数理统计论文

数理统计在实际生活中的应用

摘要：数理统计学是统计学的数学基础，从数学的角度去研究统计学，为各种应用统计学提供理论支持。它研究怎样有效地收集、整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的问题做出推断或预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议的数学分支。概率论作为一门研究随机现象统计规律的数学学科，已在包括控制，通讯，生物，力学，金融，社会科学以及其他工程技术等领域得到了广泛的应用。

关键词: 点估计;方差分析;假设检验;

1 绪论

数理统计在自然科学、工程技术、管理科学及人文社会科学中得到越来越广泛和深刻的应用，其研究的内容也随着科学技术和政治、经济与社会的不断发展而逐步扩大，但概括地说可以分为两大类：⑴试验的设计和研究，即研究如何更合理更有效地获得观察资料的方法；⑵统计推断，即研究如何利用一定的资料对所关心的问题作出尽可能精确可靠的结论，当然这两部分内容有着密切的联系，在实际应用中更应前后兼顾。但按本专业的总体设计，我们的数理统计课程只讨论统计推断。数理统计以概率论为基础，根据试验或观察得到的数据，来研究随机现象统计规律性的学科。本课程的目的是让学生了解统计推断检验等方法并能够应用这些方法对研究对象的客观规律性作出种种合理的估计和判断。掌握总体参数的点估计和区间估计。掌握假设检验的基本方法与技巧。理解平方差分析及回归分析的原理，并能运用其方法和技巧进行统计推断。

数理统计是伴随着概率论的发展而发展起来的一个数学分支，研究如何有效的由集、整理和分析受随机因素影响的数据，并对所考虑的问题作出推断或预测，为采取某种决策和行动提供依据或建议.

数理统计起源于人口统计、社会调查等各种描述性统计活动.公元前2250年，大禹治水，根据山川土质，人力和物力的多寡，分全国为九州；殷周时代实行井田制，按人口分地，进行了土地与户口的统计；春秋时代常以兵车多寡论诸侯实力，可见已进行了军事调查和比较；汉代全国户口与年龄的统计数字有据可查；明初编制了黄册与鱼鳞册，黄册乃全国户口名册，鱼鳞册系全国土地图籍，绘有地形，完全具有现代统计图表的性质.可见，我国历代对统计工作非常重视，只是缺少系统研究，未形成专门的著作.

在西方各国，统计工作开始于公元前3050年，埃及建造金字塔，为征收建筑费用，对全国人口进行普查和统计.到了亚里土多德时代，统计工作开始往理性演变.这时，统计在卫生、保险、国内外贸易、军事和行政管理方面的应用，都有详细的记载.统计一词，就是从意大利一词逐步演变而成的.

2 数理统计的方法

（一）点估计

1、点估计概念

点估计是数理统计理论的一个重要内容，主要包括制定估计量得一般方法，制定估计量的合理的优良性准则，寻求特定准则下的最优估计，记明特定估计量（用直观或某种一 般性方法得到）在某种准则之下有最优性。

设总体ξ的分布函数为，其中参数为未知，

，为参数空间，今由样本

建

立统计量

，对于样本观察值

，若将

作为的估计值，则称

为的估计量，通常记做

。建立一个这样的统计量

作为的估

计量，称之为参数的点估计。 2、 点估计的优良性 以下定义参数的估计量

（1）无偏性

无偏性体现了一种频率思想，只有在大量重复使用时，无偏性才有意义。 任意

有

,则称是的无偏估计量或无偏估计。

几个常用的无偏估计量，要记住：无论服从什么分分布，是样本方差，只要 及

是有限的，则

1

1n

i i n

ξξ==∑，2*221

1()11n

i i nS S n n ξξ==

=---∑ 分别为及的无偏估计量。推导方法如下：

,其中

则

《应用统计及其工程应用》课程论文

（2）有效性

其意义是：用估计时，除无系统偏差外，还要求估计精度更高。若有的两个无偏估计与，如果，则称比有效。

（3）相合性

相合性和样本的容量有关，是在极限的意义下引进的，适用于大样本情形，当样本容量n 越大时，总体的信息量增加，该估计也越精确越可靠，特别是当样本容量趋于无穷大时，估计值将与参数真值几乎完全一致。相合性能在兼顾无偏性和离散性（方差的大小）两者的情况下建立“最优估计量”。

点估计的优点是能较准确地给出未知参数大致值，缺点是不能反映出未知参数估计值的可信程度。参数点估计常用的三种方法是：矩法、极大似然方法和最小二乘法。

（二）方差分析

方差分析是通过实验数据对影响产品的质量、产量的多个可控因素做统计分析，分清因素的主次及水平组合形式，求最优组合，以提高产品质量、产量的一种数值分析方法．

1、单因素方差分析。

设影响指标的因素仅有一个，设为因素，该因素有个水平（状态）A1，A2，…，A a，在第个水平下，分别作次实验，，其样本值，，或．（1）方差分析主要解决

1°（各水平下的均值相等）

：至少有一对均值不相等，.

其方法是若组间（各水平）平方和大，组内（随机误差）平方和小，即值大，可拒绝，否则接受，表明因素影响不显著．

2°估计及方差．

(2)对样本值,共有个样本值，总体均值

《 应用统计及其工程应用 》课程论文

，即所有试验数据之和）,

,又表示第个水平下的样本值

之和，

,表示第水平下的样本均值，则

,或

.

2、统计分析 由,得

①2T

S σ~()21n χ-；

②令

S i ＝()

2

111i

n ij i

j i

x x n =--∑，则()

2

21

1

n

ij i

j x x σ=-∑~()2

1i n χ-．

由2χ-分布的可加性，得

2

E

S σ~2χ()

1

1a

i

i n =⎛⎫-

⎪⎝⎭

∑＝()2n a χ-； ③ S E ＝S T －S A ，由2χ-分布的可加性，得

2

A

S σ~()()21n n a χ---⎡⎤⎣⎦

＝()2

1a χ- 从而 F ＝()()22

/1/A

E

S a S n a σσ

--~()1,F a n a --

对，拒绝域为

,又由,得

方差的无偏估计量为.

（三）假设检验

假设检验的主要内容有：一个正态总体的假设检验、两个正态总体的假设检验以及分布律的假设检验.

假设检验的基本方法 (1) 提出待检验的假设

它可能有以下几个来源：① 依据以往的经验或某些实验的结果；② 依据某种理论或某种模型；③ 根据事先所做的某种规定.

(2)选择检验假设的统计量，并确定其分布，再根据样本观测值计算出该统计量的值. (3)确定拒绝域并作出判断 在给定的检验水平(或显著性水平)

下，查所选统计量服从的分布表，求出临界值，然