定律的形式为,22dtx d m f = （1-1-3） 由伽利略变换可以得出'S 系的量,','dx dx dt dt == （1-1-4）所以有.''2222dtx d dt x d = （1-1-5） 至于质量m 则可用同一个弹簧来度量，设弹簧的弹性系数为k ，伸长为l ∆，此弹性力使待测质量的物体产生加速度。

若测得加速度大小为a ，则物体的质量为.al k a f m ∆⋅== （1-1-6） 因此，质量的度量就化为时间和长度的度量了，既然时间和长度具有绝对性，那么质量就是不变量了，不随参考系的选择而变化m m ='. （1-1-7）由公式（1-1-5）和（1-1-7），我们得到,'''2222dtx d m dt x d m = （1-1-8） 可见，在'S 系中的牛顿运动定律具有和S 系完全相同的形式，具有在伽利略变换下的协变性。

1.2 Maxwell 方程和相对性原理19世纪下半叶，麦克斯韦从介质的弹性理论出发导出了一组电磁场方程，不仅包括了人们熟知的、直观的库仑定律、毕奥-萨伐尔定律、法拉第电磁感应定律等，而且更加完备，也提升了理论的高度，使得电磁理论达到了几近完美的程度。

虽然今天我们知道从介质的振动去推导电磁场方程既不正确也无必要，但麦克斯韦的结论还是完全正确的。

真空中麦克斯韦方程组以电场强度和磁感应强度表示的原始形式为,,0,,0000tB E B J t E B E ∂∂-=⨯∇=⋅∇+∂∂=⨯∇=⋅∇ μεμερ （1-2-1） 其中E 为电场强度矢量，B 为磁感应强度矢量，ρ为电荷密度，00,με分别为真空中的介电常数和真空磁导率。

这组方程反映了一般情况下电荷电流激发电磁场以及电磁场内部运动的规律，在ρ和J 为零的区域，电场和磁场将通过本身的相互激发而运动传播。

电磁场的相互激发是它存在和运动的主要因素，而电荷和电流则以一定的形式作用于电磁场。

Maxwell 方程组可以通过定义电磁四矢和电磁场张量表示成四维张量的更加简单的形式。

由于0=⋅∇B ，令,A B ⨯∇= （1-2-2）则有.0)(=∂∂+⨯∇tA E （1-2-3） 取标势)(tA E ∂∂+-=∇ ϕ，因此 .tA E ∂∂--∇= ϕ （1-2-4） 通过公式（1-2-2）、（1-2-4），我们就把电磁场的电场强度和磁感应强度这些主要性质用矢势和标势表示出来了。

把标势和矢势合成为四维的形式，即电磁四矢，有).,(A ci A ϕμ= （1-2-5） 作变换,','tA A A ∂∂-=→∇+=→ψϕϕϕψ （1-2-6） 有.'','E tA t AB A A =∂∂--∇=∂∂-∇-=⨯∇=⨯∇ϕϕ （1-2-7） 可见，)','(ϕA 与),(ϕA 描述同一电磁场，式（1-2-6）的变换叫电磁势的规范变换。

规范自由度的存在是由于在势的定义式（1-2-2）、（1-2-4）中，只给出了A 的旋度，而没有给出A 的散度。

为了确定A ，必须给定它的散度。

电磁场E 和B 本身对A 的散度没有任何限制，因此作为确定势的辅助条件，我们可以取A ⋅∇为任意的值。

应用最广泛的两种规范条件有库仑规范和洛仑兹规范，它们依次是：,01,02=∂∂+⋅∇=⋅∇tc A A ϕ （1-2-8） 库仑规范中tA E ∂∂--∇= ϕ，此时A 为无源场，因而横场和纵场自然分开为两部分ϕ∇-和tA ∂∂- 。

洛仑兹规范将使势的基本方程化为特别简单的对称形式，这是理论家们喜欢的。

引入标势和矢势后，Maxwell 方程变为,,)1(102022222ερϕμϕ-=⋅∇∂∂+∇-=∂∂+⋅∇∇-∂∂-∇A t J t c A t A c A （1-2-9） 其中用到了200/1c =εμ和)()(2A A A ⋅∇∇+-∇=⨯∇⨯∇。

