人教新课标版数学-2.对数
2.2.1 第二课时 对数的运算课件人教新课标
原式= lg(3 95 272 5 3 2 ) = lg 3 5 = 11 .
lg 81
lg 3 5
27
(2)(lg
5)2+lg
2
lg
50+
1 1
22
log 2
5
;
(3) log ( 6 4 2 - 6 4 2 ). 2
解:(2)原式=(lg 5)2+lg 2(lg 5+1)+21· 2log2 5 =lg 5(lg 5+lg 2)+lg 2+2 5 =1+2 5 . (3)因为 6 4 2 = (2 2)2 =2+ 2 ,
2
方法技能 (1)本题主要考查对数式的化简与计算.解决这类问题一般有两种 思路:一是将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算性质将它们化为 对数的和、差、积、商,然后化简求值;二是将式中对数的和、差、积、商逆 用对数的运算性质化为真数的积、商、幂、方根,然后化简求值. (2)对数计算问题中,涉及lg 2,lg 5时,常利用lg 2+lg 5=1及lg 2=1-lg 5, lg 5=1-lg 2等解题.
100
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所以 1 =logka, 1 =logkb, 1 =logkc.
x
y
z
所以 1 + 1 + 1 =logka+logkb+logkc=logk(abc)=0.所以 abc=1. xyz
题型三 与对数有关的方程问题 【例3】 解方程: (1)log5(2x+1)=log5(x2-2);(2)(lg x)2+lg x3-10=0.
log2 4 log2 8
对数函数及其图象与性质(一)1课件人教新课标
1、类比思想 2、数形结合的思想 3、分类讨论思想
作业设置： 学案中【课后作业】
分别以y log2 x 和 y log 1 x 为例，用描点法画图．
y2
x y log2 x
1 -1
2
10 21
42 6 2.6 83
1
3
y log 2 x
2
0
1
-1
0 1 2 3 45678x
-2
-1
-2.6 -2
-3
-3
y log 1 x
2
知识探究：对数函数y=logax（a>0且a≠1）的图象和性质
3. 指数函数的图象和性质
y＝ax
图 象
定义域
a＞1
y y＝ax
(0,1)
y＝1
O
x
R
0＜a＜1
y＝ax y (0,1) y＝1 Ox
值域
定点 单调性 函数值 的符号
(0，＋∞)
过点(0，1)，即x＝0时，y＝1
在R上是增函数
x＞0时，y＞1; x＜0时，0＜y＜1
在R上是减函数
x＞0时，0＜y＜1; x＜0时，y＞1
所以，t 是关于P的函数。
知识探究：
1、对数函数定义：形如 y loga x(a 0, 且a 1) 的函数叫
做对数函数,其中 x 是自变量；
定义域是(0, ＋∞). 对数函数的情势：
练习：1、判断下列函数是否是对数函数（1）系数为1
（1）y
lo2）底数是大于0且不等于
课堂导学：求对数函数定义域问题
应用一：求下列函数的定义域
课堂导学：求对数函数定义域问题
应用一：求下列函数的定义域
人教版四年级下册数学《对数运算定律》教案
人教版四年级下册数学《对数运算定律》教案教案：人教版四年级下册数学《对数运算定律》一、教学目标：1. 让学生理解对数运算定律的概念，掌握对数运算定律的应用。
2. 培养学生运用对数运算定律解决实际问题的能力。
3. 培养学生合作学习、积极思考的能力。
二、教学内容：1. 对数运算定律的定义及表达式。
2. 对数运算定律的应用。
三、教学重点与难点：1. 重点：掌握对数运算定律的概念及应用。
2. 难点：对数运算定律在实际问题中的应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生发现对数运算定律。
2. 运用实例讲解，让学生掌握对数运算定律的应用。
3. 组织小组讨论，培养学生合作学习的能力。
五、教学步骤：1. 导入新课：通过复习相关知识，引导学生进入对数运算定律的学习。
2. 探究对数运算定律：提出问题，引导学生发现对数运算定律，并总结表达式。
3. 讲解实例：运用实例讲解对数运算定律的应用，让学生加深理解。
4. 练习巩固：布置练习题，让学生独立完成，检验学习效果。
5. 拓展提高：组织小组讨论，让学生运用对数运算定律解决实际问题。
6. 总结反馈：对学生的学习情况进行总结，查漏补缺。
六、课后作业：1. 完成练习册的相关题目。
2. 总结对数运算定律的应用，撰写心得体会。
七、教学评价：1. 学生对对数运算定律的理解程度。
2. 学生运用对数运算定律解决实际问题的能力。
3. 学生在合作学习中的表现。
八、教学反思：在教学过程中，要关注学生的学习情况，及时调整教学方法，确保教学目标的有效达成。
同时，注重培养学生的合作意识，提高学生的动手能力，使学生在实践中掌握对数运算定律。
高中数学人教版高一必修《对数的概念》教学课件(共17张PPT)
在地理领域
对数用于计算地震强度
在物理领域
用于测量声音的分贝
六、课后作业
1.课本P123 练习1
2.课本P126习题4.3第1题
3.请你选择一个感兴趣的领域通过查阅图
书或网络的途径初步了解对数在这个领域
中的应用，并与你的同学交流
对数概念的认识
指数式
指数式与对数式的互化
相互转化
对数式
N>0（负数和零没有对数）
4096
8192
16384
……
67108864
134217728
原 数2
512 1024
【思考1】此表可以求 8192×16384=?
8
256
【思考3】 如果 2 = 7 ,那么 = ？
8192×16384= × = =134217728
【思考2】此表可以求7×8192=?
