中考考试二次函数专题复习

中考二次函数专题复习
知识点归纳：一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如y ax2 bx c（a，b，c是常数，a 0 ）的函数，
叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a 0，而b，c 可以为零．次函数的定义域是全体实数．
2. 二次函数y ax2 bx c 的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．
⑵ a ，b ，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数， c 是常数项．二、二次函数的
基本形式
1. 二次函数基本形式：y ax2的性质：
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. y ax2 c 的性质：上加下减。

左加右减。

3. y a x h 的性质：
a0 向下
h ，k
X= h x h 时， y 随 x 的增大而减小； x h 时， y 随 x
的增大而增大； x h 时， y 有最大值 k ．
三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：
2
方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 y a x h k ，确定其顶点坐标 h ，k ； ⑵ 保持抛物线 y ax 2 的形状不变，将其顶点平移到
h ，k 处，具体平移方法如下：
2.
平移规律
在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移” ．
概括成八个字“左加右减，上加下减” ．
方法二：
⑴ y ax 2 bx c 沿 y 轴平移 : 向上(下)平移 m 个单位， y ax 2 bx c 变成
y ax 2 bx c m (或 y ax 2 bx c m )
⑵ y ax 2 bx c 沿轴平移：向左(右)平移 m 个单位， y
ax 2 bx c 变成
y a(x m)2 b(x m) c (或 y a(x m)2
b(x m) c )
四、二次函数 y a x h k 与 y ax 2 bx c 的比较 从解析式上看， y a x h k 与 y ax 2 bx c 是两种不同的表达形式，后者通过配 方可以得到前者，即 y a x b 4ac b ，其中 h b ，k 4ac b ．
2a 4a 2a 4a
2
五、二次函数 y ax 2 bx c 图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数 y ax 2 bx c 化为顶点式 y a(x h)2 k ，确定 其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图 . 一般我们选取 的五点为：顶点、与 y 轴的交点 0，c 、以及 0，c 关于对称轴对称的点 2h ，c 、与 x 轴 的交点 x 1，0 ， x 2，0 (若与
x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点) .
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 x 轴的交点，与 y 轴的交点 . 六、二次函数 y ax 2 bx c 的性质
2
1. 当 a 0 时，抛物线开口向上，对称轴为 x b ，顶点坐标为 b ，4ac b ．
2a 2a 4a
当 x 2b a
时， y 随 x 的增大而减小；当 x 2b a 时， y 随 x 的增大而增大；当 x 2b a
y=ax 2
平移 |k|个单位
y=a (x-h)2
向右(h>0) 【或左
(h<0)】 平移 |k|个单位
y=a (x-h) 2+k
时， 2
y 有最小值 4ac b ．
4a
2. 当 a 0 时，抛物线开口向下，
对称轴为 x b ，顶点坐标为
2a
2
b ，4a
c b 2 2a
4a
向右(h>0)【或左 (h<0)】 向上(k>0) 【或下 (k<0)】平移|k|个单位
向上 (k>0)【或下 (k<0) 平移 |k|个单位
向右(h>0)【或左 (h<0)】 平移 |k|个单位
向上(k>0)【或向下 (k<0)】平移 |k|个单位 y=ax 2+k
七、二次函数解析式的表示方法
1.
一般式： y ax 2 bx c (a ，b ，c 为常数， a 0)； 2.
顶点式： y a(x h)2 k (a ，h ， k 为常数， a 0)；
3.
两根式：
y a(x x 1)(x x 2)
(a 0， x 1， x 2是抛物线与 x 轴两交点的横坐标)
注意： 任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式， 但并非所有的二次函数都可 以写成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即 b 2 4ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点 式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化 .
