最新定积分的概念与性质
定积分知识点总结数学
定积分知识点总结数学一、定积分的定义1. 定积分的概念定积分是微积分中的一个重要概念，它是对函数在一个区间上的积分进行定义的一种方法。
定积分可以表示函数在一个区间上的“累积效果”，即函数在该区间上的总体积或总面积。
2. 定积分的符号表示定积分可以用符号∫ 来表示，即∫f(x)dx，其中f(x)是要积分的函数，dx表示自变量x的微元。
3. 定积分的定义设函数f(x)在区间[a, b]上连续，将区间[a, b]等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx，取每个小区间上任意一点ξi，计算出函数在每个小区间上的面积，然后将所有小区间上的面积相加，得到一个近似值。
当n趋于无穷大时，这个近似值趋于一个确定的值，称为定积分，记作∫a到b f(x)dx。
4. 定积分的几何意义定积分的几何意义是函数f(x)在区间[a, b]上的图像和坐标轴之间的面积，当函数为正值时，定积分表示曲线下面积；当函数为负值时，定积分表示曲线上面积减去曲线下面积。
二、定积分的性质1. 定积分的存在性定积分的存在性是指对于一个函数在一个区间上的定积分是否存在，存在的充分必要条件是函数在该区间上连续。
2. 定积分的线性性定积分具有线性性质，即若f(x)和g(x)在区间[a, b]上可积，c和d为常数，则有∫a到b(c*f(x)+d*g(x))dx=c*∫a到b f(x)dx+d*∫a到b g(x)dx。
3. 定积分的区间可加性若函数f(x)在区间[a, b]、[b, c]上都可积，则有∫a到c f(x)dx=∫a到b f(x)dx+∫b到c f(x)dx。
4. 定积分的不变性对于函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，若将区间[a, b]内的点重新排列，定积分的结果不会受到影响。
5. 定积分的估值通过使用上下和左右长方形法、梯形法等方法，可以对定积分进行估值，获得定积分的近似值。
三、定积分的计算1. 定积分的基本计算方法定积分的基本计算方法是使用定积分的定义进行计算，即按照定义对函数在区间内每个小区间上的面积进行求和，并计算出极限值。
定积分的概念与性质
x
区间长度为: xi xi xi 1 , i 1,2,
,n
将曲边 梯形AabB 分成 n 个小曲边梯形,
si 表示第 i 个小曲边梯形的面积, 用s 表示曲边梯形 AabB 的面积, 则有: n s s1 s2 sn si
i 1
(2)近似求和 在每个小区间[ xi 1 , xi ] 上任取一点 i ( xi 1 i xi ),
n
当 0 时,和 总有共同的极限 I ,则称 I 为函数 b f ( x ) 在 [a , b] 上的定积分, 记为 f ( x )dx , 即
b
a
f ( x )dx I lim f ( i )xi
0
i 1
n
a
积分上限
[a , b] 称为积分区间
a
积分下限
s
i 1
n
i
si v ( i )t i
并作和:
( i 1,2, , n)
i
sn
v( )t
i 1 i n
n
则有 s sn v ( i )t i
i 1
n
(3)求极限 记 max{t i }, 当 0 时, 1 i n 有： s lim v ( i )t i
匀速直线运动: s v t 变速直线运动：
O
v(t )
T1
.
T2
.
t
用类似的方法解决如下： (1)分割
OT
1
t0
t1 t 2
ti
t i 1 tn T2
t
用 si 表示第 i 个小时间段行驶的距离, 则 s (2)近似求和 在每个时间段 [t i 1 , t i ] 上任取一时刻 i ,
定积分的概念及性质
定积分的概念、微积分基本定理及其简单应用一． 定积分的定义A ）定义： 设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点，把区间[a,b]分成n 个小区间，记},......,,max{,,......2,1,211n i i i x x x n i x x x ∆∆∆==-=∆-λ在[i i x x ,1-]上任意取一点i ξ，作和式：)1.......()(1ini ix f ∆∑=ξ 如果无论[a,b]作怎样分割，也无论i ξ在[i i x x ,1-]怎样选取，只要0→λ有→∆∑=ini ixf 1)(ξI （I 为一个确定的常数），则称极限I 是f(x)在[a,b]上的定积分，简称积分，记做⎰b adx x f )(即I=⎰badx x f )(其中f(x)为被积函数，f(x)dx 为积分表达式，a 为积分下限，b 为积分上限，x 称为积分变量，[a,b]称为积分区间。
例：求曲边图形面积：3x y =的图像在[]1,0∈x 间与1=x 及x 轴围成的图形面积。
注：1、有定义知道⎰ba dx x f )(表示一个具体的数，与函数f(x)以及区间[a,b]有关，而与积分变量x 无关，即⎰badx x f )(=⎰badu u f )(=⎰badt t f )(2、定义中的0→λ不能用∞→n 代替3、如果ini ix f Lim∆∑=→1)(ξλ存在，则它就是f(x)在[a,b]上的定积分，那么f(x)必须在[a,b]上满足什么条件f(x)在[a,b]上才可积分呢？经典反例：⎩⎨⎧=中的无理点，为，中的有理点，为]10[0]10[,1)(x x x f 在[0，1]上不可积。
可见函数f(x)在什么情况下可积分并不是一件容易的事情。
以下给出两个充分条件。
定理1 设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。
定理2 设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。
定积分的概念、性质
三、定积分的性质
§5.1 定积分的概念与性质
一、定积分问题举例
演讲人姓名
二、定积分定义
一、定积分问题举例
曲边梯形 设函数yf(x)在区间[a, b]上非负、连续. 由直线xa、xb、y0及曲线yf (x)所围成的图形称为 曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边.