其中叫做对数的底数，叫做真数
三、两个重要的对数
常用对数
英国数学家布里格斯为了简化大数运算经过研究得到了
如下的对应关系：
1, 10, 102, 103, 104, 105, 106，107……
0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7……
通常我们把以10为底的对数叫做常用对数，并把 log10N 记为 lgN
对数的概念
The concept of logarithm
Xxx实验中学
xxx老师
一、创设情境 引入课题
299792. 468km/s
光在真空中的速度
299792. 468km/s
132451200秒
4.2光年
132451200秒
？
（假设一年365天）
对数
式子 指数式 ax＝N
名称 a x N
底数 指数
幂
对数式 x＝logaN 底数 对数 真数
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●想一想：由对数定义如何推导alogaN＝N(a>0，a≠1)，N>0? 提示：由ab＝N， ① 得b＝logaN， ② 将②代入①有alogaN＝N.
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故
－ 2<x<1， 2 ∴ 3 x≠0.
2 1 x 的取值范围是x－3<x< 2，且x≠0
.
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温馨提示：解决此类问题时，往往只考虑到了真数是正数，而 忽视了对数底数的限制范围．
(1)求解此类式子中参数的范围时，应根据对数中对底数和真数
②设a>0，a≠1，则有a0＝1.∴loga1＝0.即1的对数等于0. ③设a>0，a≠1，则有a1＝a，所以logaa＝1，即底数的对数为1. (2)有关“底数”和“1”的对数，可利用对数的性质求出其值为 “1”和“0”，化成常数，有利于化简和计算．
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3 已知log2[log3(log4x)]＝log3[log4(log2y)]＝0，求x＋y的值． 解：∵log2[log3(log4x)]＝0， ∴log3(log4x)＝1，∴log4x＝3，∴x＝43＝64. 同理可得y＝24＝16.∴x＋y＝80.
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2．2.1 对数与对数运算
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第1课时 对数
人教A版必修一· 新课标· 数学
目标要求 1.理解对数的概念．
对数与对数函数课件人教新课标
例3 比较下列各组中两个值的大小:
⑴ log 67 , log 7 6 ;
⑵ log 3π , log 2 0.8 .
提示 : log aa=1
提示: log a1=0
解: ⑴ ∵ log67＞log66＝1 ⑵ ∵ log3π＞log31＝0
log76＜log77＝1
log20.8＜log21＝0
解:原方程可化为
3x 1 (x 1)(3 x)
x2 x 2 0
解得x 2或x 1
检验: x 1使真数3x-1和x-1分别小于或等于0
x 1舍去 方程的解是x 2
a>1
0<a<1
图
Y Y=logax
像 O1
x
Y Y=logax
O1
x
定义域(0,+∞) 值域：R
பைடு நூலகம்过点（1，0），即x=1时,y=0
性 质
x>1时,y>0
0<x<1时,y<0
0<x<1时,y>0 x>1时,y<0
在(0,+上是增函数 在(0,+上是减函数
y
y=log2x
4
3
y=log3x
2
1
O -1
2
4
6
8
10
x
-2
-3
y log1x
3
y
log
x 1
2
y
(
1 2
)x
Y 5
Y=2x
Y=X
● 4
3
●
2
●
●
● 1●
●
●
-1 O -1
人教新课标版数学高一-必修一 对数函数及其性质2(第2课时)
第2课时 对数函数及其性质的应用问题导学一、比较两个对数的大小活动与探究1比较下列各组数中两个值的大小：(1)log 0.31.8，log 0.32.7；(2)3log 45,2log 23；(3)log 32，log 56；(4)13log 0.4，log 40.6；(5)log 20.4，log 30.4.迁移与应用1．若a ＝log 3π，b ＝log 76，c ＝log 20.8，则( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a2．比较下面两个值的大小：(1)log 2.10.4与log 2.10.3； (2)13log 8与13log 7；(3)log 67与log 53；(4)log 52与log 0.33.比较两个对数值的大小，若底数相同，可根据对数函数的单调性判断；若底数不相同，可借助中间量log a 1＝0(a ＞0，且a ≠1)或log a a ＝1(a ＞0，且a ≠1)来比较，也可换底后再比较．二、解对数不等式活动与探究2解下列不等式：(1)log 2(2x ＋3)＞log 2(5x －6)；(2)log 3(2x ＋1)＋13log (31)x -＞0； (3)12log (12)>2x -.迁移与应用1．如果1122log log 0x y <<，那么( )A ．y ＜x ＜1B ．x ＜y ＜1C ．1＜x ＜yD ．1＜y ＜x2．满足不等式log 3x ＜log 3(2－x )的x 的取值集合为______．3．函数y ＝ log 0.5(4x －3)的定义域为______．常见对数不等式有两种类型：(1)形如log a f (x )＞log a g (x )的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论．若底数不同，先将底数化为相同的形式再求解．(2)形如log a f (x )＞b 的不等式，应将b 化为以a 为底的对数式的形式，再借助y ＝log a x 的单调性求解．特别注意的是，每个对数的真数均为正．三、求函数的值域活动与探究3求下列函数的值域： (1)212log (23)y x x =-++；(2)y ＝log 3⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13x －2，x ∈[－3，－1]．迁移与应用1．函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的值域为( )A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)2．设a ＞1，函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a 等于( ) A ． 2 B ．2 C ．2 2 D ．43．函数12log (22)y x =+在x ∈[1,3]上的值域为______．求函数y ＝log a f (x )的值域时，先求出f (x )的值域，再利用对数函数y ＝log a u 的单调性求出原函数的值域．当堂检测1．若a ＝log 117，b ＝log 0.83，则( )A ．a ＞bB ．a ≥bC ．a ＜bD ．a ≤b2．函数(f x ( )A ．(－∞，2)B ．(1，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(1,2]3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( ) A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)4．