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数 a
二次函数 y ax 2 bx c 中， a 作为二次项系数，显然 a 0．
⑴ 当 a 0时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开 口越
大；
⑵ 当 a 0时，抛物线开口向下， a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，开 口越
大．
总结起来， a 决定了抛物线开口的大小和方向， a 的正负决定开口方向， a 的大小决定 开口的大小．
2. 一次项系数 b 在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴．
⑴ 在 a 0 的前提下，
当 b 0 时， b
0 ，即抛物线的对称轴在 y 轴左侧； 2a
当 b 0 时， b
0 ，即抛物线的对称轴就是 y 轴； 2a
当 b 0 时，
b 0
，即抛物线对称轴在 y 轴的右侧． 2a
⑵ 在 a 0 的前提下，结论刚好与上述相反，即
当 b 0 时，
2b
a 0
，即抛物线的对称轴在 y 轴右侧；
当 b 0时， 2b
a 0，即抛物线的对称轴就是 y 轴；
当 b 0时， b 0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的左侧．
2a
总结起来，在 a 确定的前提下， b 决定了抛物线对称轴的位置．
ab 的符号的判定：对称轴 x b 在 y 轴左边则 ab 0，在 y 轴的右侧则 ab 0， 2a
概括的说就是“左同右异”
y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与
y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，即抛物线与
x b 时， y 随 x 的增大而增大；
2a x b 时， y 随 x 的增大而减小；当 2a
x
b
时， y 2a
有最大值
4ac b 2
4a
3.
⑴ 常数项 c 当 c 0 时， 抛物线与
正
；
0； ⑵ 当 c 0 时， 抛物线与 负． ⑶ 当 c 0 时， 抛物线与
y 轴交点的纵坐标为
y 轴交点的纵坐标为
总结：
总结起来， c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要 a ，b ，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．
二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
九、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达
1. 关于x 轴对称
y ax2 bx c关于x 轴对称后，得到的解析式是y ax2 bx c；22
y a x h k 关于x 轴对称后，得到的解析式是y a x h k ；
2. 关于y 轴对称
y ax2 bx c关于y 轴对称后，得到的解析式是y ax2 bx c ；
22 y a x h k 关于y 轴对称后，得到的解析式是y a x h k ；
3. 关于原点对称
y ax2 bx c 关于原点对称后，得到的解析式是y ax2 bx c ；
22
y a x h k 关于原点对称后，得到的解析式是y a x h k ；
4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180 °
y ax bx c 2b a
y ax2 bx c 关于顶点对称后，得到的解析式是
2
y a x h k 关于顶点对称后，得到的解析式是
5. 关于点m，n 对称
2
y a x h k关于点m，n 对称后，得到的解析式是
2
y a x h 2m 2n k
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
十、二次函数与一元二次方程：
1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程ax2 bx c 0
是二次函数y ax2 bx c 当函数值y 0 时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：
①当b2 4ac 0时，图象与x轴交于两点 A x1，0 ，B x2 ，0 （x1 x2），其中的
x1，x2 是一元二次方程ax2bx c 0 a 0 的两根．这两点间的距离
AB
b24ac x2 x1 b a4ac .
②当0时，图象与x 轴只有一个交点；
③当0 时，图象与x 轴没有交点.
1' 当a 0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y 0 ；2' 当a 0 时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有y 0 ．
2. 抛物线y ax2 bx c 的图象与y 轴一定相交，交点坐标为（0 ，c）；
3. 二次函数常用解题方法总结：
⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶ 根据图象的位置判断二次函数y ax2 bx c中 a ，b ，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.
⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2 bx c（a 0）本身就是所含字
母x的二次函数；下面以 a 0 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系
师生共同学习过程：
知识梳理：
练习：
1. 抛物线y 3（x 1）2 2 的对称轴是（）
A．x 1 B ．x 1 C．x 2 D ．x 2
2. 要得到二次函数y x2 2x 2的图象，需将y x2的图象（）．
A．向左平移 2 个单位，再向下平移 2 个单位
B．向右平移 2 个单位，再向上平移 2 个单位
C．向左平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位
D．向右平移 1 个单位，再向下平移 1 个单位最新考题
1.（ 2009 年四川省内江市）抛物线y （x 2）2 3的顶点坐标是（）
A．（2，3） B ．（－2，3） C ．（2，－3） D ．（－2，－3）
2.（2009 年泸州）在平面直角坐标系中，将二次函数y 2x2的图象向上平移 2 个单位，所得图象的解析式为
A．y 2x2 2 B ．y 2x 2 2
22
C．y 2（x 2）2D ．y 2（x 2）2
知识点2：二次函数的图形与性质
2
例1：如图 1 所示，二次函数y=ax2+bx+c 的图象开口向上，图象经过点（－1，2）和（1，0）且与y 轴交于负半轴.
