均值不等式专题论文

均值不等式的简介（共五篇）

均值不等式的简介（共五篇）第一篇：均值不等式的简介1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n4、平方平均数：Qn=√(a1^2+a2^2+...+an^2)/n 这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn 的式子即为均值不等式。

目录均值不等式的一般形式：设函数D(r)=[（a1^r+a2^r+...an^r）/n]^(1/r)(当r不等于0时);(a1a2...an)^(1/n)(当r=0时）（即D(0)=(a1a2...an)^(1/n)）则有：当r 注意到Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)由以上简化，有一个简单结论，中学常用2/(1/a+1/b)≤√ab≤(a+b)/2≤√[(a^2+b^2)/2]编辑本段均值不等式的变形(1)对实数a,b，有a^2+b^2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)，a²+b²>0>-2ab(2)对非负实数a,b，有a+b≥2√(a×b)≥0，即(a+b)/2≥√(a×b)≥0(3)对负实数a,b，有a+b(4)对实数a,b，有a(a-b)≥b(a-b)(5)对非负实数a,b，有a²+b²≥2ab≥0(6)对实数a,b，有a²+b²;≥1/2*(a+b²)≥2ab(7)对实数a,b,c，有a²+b²+c²≥1/3*(a+b+c²;(8)对实数a,b,c，有a²+b²+c²≥ab+bc+ac(9)对非负数a,b，有a²+ab+b²≥3/4*(a+b)²;(10)对实数a,b,c，有(a+b+c)/3≥(abc)^(1/3)均值不等式方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。