函数y ＝log 2(x 2－2x ＋3)的值域是__________．5．函数14log y x =的反函数是______．课前预习导学【预习导引】1．(1)(0，＋∞) 增 (0，＋∞) 减 (2)＞ ＜ ＜ ＞预习交流1 (1)log a m ＞log a n log a m ＜log a n (2)m ＞n m ＜n2．反函数预习交流2 提示：互为反函数的两个函数的图象关于直线y ＝x 对称．课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：(1)中的两个数可直接用对应的对数函数的单调性比较；(2)中的两个数可化为同底的两个对数，然后用对应的对数函数的单调性比较；(3)中的两个对数的底数不同，真数也不同，但其中一个大于1，另一个小于1；(4)中两个数，一个小于0，一个大于0；(5)将两个对数换底后再比较．解：(1)∵函数y ＝log 0.3x 在(0，＋∞)上是减函数，且1.8＜2.7，∴log 0.31.8＞log 0.32.7.(2)3log 45＝log 4125,2log 23＝4log 43＝log 481.∵函数y ＝log 4x 在(0，＋∞)上是增函数，且125＞81，∴log 4125＞log 481，即3log 45＞2log 23.(3)∵函数y ＝log 3x 在(0，＋∞)上是增函数，且2＜3，∴log 32＜log 33＝1.同理log 56＞log 55＝1.∴log 32＜log 56.(4)∵函数13log y x =在(0，＋∞)上是减函数，且0.4＜1， ∴1133log 0.4>log 1＝0.同理，log 40.6＜log 41＝0. ∴13log 0.4＞log 40.6.(5)log 20.4＝ln 0.4ln 2，log 30.4＝ln 0.4ln 3. ∵3＞2＞1，∴ln 3＞ln 2＞0.∴1ln 2＞1ln 3＞0. 又ln 0.4＜0，∴ln 0.4ln 2＜ln 0.4ln 3. 即log 20.4＜log 30.4.迁移与应用 1．A 解析：∵log 3π＞log 33＝1,0＝log 71＜log 76＜log 77＝1，log 20.8＜log 21＝0，∴a ＞b ＞c ，故选A.2．解：(1)∵函数f (x )＝log 2.1x 在(0，＋∞)上是增函数，且0.4＞0.3，故log 2.10.4＞log 2.10.3.(2)∵函数()13log f x x =在(0，＋∞)上是减函数，且8＞7， 故1133log 8<log 7.(3)∵log 67＞log 66＝1，log 53＜log 55＝1，∴log 67＞log 53.(4)∵log 52＞log 51＝0，log 0.33＜log 0.31＝0，∴log 52＞log 0.33.活动与探究2 思路分析：将各式化为同底的对数，利用对数函数的单调性化为一般不等式求解．解：(1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3＞0，5x －6>0，2x ＋3>5x －6，解得65＜x ＜3. 所以原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫65，3.(2)由log 3(2x ＋1)＋13log (31)x -＞0得log 3(2x ＋1)＞13log (31)x --，即log 3(2x ＋1)＞log 3(3x －1)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋1>0，3x －1>0，2x ＋1>3x －1，解得13＜x ＜2. 所以原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫13，2.(3)由12log (12)>2x -，得11221log (12)>log 4x -. ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－2x >0，1－2x <14，解得38＜x ＜12. 所以原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫38，12.迁移与应用 1．D 解析：由1122log log x y <得x ＞y . 由1122log 0log 1y <=得y ＞1，∴x ＞y ＞1.2．(0,1) 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，2－x >0，x <2－x ，解得0＜x ＜1.3．⎝⎛⎦⎤34，1 解析：要使函数式有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧ 4x －3>0，log 0.5(4x －3)≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧4x －3>0，4x －3≤1，解得34＜x ≤1. 活动与探究3 思路分析：先求出真数的范围，再利用对数函数的单调性求原函数的值域．解：(1)设u ＝－x 2＋2x ＋3＝－ (x －1)2＋4≤4， ∵12log y u =在(0，＋∞)上是减函数， ∴212log (23)x x -++≥12log 4＝－2.∴函数的值域为[－2，＋∞)．(2)设u ＝⎝⎛⎭⎫13x －2，∵x ∈[－3，－1]，∴3≤⎝⎛⎭⎫13x ≤27，即1≤u ≤25.∵函数y ＝log 3u 在(0，＋∞)上是增函数，∴0≤log 3⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13x －2≤log 325. ∴原函数的值域为[0，log 325]．迁移与应用 1．A2．D 解析：∵a ＞1，∴f (x )＝log a x 在[a,2a ]上为增函数，∴log a (2a )－log a a ＝log a 2＝12，解得a ＝4，故选D. 3．[－3，－2] 解析：∵x ∈[1,3]，∴2x ＋2∈[4,8]．∴111222log 8log (22)log 4x ≤+≤，即－3≤12log (22)x +≤－2.【当堂检测】1．A 解析：∵a ＝log 117＞log 111＝0，b ＝log 0.83＜log 0.81＝0， ∴a ＞b .2．D 解析：由题意得12log (1)0x -≥，∴0＜x －1≤1，即1＜x ≤2.3．D 解析：当x ≤1时，由21－x ≤2，得1－x ≤1，即x ≥0， ∴0≤x ≤1.当x ＞1时，由1－log 2x ≤2，得log 2x ≥－1，即x ≥12，∴x ＞1. 综上，满足f (x )≤2的x 的取值范围是[0，＋∞)．4．[1，＋∞) 解析：令u ＝x 2－2x ＋3，则u ＝(x －1)2＋2≥2. ∵函数y ＝log 2u 在u ∈(0，＋∞)上是增函数， ∴y ≥log 22＝1.∴y ∈[1，＋∞)．。
人教版高中数学必修第一册4.3对数的概念 第2课时 对数的运算【课件】
初探新知
【活动1】 探究对数运算性质
【问题1】我们学过的对数的性质有哪些？
【问题2】我们知道了对数和指数间的关系，你打算怎么研究对数运算性质？
【问题3】计算log24,log216,log264的值，你有什么发现？
【问题4】对于logaM,logaN,loga(MN),你有何猜想？
【问题5】上述猜想是否具有一般性？如何证明？
【解】
(1) 原式＝log322＋log3(32×2－5)＋log323－3＝log3(22×32×2－5×23)－3＝log332－3＝ 2－3＝－1.
(2)
原式＝12
lg
25 72
－43
3
lg 2 2 ＋ lg 5 72
1 2
＝1
2
×(5lg 2－2lg 7)－43
×32
lg 2＋12
(lg 5＋
那么1a
＋1b
＝1 log 2 10
1 log5 10
＝lg 2＋lg 5＝1.