曲边梯形的面积
*
观察与思考
定积分的定义
*
二、定积分定义
例1 用定积分表示极限 解 定积分的定义
*
二、定积分定义
定积分的定义
注: 设f (x)在[0, 1]上连续, 则有
*
定积分的几何意义
这是因为 曲边梯形面积 曲边梯形面积的负值
*
定积分的几何意义
各部分面积的代数和 曲边梯形面积 曲边梯形面积的负值
*
例2
在曲边梯形内摆满小的矩形, 当小矩形的宽度减少时, 小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化? 怎样求曲边梯形的面积？
*
(2)近似代替:
求曲边梯形的面积
(1)分割:
ax0< x1< x2< < xn1< xn b, Dxi=xi-xi1;
小曲边梯形的面积近似为f(xi)Dxi (xi1<xi<xi);
如果在区间[a b]上 f (x)g(x) 则
如果在区间[a b]上 f (x)0 则
性质5
推论2
性质6
设M及m分别是函数f(x)在区间[a b]上的最大值及最小值 则
例4 试证:
证明 设 则在 上, 有 即 故 即
*
性质7(定积分中值定理)
如果函数f(x)在闭区间[a b]上连 续 则在积分区间[a b]上至少存在一个点x 使下式成立 这是因为, 由性质6 ——积分中值公式 由介值定理, 至少存在一点x[a, b], 使 两端乘以ba即得积分中值公式.
定积分的概念与性质(new)
0 e xdx
0
xdx,
2
2
于是
2 e xdx
2
xdx.
0
0
21
性质6
设 M 及m分别是 f ( x)在[a, b]上的最大值及最小值，
则
m(b
a)
b
a
f
(
x)dx
M
(b
a).
证 m f (x) M,
b
b
b
a mdx a f ( x)dx a Mdx,
6
上述两个问题的共性: 1、解决问题的方法步骤相同 :
（1）分割（2）近似（3）求和（4）取极限
2、极限形式一样
曲边梯形面积：
n
A lim 0
i 1
f (i )xi
n
变速直线运动路程：
S
lim
0
i 1
v(i )ti
7
二、定积分的定义
定义 设 f (x)在[a,b]上有界. 在[a,b]内任意插入
i n
n
1
sin xdx.
0
i xi
16
四、定积分的性质
对定积分的补充规定:
（1）当a
b时， b a
f
(
x)dx
0；
（2）当a
b时， b a
f
( x)dx
a
b
f
( x)dx.
在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑 积分上下限的大小．
性质1
b
b
b
定积分的概念和性质
a
性质1 函数的和(差)的定积分等于它们的定 积分的和(差)。即
∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫
a
b
b
a
f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx
a
b
• 证
∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = lim ∑ [ f (ξ ) ± g (ξ )]∆x λ
a →0 i =1 n i i
y y=f(x)
0
a=x0 x1 x2 x3 xi −1
xi
xn −1 x = b n
x
（2）取近似：将这些细长条近似地看作一个个小矩形
在第 i个小曲边梯形的底 [ x i −1 , x i ]上任取一点 ξ i x i −1 ≤ ξ ≤ x i ), （ 它所对应的函数值是 f (ξ i ).用相应的宽为 ∆x i , 长为 f (ξ i )的小矩形 面积来近似代替这个小 曲边梯形的面积，即 ∆Ai ≈ f (ξ i ) ∆x i
• 证
b
a
kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx
a
b
（k为常数）
∫
b
a
kf ( x)dx = lim ∑ kf (ξ i )∆xi
λ →0
i =1 n b
n
= k lim ∑ f (ξ i )∆xi = ∫ f ( x)dx
λ →0
i =1 a
• 性质3 (定积分的区间可加性) 若a < c < b，则
f (ξ i ) ∆ x i .