平均值不等式及其应用

平均值不等式及其应用摘要：平均值不等式在不等式理论中处于核心地位，是现代分析数学中应用最广泛的不等式之一. 本文总结性地介绍了平均值不等式的几种具有代表性的证明方法，包括逆向归纳法、马克罗林的替代法、概率论方法、泰勒公式、不等式证明等，并归纳总结了其在不等式证明、求函数极值和最值、判断数列及级数的敛散性、解决积分不等式问题、比较大小等各方面应用，为今后此类问题的研究提供了便利，为解决其他不等式的证明提供了帮助.关键词：平均值不等式；数学归纳法；泰勒公式；应用Mean Value Inequality and its Application Abstract：The mean value inequality is of great importance in inequalities, and it is one of the most widely used inequality in modern analytical mathematic. In this paper ,we summarize several typical proof methods of the mean value inequality, including mathematic induction, Mark Rollin's alternative method, probability theory method, Taylor formua, inequality method. Furthermore, we introduce some applications of the mean value inequality through examples. It can use in proving inequalities, judging the divergence of certain sequences and the progression, and solving the integral inequality question, as well as seeking the extreme value of function and so on.Key words：mean value inequality；mathematic induction；Taylor formula；application1．引言平均值不等式在不等式理论中处于核心地位，是数学中最重要的基本不等式12之一，也是人们最为熟悉的不等式，因此，它在数学的很多领域中都有着广泛的应用.平均值不等式是数学分析中解决许多极限问题以及其他应用问题的一个重要依据，特别是算术-几何平均值不等式的应用更是尤为广泛，许多极限问题的证明都要应用到这一不等式.2．平均值不等式下面介绍一下平均值不等式：考虑n 个正数n a a a ,,,21 的算术平均(n A )和几何平均(n G )：∑==ni i n a n A 11， n n n a a a G 21=平方平均(n Q )和调和平均(n H )：n a a a Q n n 22221+++= ，nn a a a nH 11121+++= 平均值不等式：n n n n Q A G H ≤≤≤，即22212121121111nnn n i i na a a na a a a n n a a a =+++≤≤≤+++∑ .其中当且仅当n a a a === 21时等号成立.3．平均值不等式的证明关于平均值不等式的证明方法，常见的有利用数学归纳法及詹生不等式的证明，下面介绍几种另外的证明方法.在介绍第一种证明方法之前，首先介绍一下逆向归纳法的证明思路. 逆向归纳法：设有一个与自然数n 有关的命题，如果(1) 命题对于无穷多个自然数成立；(2) 假设命题对n =k 时成立，得出命题对n =k-1时也成立；那么这个命题对于一切自然数n 都成立.3证法一[2]（逆向归纳法）证明 i) 首先证明命题对一切2(1,2,)k n k == 成立. 当2n =时，12122a a a a +≥，命题成立；当4n =时，有不等式：2234121234()()22a a a a a a a a ++≤⋅ 2341222a a a a ++⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭43412412342224a a a a a a a a ++⎛⎫+ ⎪+++⎛⎫≤=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭，即命题成立. 同理推出命题对3428,2,,2s n n n ==== 都成立(s 为任意自然数)，所以命题对无穷多个自然数成立.ii) 设命题对n k =成立，令 12k k a a a S k +++=，12111k k a a a S k --+++=- ，由上式立即得：12111k k k a a a S S k---++++= .由归纳假设得：121111211kk k k k k k a a a S Sa a a S k -----++++⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，即 11121k k k S a a a ---≥ . 故12111211k k k a a a a a a k ---+++≥- ，从而命题对1n k =-也成立.综合i)、ii)，由反归纳法原理知，命题对一切自然数n 都成立.证法二[2] (马克罗林的替代法证明)证明我们保持12a a s +=和不变，以122a a +分别代替1a 和2a ，这时两个数122a a +的和仍然是s ，但两个数的积却增加了，即有21212()2a aa a +≥，实际上两个数的算术平均值大于几何平均值，且当两个数相等时等号成立.现在变动诸数12,,,n a a a ，但保持它们的和12n a a a s +++= 不变，这时乘4积12nn a a a 必须在12n a a a === 时取极大值，因为只要i j a a ≠，我们用2i ja a +分别代替i a 和j a ，这时和12n a a a s +++= 仍然不变，但它们的乘积却增加了，即有：121222i ji jn i j n a a a a a a a a a a a a ++>当且仅当12n a a a === 时，1212nn n a a a a a a n+++= .故1212n nn a a a a a a n+++≥ ，即命题成立.注：这个证明方法是由苏格兰科学家马克罗林给出的，所以我们称其为马克罗林替代法.证法三[3] (概率论证明方法) 证明设1()i P a nξ==，(0,1,2,,)i a i n >= ，则 111()()nni i i i i E a P a a n ξξ===⋅==⋅∑∑ 11n i i a n ==∑.所以 2211()n i i E a n ξ=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑.又由公式得：222211111()()nnn i i i i i i i E a P a a a n n ξξ====⋅==⋅=∑∑∑，而22()()E E ξξ≤，所以221111n n i i i i a a n n ==⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑∑ ，即 21111n n i i i i a a n n ==≤∑∑. (1) 由公式11111(ln )ln ()ln ln nnni i i i i i i E a P a a a n n ξξ====⋅==⋅=∑∑∑，511ln()ln n i i E a n ξ=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，而(ln )ln()E E ξξ≤，所以有：1111ln ln n n i i i i a a n n ==⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑∑ ，即 1211ln ln nn n i i a a a a n =⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑ . 故 1211nn n i i a a a a n =≤∑ (2)再设有分布列11()i P a nξ==，(0,1,2,,)i a i n >= ，由(ln )ln()E E ξξ≤可得： 111111ln ln n n i i ii n a n a ==⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ 故1211n n ni ina a a a=≤∑ (3)综合(1)、(2)、(3)得： 212111111n n nn i i ni i i ina a a a a n n a ===≤≤≤∑∑∑ . 注：这里，我们利用概率论模型证明了平均值不等式，实际上有许多不等式均可利用这种方法进行证明，这为证明不等式找到了新的途径.证法四[4] (利用不等式1x e x ≥+，1x ≥-) 证明设12nn a a a A n+++= ，12n n n G a a a = ，(0,1,2,,)i a i n >=由不等式1x e x ≥+，(1x ≥-)可知，对于每一i 有：exp 1i i n na aA A ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，1,2,,i n = .求其乘积，得：6111exp 1exp 1nn i i i i n na a A A ==⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∏ 1nni n i n n a G A A =⎛⎫≥= ⎪⎝⎭∏ 故n n A G ≥，即1212n nn a a a a a a n+++≥ .(0,1,2,,i a i n >= )注：利用不等式证明平均值不等式有几种方法，其中詹生不等式就是一种，而这里是利用不等式1x e x ≥+（1x ≥-）来得到证明.证法五 (利用泰勒公式)证明设()log a f x x =，(01,0)a x <<>，则 ''21()0ln f x x a=>. 将()f x 在点0x 处展开，由泰勒公式，有：'''200000()()()()()()2f x f x f x f x x x x x =+-+-，其中00()x x x ξθ=+-，(01θ<<)因此有'000()()()()f x f x f x x x ≥+-. 取011ni i x x n ==∑，(,)i x a b ∈，1,2,,i n = ，则有：'111111()()()()n nn i i i i i i i i f x f x f x x x n n n ===≥+-∑∑∑，1,2,,i n = . 故'1111111()()()()nn n n ni i i i i i i i i i f x nf x f x x x n n =====≥+-∑∑∑∑∑ 11()n i i nf x n ==∑，即 1111()()n ni i i i f x f x n n ==≤∑∑.因此有121211log ()(log log log )an a a a n a a a a a a n n+++≤+++ . 于是7121211log ()log ()a n a n a a a a a a n n≥+++ 112121log ()log ()na n an a a a a a a n≥+++ 故1212n nn a a a a a a n+++≥ .(0,1,2,,i a i n >= ).注：除了上面介绍的几种证明方法外，证明平均值不等式还有拉格朗日乘数法（见[5]）、排序不等式等.4．平均值不等式的应用在数学分析中，平均值不等式可用于判断某些数列及级数的敛散性，解决积分不等式问题，求函数极值等，并且其在求最值，比较大小，证明不等式等各方面都具有巧妙的应用. 下面通过实例说明平均值不等式的一些应用.4.1 判断数列敛散性，并求其极限例1[6]．设13a =，11621n n n a a a +⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭，(1,2,)n = ，证明lim n n a →∞存在，并求其值.证明先证有下界. 132a =>；假设2k a >，则有11612611=(1)2123163k k k kk k a a a a a a +⎛⎫⎡⎤+=+++- ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦ 2611(1)223163k k a a ≥+⋅+⨯-=+. 由数学归纳法知：对任意正整数n ，有2n a >，即数列有下界. 再证数列单调递减. 事实上，对任意正整数n ，有11621n n n a a a +⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭161(2)2212n n a a ⎛⎫<+=+ ⎪+⎝⎭()12n n n a a a <+=，即1n n a a +<.8由单调有界原理，极限lim n n a →∞存在. 设lim n n a a →∞=，对等式11621n n n a a a +⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭两边取极限，得1621a a a ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭解之得：2a =(负值不合题意，舍去) 故lim 2n n a →∞=.例2．证明：数列12n n n n nn a n ⎧⎫+++=⎨⎬⎩⎭收敛. 证明首先证明数列是单调的. 对任意的正整数1,2,,1k n =- ，都有11111nn k n k k n n n n ++⋅+⎛⎫<= ⎪++⎝⎭，所以11(1)(1)n n n n k k n n +++<+. 所以12n n n n n n a n +++= 1111123(1)(1)n n n n n n a n +++++++++<<+ . 即数列{}n a 是单调递增的.再证数列有上界. 对任意的正整数1,2,,1k n =- ，都有1111111kn kn n k n n n ⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎢⎥-≤-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎛⎫+⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎣⎦ 1kk e e -⎛⎫<= ⎪⎝⎭，所以9(1)[(1)]n n n n n n n n n a n +-++--= 11111n nn n n -⎛⎫⎛⎫=+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1(1)1111n n e e ee ------<+++=- 1111ee e -<=--，即数列有上界.由单调有界定理知，该数列收敛.4.2 判断级数敛散性例3[6]．设111111111(1)112132n n b n n n n +⎛⎫=-⋅+⋅+⋅++⋅ ⎪--⎝⎭ ，证明：级数1n n b ∞=∑是发散级数.证明因111111111(1)112132n n b n n n n +⎛⎫=-⋅+⋅+⋅++⋅ ⎪--⎝⎭ ，由2a bab +≤有112n n +⋅≤，12(1)2n n +-≤，1,12n n ++≤ 故1211n n ≥+⋅，1212(1)n n ≥+-，12,11n n ≥+⋅ 从而有1112112(1)1n n b n n n n =+++≥+⋅-⋅ . 因lim 0n n b →∞≠，故级数1n n b ∞=∑发散.4.3 证明函数项级数一致收敛性10例4[7]．试证：22111(1)11lim (1)2n n x n n x x n x n ∞∞→==-=-∑∑. 证明设 2(1)()(1)n n n x x u x n x -=-，1x ≠，显然有 211lim ()2n x u x n →=. 令21(1)2n u n=，则()n u x 在[0,2]上连续，()0n u x ≥，应用几何平均-算术平均不等式，得21()(1)n n n x u x n x x -=+++ 222221212221n n n x x n n n x x -≤=≤⋅⋅ ，[0,2]x ∈，又因为211n n∞=∑收敛，根据魏尔斯特拉斯判别法，得级数1()n n u x ∞=∑在[0,2]上是一致收敛的.故21111111lim ()lim ()2n n x x n n n u x u x n ∞∞∞→→=====∑∑∑，即 22111(1)11lim (1)2n n x n n x x n x n ∞∞→==-=-∑∑.例5．试证级数2211cos 1nn n x nx x x x∞-=++++∑ 在(0,1]上一致收敛. 证明设 21()1nn n x a x x x -=+++ ，()cos n b x nx =，1,2,n = ；显然{}()n a x 是递减的，因为21()1n n n x a x x x -=+++ 22112221n n n x x n nn x x -≤=≤⋅ ，(01)x ≤≤ 所以{}()n a x 是递减的且一致收敛于0. 注意到1111sin()sin1122cos 12sin sin sin242nk xn kx x x =+-=≤≤∑，1(1)2x ≤≤ 根据狄里克雷判别法，1()()n n n a x b x ∞=∑在1[,1]2上一致收敛.当102x ≤≤时，1()()2nn n n a x b x x ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，1,2,n = ，而112nn ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑收敛，根据魏尔斯特拉斯判别法，得 1()()n n n a x b x ∞=∑在1(0,]2上一致收敛. 故1()()n n n a x b x ∞=∑在(0,1]上一致收敛.4.4 求函数极值和最值平均值不等式是求最值的常用方法之一，运用平均值不等式求最值时，要注意三个条件：‚一正二定三相等‚，三者缺一不可，求值时，要注意所进行的必须是等价转化. 运用平均值不等式求最值的方法有：负变正法，乘‘1’法，配系数法，添项法，拆项法，平方法，换元法，引入参数法.例6[6]．求函数3()(33)(1)f x x x =-+在开区间(0,1)内的极大值.解 3()(33)(1)f x x x=-+ 44(33)(1)(1)(1)6814416x x x x -++++++⎡⎤⎛⎫≤== ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ 当且仅当331x x -=+，即12x =时，()f x 有极大值8116.例7[10]．若,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求414141a b c +++++的最大值.[分析] 当函数恒为正值时，有时对目标函数进行平方，可达到凑和为定值的目的.解令414141u a b c =+++++，则0u ≥.12所以24()32(41)(41)2(41)(41)2(41)(41)u a b c a b b c a c =++++++++++++72(41)(41)2(41)(41)2(41)(41)a b b c a c =+++++++++7(442)(442)(442)a b b c a c ≤+++++++++ 138()21a b c =+++=.4.5 证明积分不等式例8．若函数()f x 在[,]a b 上连续，且当[,]x a b ∈时()0f x >，则2()()()bbaadxf x dx b a f x ≥-⎰⎰[分析] 证法一中利用了定积分的定义和平均值不等式，定积分的定义是很容易可以想到的，再加上对平均值不等式的熟练掌握和灵活应用，即可解决本题的证明. 另外，如果对定积分的性质比较熟悉的话，也可以直接利用柯西-施瓦茨(Cauchy-Schwartz )不等式来证明.证法一[6]利用1212111nna a a n na a a +++≤+++ 的变形：21212111()()n na a a n a a a +++⋅+++≥ 由已知条件：()f x 与1()f x 在[,]a b 上均可积. 应用定积分定义，将[,]a b n 等分，得：111()()nn k k k k b a b af x n f x n ==--⋅∑∑ 2121()11[()()]()()n n b a f x f x n f x f x ⎡⎤-=++⋅++⎢⎥⎣⎦ 2222()()b a n b a n-≥⋅=-，故对上式两边取极限n →+∞，得：2()()()bbaadxf x dx b a f x ≥-⎰⎰.13证法二由于函数()f x 在[,]a b 上连续，所以()f x 在[,]a b 上可积. 根据Cauchy-Schwartz 不等式，即()222()()()()bb baaaf xg x dxf x dxg x dx ≤⋅⎰⎰⎰，得：221()()()b ab a f x dt f x ⎛⎫-=⋅⎪ ⎪⎝⎭⎰()221()()b b aa f x dt dt f x ⎛⎫≤⋅⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰ ()()bbaadxf x dx f x =⎰⎰，即命题得证.例9. 设正值函数()f x 在[0,1]上连续，证明：11()0()f x dx e f x dx ⎰≤⎰.证明由条件知()f x ，ln ()f x 在[0,1]上可积，将[0,1]进行n 等分，作积分和：111()lim ()n n i if x dx f n n →∞==∑⎰1011112ln ()lim ln ()lim ln[()()()]n n n i i nf x dx f f f f n n n n n n →∞→∞===∑⎰ 11limln[()]nn n i i f n →∞==∏ 所以11011lim ln[()]ln ()1lim[()]nn n i inf f x dx nn n i i e ef n→∞=→∞=∏⎰==∏由平均值不等式得：1111[()]()nn ni i i i f f n n n ==≤∑∏故得101()0()f x dxe f x dx ⎰≤⎰.4.6 证明不等式平均值不等式在不等式的证明中具有非常重要的地位，如果能够灵活应用，往往会达到事半功倍的效果.14例10[9]．若n N +∈，证明：111(1)(1)1n n n n++>++. 证明由平均值不等式知，1111(1)(1)(1)(1)1n n n n n +=+++⋅ 11(1)11n n n n +⎡⎤+⋅+⎢⎥<⎢⎥+⎢⎥⎣⎦1121()(1)11n n n n n +++==+++ 故得证.例11．设n N ∈且1n >，证明：2(1)(21)(!)6nn n n ++⎡⎤<⎢⎥⎣⎦. 证明由平均值不等式知，222221212nnn n n+++⋅< .又22112(1)(21)6n n n n n ⋅=++ 所以22(1)(21)126n n n n n ++⋅<两边作n 次乘方，即得2(1)(21)(!)6nn n n ++⎡⎤<⎢⎥⎣⎦.例12．已知,,a b c 都是正实数，求证：(1) 555333222a b c a b c b c a ++≥++； (2) 555222222a b c a b c b c c a a b++≥++.证明 (1)由平均值不等式可得，5553332225a a a b b a b b b++++≥, (1) 5553332225b b b c c b c c c ++++≥， (2) 5553332225c c c a a c a a a++++≥. (3)15(1)+(2)+(3)得：555333222a b c a b c b c a++≥++. (2) 由平均值不等式可得：552222225a a b b c a b c b c++++≥， (4) 552222225b b c c a b c a c a++++≥， (5) 552222225c c a a b c a b a b+++++≥. (6) (4)+(5)+(6)得：555222222a b c a b c b c c a a b++≥++.参考文献：[1] 匡继昌.常用不等式[M].长沙：湖南教育出版社，1989：17-18.[2] 谢刚.证明一类重要不等式的几种方法[J].滁州职业技术学院学报，2010，9(1)：79-80. [3] 姚仲明.蒋秀梅，平均值与平均值不等式[J].安庆师范学院学报，2009，15(1)：96-98. [4] 陈侃.算术-几何平均值不等式的证明[J].巢湖学院学报，2008，10(3)：129-130. [5] 黄东兰.算术-几何平均值不等式的证法[J].福建广播电视大学学报，2007，(4). [6] 刘俊先.平均值不等式在数学分析中的应用[J].廊坊师范学院学报，2009，9(1)：14-16. [7] 饶明贵.几个不等式的应用[J].河南科学，2008，26(8)：900-903.[8] 伏春玲，董建德.均值不等式的性质推广及应用[J].甘肃联合大学学报，2010，24(6)：26-31.[9] 夏立标.均值不等式及其推广[J].宁德师专学报，2010，22(2)：125-127.[10] 沈丙申.运用均值定理求最值的八种方法[J].四川教育学院学报，2007，23(6)：61-62.[11] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社，2002.[12] 华东师范大学数学系.数学分析：上册[M].北京：高等教育出版社，2001.[13] Akerberg B., A proof of arithmetic geometric mean inequality, Amer. Math Monthly, 1963,70:997-998.[14] Chong, Kong-Ming, An inductive proof of the A.M.-G.M. Inequality, Amer.Math Monthly,1976, 83:657-658.16。

