微积分 傅里叶级数

的表达式为
f
(
x)
=
⎧0
⎨ ⎩
x
− π ≤ x < 0, 0 ≤ x <π.
将 f ( x) 展开成傅立叶级数。
解 函数 f ( x)满足收敛定理的条件，点 x = (2k + 1)π
(k = 0, ±1, 2,") 是它的第一类间断点，因此相应的傅立
叶级数在这些点收敛到
1 2
⎡⎣
f
( −π
+
0) +
π0
nπ
0
⎧2
=
1
nπ
⎡⎣1+
(
−1)n
−1
⎤ ⎦
=
⎪ ⎨
nπ
⎪⎩ 0
n = 1,3,5,", n = 2, 4,6,".
将求得的系数代入⑻式，即有
f
(
x
)
=
1 2
+
2
π
⎢⎣⎡sin
x
+
1 3
sin
3x
+
"
+
1 2k −
sin 1
(
2k
−
1)
x
+
"⎤⎥⎦
x ≠ kπ .
例2 设 f ( x) 是周期为2π 的周期函数，它在 [−π ,π ] 上
第三单元 傅立叶级数
本单元内容要点
本单元讨论如何将一个周期函数展开成三角级数的方 法, 以及展开成正弦级数湖余弦级数的方法.
本单元教学要求
理解三角函数系及三角函数系正交性的意义, 掌握傅
立叶系数的计算方法, 掌握将周期为2π , 2l 的函数展开
成傅立叶级数的方法, 及收敛性的讨论, 掌握将一般函数 在所给定义域上展开成傅立叶级数的方法, 以及展开成 正弦级数与余弦级数的方法.
⑵在一个周期内，至多只有有限多个极值点，
则 f ( x) 的傅立叶级数收敛，并且
当x是f ( x) 连续点时，级数收敛于 f ( x),
( ) ( ) 当
x是
f
(
x)
的间断点时，级数收敛于
1 2
⎡⎣
f
x−
+f
x+ ⎤⎦.
上面定理的具体意义是下面的关系
∑ a0
2
+
∞
( an
n =1
cos nx
+ bn sin nx)
∑ a0
2
+
∞ n =1
⎛ ⎜⎝
an
cos
nπ
l
x + bn sin
nπ
l
x
⎞ ⎟⎠
⑴
在每点收敛，且当 x为连续点时，它收敛到 f ( x)，当 x
是
f
( x) 的间断点，它收敛到 1
2
⎡⎣
f
( x− )
+
f
( x+ )⎤⎦ ,
其中
∫ an
=1 l
l −i
f ( x)cos nπ
l
xdx
∫ bn
=1 l
π
X π
2
-2
y = Asin (ωt + ϕ )
就是一个以 2π 为周期的正弦函数。 ω
值得注意的是：并非 所有的周期过程都能
Y 2
y
=
2sin
⎛ ⎜⎝
3x
+
π
3
⎞ ⎟⎠
用简单的正弦函数来 1
表示. 例如矩形波就
−π
不是正弦波.
−π 2 -1
π
X π
2
-2
下图中的矩形波可用下式表示
⎧
⎪0
f
(t)
若令 a0 2
=
A0 , an
=
An sinϕn ,bn
=
An cosϕn ,ωt
=
x,
并记
f
(
x)
=
F
⎛ ⎜⎝
x
ω
⎞ ⎟⎠
=
F
(t
)
,
则⑵式可改为
∑ f
(x)
=
a0 2
+
∞
( an
n =1
cos nx
+
bn
sin nx).
⑶Hale Waihona Puke Baidu
一般，形如⑶的级数称为三角级数。
三角函数系
1,cos x,sin x,cos 2x,sin 2x,"cos nx,sin nx," ⑷
,
即
1+
1 32
+
1 52
+"+
1
(2n −1)2
+"=
π2
8
.
⑼
令
1+ 1 + 1 +"+ 1 +"=σ,
22 32
n2
则
1 + 1 + 1 +"+ 1 +"
22 42 62
( 2n )2
=
1 4
⎛⎜⎝1
+
1 22
+
1 32
+"+
1 n2
+ "⎞⎟⎠
=
σ
4
,
上两式相减得
π2
8
=1+
1 32
+
1 52
k −n
⎥ ⎦−π
= 0.
相仿地可以证明其它几个等式。
另外，在三角函数系⑷中，两个相同函数的乘积在区
间[−π ,π ]上的积分分别为
∫π 12 dx = 2π , −π
∫ ∫ π sin2 nxdx = π cos2 nxdx = π
−π
−π
(n = 1,2,").