第（1）问：给出四个结论：① a>0；②b>0; ③c>0；④a+b+c=0，其中正确的结论的序号是.
第（2）问：给出四个结论：① abc<0；② 2a+b>0; ③a+c=1; ④ a>1.其中正确的结论的序号是________ .
例2：抛物线y=－x 2+（m－1）x+m与y 轴交于（0，3）点，（1）求出m的值并画出这条抛物线；（2）求它与x 轴的交点和抛物线顶点的坐标；（3）x 取什么值时，抛物线在x 轴上方? （4）x 取什么值时，y 的值随x 的增大而减小？
思路点拨：由已知点（0，3）代入y=－x2+（m－1）x+m即可求得m 的值，即可知道二次函数解析式，并可画出图象，然后根据图象和二次函数性质可得（2）（3）（4）.
解：（1）由题意将（0，3）代入解析式可得m=3，
∴ 抛物线为y=－x2+2x+3.
图象（图2）：
（2）令y=0，则－x2+2x+3=0，得x1=－1，x2=3；
∴ 抛物线与x 轴的交点为（－1，0），（3，0）. 22
∵ y= －x2+2x+3=－（x －1）2+4，
∴ 抛物线顶点坐标为（1，4）；
（3）由图象可知：当－1<x<3 时，抛物线在x 轴上方；（4）由图象可知：当x>1 时，y 的值随x 值的增大而减小. 练习：
1. 如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确．．．的是（）A．h
m B．k n C．k n D ．h 0，k 0
x
1013
y3131
3. （2009 年台州）已知二次函数y ax 2 bx c 的y 与x 的部分对应值如下表：
B ．抛物线与y 轴交于负半
轴
最新考题
1. （2009 深圳）二次函数y ax2bx c 的图象如图所示，若点A（1，
y1）、B（2，y2）是它图象上的两点，则y1与y2 的大小关系是（）
A ．y1 y2
B ．y1 y2 C．y1 y2 D ．不能确定
2. （2009北京）如图，C为⊙ O直径AB上一动点，过点C的直线交
于D、E 两点，且∠ ACD=45°，DF⊥ AB于点F,EG⊥AB于点G,当点 C 在AB
上运动时，设AF=x ，DE=y ，下列中图象中，能表示y与x的函数关系式的图象大致是（）
A．抛物线开口向上
C．当x＝4时，y >0 D
a≠ 0）的图象可能是
（
E
B
随楼层数 x （楼）的变化而变化（ x =1，2，3， 4，5，6，7，8）；已知点（ x ，y ）都在一个 二次函数的图像上（如图 6 所示），则 6 楼房子的价格为 思路点拨：观察函数图像得：图像关于 x 4 对称， 当 x 2时， y=2080元. 因为 x=2 到对称轴的距离 与 x=6 到对称轴的距离相等。

所以，当 x 6时， y=2080 元.
练习：
1.出售某种文具盒， 若每个获利 x 元，一天可售出 6 x 个，则当 x
一天出售该种文具盒的总利润 y 最大．
2. 如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位 AB 时，宽 20cm ，水位上升 3m 就达到警戒线 CD ，这时水面宽度为 10cm.
