物理-线性厄米算子 力学量算子

出。为了证明它的厄米性，任取两个波函数：
(x) 和(x)，由
pˆ x i
d dx
*( x)(i
d )(x)dx i
dx
*( x)( x)
i
(x)
d *( x)dx
dx
*(x)Fˆ(x)dV (x)[Fˆ (x)]*dV
*( x)(i
d )(x)dx i
dx
*( x)( x)
二、线性厄米算子的本征值和本征函数 定理1：线性厄米算子的本征值都是实数。 厄米算子的本征值方程：Fˆ n Fn n
Fn Fn*
定理2：线性厄米算子属于不同本征值的本征函 数正交。 Fˆ n Fn n Fˆ m Fm m
定理3：线性厄米算子的本征函数作为基矢张起 一个完备的矢量空间。
三、力学量用线性厄米算子表示
量子力学中如何由状态给出力学量的取值？
§4.1 线性厄米算子 力学量算子
一、线性厄米算子
i E t
2
2 2m
能量算子 动能算子
i p 动量算子
U (r , t) 位能算子
2
2 U (r , t) Hˆ 2m
Hamiltonian算子
线性算子：Fˆ
Fˆ (1+ 2 ) Fˆ1+ Fˆ 2
i
(x)
d *( x)dx
dx
由于： *(x)( x)
0
*(x)(i
d )(x)dx (x)[i
d (x)]*dx
dx
dx
可以证明：能量算子，动能算子， Hamiltonian算子等
都是线性厄米算子。
2
2 2m
动能算子
2
2 U (r , t) Hˆ 2m Hamiltonian算子
经典物理描述的特征是连续性和决定论。一切物理量 都是连续变化的，物理量的连续变化都受到物理定律 的严格制约，由系统的现在状态可以完全确定将来。
在经典物理中，状态给定后坐标和动量同时取确定值， 其他力学量（如角动量、能量等)可表示成坐标和动量 的函数。其取值可由坐标、动量直接给出。
在量子力学中，状态用波函数描述。给定状态中坐标 和动量不能同时取确定值，力学量取值和状态之间就 没有经典物理中那样直接的、单值决定的函数关系。
Lx ypz zpy Ly zpx xpz Lz xpy ypx
即：
Lˆx ypˆ z zpˆ y i
(y z ) z y
Lˆ y zpˆ x xpˆ z i
(z x ) x z
Lz
xpˆ y ypˆ x i
(x y ) y x
Lˆ x
-i
(y z ) z y
x
xˆ,
p
i
Tˆ 2 2 2m
量子力学的第四条基本假设：
量子力学中的每个力学量 F 都用一个线性厄米算子 Fˆ 表示。测量力学量 Fˆ 的可能值谱就是算子Fˆ 的本征值
谱；仅当系统处在 Fˆ 的某个本征态 n时，测量力学量 F 才能得到唯一确定的结果Fn，即算子Fˆ 属于本征态 n
的本征值。
是粒子在 处出现的几率。
势能U(r)的平均值 动量算符 的平均值
例. 质量为m的粒子，被限制在阱宽为a 的无限深势阱中,其
状态为
(x) 8 (1cos x)sin x
5a
a
a
体系的平均能量是多少？
解：已知无限深势阱中粒子的
0
ax
En
2 2
2m a 2
n2
n(x)
2 sin n x,
百度文库aa
n 1,2,3,
任意波函数 (x) 可用{n(x)}展开:
(x) 8 (1cos x)sin x 4 2 sin x 1 2 sin 2 x
5a
a
a 5a a 5a a
En
2 2
2m a 2
n2
n(x)
2 sin n x,
aa
n 1,2,3,
(x)
4 5
1(x)
1 5
2(x)
➢ 能量的平均值
到与算符 相应的本征态 其本征值的几率。
力学量算子的平均值：
F F *Fˆ dr
F F *Fˆ dr
力学量算符的本征值方程： 体系的任一状态可用守恒量的完全集作展开：
力学量 在该态中的平均值：
利用正交 归一性
测量 到Fn 的几率
结论 力学量 在某态
中的测量平均值：
位置 的平均值
[xˆ j , pˆi ] i ij i, j x, y, z
根据对不同变量的微分可交换，有 [ pˆi , pˆ j ] 0 i, j x, y, z
[xˆi , xˆ j ] 0 i, j x, y, z
[Aˆ , Bˆ ] Aˆ Bˆ BˆAˆ
不难证明，对易子满足下列恒等式：
E
E
4 5
E1
1 5
E2
4 2
5ma
2 2
四、力学量算子的构造
经典力学量： F (x, y, z, px , py , pz )
对于有经典类比的力学量，算符化规则是
x, y, z, px , py , pz
xˆ, yˆ, zˆ, i , i , i x y z
例如角动量算子： L r p 写成分量形式： Lx ypz zpy Ly zpx xpz Lz xpy ypx
[Aˆ , Bˆ ] [Bˆ , Aˆ ] [Aˆ , Bˆ Cˆ ] [Aˆ , Bˆ ] [Aˆ ,Cˆ ] [Aˆ , BˆCˆ ] Bˆ[Aˆ, Bˆ ] [Aˆ, Bˆ ]Cˆ [Aˆ Bˆ ,Cˆ ] Aˆ[Bˆ,Cˆ ] [Aˆ,Cˆ ]Bˆ [Aˆ ,[Bˆ,Cˆ ]] [Bˆ,[Cˆ, Aˆ ]] [Cˆ,[Aˆ, Bˆ]] 0
d dx
(
x)
i
(x) xpˆ x (x)
[xpˆ x pˆ x x] (x) i (x)
由于 (x)是任意波函数
[xpˆ x pˆ x x] i
[xpˆ x pˆ x x] i
对易子定义为：[Aˆ, Bˆ ] Aˆ Bˆ BˆAˆ 上述关系可表示为：[xˆ, pˆ x ] i 类似地可以证明：[ yˆ, pˆ y ] i , [zˆ, pˆ z ] i
可观测的力学量对应一个线性厄米算符。
•力学量算符的本征值方程 Fˆ n Fn n 中的本征
值 Fn 对应该力学量的一切可测量值。
•力学量算符的本征函数 n构成完备正交系。
任何态函数 均可以用力学量算符的本征函数系，
或一组力学量完全集的共同本征函数系来展开。
例如：
cn n
n
其展开系数的模方 就是在该态 中测量
1, 2 是两个任意波函数, , 是两个任意常数。
厄米算子：
对两个任意波函数 (x)和 (x)，算子 Fˆ 还具有性质：
*(x)Fˆ(x)dV (x)[Fˆ (x)]*dV
称 Fˆ 是厄米算子。 例：验证动量算子 pˆ i 是线性厄米算子。
证明：取它的一个分量,它的线性性可由微分算子线性看
合并写成矢量形式：
Lˆ y i
(z x ) x z
Lˆ i rˆ
Lz i
(x y ) y x
五、算子的对易关系
设 (x) 是任意波函数，将动量算子 pˆ x i 作用到 x (x)上:
d dx
pˆ x[x (x)] i
d [x (x)] i
dx
(
x)
x
d (x)
dx
i
1
x