数值计算方法 复化求积公式 - 复化求积公式

nn
(t
0 j0
j )dt
jk
柯
特点： 插值型的、节点等距
特 斯
存在问题： 节点较多时，高次插值的不稳定导致高阶N-
公
K
式
解决办法公：式的复不化稳求定积。
复化求积法：区间分成若干子区间,在每个子区间上用低 阶求积公式。
N=1时的牛-柯公式
1
梯 形 公 式 T b a f a f b
牛 顿 －
xk1 xk
f
( x )dx
h[ 2
f
(xk )
f
(
xk
1
)]
h3 12
f ''(k )
k [ xk , xk1]
求和可得
I
b
n1
f (x)dx
xk1 f ( x )dx
a
k0 xk
h 2
n1
[
k0
f
(
xk
)
f ( xk1)]
Rn ( f )
2
记
Tn
h 2
n1 k0
[
f
(
xk
)
f ( xk1)]
b
lim
n
T
n
a
f ( x)dx,
复 化
事实上
h n1
Tn
2
[
k0
f
(
xk
)
Hale Waihona Puke f ( xk1 )]梯 形 公
1 b a n1
ba n
2 n
f (xk )
k0
n
f ( xk ).
k 1
式 的 收
lim
n
Tn
1 2
lim
n
ba n
n1 k0
f (xk )
lim
n
ba n
n k 1
f ( xk )
f (4) ( ) (b a ) 5 2880
f (4) ( )
[a,b]
将 区 间[a， b ]分 为 n等 分 ，
2
分点
xk
a
kh,
h
b
n
a
,
k
0,1,, n,
复
在 每 个 子 区 间[ x k , x k 1 ]( k 0,1, , n 1) 上 引 用 梯 形 公 式
化 梯 形 公 式
复 化 辛
h m
3
[ f ( x2k2 ) 4 f ( x2k1 )
k 1
f ( x2k )]
Rn( f )
普 森 积
记 S n
hm
3
[
k 1
f
( x2k2 )
4
f
( x2k1 )
f ( x2k )]
分
公 式
h
m
m 1
[ f (a) 3
f (b) 4
k 1
f ( x2k1 ) 2
{
k
}
(b
a
)
max
0 k n
{
k
}
的
稳
因此，无论n多大，复化梯形公式是数值稳定的。
定
性
将 区 间[a ， b ]分 成 n 2 m 等 分 ，
5
复
分点
xk
a
kh, h
b
a n
,k
0,1, , n,
化 辛
在 每 个 子 区 间[ x 2 k 2 , x 2 k ]上 引 用
普 森 积
辛普森公式得:
2
余项为:
RT
f ''( ) (b a )3 , [a , b]. 12
柯
公 式 具 有 一 次 代 数 精 度.
特
辛 普 森 公 式. N=2时的牛-柯公式
斯 公 式
S
b
6
a
f
a
4
f
a
2
b
f
b
余项为:
公 式 具 有 三 次 代 数 精 度.
Rs
b a b a 4 180 2
第 四
数值微积分
章
第四章 数值微积分
1 数值积分方法 2 求积公式的代数精度 3 复化求积方法 4 龙贝格方法 5 高斯求积方法 6 数值微分
回顾牛顿-柯特斯公式 复化梯形公式 复化辛普森求积公式
1
b a
f ( x)dx
b a
n
C
n
k
f
(
x
k
)
k0
牛 顿 －
其
中
：C
( k
n
)
( 1) n k k!(n k)!n
b
lim
n
Sn
a
f ( x)dx,
复 化 辛 普 森
事实上
Sn
h [ f (a) 4 m
3
k 1
m 1
f ( x2k1 ) 2
k 1
f (x2k )
f (b)]
1
ba m
b a m1
[hf (a) 4 3
2m
f ( x2k1 ) 2
n1
2
k 1
f
(xk )
f (b)]
复化梯形公式
3
余项为:
RT
nh 3
12
f '' ( ) b a h 2 f '' ( ) 12
(a,b)
复
由梯形公式的截断误差，有
化 梯 形
x k 1
f ( x)dx
xk
h 2
[
f
(
xk
)
f
(
xk1
)]
h3 12
f ( k )
公 式 的 余 项
RT ( f )
敛
1 [
b
f ( x)dx
b
f ( x)dx]
b
f ( x)dx
2a
a
a
说 明 复 化 梯 形 公 式 是 收敛 的 。
4
设 计 算f ( x k )时 产 生 的 误 差 为 k , 则 按 上 述 公 式
复
计算时产生的误差为：
化
梯
形 公 式
h 2
0
n
n1
2 k
k 1
n
h
max
0 k n
积 分 公
f
(4) ( x )在[a , b]连 续 ， 故
(a,b), 使 得f
(4 ) ( )
1 m
m k 1
f
(4) ( k )
式
的 余 项
RS ( f )
b a
f ( x)dx
Sn
(2h)5 2880
mf
(4) ( )
ba 180
h4
f
(4) ( ),
(a,b)
6
注意
f ( x ) C [a , b]时 , 可 以 证 明
S
b
6
a
f
a
4
f
a
2
b
f
b
分 公 式
x2k x2 k 2
f (x)dx
x2k
x2k2 6
[
f
( x2k 2
)
4
f
( x2k 1 )
f (x2k )]
h 3
[
f
(
x2k
2
)
4
f
(
x2k
1 )
f (x2k )]
5
b
m
I f ( x)dx
x2k f ( x )dx
a
k 1 x2k2
复
则
Tn
h 2
[
f
(
x
0
)
n1 k 1
f (xk )
n2 k0
f ( xk1)
f (xn )]
化 梯
注意到:
f ( x0 ) f (a), f ( xn ) f (b)
形 公 式
h[ f (a) 2
n1 k 1
f (xk )
n1 k 1
f (xk )
f (b)]
h[ 2
f
(a)
k 1
f ( x2k )]
复化辛普森公式
6
其余项为:
复 化
Rs
m (2h)5
2880
f (4) ( ) b a h4
180
f (4) ( )
[a,b]
辛 普 森
RS ( f )
b a
f ( x)dx
Sn
(2h)5
2880
m k 1
f (4) ( k ), k [ x2k 2 , x2k ]
b a
f ( x)dx Tn
h3 n1
12 k0
f ( k )
f
( x )在[a , b]连 续 ， 故
(a,b), 使 得f
( )
1 n
n1 k0
f
( k )
RT ( f
)
b a
f ( x)dx Tn
h3 12
nf ( )
ba 12
h2
f ( )
3
f ( x ) C 2[a , b]时 , 可 以 证 明