（ 1）在如图所示的坐标系中求抛物线的解析式； （ 2）若洪水到来时， 水位以每小时 0.2m
1. （ 2009 年台湾）向上发射一枚炮弹，经 x 秒后的高度为 y 公尺，且时间与高度关系
2
为 y =ax 2 bx 。

若此炮弹在第 7 秒与第 14 秒时的高度相等，则再下列哪一个时间的高度是最 高的？（ ）
A ． 第8秒 B. 第10秒 C. 第12秒 D. 第15秒
2.（2009 年河北 ） 某车的刹车距离 y （m ）与开始刹车时的速度 x （m/s ）之间满足二次函数
y 1 x 2 （ x > 0），若该车某次的刹车距离为 5 m ，则开始刹车时的速度为（
）
20
A ．40 m/s
B ．20 m/s
C ．10 m/s
D ．5 m/s
中考压轴题分析：
例： . 如图，直线 y 33
x 3 分别与 x 轴、 y 轴交于点 A 、B ，⊙ E 经过原点 O 及 A 、B 两
3
点．
1） C 是⊙ E 上一点，连结 BC 交 OA 于点 D ，若∠ COD ＝∠ CBO ，求点 A 、 B 、C 的坐
标；
2）求经过 O 、C 、A 三点的抛物线的解析式：
3）若延长 BC 到 P ，使 DP ＝2，连结 AP ，试判断直线 PA 与⊙ E 的位置关系， 并说明理
由．
元 / 平方米．
元时，
解：（
N（如
图）．3
∵ A、B是直线y x 3 分别与x 轴、y 轴的交点．∴
3
A (3，0)，B(0, 3)
又∠ COD＝∠ CBO．∴ ∠CBO＝∠ ABC．∴ C 是的中点．∴ EC⊥ OA．
∴ ON 1
OA
3
,EN
OB 3
2 2 2 2
连结OE．∴ EC OE 3 ．NC EC EN 3
2
．∴ C 点的坐标为（32, 23）．
2）设经过O、C、A三点的抛物线的解析式
为
y ax x 3 ．
∵ C ( 3, 3)．
22
2 3 2 2 3
∴ y x2x 为所求．
98
3 3)∵ tan BAO ，
3 3 a 3 (3 3) ．
2 2 2
∴ ∠BAO＝
30°
由（1）知∠ OBD＝∠ ABD．
∴ OD＝OB·tan30 °－1．
∵ ∠ ADC＝∠ BDO＝60°，
∴ △ ADP是等边三角形．∴
，∠ ABO＝
50°．
∴ OBD 1 ABO 1 60 30 ．
22
∴ DA ＝
2．
PD＝AD＝
2．
∠DAP＝60°．
∴ ∠ BAP＝∠ BAO＋∠ DAP＝30°＋60°＝90°．即PA⊥AB．
即直线PA是⊙ E的切
线．
课后检测：
一、选择题
1．抛物线y=－2（x－1）2－3与y轴的交点纵坐标为（）
A）－3 （B）－4 （C）－ 5 （Ｄ）－1
2．将抛物线y=3x2向右平移两个单位，再向下平移 4 个单位，所得抛物线是（）
2 2 2 2
(A) y=3( x+2) 2+4 (B) y=3(x－2)2+4 (C) y=3( x－2)2－4 (D) y=3(x+2)2－4
3．抛物线y = 1x2，y =－3x2，y =x2的图象开口最大的是（
2
1 2 2 2
（A）y = x （B）y =－3x （C）y =x （D）无法确定
2
4．二次函数y =x2－8x+c 的最小值是0，那么 c 的值等于（
（A）4 （B）8 （C）－ 4 （D）16
5．抛物线y=－2x2+4x+3 的顶点坐标是（）
（A）（－1，－5）（B）（1 ，－5）
(D) ( －2，－7)
（C）（－1，－4）
6．过点（1 ，0），B（3 ，0），C（－1，2）三点的抛物线的顶点坐标是（）
21
（A）（1 ，2）（B）（1 ，）（C）（－1，5）（D）（2 ，）
34
7．若二次函数y=ax2+c，当x 取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x 取x1+x2 时，
函数值为（）
（A）a+c （B）a－c （C）－ c （D）c
8．在一定条件下，若物体运动的路程s米）与时间t（秒）的关系式为2
s 5t2 2t ，则当物体经过的路程是88 米时，该物体所经过的时间为（
(A)2 秒(B) 4 秒(C)6 秒(D) 8 秒
9．如图2，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的