f(ξ) ｉ
0
a=x0 x1
x2 xi −1ξｉxi
xn −1 x = b n
x
定积分的概念及性质
一、定积分的概念及性质定积分是研究分布在某区间上的非均匀量的求和问题，必须通过“分割、近似、求和、求极限”四个步骤完成，它表示了一个与积分变量无关的常量。
牛顿—莱布尼兹公式揭示了定积分与原函数的关系，提供了解决定积分的一般方法。
要求解定积分，首先要找到被积函数的原函数，而求原函数是不定积分的内容，由此，大家也可以进一步体会上一章内容的重要性。
被积函数在积分区间有界是可积的必要条件，在积分区间连续是可积的充分条件。
定积分具有线性性质、比较性质以及中值定理等，这些性质在定积分的计算和理论研究上具有重要意义，希望大家认真领会。
二、定积分的计算定积分的计算主要依靠牛顿—莱布尼兹公式进行。
在被积函数连续的前提下，要计算定积分一般需要先计算不定积分（因而不定积分的计算方法在定积分的计算中仍然适用），找出被积函数的原函数，但在具体计算时，定积分又有它自身的特点。
定积分计算的特点来自于定积分的性质，来自于被积函数在积分区间上的函数特性，因此有时定积分的计算比不定积分更简洁。
尽管定积分在求原函数的指导思想上与不定积分没有差别，但实际上它们又不完全一样。
例如用换元法来计算定积分⎰22cos sin πxdx x ，如果计算过程中出现了新的变元：x u sin =，则上下限应同时相应改变，微分同样如此，即⎰202cos sin πxdx x x u sin =313110312==⎰u du u 。
可以看出，在进行换元时的同时改变了积分的上下限，这样就无须象不定积分那样回代了。
但如果计算过程中不采用新变元，则无需换限，即=⎰202cos sin πxdx x 31sin 31sin sin 203202==⎰ππx x xd 。
在前一种方法（也称为定积分的第二换元法）中，一定要注意三个相应的变换：积分上、下限、微分，否则必然出现错误。
后一种方法（定积分的第一换元法）可以解决一些相对简单的积分，实际上是换元的过程可以利用凑微分来替代，由于没有出现新的变元，因而也就无须改变积分上下限及微分。
定积分的定义和性质
定积分的定义和性质定积分是微积分中的重要概念，用以计算曲线下的面积或曲线所围成的图形的面积。
在本文中，我们将介绍定积分的定义和性质，并探讨其在数学和实际问题中的应用。
一、定积分的定义定积分是将曲线下的面积分成无穷多个无穷小的矩形，并对它们进行求和的过程。
它可用以下形式进行定义：设f(x)在区间[a, b]上连续，将[a, b]分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx = (b - a)/n。
选择每个小区间上的任意一个点ξi，计算出相应的函数值f(ξi)，然后将这些函数值与Δx相乘并求和，即可得到定积分的值：∫[a, b]f(x)dx = lim(n→∞)Σf(ξi)Δx二、定积分的性质1. 可加性：对于函数f(x)在区间[a, b]上可积分，并且c位于该区间内，则有∫[a, b]f(x)dx = ∫[a, c]f(x)dx + ∫[c, b]f(x)dx。
这意味着可以将区间进行分割，根据不同段的定积分值进行求和。
2. 线性性质：对于函数f(x)和g(x)在区间[a, b]上可积分，以及任意实数k，则有∫[a, b](kf(x) + g(x))dx = k∫[a, b]f(x)dx + ∫[a, b]g(x)dx。
这表明可以将函数进行线性组合后再进行积分。
3. 区间可变性：如果函数f(x)在区间[a, b]上可积分，并且在区间[a,b']上也连续（其中b' > b），则有∫[a, b']f(x)dx = ∫[a, b]f(x)dx + ∫[b,b']f(x)dx。
这意味着可以扩展区间并计算新增部分的定积分值。
三、定积分的应用定积分在数学和实际问题中具有广泛的应用。
下面列举一些典型的应用场景：1. 面积计算：通过计算定积分可以求得曲线和坐标轴所围成图形的面积。
例如，可以利用定积分计算圆的面积、椭圆的面积等。
2. 弧长计算：通过计算定积分可以求得曲线的弧长。
这在工程学、物理学和几何学等领域中都有应用。
定积分的概念及性质课件
03
定积分的应用
面积计算
平面面积
定积分可以用来计算平面图形的面积，例如矩形、圆形、三角形等。通过选取 适当的积分变量和积分区间，可以将面积表示为函数与积分区间的乘积，进而 求出面积。
曲面面积
定积分也可以用来计算曲面面积，例如球面、锥面等。通过选取适当的参数和 积分变量，可以将曲面面积表示为函数与积分区间的乘积，进而求出面积。
定积分的性质
线性性质
总结词
定积分的线性性质是指对于两个函数的和或差的积分，可以分别对每个函数进行 积分后再求和或求差。
详细描述
定积分的线性性质是定积分的一个重要性质，它表明对于任意两个函数f和g，以 及常数a和b，有∫(a×f+b×g) dx = a×∫f dx + b×∫g dx。这个性质在计算定积 分时非常有用，特别是当被积函数难以直接积分时，可以通过拆分被积函数来简 化计算。
函数可加性与积分可加性
总结词
函数可加性与积分可加性是指对于任意 两个区间[a, b]和[c, d]，若函数f在每个 区间上可加（即可以表示为两个非负函 数的差），则∫(f) dx在[a, b]和[c, d]上的 积分值之差等于∫(f) dx在[a, c]上的积分 值与∫(f) dx在[c, d]上的积分值之差。
体积计算
旋转体体积
定积分可以用来计算旋转体的体积，例如圆 柱、圆锥、球等。通过选取适当的积分变量 和积分区间，可以将旋转体的体积表示为函 数与积分区间的乘积，进而求出体积。
曲顶柱体体积
定积分也可以用来计算曲顶柱体的体积，例 如圆环、椭圆环等。通过选取适当的积分变 量和积分区间，可以将曲顶柱体的体积表示 为函数与积分区间的乘积，进而分法是通过引入新的变量替换原变量，将复杂的 积分转换为更易于计算的积分。
最新定积分概念、性质
研究此问题的基础是已知矩形的面积公式S=长*宽=a*b，那么 研究方法是“无限细分，以直代曲”，将曲边图形分划为若干 个小矩形，用小矩形面积△Si矩近似代替小曲边梯形面积△Si曲，
即:
n
Si曲Si矩 ， 从而S曲 有 ： Si矩
i1
如果右边的和式有极限（n→∞），则极限值即为整个
曲边梯形的面积，即：
x 0 0 ,x 1 1 n ,x 2 2 n , ,x n n n 1
n
f
(xi
)
(
i) n
2
3）相乘为第i个小矩形面积：
Si矩xi f(xi)1 n(n i)2
4）第i个小曲边梯形面积近似：Si曲Si矩
5）曲边梯形面积S曲近似： S 曲 i n 1 S 曲 i n 1 S i矩 i n 1 x if(x i) i n 11 n (n i)2
若取n=10
n
(2) 取近似值 Si viti
n
n
（3）作和 S Si v(i)ti
i1
i1
n
（4）取极限
S
lim
0
i1
v(i
)ti
其中
max 1in
ti
二、定积分的概念（演示）
曲边梯形面积A：
n
Alim 0 i1
f (i)xi
记为
b
f
a
x dx
变速运动的路程 S：
n
记为
S
lim
0
i1
S曲
lim
n
n i 1
S i矩
lim
n
(n
1)( 2n 6n 2
1)
1 0.333 3
总结：求曲边梯形面积的步骤 v
5.1 定积分的概念与性质
形的面积的相反数。 例：设 y f ( x) x 。
（1） 下图中的阴影部分正是由三条直线 x 0 ，x 1 ，y 0 ， 以及曲线 y x 所 围成的曲边梯形。注意到该曲边梯形全部在 x 轴上方。于是有