关于均值不等式的探讨本科毕业

关于均值不等式的探讨本科毕业渤海大学本科毕业论文渤海大学本科毕业论文题目关于均值不等式的探讨The Subject of Undergraduate Graduation Project ofDUTDISCUSSION ON INEQUALITY学院（系）：数理学院数学系专业班级：数学与应用数学10-1学号：10020018入学年制：2010年9月学生姓名：李雪琴指导教师：宋燕完成日期：2014年五月2014年 3 月 10 日渤海大学Bohai university摘要不等式主要研究数的不等关系,是进一步学习数学的基础,是掌握现代科学技术的重要工具。

均值不等式是不等式内容的重要组成部分,世界上的很多国家,对均值不等式的教学都有其具体要求,在高中《课程标准》里面都对这部分内容的教学做了明确的规定.其内容在中学数学课程中也占有十分重要的地位,而国内外专门针对该知识点的研究比较少。

本文通过实例讲解均值不等式,并延伸扩展相关问题，综合运用并进一步探讨，将研究均值不等式所得相关结果,用以解决最值问题、不等式证明以及实际生活中的数学应用的实际问题。

关键词均值不等式，最值问题，数学应用The subject of Undergraduate Graduation Project (Thesis)BHUDISCUSSION ON INEQUALITYAbstractInequality mainly studies several relations, is the foundation of further study mathematics, is an important tool to master modern science and technology.Average inequality is the inequality content is an important part of many countries in the world, the average inequality has its specific requirements, the teaching in senior high school "curriculum standard" for this part of contents of teaching made clear rules. The content in the high school mathematics curriculum also occupies an important position, and the special study of the knowledge is less at inland and abroad.In this paper, through the example explains the mean inequality, and extending related issues, the integrated use of and further discussion, will study the related results of mean inequality, to solve the problem of the most value, an inequation, and the actual problems of the application of mathematics in actual life.Keywords：inequality ，the most value issue，the value of mathematics application目录引言1均值不等式及有关结论1.1 均值不等式定义1.1.1 解决最值问题的有效方法—均值不等式1.2 均值不等式结论1.1.2 拓展均值不等式及其相关结论1.3 均值不等式的推广1.1 3 均值不等式的推广2 均值不等式的应用2.1 应用均值不等式的思想方法：待定系数法2.2 应用均值不等式的主要解题技巧2.3 应用均值不等式求最值问题2.4 应用均值不等式证明不等式问题2.5 应用均值不等式讨论数列极限问题2.5.1均值不等式在极限中的应用2.2.2均值不等式在数列收敛中的应用参考文献引言均值不等式是数学中一个重要的不等式，它的许多性质对解决数学问题都有很大帮助，在现实生活中也有着广泛的应用。