2.函数展开成傅立叶级数
设 f ( x) 是周期为2π 的周期函数，且能展开成三角级
+" +
1
(2n − 1)2
+"
=
3σ,
4
于是有
σ
=1+
1 22
+
1 32
+"+
1 n2
+"=
4 3
⋅π2
8
=
π2
6
,
进而有
1 22
+
1 42
+
1 62
+"+
1
( 2n )2
+"=
σ
4
=
π2
, 24
⑽
再由⑼式减去⑽式，得
1−
1 22
+
1 32
−
1 42
+"+
1
(2n −1)2
−
+
1 "=
( 2n )2
我们知道：若干个不同频率的简谐震动叠加起来可以
合成一个复杂的周期运动：
A0 + A1 sin (ωt + ϕ1 ) + A2 sin (2ωt + ϕ2 ) + "
+ An sin (nωt + ϕn ).
⑴
如此就提出了这样的问题：对于一般的周期为T
⎛ ⎜⎝
=
2π ω
⎞ ⎟⎠
的函数 F (t ) 能否用一系列以 T为周期的正弦函数
⎧ f (x)
=
⎪ ⎨1 ⎪⎩2
⎡⎣
f
(
x−
)
+
f
(
x+
)⎤⎦
当x是f ( x)的连续点，
⑻
当x是f ( x)的间断点.
例1 设 f ( x) 是周期为2π 的周期函数，它在 [−π ,π ] 上
的表达式为
f
(
x
)
=
⎧0 ⎨⎩1
− π ≤ x < 0, 0 ≤ x <π.
把 f ( x) 展开成傅立叶级数。
有
∫ bn
=
1
π
π
f (x)sin nxdx
−π
(n = 1, 2,").
由于当 n = 0时，an 的表达式与 a0一致，因此上面的结
果可合并成
∫ an
=
1
π
π
f (x) cos nxdx
−π
∫ bn
=
1
π
π
f (x)sin nxdx
−π
(n
=
0,1, 2,"),⎫⎪⎪
⎬
⑹
(n = 1, 2,").
y
π
−2π −π o π 2π x
=
1
n2π
cos nx
π 0
=
1
n2π
⎡⎣( −1)n
− 1⎤⎦
(n = 1,2,"),
∫ ∫ bn
=
1
π
π f (x)sin nxdx = 1
−π
π
π
x sin nxdx
0
∫ = − 1 x cos nx π + 1
π
cos nxdx
nπ
0 nπ 0
= (−1)n−1 (n = 1, 2,").
∫ ∫ a0
=
1
π
π f (x)dx = 2
−π
π
π xdx = π ,
0
∫ ∫ an
=
1
π
π f (x) cos nxdx = 2
−π
π
π
x cos nxdx
0
∫ = 2 x sin nx π − 2
π
sin nxdx
nπ
0 nπ 0
( ) = 2 cos nx π = 2
n2π
0 nπ
(−1)n −1
∫ ∫ a0
=
1
π
π f ( x) dx = 1
−π
π
π
dx = 1,
0
∫ an
=
1
π
π
f (x) cos nxdx
−π
∫ = 1
π
cos nxdx =
1 sin nx π = 0, (n = 1,2,"),
π0
nπ
0
∫ bn
=
1
π
π
f (x)sin nxdx
−π
∫ = 1 π sin nxdx= −1 cos nx π
=
⎪ ⎨
⎪⎩⎪1
t
∈
⎡⎛ ⎢⎣⎜⎝
k
−
1 2
⎞⎟⎠T ,
kT
⎠⎞⎟ ,
t
∈
⎡ ⎢⎣kT
, ⎝⎜⎛
k
+
1 2
⎟⎠⎞T
⎞ ⎟, ⎠
y
k ∈Z.
1
−T − T o T T t
2
2
可以看到，函数 f (t )是由无穷多段构成的分段函数，该
函数有无穷多个第一类的间断点. 问题是：能否用一些
处处可导的周期函数去逼近 f (t ) 呢？
−π
∫π sin kx ⋅ sin nxdx = 0
(k, n = 1,2,", k ≠ n).
−π
例如当k ≠ n 时，
π
∫ cos kx ⋅ cos nxdx −π
=
1 2
π
∫−π
⎡⎣cos
(k
+
n)
x
+
cos
(
k
−
n
)
x⎤⎦
dx
=
1 2
⎡sin (k
⎢ ⎣
k+
+ n
n)
x
+
sin (k − n) ⎤π
An sin (nωt + ϕn ) 组成的函数项级数来表示，即
∞
F (t ) = A0 + ∑ An sin (nωt + ϕn ).
⑵
n =1
其中 A0, An,ϕn (n = 1, 2,3,")都是常数。
由三角公式
An sin(nωt +ϕn ) = An sinϕn cosnωt + An cosϕn sin nωt,
解 将函数作 R上延拓，使之成为周期是2π 的周期函数.