【方法规律】 当底数不同时，考虑使用换底公式将不同底的对数化成 同底，然后使用同底对数的运算性质解决问题．在数学 运算中，常将底数转换为以e为底的自然对数或以10为底 的常用对数，方便计算．
【变式训练2】
(1) 设 lg 2＝a，lg 3＝b，则 log512 等于( C )
学科核心素养
运用类比和联想的方法,根据对 数的定义推导出对数的基本性质 和运算性质
在运用对数的定义推导对数的基 本性质的过程中,培养数学抽象素 养
能根据对数的运算性质推导出换 底公式,并理解对数的运算性质 与换底公式
在根据对数的运算性质推导对数 的换底公式的过程中,培养逻辑推 理素养
学会运用对数的基本性质、运算 性质和换底公式进行对数式的恒 等变形
高中数学新人教A版必修1课件：第二章基本初等函数2.2.1对数与对数运算(第1课时)对数
〔跟踪练习1〕
将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)42＝16；
(2)102＝100；
1
(3)42
＝2；
(4)log1 32＝－5. 2
(3)原式＝(alogab) logbc＝blogbc＝c.
• 『规律方法』 运用对数恒等式时注意事项 • (1)对于对数恒等式alogaN＝N要注意格式： • ①它们是同底的；②指数中含有对数情势；③其值为对数的真数． • (2)对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．
〔跟踪练习3〕 求31＋log36－24＋log23＋103lg3＋(19)log34的值． [解析] 原式＝3·3 log36－24·2 log23＋(10lg3)3＋(3 log34)－2 ＝3×6－16×3＋33＋4－2 ＝18－48＋27＋116＝－4176.
• 3．对数与指数的关系
• 当a＞0，且a≠1时，ax＝N⇔x＝____ln_N_______.
• 4．对数的基本性质 • (1)___零___和_负_数______没有对数．
• (2)loga1＝_0____(a＞0，且a≠1)． • (3)logaa＝_1____(a＞0，且a≠1)． • 5．对数恒等式
B．log1 9＝－2 3
C．log1 (－2)＝9 3
D．log9(－2)＝13
[解析] 将(13)－2＝9写成对数式为log13 9＝－2，故选B．
• 4．若log2(log3x)＝0，则x＝_3____. • [解析] 由题意得log3x＝1，∴x＝3.
对数函数的性质与应用
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对数函数的性质及应用
例3、已知函数
f
(
x)
log
a
1 1
x x
(a 0且a 1)。
（1）求f(x)的定义域；
（2）判断f(x)的奇偶性；
（3）解不等式f(x)>0。
对数函数的性质及应用
课堂小结
1. 对数函数的概念，对数函数与指数函数 是互为反函数；
2. 对数函数的图象、性质，注意对数函数 与指数函数之间的区别和联系；
解: y=logax (a>0且a≠1)
定义域是x>0。 值域是R。
对数函数的定义
3、对数函数的定义: ★ 把形如 y = log a x (a>0,a≠1)的函数叫做对数函 数.其中x是自变量。
由于对数函数y = log a x 与指数函数y = a x (a>0,a≠1) 互为反函数，所以
对数函数的定义域是(0,＋∞)， 值域是R。
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数学：2.2.1《对数与对数运算》课件(新人教a版必修1)
（1）开方运算、对数运算都是指数运算的逆运算。
2.对数的基本性质:
①零和负数没有对数.
( 在 log a N b中, a 0, a 1, N 0）
②loga1=0
③logaa=1
3.对数恒等式：
a
loga N
N
b
证 明： 设 a N
b loga N
a
loga N
N
练习3.求下列各式的值：
(1) l og2 4; ( 2) l og3 27; ( 3) l og5 125; ( 4) l g1000 ; ( 5) l g 0.001.
2 3 3 3 3
练习4.计算下列各式的值:
(1).2
log 2 4 log 3 27 lg10 5
( 2).3 (4).5
对数及其运算(1,2课时)
1.对数的定义.
学 2.对数的基本性质. 习 3.对数恒等式. 内 4.常用对数、自然对数的概念. 容
5.对数的基本运算
思考问题一：
假设2000年我国国民经济生产总 值为a亿元,如果平均每年增长率为8.2%, 求5年后国民经济生产总值是2000年的 多少倍？
答：y=a(1+8.2%)5 =1.0825a 是2000年的1.0825倍
( 3).10
log 5 1125
例2 求下列各式中x的值:
2 1log 64 x ; 2log x 8 6; 3lg100 x; 4 ln e 2 x. 3
练习5.填空
1.设 loga 2 m, loga 3 n, 则a
2 m 3n
108
1 log3 2
时候壹起出手/灭杀咯它/至于赏金到时候再说/不落圣法真要到手咯/大不咯大家壹
人教版高中数学必修1：2.2.1《对数》课件【精品课件】
20
例2
求下列各式的值：
(1) log2（47×25）；
(2) lg5
31log3 2
100
；
(3) log318 -log32 ；
(4)
3
1 log 3 2
.
21
例3 计算：
2 log 5 2 log 5 3 1 1 log 5 10 log 5 0.36 log 5 8 2 3
对数与对数运算
第二课时
对数的运算
13
问题提出
1.对数源于指数，对数与指数是怎样互 化的？
2.指数与对数都是一种运算，而且它们 互为逆运算，指数运算有一系列性质， 那么对数运算有那些性质呢？
14
15
知识探究（一）：积与商的对数
思考1:求下列三个对数的值：log232， log24 ， log28．你能发现这三个对数之 间有哪些内在联系？ 思考2:将log232＝log24十log28推广到一 般情形有什么结论？
48
思考3:点P(m，n)与点Q(n，m)有怎样的 位置关系？由此说明对数函数 y log a x x 的图象与指数函数 y a 的图象有怎样 的位置关系？ y Q P o x
49
思考4:一般地，对数函数的图象可分为 几类？其大致形状如何？ y 0 <a <1 y a >1
1 0 1 x 1 0 1
(5) lg0.01=－２;
化为指数式：
3
(6) ln10＝2.303.