因此，库仑规范下，Maxwell 方程组变为.)0(,,1102022222=⋅∇-=∇-=∇∂∂-∂∂-∇A J tc t A c A ερϕμϕ （1-2-10）若采用洛仑兹规范，则Maxwell 方程为.)01(,1,120222202222=∂∂+⋅∇-=∂∂-∇-=∂∂-∇tc A tc J tA c A ϕερϕϕμ （1-2-11） 采用电磁四矢的定义（1-2-5），上面（1-2-11）的前两式可合并简写为□μμμJ A 0-=， （1-2-12）其中ρic J =0，ϕc i A =0，□=μμx x tc ∂∂∂∂=∇+∂∂-22221，洛仑兹规范可写为 .0=∂∂μμx A （1-2-13）引入一个反对称四维张量，即四维时空中的电磁场张量,νμμνμνx A x A F ∂∂-∂∂= （1-2-14） 则Maxwell 方程可表示为.,0.0,,,00000tB E B x F x F x F J t E B E J x F ∂∂-=⨯∇=⋅∇⇔=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=⨯∇=⋅∇⇔=∂∂ νλμμνλλμνμνμνμεμερμ （1-2-15） 由Maxwell 方程组出发，很容易得到真空中电磁波的传播速度为常数00εμ=c 。

至此，我们对真空中的麦克斯韦方程组进行了简单的复习，从中我们看到了一个完美对称的形式。

总所周知，物理规律需要用一定的参考系表述出来，在经典力学中我们引入了惯性参考系，并确信力学的基本运动定律对所有惯性系成立。

关于电磁现象，完美的麦克斯韦方程描述的基本规律究竟适用于什么参考系呢？考虑由麦克斯韦方程组导出的波动方程，人们已经认识到电磁波在真空中的传播速度为00εμ=c 。

然而，按照经典时空观念，由伽利略变换认识到，如果物质相对于某一参考系速度为c ，则变换到另一个参考系时其速度就不可能沿各个方向都为c 。

因此，经典力学一切惯性系等价的相对性原理在电磁现象中就不再成立，由电磁现象应该可以确定一个特殊参考系。

1.3 狭义相对论的基本原理寻找这个特殊参考系和确定地球相对于这个参考系的运动，成为了19世纪末物理学的一个重要课题。

当时的科学发展水平已使得精确测量光速成为可能，但多次试验结果都没有发现任何绝对运动的效应，从而迫使人们必须接受在真空中光速相对于任何惯性系都等于c 的结论。

在相对论的建立过程中，人们对电磁场的认识也发生了一个飞跃。

基于经典物理的思想，人们本来对自然现象的认识都带有机械论的局限性，对电磁现象也是这样。

人们认为既然声波、水波等都是在某种介质中的机械振动的传播现象，电磁波也应该是某种充满空间的弹性介质（以太）内的波动现象，以太自然构成了电磁波传播的特殊参考系。

特殊参考系被实验否定的事实以及电磁现象中相对性原理的建立，最终破除了电磁波的机械观，使人们认识到电磁波就是作为物质的电磁场本身的运动形式，而不是在某种“以太”介质内的机械运动现象。

有关光速不变性的实验中，最著名的就是1887年测量光速沿不同方向差异的麦克尔逊-莫莱实验。

图1-3-1 麦克尔逊-莫莱实验装置图1-3-2 光线传播的经典速度合成法则实验装置如图1-3-1所示，由光源S 发出的光线在半反射镜M 上分为两束，一束透过M ，被1M 反射回到M ，再被M 反射而到达目镜T ；另一束被M 反射至2M ，再反射回M 而直接达到目镜T 。

为叙述简单计，设调整两臂长度使有效光程l MM MM ==21。

设地球相对于“以太”的绝对运动速度v 沿1MM 方向，则光线M MM 1与M MM 2的传播时间不同，因而有光程差，在目镜T 中将观察到干涉效应。

用经典速度合成法则可以算出光线M MM 1和M MM 2的传播时间，经典速度合成法则如图1-3-2。

图中v 表示观察者相对于以太的运动速度，u表示观察者参考系中所看到的沿θ方向传播的光速，c是以太参考系的光速。

由图可见,cos 2222θuv v u c ++= （1-3-1）解出u 得.cos sin 222θθv v c u --= （1-3-2）因此，在地球上观察到沿v 方向传播的光速为v c -，逆着v方向传播的光速为v c +，而垂直于v方向传播的光速为22v c -。

因此，光线M MM 1的传播时间为).1(2222221cv c l v c lc v c l v c l t +≈-=++-= （1-3-3） 光线M MM 2的传播时间为).21(2222222c v c l vc lt +≈-= （1-3-4） 两束光的光程差为.22cv l t c ≈∆ （1-3-5）把仪器转动︒90，使两束光位置互换，应该观察到干涉条纹的移动个数为.2222c v l tc λλ≈∆ （1-3-6） 利用多次反射可以使臂长l 达到10米左右。