b
a
f ( x)dx 该曲边梯形的面积的相反数
y f ( x)
f ( x) dx 面积
b a
b
a
f ( x)dx 面积
y f ( x)
（3）设在区间 [a, b] 上， f ( x) 既可取到正数，也可取到负数。于是，在由三条直 线 x a ， x b ， y 0 （即 x 轴） ，以及曲线 y f ( x) 所围成的图形中，一部分 在 x 轴上方，一部分在 x 轴下方。从而有
第一节 定积分的概念与性质
1． 定积分： f ( x)dx
a
b
其中 f ( x) 为被积函数， x 为积分变量， a 为积分下限，b 为积分上限，[a, b] 为积 分区间。
注 1： 定积分与不定积分的区别在于： （1） 定积分多了积分上限与积分下限； （2） 不定积分的结果是某些函数，而定积分的结果是某个具体的常数。
y 1 yx
0
x
（3） 下图中的阴影部分正是由三条直线 x 1 ， x 2 ， y 0 ，以及曲线 y x 所围成的曲边梯形。注意到该曲边梯形一部分在 x 轴上方，一部分在 x 轴下方。 于是有
2
1
xdx x轴上方图形的面积 x轴下方图形的面积 1 1 1 3 2 2 1 1 2 2 2 2 2
定积分的概念和性质公式
定积分的概念和性质公式定积分是微积分的重要概念之一，用于计算曲线下面的面积或者曲线围成的面积，以及求解一些几何体的体积。
本文将介绍定积分的概念、性质以及相关的公式。
一、定积分的概念在数学中，定积分可以看作是无穷小量的累加，它的计算结果是一个数值。
定积分的概念可以通过求解函数和坐标轴之间的面积来解释。
设对于连续函数y=f(x)在区间[a,b]上，我们将它与x轴围成的平面区域分割成多个无穷小的矩形，其宽度为Δx。
我们分别计算每个矩形的面积，将这些面积相加，然后取极限得到的结果就是函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。
表示为：∫[a,b]f(x) dx = limΔx→0 Σf(x_i)Δx其中，Σ表示求和，f(x_i)表示在每个小矩形的高度，Δx表示每个小矩形的宽度。
二、定积分的性质1.线性性质：设函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上可积，k为常数，则有：∫[a,b](f(x)+g(x))dx = ∫[a,b]f(x)dx + ∫[a,b]g(x)dx∫[a,b]k*f(x)dx = k*∫[a,b]f(x)dx2.区间可加性质：设函数f(x)在区间[a,b]和[b,c]上可积，则：∫[a,c]f(x)dx = ∫[a,b]f(x)dx + ∫[b,c]f(x)dx3.估值性质：设f(x)在区间[a,b]上非负可积，c是[a,b]上的任意一点，则有：f(c)*(b-a) ≤ ∫[a,b]f(x)dx ≤ M*(b-a)其中，M为f(x)在[a,b]上的最大值。
4.小于等于零性质：设函数f(x)在区间[a,b]上非负可积并且在[a,b]上恒大于等于0，则有：∫[a,b]f(x)dx ≤ 0 当且仅当f(x)恒为零。
5.平均值定理：设函数f(x)在区间[a,b]上可积，则存在一个点c使得：∫[a,b]f(x)dx = f(c)*(b-a)三、定积分的计算公式1.基本积分法则：∫k dx = kx + C （k为常数）∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C （n≠-1）2.叠加性质：∫[a,b]f(x)dx = ∫[a,c]f(x)dx + ∫[c,b]f(x)dx3.替换法则：设F(x)在区间[a,b]上可导，f(g(x))g'(x)在区间[g(a),g(b)]上连续，则有：∫[a,b]f(g(x))g'(x)dx = ∫[g(a),g(b)]f(u)du ，其中u=g(x)4.分部积分法则：设u(x)和v(x)是具有连续导数的函数，则有：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫u'(x)v(x)dx5.换元法则：设F(x)在区间[a,b]上可导，f(u)u'(x)在区间[u(a),u(b)]上连续，则有：∫[a,b]f(u(x))u'(x)dx = ∫[u(a),u(b)]f(u)du6.常用积分表：∫sin(x)dx = -cos(x) + C∫cos(x)dx = sin(x) + C∫1/(1+x^2)dx = arctan(x) + C∫1/√(1-x^2)dx = arcsin(x) + C∫e^x dx = e^x + C∫ln(x) dx = xln(x)-x + C总结：定积分是微积分的关键概念之一，通过对函数和坐标轴之间的面积进行累加，计算结果为一个数值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
定积分的概念与性质第五章定积分第一节定积分的概念与性质教学目的：理解定积分的定义，掌握定积分的性质，特别是中值定理.教学重点：连续变量的累积，熟练运用性质.教学难点：连续变量的累积，中值定理.教学内容：一、定积分的定义１．曲边梯形的面积设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上非负，连续，由直线«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»及曲线«Skip Record If...»所围成的图形，称为曲边梯形．求面积：在区间«Skip Record If...»中任意插入若干个分点«Skip Record If...»，把«Skip Record If...»分成«Skip Record If...»个小区间[«Skip Record If...»],[«Skip Record If...»], … [«Skip Record If...»]，它们的长度依次为：«Skip Record If...»经过每一个分点作平行于«Skip Record If...»轴的直线段，把曲边梯形分成«Skip Record If...»个窄曲边梯形，在每个小区间[«Skip Record If...»]上任取一点«Skip Record If...»，以[«Skip Record If...»]为底，«Skip Record If...»为高的窄边矩形近似替代第«Skip Record If...»个窄边梯形«Skip Record If...»，把这样得到的«Skip Record If...»个窄矩形面积之和作为所求曲边梯形面积«Skip Record If...»的近似值，即«Skip Record If...»=«Skip Record If...»．设«Skip Record If...»时，可得曲边梯形的面积«Skip Record If...»．2．变速直线运动的路程设某物体作直线运动，已知速度«Skip Record If...»是时间间隔[«Skip Record If...»]上«Skip Record If...»的连续函数，且«Skip Record If...»，计算在这段时间内物体所经过的路程«Skip Record If...»在[«Skip Record If...»]内任意插入若干个分点«Skip Record If...»，把[«Skip Record If...»]分成«Skip Record If...»个小段[«Skip Record If...»]，[«Skip Record If...»]