10
2
例2.求下列各式中ｘ的值：
2 (1)log64x＝ ; (2) logx8＝6 ; 3
(3)lg100=x;
(4)－lne2＝ｘ .
高中数学第二章对数函数2.2.1对数与对数运算第1课时对数学案(含解析)新人教版
§2.2对数函数2.2.1 对数与对数运算第1课时对数学习目标 1.理解对数的概念、掌握对数的性质(重、难点).2.掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程(重点).知识点1 对数1.对数(1)指数式与对数式的互化及有关概念：(2)底数a的范围是a>0，且a≠1.2.常用对数与自然对数【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)根据对数的定义，因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4.( )(2)对数式log32与log23的意义一样.( )(3)对数的运算实质是求幂指数.( )提示(1)×因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，所以(1)错；(2)×log32表示以3为底2的对数，log23表示以2为底3的对数，所以(2)错；(3)√由对数的定义可知(3)正确.知识点2 对数的基本性质 (1)负数和零没有对数. (2)log a 1＝0(a >0，且a ≠1). (3)log a a ＝1(a >0，且a ≠1). 【预习评价】若log 32x －33＝1，则x ＝________；若log 3(2x －1)＝0，则x ＝________.解析 若log 32x －33＝1，则2x －33＝3，即2x －3＝9，x ＝6；若log 3(2x －1)＝0，则2x －1＝1，即x ＝1. 答案 6 1题型一 对数的定义【例1】 (1)在对数式y ＝log (x －2)(4－x )中，实数x 的取值范围是________； (2)将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式. ①54＝625；②log 216＝4；③10－2＝0.01；④log5125＝6.(1)解析 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧4－x >0，x －2>0，x －2≠1，解得2<x <4且x ≠3.答案 (2，3)∪(3，4)(2)解 ①由54＝625，得log 5625＝4. ②由log 216＝4，得24＝16. ③由10－2＝0.01，得lg 0.01＝－2. ④由log5125＝6，得(5)6＝125.规律方法 指数式与对数式互化的思路(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式. (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式. 【训练1】 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：(1)43＝64；(2)ln a ＝b ；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫12m＝n ；(4)lg 1000＝3.解 (1)因为43＝64，所以log 464＝3；(2)因为ln a ＝b ，所以e b＝a ；(3)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12m＝n ，所以log 12n ＝m ； (4)因为lg 1 000＝3，所以103＝1 000. 题型二 利用指数式与对数式的互化求变量的值 【例2】 (1)求下列各式的值.①log 981＝________.②log 0.41＝________.③ln e 2＝________. (2)求下列各式中x 的值. ①log 64x ＝－23；②log x 8＝6；③lg 100＝x ；④－ln e 2＝x .(1)解析 ①设log 981＝x ，所以9x ＝81＝92，故x ＝2，即log 981＝2；②设log 0.41＝x ，所以0.4x ＝1＝0.40，故x ＝0，即log 0.41＝0；③设ln e 2＝x ，所以e x ＝e 2，故x ＝2，即ln e 2＝2. 答案 ①2 ②0 ③2(2)解 ①由log 64x ＝－23得x ＝64－23＝43×(－23)＝4－2＝116； ②由log x 8＝6，得x 6＝8，又x >0，即x ＝816＝23×16＝2；③由lg 100＝x ，得10x＝100＝102，即x ＝2； ④由－ln e 2＝x ，得ln e 2＝－x ，所以e －x＝e 2， 所以－x ＝2，即x ＝－2.规律方法 对数式中求值的基本思想和方法 (1)基本思想.在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解. (2)基本方法.①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题. ②利用幂的运算性质和指数的性质计算.【训练2】 利用指数式、对数式的互化求下列各式中x 的值. (1)log 2x ＝－12；(2)log x 25＝2；(3)log 5x 2＝2.解 (1)由log 2x ＝－12，得2－12＝x ，∴x ＝22. (2)由log x 25＝2，得x 2＝25. ∵x ＞0，且x ≠1，∴x ＝5. (3)由log 5x 2＝2，得x 2＝52，∴x ＝±5.∵52＝25＞0，(－5)2＝25＞0， ∴x ＝5或x ＝－5.题型三 利用对数的性质及对数恒等式求值 【例3】 (1)71－log 75；(2)100⎝⎛⎭⎪⎪⎫12lg 9－lg 2； (3)alog ab ·log bc(a ，b 为不等于1的正数，c >0).解 (1)原式＝7×7－log 75＝77log 75＝75. (2)原式＝10012lg 9×100－lg 2＝10lg 9×1100lg 2＝9×1102lg 2 ＝9×110lg 4＝94.(3)原式＝(alog ab )log bc＝blog bc＝c .规律方法 对数恒等式a log a N ＝N 的应用 (1)能直接应用对数恒等式的直接应用即可.(2)对于不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解.【训练3】 (1)设3log 3(2x ＋1)＝27，则x ＝________.(2)若log π(log 3(ln x ))＝0，则x ＝________. 解析 (1)3log 3(2x ＋1)＝2x ＋1＝27，解得x ＝13.(2)由log π(log 3(ln x ))＝0可知log 3(ln x )＝1，所以ln x ＝3，解得x ＝e 3. 答案 (1)13 (2)e 3课堂达标1.有下列说法：(1)只有正数有对数；(2)任何一个指数式都可以化成对数式；(3)以5为底25的对数等于±2；(4)3log 3(－5)＝－5成立.其中正确的个数为( )A.0B.1C.2D.3解析 (1)正确；(2)，(3)，(4)不正确. 答案 B2.使对数log a (－2a ＋1)有意义的a 的取值范围为( ) A.a >12且a ≠1B.0<a <12C.a >0且a ≠1D.a <12解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋1>0，a >0，a ≠1，解得0<a <12.答案 B3.方程lg(2x －3)＝1的解为________.