高阶系统的时域分析(课程设计)

课程设计任务书

学生姓名： 专业班级： 指导教师： 肖 纯 工作单位： 自动化学院 题 目: 高阶系统的时域分析 初始条件：设单位系统的开环传递函数为2

()

()(48)()

p K s b G s s s s s a +=+++

要求完成的主要任务: （包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求）

（1） 当K=10，a=1，b=4时用劳斯判据判断系统的稳定性。

（2） 如稳定，则求取系统的单位阶跃响应、单位斜坡响应和单位加速度响应，用

Matlab 绘制相应的曲线，并计算单位阶跃响应的动态性能指标和稳态性能指标，计算单位斜坡响应和单位加速度响应的稳态性能指标。

（3） 如不稳定，则计算系统稳定时K 、a 和b 的取值范围，在稳定范围内任取一值

重复第2个要求。

（4） 绘制a=1，b=4时系统的根轨迹。

时间安排：

指导教师签名： 年 月 日

系主任（或责任教师）签名： 年 月 日

目录

1 高阶系统的数学模型 (1)

2 系统稳定性分析 (1)

3 高阶系统的时域分析 (3)

3.1 单位阶跃响应 (4)

3.1.1 求单位阶跃响应 (4)

3.1.2 单位阶跃响应动态性能 (7)

3.1.3 单位阶跃响应稳态性能 (9)

3.2 单位斜坡响应 (10)

3.2.1 求单位斜坡响应 (10)

3.2.2 单位斜坡响应稳态性能 (11)

3.3 单位加速度响应 (11)

3.3.1 求单位加速度响应 (11)

3.3.2 单位加速度响应稳态性能 (13)

4 系统根轨迹 (13)

5 设计心得体会 (15)

参考文献 (15)

高阶系统的时域分析

1 高阶系统的数学模型

一个高阶系统的闭环传递函数的一般形式为：

10111011()(),()m m m m

n n n n

b s b s b s b C s s m n R s a s a s a a ----++++Φ==≤++++

对分子、分母进行因式分解，得到零极点形式：

11

()

()

()()

()

m

i i n

j

j K s z C s s R s s p ==-Φ=

=-∏∏ (1)

式(1)中，K=b 0/a 0；z i ,p j 分别为系统闭环零、极点。

本设计给定的单位反馈系统的开环传递函数为

2

()

()(48)()p K s b G s s s s s a +=+++ (2) 则其闭环传递函数为（假设为负反馈）：

2432()()

()(48)()()(4)(84)(8)K s b K s b s s s s s a K s b s a s a s a K s Kb

++Φ==++++++++++++ (3)

2 系统稳定性分析

线性系统稳定的充分必要条件为：闭环系统特征方程的所有根均具有负实部；或者说，闭环传递函数的极点均位于s 左半平面。

若求出闭环系统特征方程的所有根，就可判定系统的稳定性。但对于高阶系统来说，求特征方程根很困难，并且不易对参数进行分析。现使用一种不用求解特征根来判别系统稳定性的方法—劳斯稳定判据。

设系统的特征方程为10110()0,0n n n n D s a s a s a s a a --=++++=>，则可列出劳斯表如

表1所示。

表1 劳斯表

n s

1n s -

2

n s -

3

n s

-

…

2s 1s 0s

按照劳斯稳定判据，系统稳定的充分必要条件为：劳斯表中第一列各值均为正。否则系统不稳定，且第一列各系数符号改变次数即为特征方程正实部根的数目。

当K=10，a=1，b=4时，代入式(3)得到系统闭环传递函数

40

18125)

4(10)(2

34+++++=

Φs s s s s s 则系统的闭环特征方程为：D(s)=s 4+5s 3+12s 2+18s+40=0. 按劳斯判据可列出如下劳斯表：

4s 1

12

40

3s 5

18 0 2s 542 40

0 1s 21122

- 0

0s

40

由于劳斯表第一列数值符号有两次变化，故系统不稳定，且存在2个正实部根。现继续用劳斯稳定判据求原给定系统稳定时K ，a ，b 的取值范围。

原给定系统的闭环特征方程为：D(s)=s 4+(4+a)s 3+(8+4a)s 2+(8a+K)s+Kb=0，按劳斯判据可列出如下劳斯表：

4s 1 84a + Kb

3s 4a + 8a K +

2

s

a

K a a a ++-++4)

8()48)(4(

Kb 0

1

s

)

8()48)(4()4()8)](8()48)(4[(2

K a a a a Kb K a K a a a +-+++-++-++

0 0

0s Kb

根据劳斯稳定判据，令劳斯表中第一列各元素为正，即：

2

40

(4)(84)(8)0

4[(4)(84)(8)](8)(4)0(4)(84)(8)0

a a a a K a a a a K a K K

b a a a a K Kb +>⎧⎪++-+⎪>+⎪

⎨++-++-+⎪>⎪++-+⎪

>⎩ 即K 、a 和b 必须满足：

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧>>--+-++-++>-++>+001632)88256()4128(320

32164042

232

Kb K Kb K a Kb K a Kb K a K a a a (4) 系统才稳定。

3 高阶系统的时域分析

取K=15，a=2，b=2时系统闭环传递函数

4322

15(2)15

()6163130(3)(5)s s s s s s s s s +Φ==+++++++ (5) 分析，此时K 、a 、b 的值满足不等式组(4)，系统稳定。