对均值不等式的进一步探讨

对均值不等式的进一步探讨
均值不等式是统计学中的一个非常重要的概念。

它在统计学中具有重要的应用
价值，在多元统计学、微观经济学等许多领域都有所引用。

均值不等式是由越南数学家艾让·马丁内兹于20世纪30年代首次提出的，其
定义如下：有一个随机变量X的累计分布函数F（X），那么它的期望值E（X）和
其分位数Q（X）之间必然存在如下不等式：E（X）≤Q（X）。

这个均值不等式也成为马丁内兹不等式，作为某类分位数递减函数的重要结论
来说，其核心思想就是：从所有期望值和点之间的关系中，期望值永远不会大于任何暂时的点的值。

举个例子，提高一家公司的收入总和，这个公司员工的平均工资一定会小于他们工资的中位数。

均值不等式的一大用途在于可以通过比较一个随机变量的均值到其分位数构建
分布曲线，可以由此实现对样本分布的准确描述。

它还可以用来估算总体分布形态，提高采样分析准确性，以及应用在极限定理等方面。

另外，均值不等式可以帮助投资者有效避免投资风险，因为可以通过将有限的
投资力量投资到特定的期望值范围内的历史应用来获取更高的回报。

此外，它还可以帮助投资者估算未来的收益，使投资者能够有效地识别和投资能够获得最佳收益的机会。

总之，均值不等式在统计学中具有重要的应用价值，它不仅可以用于准确描述
样本分布，还可以帮助投资者估算未来收益，从而有效地避免投资风险，获取最佳收益机会。

对均值不等式的进一步探讨

量分别为 4% 台10 台04 台和 43 台问八月份这四个车间的平
均产量是多少!
分析总体单位总量车间总数为 3 个各单位标志值每
车间生产台数分别为 4% 台10 台04 台和 43 台总体标志值
总量总台数为 (%4 台故八月份这四个车间的平均产量为
平均产量 !(%4 !11 台 3
中就存在慎重选择的问题了以防因选择不当而使获得的平均
结果偏大或偏小不能很好地反映实际生活或生产情况
%算术平均数的选择
在社会经济生活生产中当总体单位总量一定时且总体
标志值总量是由总体中各单位标志值求和而得则计算平均指
标使用算术平均数
例 $设某工厂有 3 个车间生产同一型号产品八月份的产
共花费 ( 元"按算术平均数也可以得到平均价格"也即!
平均价格
! $%
( ^D
^)
/ %0$10% 元&
对于调和平均数和算术平均数的关系问题"也存在不同看
法"如有的学者认为从平均数的数理意义上理解"调和平均数和算术平均数是两种不同的平均数"不存在变形的问题(() "从
数理意义上理解也有其道理"也是我们应该了解的#
. Al都l是R统i计g中h的ts常用R指es标er均v值ed不.等式$的一般形式就是关于
这三类平均数之间的关系其表示式如下
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其中
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均值不等式的研究_孟伟

x２＋……＋xn≥２（x１＋x２＋……＋xn）．再移项，即证题中不等式．这个看似
复杂的题实际上用 n 个二元均值不等式就可以解决，其中用到的手法就是局部分析处理，难题就是一些简单事实的罗列．
在证明不等式时，比如要证 x１＋x２＋…… ＋xn≤０，可以证每个变量小于等于０或使其小于等于多个易于求和的式子，使这些式子相加为０即可达到证明．
思维力和创造力。４．将课堂真正还给了学生。四个环
节均由学生自主操作，学生真正成为了学习的主体，整个课堂将更有学生味。
【反思】 “ 预习后教 ”其实就是一种“ 学教模式 ”，从教学走向学教，洋溢着丰富的人文色彩，重视人、尊重人、发展人的思想和以人为本、先学后教、以学定教的理念。在“预习后教”的课堂里，所有活动都是以学生的自主学习为中心的，所有的活动都服务于学习活动，学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的全过程，充分释放学习动力和潜能，呈现多元思维力和创造力。课堂转型是落实新课程理念的必由之路，基于“预习后教”的教学策略，应尊重学生的学习基础，有效利用学生的预习资源，使得数学课堂由“ 教数学 ”转变为“学数学”。
通过练习再让学生来讲一讲，有什么要注意的，有什么要提醒的，从而也从中
回顾了课堂的重点、难点等等。课后的小结有时候就穿插到了其中，方便省事。
【实践效果】１．上课结构变得简单。“基于任务实现学习 ”，“ 以作业撬动学生学习方式的变革 ”，将“ 对话中心的课堂 ”变为“ 任务中心的课堂”。２．课件用得少，实物投影用得多。因为学生通过自主学习以后，生成的东西会比较多，在反应的时候会比较凌乱，而且与课件的顺序很难与预设保持一致，而实物投影仪，能够将学生的作业作品更快更直接的展示，而且操作简便。３．全面提升了学生的能力。这样一个课堂结构性改造，其实就是一种学教模式，在这个模式中，所有的学习活动都是围绕学生自主学习来展开的，这就要求学生有发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，要求学生有能充分释放学习的动力和潜能，能呈现多元的

均值不等式在解三角形问题中的应用

均值不等式在解三角形问题中的应用在数学中，均值不等式是一种常见的不等式，它可以被广泛地应用于各种数学问题中，包括三角形几何。

均值不等式提供了一种有效的方法来解决三角形中的一些问题，特别是在涉及到三角形的边长、角度或面积时。

在本文中，我们将探讨均值不等式在解三角形问题中的应用，并举例说明其在实际问题中的作用。

首先，让我们回顾一下均值不等式的基本概念。

均值不等式是指对于任意一组非负实数，它们的算术平均数永远不会小于它们的几何平均数，这就是均值不等式的基本形式。

具体而言，对于任意一组非负实数 a1, a2, ..., an，均值不等式可以表示为：( a1 + a2 + ... + an ) / n ≥ ( a1 a2 ... an )^(1/n)。