，…， [«Skip RecordIf...»]，各小段时间长依次为：«Skip Record If...»相应各段的路程为：«Skip Record If...»，在[«Skip Record If...»]上任取一个时刻«Skip Record If...»，以«Skip Record If...»时的速度«Skip Record If...»来代替[«Skip Record If...»]上各个时刻的速度，则得：«Skip Record If...» «Skip Record If...»，进一步得到：«Skip Record If...»=«Skip Record If...»设«Skip Record If...»时，得：«Skip Record If...».3．定积分的定义由上述两例可见，虽然所计算的量不同，但它们都决定于一个函数及其自变量的变化区间，其次它们的计算方法与步骤都相同，即归纳为一种和式极限，即面积«Skip Record If...»，路程«Skip Record If...».将这种方法加以精确叙述得到定积分的定义定义设函数«Skip Record If...»上有界，在«Skip Record If...»中任意插入若干个分点«Skip Record If...»，把区间«Skip Record If...»分成«Skip Record If...»个小区间«Skip Record If...»各个小区间的长度依次为«Skip Record If...»«Skip Record If...».在每个小区间[«Skip Record If...»]上任取一点«Skip Record If...»),作函数值«Skip Record If...»与小区间长度«Skip Record If...»的乘积«Skip Record If...»并作出和«Skip Record If...».记«Skip Record If...»,如果不论对«Skip Record If...»怎样分法,也不论在小区间[«Skip Record If...»]上点«Skip Record If...»怎样取法,只要当«Skip Record If...»时,和«Skip Record If...»总趋于确定的极限«Skip Record If...»,这时我们称这个极限«Skip Record If...»为函数«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上的定积分(简称积分)，记作«Skip Record If...»«Skip Record If...»．即«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»,其中«Skip Record If...»叫做被积函数，«Skip Record If...»叫做被积表达式，«Skip Record If...»叫做积分变量，«Skip Record If...»叫做积分下限，«Skip Record If...»叫做积分上限，«Skip Record If...»叫做积分区间.注意积分与积分变量无关，即：«Skip Record If...».函数可积的两个充分条件：定理1设«Skip Record If...»上连续，则«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上可积．定理2设«Skip Record If...»上有界，且只有有限个间断点，则«Skip Record If...»上可积．例利用定积分定义计算«Skip Record If...»«Skip Record If...».解 «Skip Record If...»的连续函数，故可积，因此为方便计算，我们可以对«Skip Record If...»«Skip Record If...»等分，分点«Skip Record If...»取相应小区间的右端点，故«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»,«Skip Record If...»（即«Skip Record If...»），由定积分的定义得：«Skip Record If...»=«Skip Record If...».二、定积分的性质：为方便定积分计算及应用，作如下补充规定：(1) 当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»,(2) 当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»«Skip Record If...».性质1函数和（差）的定积分等于它们的定积分的和（差），即«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...».证明 «Skip Record If...»«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...».性质2被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...» («Skip Record If...»是常数).性质3如果将积分区间分成两部分，则在整个区间上的定积分等于这两个区间上定积分之和，即设«Skip Record If...»,则«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»注意我们规定无论«Skip Record If...»的相对位置如何，总有上述等式成立.性质4如果在区间«Skip Record If...»上，«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...».性质5 如果在区间«Skip Record If...»上，«Skip Record If...»«Skip Record If...» «Skip Record If...»证明：因«Skip Record If...»故«Skip Record If...»，又因«Skip Record If...»，故«Skip Record If...»，设«Skip Record If...»时，便得欲证的不等式.推论1 如果在«Skip Record If...»上，«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...» «Skip Record If...».推论2 «Skip Record If...»«Skip Record If...».性质6 设«Skip Record If...»与«Skip Record If...»分别是函数«Skip Record If...»上的最大值及最小值，则«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...» «Skip Record If...»性质7（定积分中值定理）如果函数«Skip Record If...»在闭区间«Skip Record If...»上连续，则在积分区间«Skip Record If...»上至少存在一点«Skip Record If...»，使下式成立：«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）.证明：利用性质6，«Skip Record If...»