点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s ，AE为x ，则s 关于的函数图象大致是（）
图2
（A ）（B）（C）
x
D）
2
1
10．抛物线 y =ax 2+bx +c 的图角如图 3，则下列结论：① abc >0；② a +b +c =2；③ a > ；
二、填空题
1．已知函数 y =ax 2+bx +c ，当 x =3 时，函数的最大值为 4，当 x =0 时， y =－ 14，则函数
关系式 ___ ．
2．请写出一个开口向上，对称轴为直线 x =2，且与 y 轴的交点坐标为 （0 ，3） 的抛物
线
的解析式 ．
3．函数 y x 2 4的图象与 y 轴的交点坐标是 ___________ ．
2
程 ax 2+bx +c =0（ a ≠ 0）的解是 _ ．
7．用配方法把二次函数 y =2x 2+2x －5化成 y =a （ x －h ）2+ k 的形式为 ________ ． 8．抛物线 y =（m －4） x 2－ 2mx －m －6的顶点在 x 轴上，则 m = ．
9．若函数 y =a （ x － h ） 2+k 的图象经过原点， 最小值为 8，且形状与抛物线 y =－2x 2－2x +3 相同，则此函数关系式 ．
10．如图 1，直角坐标系中一条抛物线经过网格点 A 、 B 、C ，其中， B 点坐标为 （4，
4） ，
则该抛物线的关系式 _________ ．
④b <1．其中正确的结论是（ ） （A ）①② （B ）②③
（C ）
②④
4．抛物线y= （x –1）2–7 的对称轴是直线．
2
5．二次函数y=2x2－x－3 的开口方向____ ，对称轴______ ，顶点坐标 ______ ．
2
6．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x 轴的两个交点的坐标是（5，0），（－2，0），则方
三、解答题
21．已知一次函y m 2 x2 m 3 x m 2 的图象过点（0，5）
⑴ 求m的值，并写出二次函数的关系式；
⑵ 求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴．
22．已知抛物线y ax2bx c 经过（－1，0），（0，－3），（2，－3）三点．
⑴求这条抛物线的表达式；
⑵写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
23．有一个抛物线形的桥洞，桥洞离水面的最大高度
BM为 3 米，跨度OA为6米，以OA所在直线为x 轴，O为
原点建立直角坐标系（如右图所示）．
⑴请你直接写出O、A、M三点的坐标；
⑵一艘小船平放着一些长 3 米，宽 2 米且厚度均匀的矩形木板，要使该小船能通过此桥洞，问这些木板最高可堆放多少米（设船身底板与水面同一平面）？
24．甲车在弯路作刹车试验，收集到的数据如下表所示：速度x（千米/
小时）05101520
25
35
4
刹车距离y
（米）0
3
4
215
4
6
（1）请用上表中的各对数据（x，y）作为点的坐标，在右图所示的坐标系中画出甲车刹车距离y（米）．
（2）在一个限速为40 千米/时的弯路上，甲、乙两车相向速
度x （千米/ 时）的函数图象，并求函数的解析式．
而行，同时刹车，但还是相撞了．事后测得甲、乙两车的刹车距
离分别为12 米和10.5 米，又知乙车的刹车距离y（米）与
1
速度x （千米/ 时）满足函数y x ，请你就两车的速度方面分
4
析相撞的原因．
25．某企业投资100 万元引进一条产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利33万．该生产线投产后，从第 1 年到第x年的维修、保养费用累计为y （万元），且y=ax2+bx，若第 1 年的维修、保养费用为 2 万元，第 2 年为 4 万元．（1）求y 的解析式；
（2）投产后，这个企业在第几年就能收回投资？
2
．方程ax2 bx c 0的正根在3与4 之间知识点3：二次函数的应用
例1：如图，从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度
h （单位：米）与小球运动时间t （单位：秒）的函数关系式是h 9.8t 4.9t2，那么小
球运动中的最大高度h最大。