这个不等式告诉我们，对于给定的一组非负实数，它们的算术平均数不会小于它们的几何平均数。

这个性质在三角形几何中有着重要的应用。

在三角形中，我们经常需要比较三角形的边长、角度或面积。

均值不等式可以帮助我们对这些量进行比较，并且在解决一些三角形问题时提供了简洁而有效的方法。

例如，我们可以利用均值不等式来证明三角形中任意两边之和大于第三边的基本不等式。

假设 a, b, c 分别表示三角形的三条边长，根据均值不等式，我们有：(a + b) / 2 ≥ √(ab)。

(b + c) / 2 ≥ √(bc)。

(c + a) / 2 ≥ √(ca)。

将以上三个不等式相加得到：(a + b + c) / 2 ≥ √(ab) + √(bc) + √(ca)。

这个不等式告诉我们，三角形的任意两边之和不会小于第三边。

这是三角形中一个非常重要的性质，而均值不等式为我们提供了一个简洁的证明方法。

除了边长之和的比较外，均值不等式还可以在三角形的角度或面积比较中发挥作用。

例如，我们可以利用均值不等式来证明三角形内角的平均值大于60度，或者证明三角形的面积与边长之间的关系。

这些都是三角形几何中常见的问题，而均值不等式为我们提供了一种简单而有效的方法来解决这些问题。

毕业论文-浅谈均值不等式在生活中的应用价值.doc

浅谈均值不等式在生活中的应用价值[摘要] 均值不等式是数学中一个重要的不等式，它的许多性质对解决数学问题都有很大的帮助，在现实生活中也有着广泛的应用.而且形式众多，主要体现在度量方面、造价销售方面、决策判断方面、足球射门等方面，只要我们善于思考，必将发现均值不等式在生活中有更多更广的应用价值.[关键词] 均值不等式平均数最值生活应用一、引言均值不等式是数学中一个重要的不等式.它的许多性质对解决数学问题都有很大的帮助，在现实生活中也有着广泛的应用.可以说，均值不等式的发现、验证和应用也是数学文化的精髓所在.这对于我们来说是一项巨大的财富.但是我们要注意，求解最值时请一定要注意相等的条件，若多次利用均值不等式求解最值，则必须注意这些不等式等号成立的条件是否一致，只有在一致的条件下才有可能达到最值.二、均值不等式的有关概念与结论（一）几种平均数的概念这几种平均数在高中的课程中就已经有介绍了，分别为算术平均数、几何平均数、调和平均数和平方平均数.，它们的定义如下：定义一：若n a a a ,,,21 均为正数，我们就称na a a n +++ 21为n a a a ,,,21 的算术平均数. 定义二：若n a a a ,,,21 均为正数，我们就称n a a a 21为n a a a ,,,21 的几何平均数.定义三：若n a a a ,,,21 均为正数，我们就称n a a a n 11121+++ 为n a a a ,,,21 的调和平均数.定义四:若n a a a ,,,21 均为正数，我们就称na a a n 22221+++ 为n a a a ,,,21 的平方平均数. (二)均值不等式的重要结论均值不等式是不等式中比较重要的一类不等式，也是应用比较广的一类不等式，下面将给出一般的结论和常用的结论，以及均值不等式在求最值时实用的定理.均值不等式在数学中不同的地方有不同的具体形式，但是万变不离其宗，它们都是有规律可循的.对于上述四种平均数：算术平均数、几何平均数、调和平均数和平方平均数的大小比较，我们有一般的结论：),,,(1112122221212121+∈+++≤+++≤≤+++R a a a n a a a n a a a a a a a a a n n n n nn n , 当且仅当n a a a === 21时，不等式取“=”号，这几个数依次为调和平均数、几何平均数、算数平均数、平方平均数.在实际解题中，2=n 和3=n 两种情况是最常见的，特阐述如下：当2=n 时，我们可以得到一个一般的二元均值不等式 ),(22112212221212121+∈+≤+≤≤+R a a a a a a a a a a ，通常写作 ),(2211222+∈+≤+≤≤+R b a b a b a ab b a . 但是通常我们用的最多的是上述的变式，如)1(),(222R b a ab b a ∈≥+；)2(2)2(222b a b a ab +≤+≤. 特别地，当且仅当b a =时，上述的“=”才成立.当3=n 时，我们可以得到一个一般的三元均值不等式：),,(3311132223+∈++≤++≤≤++R c b a c b a c b a abc c b a ，同二元均值不等式一样，也有变式如下：)1(),,(3333+∈≥++R c b a abc c b a ；)2(),,(33+∈≥++R c b a abc c b a ；)3(),,()3(3+∈++≤R c b a c b a abc . 特别地，当且仅当c b a ==时，上述的“=”才成立.有上述的一般结论和变式可以推得：当两个正数的和一定时，其其乘积有最大值；当两个正数的乘积一定时，其和有最小值，我们称其为最值定理.三、利用均值不等式解决应用性问题生活中经常遇到这样的问题，如为资源不能合理利用而发愁，因为不能做出合理的决策而伤脑筋等等问题，只要我们善于发现，这些问题就可以被均值不等式所征服.生活中有很多这样的问题都可以用均值不等式来解决，主要体现在度量方面、造价销售方面、决策判断方面、足球射门方面，比如怎么合理地使用已知的材料去获得最大的需求，或者给出已知的要求怎么安排才能让使用材料最少，主要有关于度量、造价和销售方面的问题.（一）应用均值不等式解决度量类问题随着地球上人口越来越多，诸多的徒弟问题也接踵而来，如住房问题、资源问题等，怎样省钱，怎样合理的利用资源是当今要解决的问题。

关于均值不等式的论文.doc

本科毕业论文关于均值不等式的探讨D ISCUSS ION ON INE QU AL ITY学院（部）：理学院专业班级：数学与应用数学07-1学生姓名：指导教师：2011年 6 月8 日关于均值不等式的探讨摘要均值不等式是高二教材的一个教学内容,理解掌握均值不等式,研究均值不等式所得相关结果,用解决最值问题、不等式证明以及实际生活中的数学应用问题,具有极为重要的意义。

关键词均值不等式，最值，应用DISCUSSION ON INEQUALITYABSTRACTInequality is a sophomore course content materials, understand and grasp the mean value inequality, inequality of income related to the mean results, to address the most value problems, inequalities and matheatical application of real-life problems, is extremely important.KEYWORDS：inequality ，the most value，the value of application目录关于均值不等式的探讨 (I)DISCUSSION ON INEQUALITY (II)1、浅谈均值不等式及类型 (1)1.1 浅谈均值不等式 (1)1.1.1均值不等式是攻破最值问题的有力武器 (1)1.1.2均值不等式用于不等式的证明 (2)1.1.3均值不等式的拓展及其相关结论 (2)1.1.4均值不等式的应用可以培养学生在数学学习中的兴趣和认知投入 (4)1.2 试谈运用均值不等式的待定系数法“套路” (5)1.3 运用均值不等式解题的变形技巧 (8)1.4 利用均值不等式求最值的技巧 (10)2．均值不等式错例及“失效”时的对策 (15)2.1 均值不等式应用错例分析 (15)2.2用“均值不等式”求最值忽视条件致错举例 (17)2.3均值不等式求最值“失效”时的对策 (19)3．均值不等式的推广及应用 (24)3.1均值不等式的推广 (24)3．2应用均值不等式的推广证不等式 (29)3.3均值不等式在高等数学中的应用 (33)3.4均值不等式在一类数列收敛证明中的应用 (37)3.5例说利用均值不等式解应用问题 (40)参考文献 (42)谢辞 (43)1、浅谈均值不等式及类型1.1 浅谈均值不等式人民教育出版社出版的全日制普通高级中学教科书数学第二册第六章第二节说明,如果a 、b 是正数,那么a+b2≥ ab,当且仅当a = b 时取“ = ”号。

