2015工程随机数学(A)试卷及答案

武汉大学2015 —2016学年度第 一 学期
《工程随机数学》试卷（A ）
电子信息 学院 专业 班 学号 姓名 分数 1. （本题10分）将a ，b ，c 三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为p ，而输出为其他一字母的概率都是(1-p)/2，今将字母串aaaa,bbbb,cccc 之一输入信道，三者输入的概率分别为p1, p2, p3 (p1+p2+p3=1)，已知输出为abcb ，问输入的是aaaa 的概率是多少？（设信道传输各个字母的工作是相互独立的。

）
解： 以A ，B ，C 分别表示事件“输入aaaa ”，“输入bbbb ”，“输入cccc ”，以D 表示事件“输出abcb ”。

由全概率公式和贝叶斯公式有
1
123
()(|)(|)()(|)(|)(|)P AD P D A p P A D P D P D A p P D B p P D C p =
=
++ 这里 31(|)(
)2p P D A p -=，221(|)()2p P D B p -=，3
1(|)()2
p P D C p -= 带入上式 3
13223123
11
22
132
1(
)2(|)111()()()222(1)2131p p p P A D p p p p p p p p p p p p p p p pp p p p p
-=
---++-==
--+++- 2. （本题10分）设随机变量~(0,1)X U 。

（1） 求 2
21Y X =+的概率密度。

（2）求(),()D x D y
解：（1）由于2211Y X =+≥，故当1y <时，()0Y f y =. 当1y ≥ 时，
2()()(21)(Y X F y P Y y P X y P X F =≤=+≤=≤= 两边关于y 求导得
1
()
0,
Y X
y
f y f
else
≥
==
⎩
3.（本题15分）二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为
2,01
(,)
0,.
cx y x y
f x y
else
⎧≤≤≤
=⎨
⎩
（1）确定常数c；（2）分析并判断X和Y是否相互独立？（3）求Z X Y
=+的概率密度。

解：（1）由于区域积分=1得15
c=
11
224
000
1,11,15
3
y c
cx ydxdy cx ydxdy y dy c
Ω
====
⎰⎰⎰⎰
，得
(2) 122224
15
()15()155
2
y
X Y
x
f x x ydy x x f y x ydx y
====
⎰⎰
(1-)，
显然(,)()()
X Y
f x y f x f y
≠⋅
(3) 24
5
()(,)15()
4
z
X Y
f z f x z x dx x z x dx z
∞
+-∞
=-=-=
⎰⎰
4.（本题15分）某复杂系统由100个相互独立的部件所组成，在运行期间每个部
件损坏的概率为0.1，为了使整个系统起作用，至少必须有85个部件正常工作，求整个系统起作用的概率？（,
5987
.0
)
25
.0(=
Φ,
6915
.0
)5.0(=
Φ,
8413
.0
)0.1(=
Φ
,
9332
.0
)5.1(=
Φ9525
.0
)
67
.1(=
Φ,,
9772
.0
)0.2(=
Φ,
9938
.0
)5.2(=
Φ9987
.0
)3(=
Φ）解：(1) 此为100重贝努利事件，~(100,0.9)
X b，求概率(85)
P X≥，
近似服从标准正态分布。

555
(85)}1()()0.9525
333
P X P P
≥=≥=≥-=-Φ-=Φ=
5. .（本题10分）设是取自正态总体的简单随机样本，且
解：由921,...,,X X X 是取自正态总体
X
的简单随机样本，即9212,...,),,(~X X X N X σμ相互独
立，),(~2σμN X i ，即2)(,)(σμ==i i X D X E
因而
∑∑======9
7
2611)(31)(,)(61)(i i i i Y E Y E X E Y E μμ
即
,
3
1
)(91)31()(,61
)(361)61()(,0)()()(2979722616112121σσμμ∑∑∑∑===========-=-=-i i i i i i i i X D X D Y D X D X D Y D Y E Y E Y Y E
且
,2
1
3161)()()(2222121σσσ=+=+=-Y D Y D Y Y D
因而
)2
,
0(~2
21σN Y Y -
即
)1,0(~2
2
1N Y Y σ
-
922
112627892712111(...),(),(),
632)
,i i Y X X X Y X X X S X Y Y Y Z Z S
==+++=++=--=
∑试问统计量服从什么分布？
129
,,...,X X X
时）（可知）（，）时（∑∑==-=-=97i 2
2i 222
2n 1i i 21),1-n (~1-n 1-n 1Y X S S X X S χσ
)2(~222
2
χσ
S
由1Y ,2Y 及2S 均是1X ，2X ，...，9X 的函数且1X ，2X ，...，9X 相互独立，可知1Y ，1Y 及2S 也相互独立，进而21Y Y -与2S 也相互独立。

又
)1,0(~2
2
1N Y Y σ
-，
)2(~222
2
χσS
可知
)2(~)
(22
22212
2
2
1t S
Y Y S Y Y -=
-σ，即)2(~t Z 6. （本题10分）设1X ，2X ，...，n X 为总体的一个样本，1x ，2x ，...，n x 为一相应的样本值。

求下面总体函数未知参数的矩估计量和最大似然估计值。

⎩⎨
⎧>=+-其他,0,)()1(c x x c x f θθθ
其中0>c 为已知参数，1>θ，θ为未知参数。

解：
(1) 求一个未知参数的矩估计量首先求总体X 的数学期望，然后令总体数学期望等于样本均
值，解方程，得未知参数的 矩估计量。

1
)1(|)11()(11)1(-=
--=-===-∞
++-∞
+-+-+∞
⎰
⎰θθθθθθθθθ
θθθ
θθθθc c c x c dx
x c dx
x c x X E c
c
C
对样本的一组观察值1x ，2x ，...，n x ，得样本均值x 。

令x c
=-1θθ，解得 c
x x -=∧θ，即为θ的矩估计值 那么c
X X -=∧
θ为θ的矩估计量。

其中∑==n i i X n X 11是随机变量，表示对样本的不同观察值，它
的取值不同，所以c
X X
-=
∧
θ是随机变量。

(2)对样本的一组观察值1x ，2x ，...，n x ，似然函数为
)1(11
)
1()()(+-==+-∏∏==θθ
θθ
θθθn
i i n n n
i i
x c x c L )(c x i >
两边去对数 ∑=+-+=n
i i x c n n L 1
ln )1(ln ln )(ln θθθθ
对θ求倒数
0ln ln )(ln 1
=-+=∑=n
i i x c n n
d L θθθ 得θ的最大似然估计值为 ∑=∧
-=
n
i i
c
n x n
1
ln ln θ
θ的最大似然估计量为 ∑=∧
-=
n
i i
c
n X
n
1
ln ln θ
7. （本题15分）已知总体，未知，是总体的一个样本
（1）就μ是否大于已知数μ0，求假设检验的拒绝域，显著性水平为α；
（2）若样本容量为20，样本均值等于3100，样本标准差等于170，α等于0.01，判断μ>μ0=3000是否成立？
0.005(19) 2.861t =， 0.01(18) 2.552t =，0.005(18) 2.878t =，
0.01(19) 2.54t =，851.32)19(025.02=χ
解： （1）
以其无偏
估计——样本标准差S 代替，则
设H 0成立，由t 分布可构造小概率事件
由此可得拒绝域为
（2）
，
8. （本题15分）设
（1）证明
为平稳随机序列；
（2）求该平稳随机序列的功率谱密度。

解：（1）
（2）
该平稳序列的相关函数可表示为
则由维纳-辛钦定理，其功率谱密度为。