解析 由lg(2x －3)＝1知2x －3＝10，解得x ＝132.答案1324.计算：2log 23＋2log 31－3log 77＋3ln 1＝________.解析 原式＝3＋2×0－3×1＋3×0＝0. 答案 05.把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式. (1)2－3＝18；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫17a ＝b ；(3)lg 11 000＝－3；(4)ln 10＝x .解 (1)由2－3＝18可得log 218＝－3；(2)由⎝ ⎛⎭⎪⎫17a＝b 得log 17b ＝a ；(3)由lg 11 000＝－3可得10－3＝11 000；(4)ln 10＝x 可得e x＝10.课堂小结1.对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b＝N ⇔log a N ＝b (a ＞0，且a ≠1，N ＞0)，据此可得两个常用恒等式：(1)log a ab ＝b ；(2)a log a N ＝N .2.在关系式a x＝N 中，已知a 和x 求N 的运算称为求幂运算，而如果已知a 和N 求x 的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算. 3.指数式与对数式的互化基础过关1.有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝10；④若e ＝ln x ，则x ＝e 2.其中正确的是( ) A.①③ B.②④ C.①②D.③④解析 lg(lg 10)＝lg 1＝0，ln(ln e)＝ln 1＝0，故①②正确；若10＝lg x ，则x ＝1010，故③错误；若e ＝ln x ，则x ＝e e，故④错误. 答案 C2.log a b ＝1成立的条件是( ) A.a ＝b B.a ＝b 且b >0 C.a >0，a ≠1D.a >0，a ＝b ≠1解析 由log a b ＝1得a >0，且a ＝b ≠1. 答案 D3.设a ＝log 310，b ＝log 37，则3a －b 的值为( )A.107B.710C.1049D.4910解析 3a －b＝3a÷3b＝3log 310÷3log 37＝10÷7＝107.答案 A4.若log (1－x )(1＋x )2＝1，则x ＝________. 解析 由题意知1－x ＝(1＋x )2， 解得x ＝0或x ＝－3.验证知，当x ＝0时，log (1－x )(1＋x )2无意义， 故x ＝0时不合题意，应舍去.所以x ＝－3. 答案 －35.若log 3(a ＋1)＝1，则log a 2＋log 2(a －1)＝________.解析 由log 3(a ＋1)＝1得a ＋1＝3，即a ＝2，所以log a 2＋log 2(a －1)＝log 22＋log 21＝1＋0＝1. 答案 16.将下列指数式化成对数式，对数式化成指数式. (1)35＝243；(2)2－5＝132；(3)log 1381＝－4；(4)log 2128＝7.解 (1)log 3243＝5；(2)log 2132＝－5；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫13－4＝81；(4)27＝128.7.求下列各式中的x 的值. (1)log x 27＝32；(2)log 2x ＝－23；(3)log x (3＋22)＝－2； (4)log 5(log 2x )＝0； (5)x ＝log 2719.解 (1)由log x 27＝32，得x 32＝27，∴x ＝2723＝32＝9.(2)由log 2x ＝－23，得2－23＝x ，∴x ＝1322＝322.(3)由log x (3＋22)＝－2，得3＋22＝x －2， ∴x ＝(3＋22)－12＝2－1.(4)由log 5(log 2x )＝0，得log 2x ＝1.∴x ＝21＝2. (5)由x ＝log 2719，得27x＝19，即33x＝3－2， ∴x ＝－23.能力提升8.对于a >0且a ≠1，下列说法正确的是( )(1)若M ＝N ，则log a M ＝log a N ；(2)若log a M ＝log a N ，则M ＝N ；(3)若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ；(4)若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2.A.(1)(2)B.(2)(3)(4)C.(2)D.(2)(3)解析 (1)中若M ，N 小于或等于0时，log a M ＝log a N 不成立；(2)正确；(3)中M 与N 也可能互为相反数且不等于0；(4)中当M ＝N ＝0时不正确. 答案 C9.已知log 3(log 5a )＝log 4(log 5b )＝0，则a b的值为( ) A.1 B.－1 C.5D.15解析 由log 3(log 5a )＝0得log 5a ＝1，即a ＝5，同理b ＝5，故a b＝1. 答案 A 10.方程3log 2x ＝127的解是________. 解析 3log 2x ＝3－3，∴log 2x ＝－3，x ＝2－3＝18.答案 1811.若正数a ，b 满足2＋log 2a ＝3＋log 3b ＝log 6(a ＋b )，则1a ＋1b＝________.解析 设2＋log 2a ＝3＋log 3b ＝log 6(a ＋b )＝k ，则a ＝2k －2，b ＝3k －3，a ＋b ＝6k ，即4a ＝2k，27b ＝3k ，所以108ab ＝6k，∴108ab ＝a ＋b ，∴108＝1a ＋1b.答案 10812.(1)若f (10x)＝x ，求f (3)的值； (2)计算23＋log 23＋35－log 39.解 (1)令t ＝10x，则x ＝lg t ，∴f (t )＝lg t ，即f (x )＝lg x ，∴f (3)＝lg 3. (2)23＋log 23＋35－log 39＝23·2log 23＋353log 39 ＝23×3＋359＝24＋27＝51.13.(选做题)若log 2(log 12(log 2x ))＝log 3(log 13(log 3y ))＝log 5(log 15(log 5z ))＝0，试确定x ，y ，z 的大小关系.解 由log 2(log 12(log 2x ))＝0，得log 12(log 2x )＝1，log 2x ＝12，x ＝212＝(215)130.由log 3(log 13(log 3y ))＝0，得log 13(log 3y )＝1，log 3y ＝13，y ＝313＝(310)130.由log 5(log 15(log 5z ))＝0，得log 15(log 5z )＝1，log 5z ＝15，z ＝515＝(56)130.∵310>215>56，∴y >x >z .。
2.2.2对数函数及其性质课件人教新课标
质 在R上是增函数
在R上是减函数
x＞0时，ax＞1;
x＜0时，0＜ax＜1
2. 指数函数的图象和性质
a＞1
0＜a＜1
图
y
y＝ax y＝ax
y
(a＞1) (0＜a＜1)
象
y＝1
O
x
y＝1
O
x
定义域 R；值域(0，＋∞)
性 过点(0，1)，即x＝0时，y＝1
质 在R上是增函数
在R上是减函数
x＞0时，ax＞1;
对数函数，定义域为(0,＋∞)， 值域为
讲授新课
1. 对数函数的定义： 函数y＝logax (a＞0且a≠1)叫做
对数函数，定义域为(0,＋∞)， 值域为(－∞,＋∞).