探讨均值不等式在物理解题中的应用

探讨均值不等式在物理解题中的应用翟银章(江苏省盐城生物工程高等职业技术学校㊀２２４０００)摘㊀要:物理教学集科学性㊁创造性㊁实践性等特点于一身ꎬ要帮助学生在有限的学习空间内掌握更为丰富的物理知识ꎬ教师应不断尝试将新的教学方法㊁解题理论应用到物理解题活动当中.回顾当前的物理教学工作ꎬ物理教育与数学教育之间存在着较为明显的联系ꎬ如果能够将均值不等式的探讨引入到物理问题的解答当中ꎬ必将为物理解题活动的发展打开新的大门.本文针对物理解题活动展开论述ꎬ思考如何应用均值不等式解决物理难题.关键词:均值不等式ꎻ物理解题ꎻ应用中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２１)２４－００６７－０３收稿日期:２０２１－０５－２５作者简介:翟银章(１９７８.３－)ꎬ男ꎬ江苏省盐城人ꎬ本科ꎬ讲师ꎬ从事物理教学研究.㊀㊀运用数学方法解决物理问题已经成为学生所必须掌握的重要技能之一.在当前的物理解题活动中ꎬ求解最大㊁最长㊁最短㊁最重之类的运算问题并不少见ꎬ如果依靠题干信息逐步推导ꎬ则解题难度会直线上升ꎬ依靠均值不等式合理构建全新的解题模块ꎬ将为学生参与物理解题活动提供新的动力.㊀㊀一㊁物理解题活动中的难点问题１.学习能力问题学生所表现出来的学习能力在一定程度上影响着物理教学活动的后续发展ꎬ当学生以积极的态度㊁科学的方法㊁高昂的热情参与物理教学工作时ꎬ其思维㊁素质与能力能够在第一时间得到锻炼ꎬ学生能够从心理上㊁情感上㊁能力上等多个角度接受物理教学活动ꎬ使得物理教学活动的发展向着更为科学㊁开放㊁自由的方向前进.但在当前的物理教学活动中ꎬ教学课程与实际要求之间依然存在着一定的矛盾ꎬ且大部分教学冲突的产生都与学生的学习能力㊁思维态度有关.部分学生的物理学习能力较差ꎬ在解答物理问题的过程中ꎬ忽视了物理教学题目中所包含的科学教育价值ꎬ仅注重物理题目对当前教学活动的要求ꎬ不注重物理技能对于自身未来发展的影响.在后续的教学活动中ꎬ学生依旧遵循死记硬背㊁套用公式的解题方式ꎬ解题效率极低ꎬ物理解题活动的教育价值无法全面展现出来.在长期的物理教学活动中ꎬ部分学生虽然已经掌握了解决物理学习问题的基本方法ꎬ能够以较高的效率参与到物理学习活动当中ꎬ但其对于物理知识的理解并不全面ꎬ在该类学生的眼中ꎬ物理课程仅由公式㊁数据㊁客观现象等材料组成ꎬ学生并不会去主动思考抽象的物理知识与客观世界之间的联系.总的来说ꎬ大部分学生已经以积极的态度参与到物理教学活动当中ꎬ但对于如何解读物理知识㊁如何应用物理知识㊁如何分辨物理知识与现实世界之间的联系等问题ꎬ学生并不能给出一个明确的答复.从整体的教学活动来看ꎬ物理教学保留着极为鲜明的教育特性:或是基于实践生活发展而来的教育理论ꎬ或是针对抽象概念衍生而来的抽象知识ꎬ其从想象㊁实际两大模块入手ꎬ引导学生从科学的角度重新观察世界.基于此ꎬ分数至上的教学理念已经无法满足当前的物理教学要求ꎬ要保障物理解题活动的高效性㊁保障解题活动能够为学生素养的发展提供必要性支持ꎬ教师必须帮助学生打破公式教学的桎梏ꎬ使其在全新的教学环境中完成技术性的飞跃.２.教学方法问题在物理教学活动中ꎬ物理教育的最终目标为培养学生的理性思维ꎬ帮助学生在理论知识与客观世界之间找到平衡点ꎬ促使其能够以科学㊁开放的方式回答物理问题.基于这一特点ꎬ物理教育应该以理论教育为铺垫ꎬ以７６实践教育为核心ꎬ依靠对物理问题的全方位解读ꎬ帮助学生从不同的角度思考物理问题.回顾当前的物理解题教学活动ꎬ解题与应用之间存在着较大的差距ꎬ教师所推行的教学方法并不能为学生物理素养的发展提供实质性的支持:在教学环节ꎬ教师仅针对的物理问题中所包含的相关知识发起教学活动ꎬ学生主动回应教学问题的积极性较差.在教师提出新的学习任务时ꎬ学生会将当前的教学要求理解为解答物理问题 ꎬ忽视外界环境㊁事物与物理知识之间的联系ꎬ在这种情况下ꎬ学生的思维发展意识被个人所限制ꎬ未来物理教育的质量㊁价值并不能得到保障.部分教师将物理问题视为发起教学活动的第一参考对象ꎬ但在完成了物理问题的讲解之后ꎬ其并不会对解题结论中所展现出来的物理知识加以应用.在这一教学模块下ꎬ物理解题教学的影响范围仅仅局限于物理课堂ꎬ学生的解题技巧㊁物理思维无法得到提升.从物理解题教学的整体要求来看ꎬ针对某一题型发起联系活动并不是物理教育的最终目标ꎬ唯有实现知识与解题技巧的同步提升ꎬ才能保障学生在物理解题活动中获得更为科学的物理知识.如何确定科学的物理解题教学结构㊁帮助学生从多个角度思考物理问题ꎬ提升物理解题教学的科学性ꎬ降低物理解题教学的盲目性ꎬ这是教师必须思考的重要问题.㊀㊀二㊁均值不等式的概念及其应用价值１.均值不等式的概念新的教学方法的引入必将为原有教学活动的发展注入新的灵感ꎬ对于物理解题活动来说更是如此.在当前的物理教育环节ꎬ大部分教师已经注意到了外来理论对于物理解题的积极影响ꎬ故而ꎬ 应用均值不等式解决物理问题已经成为重要的教育课题.但在物理解题活动中ꎬ大部分教师根本不能对均值不等式的概念㊁应用范围给出一个明确的定义ꎬ在这种情况下ꎬ学生在利用均值不等式解决物理学习问题的过程中ꎬ处于盲人摸象的尴尬位置ꎬ其无法及时整理均值不等式的应用特点㊁应用范围ꎬ在教学活动中ꎬ由于无法理解均值不等式的客观定义ꎬ均值不等式的出现反而加大了学生的学习负担ꎬ在物理解题活动中ꎬ对于相关问题的解答依旧以套用公式㊁背诵概念为主ꎬ学生无法将均值不等式应用到物理习题当中.作为一个数学公式ꎬ均值不等式又被成为平均值不等式㊁平均不等式ꎬ其强调调和平均数不超过几何平均数ꎬ几何平均数不超过算数平均数ꎬ算数平均数不超过平方均数 ꎬ从定义上来看ꎬ均值不等式中所包含的数学概念是极为复杂的ꎬ但在解答物理问题的过程中ꎬ均值不等式能够帮助学生在短时间内确定题目中变量的数学关系ꎬ从而根据题目要求提出对应的解题策略.可以说ꎬ均值不等式在一定程度上加快了从抽象到具象的转化速度.２.均值不等式的应用价值利用均值不等式解决物理问题已经成为当下物理教育活动中的热门话题ꎬ但部分教师依旧对均值不等式的应用价值㊁应用范围抱有怀疑态度ꎬ认为数学方法在物理问题中的应用过于唐突.回顾物理教学的整体形势㊁教育要求ꎬ均值不等式的出现为教师解决多元化教学问题提供了新的灵感:一方面ꎬ均值不等式完成了从抽象到具体的转化:在不同阶段的物理教学活动中ꎬ物理问题中所涉及到的变量正在向着复杂化㊁多元化的方向发展ꎬ物理概念比较复杂ꎬ学生的解题压力较大.如果仅依靠公式㊁定义㊁数学概念等内容帮助学生完成数学学习活动ꎬ其很难在短时间内找到数学问题的突破口.均值不等式的出现则为学生提供了全新的解题思路:在将客观概念转化为抽象数字之后ꎬ学生只需对物理问题中所涉及到的数学关系进行加工ꎬ围绕数学关系发起解题活动ꎬ在这一环节ꎬ不同物理量之间的转化㊁置换成为学生优先考虑的解题方式ꎬ在均值不等式的引导下ꎬ学生能够将数字从题干中提取出来ꎬ以数字为第一对象解决物理学习问题.另一方面ꎬ均值不等式能够对学生的思维意识㊁解题能力发起针对性的训练ꎬ在有限的学习空间内ꎬ教师能够利用均值不等式理念中所包含的数学知识㊁科学知识㊁物理技能对学生发起针对性的教育ꎬ或是引导学生全面掌握物理概念ꎬ或是帮助学生应用数学知识解决物理问题ꎬ在同一教学空间内ꎬ数学理论与物理问题逐步结合ꎬ学生的思维与空间意识能够获得逐步发展ꎬ物理教育的系统价值也得以展现出来.㊀㊀三㊁均值不等式在物理解题中的应用１.构建知识模型ꎬ强调解题思路大部分学生在尝试解答物理问题的过程中并没有形成清晰地知识结构ꎬ在对客观物理问题作出回应时ꎬ学生对于物理问题的理解停留在概念层次ꎬ对于其考察范围㊁计算方法等内容ꎬ学生无法形成一个准确的认知.部分教师虽然尝试在教学活动中导入多种观察材８６料㊁教学对象ꎬ但学生主动解读物理知识的积极性依旧较低.在这种情况下ꎬ教师可积极发挥均值不等式的数学运算价值ꎬ帮助学生在物理概念与数学运算之间建立良好的对接ꎬ引导学生在脑海中形成一个清晰的物理学习模型ꎬ促使其能够在接触到物理问题的第一时间在记忆中调用对应的物理知识.在教学环节ꎬ教师将物理概念作为参考材料导入到物理课堂当中ꎬ然后引导学生依据均值不等式理念思考物理问题中所包含的数学关系ꎬ依靠数学概念将题目中所涉及到的物理条件㊁物理现象与解答过程结合起来ꎬ从而建立清晰的解题思路.为保障均值不等式的应用价值ꎬ教师应从数学教育的基本特点入手ꎬ依靠数字关系理清物理问题中的问题结构ꎬ从而帮助学生建立完备的知识模型.部分物理难题中包含着图形㊁文字㊁抽象定义等概念ꎬ教师应引导学生依靠均值不等式对相关问题进行加工ꎬ对物理难题的考察范围㊁问题中所包含的数学关系进行判断ꎬ从而顺利完成题目分析任务.在尝试引导学生解答物理问题的过程中ꎬ对于较为复杂的计算问题ꎬ教师应优先考虑帮助学生确定物理问题中的数学关系ꎬ依靠均值不等式理清物理问题中所包含的数学联系ꎬ才能引导学生以更高的效率解答物理问题.２.活用理论知识ꎬ培养解题能力大部分学生在物理解题活动中并没有表现出良好的解题能力ꎬ在对相关问题作出回应的过程中ꎬ理论知识的应用并不全面ꎬ学生仅考虑依靠客观概念㊁物理定义解决物理问题ꎬ主动回应教学要求的积极性较低.在这种落后的解题思想下ꎬ学生的解题能力很难得到锻炼.㊀在全新的教学框架中ꎬ教师可尝试利用均值不等式培养学生的解题能力ꎬ从全新的角度引导学生解答物理问题:在教学环节ꎬ教师针对均值不等式的基本特点㊁应用范围等内容提出思考问题ꎬ在学生给出回应之后ꎬ教师引导学生对教学知识进行整理均值不等式能够应用在哪些问题的解答当中?你能否利用均值不等式解答物理问题?学生会基于客观知识㊁物理问题两大角度进行思考ꎬ将均值不等式的应用作为探究课题ꎬ导入到后续的物理学习活动当中ꎬ根据问题的特点㊁均值不等式的应用范围等内容ꎬ对物理问题进行解答ꎬ从多个角度思考物理知识.大部分学生习惯了衣来伸手饭来张口的教学模式ꎬ缺乏独立思考物理问题的必要素质.基于这一特点ꎬ教师可将学生的物理思维与其所表现出来的数学知识结合起来ꎬ引导学生主动回答物理问题ꎬ在保障学生的解题效率的同时ꎬ提高学生的解题正确率ꎬ促使其在全新的解题活动中取得更大的进步.３.强化物理实践ꎬ发起教学反思为帮助学生以更为科学的态度掌握相关物理知识ꎬ教师在完成均值不等式的讲解工作之后ꎬ应为学生创造应用数学知识解答相关问题的机会.在全新的教学环境下ꎬ要帮助学生解答物理问题ꎬ教师应首先考虑培养学生的思维与能力ꎬ依靠内部素养与外界能力的同步提升ꎬ激发学生的自主意识.在教学环节ꎬ教师应利用周围的可用资源摆脱学生的依赖心理ꎬ依靠物理问题锻炼学生解答物理疑惑的能力:在教学活动中ꎬ教师依据物理知识提出思考问题或计算问题ꎬ要求学生利用均值不等式说明物理问题的原理ꎬ对物理问题作出解答ꎬ在这一过程中ꎬ学生无法在教师处直接获得丰富的教学知识ꎬ自主意识占据了上风.当学生得出有关答案之后ꎬ教师针对学生所提出的答案发起交流讨论活动:该学生所提出的答案是否正确?在其所给出的物理答案中ꎬ你获得了哪些知识?在解答问题之后发起交流活动ꎬ学生能够在第一时间对解题过程作出回应:部分学生针对均值不等式的应用方法进行讨论ꎬ部分学生则根据解题结果提出新的解题策略ꎬ从而实现解题能力与思考能力的同步发展.教师在完成解题教学活动之后ꎬ应为学生创造积累学习经验的机会ꎬ依靠学生的主动回馈优化教学活动.均值不等式在物理教学活动中的应用较为常见ꎬ但对于如何应用均值不等式㊁哪类问题能够应用均值不等式等问题ꎬ少有教师能够给出一个明确的答复.在引导学生利用均值不等式解答物理问题的过程中ꎬ教师应从多个角度入手ꎬ引导学生考虑不同知识之间所存在的必然联系ꎬ为学生能力的发展提供新的支持.㊀㊀参考文献:[１]徐峰ꎬ金立林.均值不等式在物理解题中的应用[Ｊ].中学物理教学参考ꎬ２０１８ꎬ４７(１２):４２－４３.[２]汪飞.应用均值不等式巧解极值题[Ｊ].物理教学ꎬ２０１３ꎬ３５(０５):５４－５５.[３]武文.利用均值不等式解答物理问题[Ｊ].甘肃教育ꎬ２００７ꎬ１１(０２):５０.[责任编辑:李㊀璟]９６。

