一元二次不等式恒成立问题(高三一轮)

一元二次不等式恒成立问题

“含参不等式恒成立问题”是数学中常见的问题，在高考中频频出现，是高考中的一个难点问题。含参不等式恒成立问题涉及到一次函数、二次函数的性质和图像，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用，因此也成了历年高考的一个热点。而最常见的就是不等式恒成立求参数的取值范围，以下是这类问题的几种处理策略。

题型一 定义域为R 时

设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；

（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a

（注意：若二次项系数含参时，要讨论为0的情况）

例1.若不等式232kx +k 08

x -<对任意实数x 恒成立，求k 取值范围 变式1：设a 是常数，对任意2,10,x R ax ax ∈++>则a 的取值范围是（ ）

变式2：若关于x 的不等式

221)(1)20m x m x -+-+<（解集为∅，求实数m 的取值范围. 题型二 定义域不为R 时

策略1. 参变分离策略 将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题 例2 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.

若对于[]1,3,()5x f x m ∈<-+恒成立，求m 的取值范围。 策略 2. 函数最值策略 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法,

只要利用m x f >)(恒成立m x f >⇔m in )(；m x f <)(恒成立m x f <⇔m ax )(

例2 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.

若对于[]1,3,()5x f x m ∈<-+恒成立，求m 的取值范围

策略3.零点分布策略 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于零的问题,可以考虑函数的零点分布情况,要求对应闭区间上函数图象在x 轴的上方或在x 轴上就行了. 例2 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.

若对于[]1,3,()5x f x m ∈<-+恒成立，求m 的取值范围

[][]2221,2,2,3xy ax y x y ≤+∈∈变式2.已知不等式对任意恒成立，

a 则实数的取值范围是 .

题型三 给定参数范围的恒成立问题

策略 变换主元 对于含有两个参数，且已知一参数的取值范围，可以通过变量转换，构造以该参数为自变量的函数，利用函数图象求另一参数的取值范围。 确定主元的原则：已知谁的范围，谁就是主元； 求谁的范围，谁就是参数。

例 3 若对于任意[1,1]k ∈-，函数2

()4)42（f x x k x k =+

-+-的值恒大于0，则x 的取值范围是 ． 变式 若不等式221(1)x m x ->-对 []2,2m ∀∈- 恒成立，求x 的范围。

巩固练习

1.不等式2230mx mx +-≤对一切x R ∈恒成立，则实数m 的取值范围是（）

A ．()30-， B. (]30-，C ． [)30-，D ．[]30-，

2.对任意的实数x ，不等式30x x a -+->恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）

3.若不等式290x tx -+≥对于任意()0.x ∈+∞都成立，则t 的最大值是 .

4.若关于x 的不等式2(2)120x a x a +--->对任意的[]2,2a ∈-均成立，

则x 的取值范围是 .