；再由闭区间上连续函数的介值定理，知在«Skip Record If...»上至少存在一点«Skip Record If...»，使«Skip Record If...»，故得此性质.显然无论«Skip Record If...»，还是«Skip Record If...»，上述等式恒成立.做本节后面练习，熟悉上面各性质.积分中值定理的几何释意如下：在区间«Skip Record If...»上至少存在一个«Skip Record If...»，使得以区间«Skip Record If...»为底边, 以曲线«Skip Record If...»为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为«Skip Record If...»的一个矩形的面积，见下图．（在下面做p286图5--4）小结：简捷综述上面各性质．第二节微积分基本公式教学目的：掌握微积分基本公式及其应用．教学重点：公式的应用．教学难点：公式的应用．教学内容：一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设一物体在一直线上运动，在这直线上取定原点，正方向，单位长度，使其成为一数轴，时刻«Skip Record If...»时物体所处的位置«Skip Record If...»，速度«Skip Record If...».物体在时间间隔«Skip Record If...»内经过的路程可以用速度函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上的定积分来表达，即«Skip Record If...»另一方面，这段路程可以通过位置函数«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»的增量来表示，即«Skip Record If...»故«Skip Record If...»=«Skip Record If...».注意到«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的原函数.二、积分上限的函数及其导数设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，并且设«Skip Record If...»为«Skip Record If...»上任一点，设«Skip Record If...».则函数«Skip Record If...»具有如下性质：定理1 如果函数«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上连续，则积分上限函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上具有导数，并且它的导数是«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）.证明：（1）«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...» «Skip Record If...»,«Skip Record If...»在«Skip Record If...»之间«Skip Record If...»«Skip Record If...»时，有«Skip Record If...»«Skip Record If...».（2）«Skip Record If...»其单侧导数，可得«Skip Record If...»«Skip Record If...»，«Skip Record If...»«Skip RecordIf...»由定理1可得下面结论定理2 如果函数«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上连续，则函数«Skip Record If...»«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的一个原函数．Newton的积分上限函数的几何意义如下：（P209图5—5放在下面）. 三、Newton —Leibniz 公式定理3 如果函数«Skip Record If...»是连续函数«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上的一个原函数，则«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»证明因«Skip Record If...»与«Skip Record If...»均是«Skip Record If...»原函数，故«Skip Record If...»«Skip Record If...»=«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）, 又因«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»,故 «Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...».为方便起见，把«Skip Record If...»«Skip Record If...»记作[«Skip Record If...»]«Skip Record If...».上述公式就是Newton —Leibniz公式，也称作微积分基本公式．例1 «Skip Record If...»．例２计算 «Skip Record If...».解 «Skip Record If...»=«Skip Record If...».例3 计算«Skip Record If...».解 «Skip Record If...».例4计算«Skip Record If...»在[«Skip Record If...»]上与«Skip Record If...»轴所围成平面图形的面积.解 «Skip Record If...».上例的几何释义如下：（书图P292， 5--4）.例5汽车以每小时36km的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等加速度«Skip Record If...»刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少路程？解 «Skip Record If...»时，«Skip Record If...»,«Skip Record If...»,«Skip Record If...»,故 «Skip Record If...»«Skip Record If...».即刹车后，汽车需要走10m才能停住.例6设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»内连续且«Skip Record If...»，证明函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»内为单调增加函数．证明 «Skip Record If...»«Skip Record If...»，故«Skip Record If...»=«Skip Record If...».故«Skip Record If...»在«Skip Record If...»内为单调增加函数.例7求«Skip Record If...».