相似三角形压轴题综合运用(含详解)

教学内容

等腰三角形分类讨论综合

1.理解等腰三角形的性质和判定定理；

2.能用等腰三角形的判定定理进行相关计算和证明；

3.初步体会等腰三角形中的分类讨论思想；

4.体会在函数动点中寻找某些特殊的点形成的等腰三角形；

5.培养学生进行独立思考，提高独立解决问题的能力。

。

例1.如图，在Rt△ABC中，∠BAC= 90°，AB=3，AC=4，AD是BC边上的高，点E、F分别是AB边和AC边上的动点，且∠EDF= 90°．（1）求DE︰DF的值；

（2）设直线DF与直线AB相交于点G，△EFG能否成为等腰三角形？若能，请直接写出线段BE的长；若不能，请说明理由。（★★★★★）

【满分解答】：（1）∵∠BAC= 90°∴∠B +∠C＝90°，

∵AD是BC边上的高∴∠DAC+∠C=90°

∴∠B =∠DAC

又∵∠EDF= 90°

∴∠BDE+∠EDA=∠ADF +∠EDA = 90°

∴∠BDE =∠ADF

∴△BED∽△AFD ∴

DE BD

DF AD

=

∵

3

cot

4

BD AB

B

AD AC

===∴DE︰DF =

3

4

（2）若△EFG为等腰三角形，根据点G的不同位置分两大类讨论：

例1题图

B C

D

E

F

A A A

90 90

90，所以该情况下只可能但该情况下不能直接求解出，则画底边上的高（点G作

∴x

y -=

28

…………………………1分 定义域是：20<

（3）解：①当PN PM =时，

∵DC PM // ∴

PN

DN

PM DC =

∴DN DC = 由（2）知：4=PD ，2=DC

∴2=-==DN PD PN PM ………………2分

②当MN MP =时，

∵△ADP ∽△CPB ，4==BC PC 易得：82===PD AD AP 易证：AD MN //

即：四边形AMCD 是平行四边形

∴2==AM DC

∴6=-=AM AP PM …………………………2分 （ 注：当NP NM =时不存在）

动点产生的直角三角形

6.理解直角三角形的性质；

7.能用直角三角形的性质解决相关问题；

8.培养学生分类讨论的思想，并体验动态思维过程； 9.培养学生分析问题、解决问题的能力。

A

P

D C

B

M

N

A

P

D C

B

M

N

练习 1.在ABC ∆中，5==AC AB ，8=BC ，点P 、Q 分别在边CB 、AC 上（点P 不与点C 、点B 重合），且保持ABC APQ ∠=∠。

（1）若x BP =，y CQ =，求y 与x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域； （2）当CPQ ∆ 为直角三角形时，求点P 、B 之间的距离。

【满分解答】：

（1）∵BAP B CPQ APQ ∠+∠=∠+∠，ABC APQ ∠=∠， ∴CQP BAP ∠=∠.

又∵AC AB =，∴C B ∠=∠. ∴QCP ∆∽ABP ∆. ∴

AB

CP

BP CQ =

. ∵x BP =，8=BC ， ∴x BP BC CP -=-=8，

又∵y CQ =，5=AB ，∴ 58x x y -=

，即x x y 58

512+-=. 故所求的函数关系式为x x y 5

8

512+-=，)80(<

（2）①当90CQP ∠=时：如图1， ∴90QAP APQ APQ C ∠+∠=∠=∠， ∴90QAP C ∠+∠= ，则AP BC ⊥ ∴点P 为BC 中点，则4BP = ②当90CPQ ∠=时：如图2， ∵B C APQ ∠=∠=∠

∴90BAP CPQ ∠=∠= ∴4cos 5AB B BP

∠=

=

，解的25

4BP = ③当90C ∠=时，不成立。

综上可得，当CPQ ∆ 为直角三角形时，4BP =或25

4

BP =

。

（图1） （图2）

【备注】：本部分总结解题方法和策略，师生共同总结，大概5分钟左右。

动点产生的直接三角形问题的解题方法和策略：

1.寻找题目中的已知量；

2.观察能否利用“特殊点”、“交点”求解； 3如不能，则利用勾股定理解答；

4.注意：分类讨论，部分题目利用好锐角三角比。

1.已知△ABC 为等边三角形，AB =6，P 是AB 上的一个动点（与A 、B 不重合），过点P 作AB 的垂线与BC 相交于点D ，以点D 为正方形的一个顶点，在△ABC 内作正方形DEFG ，其中D 、E 在BC 上，F 在AC 上。（满分10分，3分+7分）

（1）设BP 的长为x ，正方形DEFG 的边长为y ，写出y 关于x 的函数解析式及定义域； （2）△GDP 是否可能成为直角三角形？若能，求出BP 的长；若不能，请说明理由。 （★★★★★）

【满分解答】：（1）∵△ABC 为等边三角形，

∴∠B=∠C =60º，AB=BC=AC=6. ∵DP ⊥AB ，BP=x ，

∴BD=2x . ...............................................1分

又∵四边形DEFG 是正方形，