例1 求下列函数的定义域:
2. 对数函数的图象：
2. 对数函数的图象： 通过列表、描点、连线作
与
的图象.
2. 对数函数的图象： 通过列表、描点、连线作
2.2.2对数函数 及其性质
复习引入
1. 指数与对数的互化关系 ab＝N logaN＝b.
2. 指数函数的图象和性质
a＞1
0＜a＜1
图 象
定义域 R；值域(0，＋∞)
性 过点(0，1)，即x＝0时，y＝1 质 在 R 上是增函数 在 R 上是减函数
x＞0时，ax＞1; x＜0时，0＜ax＜1
2. 指数函数的图象和性质
x∈(0, 1)时，y>0 x∈(1, +∞)时，y<0.
3. 对数函数的性质：
图y 象O
a＞1
x
0＜a＜1
y
O
x
定义域：(0, +∞)； 值域：R
高二数学选修22对数函数与指数函数的导数教案 新课标 人教版
高二数学选修22对数函数与指数函数的导数教案 新课标 人教版第一课时 对数函数与指数函数的导数【课时目标】 掌握对数函数、指数函数的求导法则，并能进行简单应用【情景设置】前面几节课我们学习了常数函数、幂函数、三角函数以及正余弦函数的求导法则，我们一起回顾一下。
（回忆公式）求下列几个函数的导数：（1）y=sinx 3+sin 33x ；（2）122sin -=x x y 【探索研究】一、对数函数的导数()e x x a a log 1log =' 公式一说明：此公式的记忆要点是：将x 拿到对数前面并“倒”一下，原来x 的地方换成“e ” 练习1：求下列对数函数的导数（随手写出）（1）x lg ；（2）)2(log 2-x a （3）)lg(sin x （4）x ln例2 求21lg x y -=处理：例2放在第（3）题后讲解 科目数学 课题 §3.5对数函数与指数函数的导数 教材分析 重点 应用公式求简单的初等函数的导数 难点 公式的正确应用 疑点 涉及复合函数的求导问题时，如何进行分解教学目标 知识目标 熟记x x a e a x x log ,ln ,,的导数公式，并能求简单的初等函数的导数能力目标 培养学生的运算能力，分析和解决问题的能力 情感目标1． 德育渗透点： 能用辨证的观点去认识规律刑的抽象的公式 2． 美育渗透点： 公式的简洁、抽象、应用的广泛灵活 学法引导 首先要熟记公式（不要求证明），并进行适当的练习巩固，能及时总结求某些复合函数导数的方法，做到正确使用相关法则，每一步都要有依据课时安排 1课时 教法 启发式 教学设备 多媒体设备 教与学过程设计 具体见下教学 后记()x x 1ln =' 公式二 例1 求)132ln(2++x x 的导数处理：例题教师板演练习2：求下列对数函数的导数（随手写出）二、指数函数的导数()a a a x x ln =' 公式三说明：指导学生记忆此公式，并说明a 应为正数。
新课标人教版高中数学必修一 2.2基本初等函数--对数函数 教学设计
2.2 对数函数[教学目标]1．理解对数的概念及其运算性质．2．知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数． 3．了解对数的发现历史以及其对简化运算的作用．4．通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型．5．能借助计算器或计算机画出具体的对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．6．知道对数函数x y a log =与指数函数xa y =互为反函数（0>a ，且1≠a ）． [教学要求]本节内容是在学习了指数函数之后，通过具体实例了解对数函数模型的实际背景，教学中要注意引导学生分析寻找解决问题的方法，点出本节课要学习的问题——对数问题．学习对数概念，进而学习一类新的基本初等函数——对数函数．在教学中应引导学生充分重视对数与指数的对应关系、对数函数与指数函数有着很多对应的性质．在本节的教学过程中要重视以具体的、实际的问题体现数学的思想方法及价值，如归纳的思想（从指数的运算律类比对数的运算律等）、数形结合的思想、类比的思想等．注意对课本中的人口、考古、地震、pH 值的测定等问题，要体现数学的应用价值．因此，教学时重视以具体、实际的问题体现数学的思想方法及价值．根据本节内容的特点，教学过程中要注意发挥信息技术的作用，尽量使用计算器或计算机，为学生的数学探究与数学思维提供支持．教学中可使用计算器或计算机作对数函数的图象、讨论对数函数的性质等．讲解对数定义时，要说明以下几点：一是要让学生弄清楚对数式b N a =log （0>a ，且1≠a ）的含义，明确a ，N ，b ，相对于指数式N a b =是什么数，并找出它们之间是什么关系．二是要注意对数式b N a =log 中字母的取值范围，要讲清楚对数定义中为什么要规定0>a ，且1≠a ，0>N ．对数的运算性质是进行对数计算的重要依据，其推导过程是纯粹的数学推理过程，抽象程度较高，难度较大，教学过程中要充分讨论，促进学生理解．教学中应充分注意发挥对数函数图象的作用，让学生自己做出对数函数的图象．有条件的班级，可以让学生利用计算器或者计算机做出对数函数的图象． [教学重点]对数函数的概念、图象和性质． [教学难点]对对数的意义、符号的理解，以及如何从对数函数的图象归纳出对数函数的性质． [教学时数] 6课时[教学过程]第一课时2.2.1对数与对数运算（1）——对数 新课导入回顾2.1.2指数函数一节中的例8，把我国1999年底人口13亿作为基数，如果人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数y 最多为多少？我们算出经过年数x 与人口数y 满足关系xy 01.113⨯=中，如果问“哪一年的人口数可达到18亿，20亿，30亿”？该如何解决？分析：人口数达到18亿时，是1999年底 13亿人口的x 01.11318=，需要从中求出经过年数x ；人口数达到20亿时，是1999年底 13亿人口的x 01.11320=，需要从中求出经过年数x ；人口数达到30亿时，是1999年底 13亿人口的x 01.11330=，需要从中求出经过年数x ；一般地，需要从N x=01.1中求出经过年数x ．这是我们这一节将要学习的对数问题．新课进展 一、对数 1．