数值分析 第1-4章习题

第1-4章

一、叙述

1．内积

2．泛函数列强收敛

3．Bessel不等式

4．距离空间、赋范线性空间、内积空间的关系。

5．Cauchy点列

6．距离空间的稠密性、可分性

7．范数

8．Cauchy-Schwarz不等式

9．赋范线性空间成为内积空间的条件

10．广义Fourier级数

11．商高定理并证明。

12．内积与范数关系。

13．叙述并证明距离成为赋范线性空间的条件。

二、举例

1.完全规范正交系

2.有界线性泛函，有界非线性泛函。

3.不完备的线性空间

4.Bessel不等式

5.由内积导出的范数

6.由内积导出的距离

7.不完备的内积空间

8.Cauchy点列

9.泛函的范数

10.距离空间的稠密性和可分性，并各举一例。

X的强收敛，举例。

11.

n

12.线性算子、非线性算子各一例。

13.稠密子集

14.不完备的内积空间

Xρ中子集合A在子集合B中稠密的概念，并举例说明。

15.距离空间(,)

16.什么是可分的Hilbert空间，并举例说明。

17.什么是巴拿赫(Banach)空间，举一个Banach空间的例子。

18.

19.

三、证明

T有界。

1.线性算子T有界的充要条件是||||

2. 设(,)x y ρ为距离空间X 的距离，证明：(,)1(,)

x y x y ρρ+也是距离空间的距离。 3. 证明内积(,)x y 是,x y 的连续泛函。

4. 证明距离空间中，距离(,)x y ρ是两个变元,x y 的连续函数。

5. 距离空间成为赋范线性空间的条件，并证明。

6. 由范数的三角不等式推出||||||||||||||x y x y −≤−，并由此推出范数的连续性。

7. 在实数空间中，求证||(,)1||

x y x y x y ρ−=+−满足距离公理。 8. 赋范线性空间(,||||)E i 也是距离空间；

9. 当距离空间(,)X ρ满足下列两个条件时，也是赋范线性空间：（1）X 是线性空间；

（2）(,)(,0),(,)||(,0)x y x y x y x ρρρααρ=−=。

10. 设n n A R ×∈为非奇异矩阵，定义2||||||||A x Ax =，证明：||||A x 是上向量n

R 的一种范数。

11. 叙述内积的定义以及内积满足的Cauchy-Schwarz 不等式。

12. 设矩阵n n A R ×∈，证明不等式()||||(||||)v v A A A ρ≤为算子范数；

13. 证明满足下列条件的距离空间是赋范线性空间（取范数为||||(,0)x x ρ=）(i)是线性

空间(ii)(,)(,0)x y x y ρρ=−(iii)(,0)||(,0)x x ρααρ=

14. 设T 为线性算子，证明T 有界的充要条件为||||T 有界。

15. 利用商高定理和1(,)n i i i x x e e ==∑，证明2

21|||||(,)|n i

i x x e ==∑

16. 证明H 空间中任一组线性无关的元素12{,,,,}n g g g ……都可以规范正交化。

17. 证明在H 空间中，一下四个命题等价：(1) 12{,,,,}n e e e ……为完全规范正交系； (2)

设12{,,,,}n M span e e e =……，则M H =； (3) 对任意的x H ∈，Parseval 等式成立；(4) 对任意的x H ∈，有1(,)n

i i i x x e e ==

∑

四、简答题

1． 在2

[,]a b L 上对任意2

[,]()a b x t L ∈作()()b

a f x x t dt =∫，求||||f 。

2． 在[,]C a b 上对任意()x t 作泛函()()b a f x x t dt =

∫，求||||f 。 3． 试说明[,](),()()b a b a x t C f x x t dt ∀∈=

∫是从[,]C a b 到R 的有界线性泛函。 4． 在数集1R 中，若定义(,)||d x y x y =−，问1(,)R d 是否为距离空间，并说明理由。

5． 说明1(,)min ||i i i n

x y x y ρ≤≤=−是否满足距离公理。

五、填空题

1. 已知1,E E 是同一数域K 上的赋范线性空间，T 是由E 到1E 的有界线性算子，则T 的范数定义为 。

2. 已知U 为定义在数域K 上的内积空间，则对于x U ∀∈，由内积导出的范数为 。

3. 设H 是Hilbert 空间，(,)x y 是H 的内积，内积的Cauchy-Schwarz 不等式为 ，由内积导出范数的公式为 。

4. 已知f 是定义在赋范线性空间E 上的有界线性泛函，f 的算子范数||||f 定义为 。