均值不等式及其推广的应用

均值不等式及其推广的应用漆杰熙摘要：本文从经典的平均值不等式出发，首先介绍了多元均值不等式的内容，并给出了它的一个应用;其次将多元平均值不等式进行了推广，借助矩阵知识给出了平均值不等式的更一般的形式，并且指出了该形式下的平均值不等式和其他一些经典不等式的关系。

关键词：均值不等式;矩阵;柯西不等式;幂平均不等式数理科学方方面面都有不等式的影子，不等式的种类也是非常广泛。

例如平均值不等式、解析不等式、概率不等式、函数不等式、变分不等式、几何不等式、微分不等式、积分不等式等。

数学不等式分为纯粹的数学不等式和应用不等式。

纯粹的数学不等式包括常见的平均值不等式、柯西不等式等;应用不等式的例子像概率不等式、线性规划等。

在管理学和工程学中往往需要求问题最优解，但不少时候是得不到解析解的，往往不等式就是解的代替。

有关统计结果显示，在Linear Algebra and its Applications杂志上发表的论文中，有至少百分之三十的论文与不等式有关系。

因此对于不等式的研究就显得非常重要。

本文主要探讨平均值不等式及其推广的应用，并将一些常见的不等式有机的结合。

一、均值不等式及其应用在不等式理论中有一个很经典的均值不等式，其大意为，若有上述等号成立当且仅当均值不等式的应用是非常广泛的，尤其在其他较难不等式的证明，以及函数单调性证明中有着非常巧妙的运用。

下文的例子给出了关于该不等式的一个应用。

证明数列是单调递增的。

证明：由均值不等式可以得到，其实例题1.1可以利用构造函数的办法，借助导数工具给出解答，只不过该办法比较繁琐，而上述均值不等式的方法相对简洁很多。

二、均值不等式推广对于第一小节均值不等式我们可以利用矩阵的观点给出一个更一般的结论，该结论由引理2.1给出。

引理2.1对于一个的矩阵[aij]mn，即并假设，则首先我们给出引理2.1的证明，记如果使得=0，那么必定有因此必定有此时引理2.1成立。

如果利用均值不等式有下式成立對上述m个不等式相加可以得到相加后的不等式的左边为，相加后的不等式的右边为，因此我们有，即可以得到，引理得证。

数学与应用数学毕业论文关于均值不等式的探讨

本科毕业论文关于均值不等式的探讨DISCUSSION ON INEQUALITY学院（部）：理学院专业班级：数学与应用数学07-1学生姓名：指导教师：2011年 6 月8 日关于均值不等式的探讨摘要均值不等式是高二教材的一个教学内容,理解掌握均值不等式,研究均值不等式所得相关结果,用解决最值问题、不等式证明以及实际生活中的数学应用问题,具有极为重要的意义。