记新函数为ϕ ( x).注意到ϕ ( x)为连续函数，故在[−π ,π ] 上，傅立叶级数点点收敛到 f ( x).
y
π
f (x)
−π O π x
y
π
ϕ(x)
−2π −π O π 2π x
因函数 f ( x) 在区间[−π ,π ] 上为偶函数，故
数：
∑ f
(x)
=
a0 2
+
∞
( an
n =1
cos nx
+
bn
sin nx),
⑸
并进一步地假设级数⑸可以逐项积分。
对⑸式作下面的积分，并注意到函数系⑷的正交性， 我们有
∫ ∫ π f ( x) dx = π a0 dx +
−π
−π 2
∑( ∫ ∫ ) ∞
π
π
n =1
an
−π cos nxdx + bn
l −i
f
( x)sin nπ
l
xdx
(n = 0,1, 2,"),⎫⎪⎪
⎬
(n
=
1,
2, 3,") .
⎪ ⎪⎭
⑹式称为函数 f ( x)的傅立叶系数公式，将这些公式代
入⑸式右端，所得的三角级数
∑ a0
2
+
∞
( an
n =1
cos nx
+ bn sin nx)
称为函数 f ( x) 的傅立叶级数。
定理（收敛定理） 设函数 f ( x) 是周期为2π的周期函
数，如果它满足：
⑴在一个周期内连续或只有有限多个第一类间断点；
本单元重点和难点
重点: 将函数展开成相应的傅立叶级数. 难点: 收敛性的讨论 教学时数: 6课时.
一、傅立叶级数
1.周期运动和三角级数
周期运动是自然界
中广泛存在的一种运
动形态，对周期运动
可用周期函数来近似
−π
描述。例如反映简谐
震动的函数
Y 2
y
=
2sin
⎛ ⎜⎝
3x
+
π
3
⎞ ⎟⎠
1
−π 2 -1
解 所给函数满足狄里克雷充分条件，点 x = kπ是它的
第一类间断点(k = 0, ±1, ±2,"),
y
其它点均为连续点，因此
函数 f ( x)在点 x = kπ 处
1
−2π −π o π 2π x
收敛到 1 (0
2
+ 1)
=
1 (1+
2
0)
=
1 ,
2
在其余点收敛到
f
(x),
相应的傅立叶系数为：
(n = 1,2,"),
∫ b n
=
1
π
π
x sin nxdx = 0,
−π
(n = 1,2,"),
从而得到
f
(x) =
x
=π
2
∑ −
4
π
∞ n =1
1
(2n −1)2
cos ( 2n
− 1)
x,
将 x = 0 代入上式，得
(−π ≤ x ≤ π ).
∑ 0
=
π
2
−
4
π
∞ n =1
1
(2n −1)2
f
(π
−
0)⎤⎦
=
π
2
,
在其余点收敛到 f ( x)（. 见下图）
∫ ∫ a0
=
1
π
π f ( x) dx = 1
−π
π
π xdx = π ,
0
2
∫ ∫ an
=
1
π
π f (x) cos nxdx = 1
−π
π
π
x cos nxdx
0
∫ = 1 xsin nx π − 1
π
sin nxdx
nπ
0 nπ 0
π −π
sin
kx
cos
nxdx
⎤ ⎥⎦
,
再由三角函数系⑷的正交性，上式为
∫ ∫ π −π
f
( x)cos nxdx = an
π −π
cos2
nxdx
=
anπ
,
于是有
∫ an
=
1
π
π
f (x) cos nxdx
−π
(n = 1, 2,").
类似地，用sin nx 乘⑸式两端，再从 −π 到π 逐项积分,
在区间[−π ,π ] 是正交函数系，即
∫ ∫ π
π
1⋅ cos nxdx = 1⋅ sin nxdx = 0
(n = 1,2,"),
−π
−π
∫π sin kx ⋅ cos nxdx = 0
(k, n = 1,2,"),
−π
∫π cos kx ⋅ cos nxdx = 0
(k, n = 1, 2,", k ≠ n),
sin nxdx
−π
∫= π a0 dx = a0 2π ,
−π 2
2
从而得
∫ a0
=
1
π
π f ( x) dx.
−π
用cos nx 乘⑸式两端，再从 −π 到π 逐项积分，有
∫ ∫ π
f ( x)cos nxdx = a0
π
cos nxdx
−π
2 −π
∑ ∫ ∫ +
∞ k =1
⎡ ⎢⎣
ak
π
−π cos kx cos nxdx + bk
n
从而函数 f ( x) 的傅立叶级数为
∑ f
(x)
=
π
4
+
∞ ⎡(−1)n −1
⎢ n=1 ⎢⎣
n2π
cos nx +
( −1)n −1
n
⎤ sin nx⎥ ,
⎥⎦
x ≠ (2k −1)π (k = 0,±1,±2,").
例3 把函数 f ( x) = x ( x ∈[−π ,π )] 展开成傅立叶级数.
π2
12
.
二、周期为 2l 的周期函数的傅立叶级数
在上一节中我们讨论的是周期为2π 的周期函数的傅 立叶级数，但实际问题中更多周期函数的周期并不是 2π ,
本节在上节的基础上，处理一般周期函数展开成傅立叶 级数及相应的收敛性问题.
定理 设周期为2l 的周期函数 f ( x) 满足狄里克雷充分
条件，则 f ( x) 的傅立叶级数