解 «Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»=«Skip Record If...»,利用Hospital 法则得«Skip Record If...»=«Skip Record If...».小结：Newton —Leibniz 公式.第三节定积分的换元法与分部积分法教学目的：掌握换元积分法和分部积分法.教学重点：熟练运用换元积分法和分步积分法.教学难点：灵活运用换元法和分部积分法.教学内容：一、换元积分定理假设函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，函数«Skip Record If...»满足条件：（1）«Skip Record If...»«Skip Record If...»（2）«Skip Record If...»在[«Skip Record If...»]（或[«Skip Record If...»]）上具有连续导数，且其值不越出«Skip Record If...»,则有«Skip Record If...»«Skip Record If...».例1计算«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）.解设«Skip Record If...»则«Skip Record If...»且«Skip Record If...»时«Skip Record If...»；«Skip Record If...»,故«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...».换元公式也可以反过来使用，即«Skip Record If...»«Skip Record If...».例2计算«Skip Record If...».解设«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»-«Skip Record If...»=«SkipRecord If...»=«Skip Record If...».例3计算«Skip Record If...».解 «Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»=«Skip Record If...».例4计算 «Skip Record If...».解设«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»«Skip Record If...»,«SkipRecord If...»；«Skip Record If...»故 «Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...».例5证明 1)若«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续且为偶函数，则«Skip Record If...»=«Skip Record If...»2）若«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续且为奇函数，则«Skip Record If...»=0.证明 «Skip Record If...»=«Skip Record If...»+«Skip Record If...»=«Skip Record If...»+«Skip Record If...»=«Skip Record If...»+«Skip Record If...»=«Skip Record If...».1）«Skip Record If...»为偶函数时，«Skip Record If...»+«Skip Record If...»=«Skip Record If...»，故«Skip Record If...»=«Skip Record If...»．2）«Skip Record If...»为奇函数时，«Skip Record If...»+«Skip Record If...»=0，故«Skip Record If...»=0．例6若«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，证明（1）«Skip Record If...»«Skip Record If...»；（2）«Skip Record If...»«Skip Record If...»，由此计算«Skip Record If...».证明（1）设«Skip Record If...»且当«Skip Record If...»时，«Skip RecordIf...»；当«Skip Record If...»,故 «Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...». （2）设«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»所以 «Skip Record If...»«Skip Record If...».利用此公式«Skip Record If...»可得：«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...».例7设函数«Skip Record If...»«Skip Record If...»，计算«Skip Record If...»．解设«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip RecordIf...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...».二、分部积分法设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上具有连续导数«Skip Record If...»，则有«Skip Record If...»故«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»，«Skip Record If...»．这就是定积分的分部积分公式．例1 «Skip Record If...»．解设u=arcsin«Skip Record If...»,«Skip Record If...»则«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»arcsin«Skip Record If...»+«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...».例2计算«Skip Record If...».解设«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...».例3证明定积分公式«Skip Record If...»«Skip Record If...»证明设«Skip Record If...»，由分部积分公式可得：«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»故 «Skip Record If...».由此递推公式可得所证明等式.小结：分部积分公式.第四节广义积分教学目的：理解无穷限广义积分和无界函数广义积分和定义及计算.教学重点：利用广义积分的定义计算.教学难点：概念产生的背景.