关键词均值不等式，最值，应用DISCUSSION ON INEQUALITYABSTRACTInequality is a sophomore course content materials, understand and grasp the mean value inequality, inequality of income related to the mean results, to address the most value problems, inequalities and matheatical application of real-life problems, is extremely important.KEYWORDS：inequality ，the most value，the value of application目录关于均值不等式的探讨 (I)DISCUSSION ON INEQUALITY (II)1、浅谈均值不等式及类型 (1)1.1 浅谈均值不等式 (1)1.1.1均值不等式是攻破最值问题的有力武器 (1)1.1.2均值不等式用于不等式的证明 (2)1.1.3均值不等式的拓展及其相关结论 (2)1.1.4均值不等式的应用可以培养学生在数学学习中的兴趣和认知投入 (4)1.2 试谈运用均值不等式的待定系数法“套路” (5)1.3 运用均值不等式解题的变形技巧 (8)1.4 利用均值不等式求最值的技巧 (10)2．均值不等式错例及“失效”时的对策 (15)2.1 均值不等式应用错例分析 (15)2.2用“均值不等式”求最值忽视条件致错举例 (17)2.3均值不等式求最值“失效”时的对策 (19)3．均值不等式的推广及应用 (24)3.1均值不等式的推广 (24)3．2应用均值不等式的推广证不等式 (29)3.3均值不等式在高等数学中的应用 (33)3.4均值不等式在一类数列收敛证明中的应用 (37)3.5例说利用均值不等式解应用问题 (40)参考文献 (42)谢辞 (43)1、浅谈均值不等式及类型1.1 浅谈均值不等式人民教育出版社出版的全日制普通高级中学教科书数学第二册第六章第二节说明,如果a 、b 是正数,那么a+b2≥ ab,当且仅当a = b 时取“ = ”号。

学位论文-—关于均值不等式的探讨数学

渤海大学本科毕业论文渤海大学本科毕业论文题目关于均值不等式的探讨The Subject of Undergraduate GraduationProject ofDUTDISCUSSION ON INEQUALITY学院（系）：数理学院数学系专业班级：数学与应用数学10-1摘要不等式主要研究数的不等关系,是进一步学习数学的基础,是掌握现代科学技术的重要工具。

均值不等式是不等式内容的重要组成部分,世界上的很多国家,对均值不等式的教学都有其具体要求,在高中《课程标准》里面都对这部分内容的教学做了明确的规定.其内容在中学数学课程中也占有十分重要的地位,而国内外专门针对该知识点的研究比较少。

本文通过实例讲解均值不等式,并延伸扩展相关问题，综合运用并进一步探讨，将研究均值不等式所得相关结果,用以解决最值问题、不等式证明以及实际生活中的数学应用的实际问题。

关键词均值不等式，最值问题，数学应用The subject of Undergraduate Graduation Project (Thesis)BHUDISCUSSION ON INEQUALITYAbstractInequality mainly studies several relations, is the foundation of further study mathematics, is an important tool to master modern science and technology.Average inequality is the inequality content is an important part of many countries in the world, the average inequality has its specific requirements, the teaching in senior high school "curriculum standard" for this part of contents of teaching made clear rules. The content in the high school mathematics curriculum also occupies an important position, and the special study of the knowledge is less at inland and abroad.In this paper, through the example explains the mean inequality, and extending related issues, the integrated use of and further discussion, will study the related results of mean inequality, to solve the problem of the most value, an inequation, and the actual problems of the application of mathematics in actual life.Keywords：inequality ，the most value issue，the value of mathematics application目录引言1均值不等式及有关结论1.1 均值不等式定义1.1.1 解决最值问题的有效方法—均值不等式1.2 均值不等式结论1.1.2 拓展均值不等式及其相关结论1.3 均值不等式的推广1.1 3 均值不等式的推广2 均值不等式的应用2.1 应用均值不等式的思想方法：待定系数法2.2 应用均值不等式的主要解题技巧2.3 应用均值不等式求最值问题2.4 应用均值不等式证明不等式问题2.5 应用均值不等式讨论数列极限问题2.5.1均值不等式在极限中的应用2.2.2均值不等式在数列收敛中的应用参考文献引言均值不等式是数学中一个重要的不等式，它的许多性质对解决数学问题都有很大帮助，在现实生活中也有着广泛的应用。

均值不等式的论文

本科毕业论文关于均值不等式的探讨DISCUSSION ON INEQUALITY学院（部）：理学院专业班级：数学与应用数学07-1学生：兴奎指导教师：小红讲师2011年 6 月8 日关于均值不等式的探讨摘要均值不等式是高二教材的一个教学容,理解掌握均值不等式,研究均值不等式所得相关结果,用解决最值问题、不等式证明以及实际生活中的数学应用问题,具有极为重要的意义。

关键词均值不等式，最值，应用DISCUSSION ON INEQUALITYABSTRACTInequality is a sophomore course content materials, understand and grasp the mean value inequality, inequality of income related to the mean results, to address the most value problems, inequalities and matheatical application of real-life problems, is extremely important. KEYWORDS：inequality ，the most value，the value of application目录关于均值不等式的探讨 (I)DISCUSSION ON INEQUALITY (II)1、浅谈均值不等式及类型 (1)1.1 浅谈均值不等式 (1)1.1.1均值不等式是攻破最值问题的有力武器 (1)1.1.2均值不等式用于不等式的证明 (2)1.1.3均值不等式的拓展及其相关结论 (2)1.1.4均值不等式的应用可以培养学生在数学学习中的兴趣和认知投入 (4)1.2 试谈运用均值不等式的待定系数法“套路” (5)1.3 运用均值不等式解题的变形技巧 (8)1.4 利用均值不等式求最值的技巧 (10)2．均值不等式错例及“失效”时的对策 (15)2.1 均值不等式应用错例分析 (15)2.2用“均值不等式”求最值忽视条件致错举例 (17)2.3均值不等式求最值“失效”时的对策 (19)3．均值不等式的推广及应用 (24)3.1均值不等式的推广 (24)3．2应用均值不等式的推广证不等式 (28)3.3均值不等式在高等数学中的应用 (33)3.4均值不等式在一类数列收敛证明中的应用 (36)3.5例说利用均值不等式解应用问题 (39)参考文献 (41)辞 (42)1、浅谈均值不等式及类型1.1 浅谈均值不等式人民教育出版的全日制普通高级中学教科书数学第二册第六章第二节说明,如果a 、b 是正数,那么a+b2≥ ab,当且仅当a = b 时取“ = ”号。

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本科毕业论文关于均值不等式的探讨DISCUSSION ON INEQUALITY学院（部）：理学院专业班级：数学与应用数学07-1学生姓名：指导教师：2011年 6 月8 日关于均值不等式的探讨摘要均值不等式是高二教材的一个教学内容,理解掌握均值不等式,研究均值不等式所得相关结果,用解决最值问题、不等式证明以及实际生活中的数学应用问题,具有极为重要的意义。

关键词均值不等式，最值，应用DISCUSSION ON INEQUALITYABSTRACTInequality is a sophomore course content materials, understand and grasp the mean value inequality, inequality of income related to the mean results, to address the most value problems, inequalities and matheatical application of real-life problems, is extremely important.KEYWORDS：inequality ，the most value，the value of application目录关于均值不等式的探讨 (I)DISCUSSION ON INEQUALITY (II)1、浅谈均值不等式及类型 (1)1.1 浅谈均值不等式 (1)1.1.1均值不等式是攻破最值问题的有力武器 (1)1.1.2均值不等式用于不等式的证明 (2)1.1.3均值不等式的拓展及其相关结论 (2)1.1.4均值不等式的应用可以培养学生在数学学习中的兴趣和认知投入 (4)1.2 试谈运用均值不等式的待定系数法“套路” (5)1.3 运用均值不等式解题的变形技巧 (8)1.4 利用均值不等式求最值的技巧 (10)2．均值不等式错例及“失效”时的对策 (15)2.1 均值不等式应用错例分析 (15)2.2用“均值不等式”求最值忽视条件致错举例 (17)2.3均值不等式求最值“失效”时的对策 (19)3．均值不等式的推广及应用 (24)3.1均值不等式的推广 (24)3．2应用均值不等式的推广证不等式 (29)3.3均值不等式在高等数学中的应用 (33)3.4均值不等式在一类数列收敛证明中的应用 (37)3.5例说利用均值不等式解应用问题 (40)参考文献 (42)谢辞 (43)1、浅谈均值不等式及类型1.1 浅谈均值不等式人民教育出版社出版的全日制普通高级中学教科书数学第二册第六章第二节说明,如果a 、b 是正数,那么a+b2≥ ab,当且仅当a = b 时取“ = ”号。

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