教学内容：一、无穷限广义积分定义1设函数«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上连续，取«Skip Record If...».如果极限«Skip Record If...»«Skip Record If...»存在，则称此极限为函数«Skip Record If...»在无穷区间«Skip Record If...»上的广义积分,记作«Skip Record If...»,即«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»．这时也称广义积分«Skip Record If...»收敛；如果上述极限不存在，函数«Skip Record If...»在无穷区间«Skip Record If...»上的广义积分«Skip Record If...»就没有意义，习惯上称为广义积分«Skip Record If...»发散，这时记号«Skip Record If...»不再表示数值了．类似地，设函数«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上连续,取«Skip Record If...»，如果极限«Skip Record If...»«Skip Record If...»存在，则称此极限为函数«Skip Record If...»在无穷区间«Skip Record If...»上的广义积分，记作«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»．这时也称广义积分«Skip Record If...»收敛；如果上述极限不存在，就称广义积分«Skip Record If...»发散．设函数«Skip Record If...»在区间（«Skip Record If...»）上连续，如果广义积分«Skip Record If...»和 «Skip Record If...»都收敛，则称上述两广义积分之和为函数«Skip Record If...»在无穷区间（«Skip Record If...»）上的广义积分，记作«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»«Skip Record If...»+«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»+«Skip Record If...»«Skip Record If...»．这时也称广义积分«Skip Record If...»收敛；否则就称广义积分«Skip Record If...»发散．例1计算广义积分«Skip Record If...»．解 «Skip Record If...»«Skip Record If...»+«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»+«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...».上述广义积分的几何释义如下：（书图P316 5--12）.例2计算广义积分 «Skip Record If...»（«Skip Record If...»是常数，且«Skip Record If...»）解 «Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例3证明广义积分«Skip Record If...»当«Skip Record If...»时收敛；当«Skip Record If...»时发散.证明当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»«Skip Record If...»=«Skip Record If...»;当«Skip Record If...»，«Skip Record If...»«Skip Record If...»,故命题得证.无界函数的广义积分定义2设函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，而在点«Skip Record If...»的右邻域内无界，取«Skip Record If...»，如果«Skip Record If...»«Skip Record If...»存在，则称此极限为函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上的广义积分，仍然记作«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»．这时也称广义积分«Skip Record If...»收敛．如果上述极限不存在，就称广义积分«Skip Record If...»发散．类似地，设函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，而在点«Skip Record If...»的左邻域内无界，取«Skip Record If...»>0,如果极限«Skip Record If...»«Skip Record If...»存在，则定义«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»．否则，就称广义积分«Skip Record If...»发散．设函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上除点«Skip Record If...»外连续，而在点c的邻域内无界，如果两个广义积分«Skip Record If...»与«Skip Record If...»都收敛，则定义«Skip Record If...»«Skip Record If...»+«Skip Record If...»«Skip RecordIf...»«Skip Record If...»+«Skip Record If...»«Skip Record If...»否则，就称广义积分发散.例4计算广义积分«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）解 «Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...».例5讨论广义积分«Skip Record If...»的收敛性.解 «Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»，而«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip RecordIf...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»=«Skip Record If...»故所求广义积分«Skip Record If...»发散．例6证明广义积分«Skip Record If...»当«Skip Record If...»时收敛；当«Skip Record If...»时发散．证明当«Skip Record If...»«Skip Record If...»，发散;当«Skip Record If...»«Skip Record If...»=«Skip Record If...»,故命题得证.小结：无穷限广义积分与无界函数广义积分的定义.。