定义一般地，如果N a x=（0>a ，且1≠a ），那么数x 叫做以a 为底N 的对数（logarithm ），记作N x a log =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．x 01.11318=，其中x 就是以1.01为底1318的对数，记作1318log 01.1=x ；请同学们写出x 01.11320=，x 01.11330=中的x ． 问：以4为底16的对数是2，用等式怎么表达？讨论：按照对数的定义，以4为底16的对数是2，可记作216log 4=；同样从对数的定义出发，可写成1642=．我们从一般的角度来考虑这个问题，根据对数的定义，可以得到对数和指数间的关系：当0>a ，且1≠a 时，如果N a x=，那么N x a log =；如果N x a log =，那么N a x =．即N a x =等价于N x al o g =，记作当0>a ，且1≠a 时，N a x =⇔N x a log =．当0>a ，且1≠a 时，计算：1log a ，a a log ． 分析：利用对数和指数间的关系． 由于0>=N a x，所以： 负数和零没有对数． 2．常用对数和自然对数通常我们将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm ），并且把N 10log 记作N lg ．在科学技术中常使用以无理数 597182818284.2=e 为底数的对数，以e 为底的对数称为自然对数（natural logarithm ），并且把N e log 记作N ln ．3．课堂例题例1 （课本第63页例1） 例2 （课本第63页例2） 4．课堂练习课本第64页练习1（1）——（2）、2（3）——（4）．5．布置作业课本第64页练习1（3）——（4）、2（1）——（2）． 课本第74页习题2.2.A 组1（1）——（4）、2（1）——（4）．第二课时2.2.1对数与对数运算（2）——对数的运算 复习导入通过提问复习上节课主要学习内容． 问：你如何理解对数？答：从运算的角度，对数运算可以看成是指数运算的逆运算．因此，对数式和指数式的互化在对数学习过程中很重要．当0>a ，且1≠a 时，N a x=⇔N x a log =，即x a xa =log ．新课进展通过师生探究，学习本节主要内容问：从指数与对数的关系以及指数运算性质，你能得出相应的对数运算性质吗？ 回顾指数幂的运算性质：n m n m a a a +=⋅，n m n m a a a -=÷，mn n m a a =)(．师生讨论：把指对数互化的式子具体化：设ma M =，na N =，于是有mn n n m n m a M a NMa MN ===-+,,．n N m M a a ==log ,log ． 根据对数的定义有：n m anm a +=+log ，n m a n m a -=-log ，mn a mn a =log ． 于是有 二、对数的运算（1）N M N M a a a log log )(log +=⋅； （2）N M NMa a alog log log -=； （3）M n M a na log log =（R n ∈）．课堂例题例1 （课本第65页例3） 例2 （课本第65页例4）说明：以上两例讲解时，要注意让学生熟悉对数的运算性质，了解简单对数的计算及对数式的化简．课堂练习课本第68页练习1（1）——（4）、2（1）——（4）、3（1）——（4）题． 布置作业课本第74页习题2.2A 组第3、4、5题．第三课时2.2.1对数与对数运算（3）——对数的换底公式 复习导入通过提问复习上节课主要学习内容．问：上节课我们学习了哪些对数的性质？请用文字语言叙述． 答：（1）积的对数等于同底对数的和； （2）商的对数等于同底对数的差； （3）n 次幂的对数等于同底对数的n 倍； 即：（1）N M N M a a a log log )(log +=⋅； （2）N M NMa a alog log log -=； （3）M n M a na log log =（R n ∈）．新课进展三、对数的换底公式问：前面我们学习了常用对数和自然对数，我们知道任意不等于1的正数都可以作为对数的底，能否将其它底的对数转换为以10或e 为底的对数？把问题一般化，能否把以a 为底转化为以c 为底？师生共同探究：设p b a =log ，则b a p=，对此等式两边取以c 为底的对数，得到：b ac p c log log =，根据对数的性质，有：b a p c c log log =，所以abp c c log log =．即abb c c a log log log =．其中0>a ，且1≠a ，0>c ，且1≠c ． 公式abb c c a log log log =称为换底公式． 用换底公式可以很方便地利用计算器进行对数的数值计算．例如，求我国人口达到18亿的年份，就是计算1318log 01.1=x 的值，利用换底公式和对数的运算性质，可得： 01.1lg 13lg 18lg 01.1lg 1318lg1318log 01.1-===x338837.320043.01139.12553.1≈=-≈（年）课堂例题例1 （课本第66页例5）例2 （课本第67页例6）本例题的讲解为对数函数的引入做好铺垫．根据问题的实际意义可知，对于每一个碳14含量P ，通过对应关系P t 573021log=，都有唯一确定的年代t 与它对应，所以，t 是P 的函数．课堂练习课本第68页练习4（1）——（3）题． 布置作业课本第74页习题2.2A 组4（1）——（4）、5（1）——(4)、6题．第四课时2.2.2对数函数及其性质（1）情景问题导入 1．课堂练习课本第74页习题2.2A 组第6题．2．上节课的例题，考古学家通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡生物体的残留物测定碳14含量P ，估算出土文物或古遗址地年代t ，即P t 573021log=．一、对数函数的定义一般地，我们把函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数（logarithmicfunction ），其中x 是自变量，函数的定义域是(0)∞，+．我们类比指数函数xy a =(0,1)a a >≠且图象与性质，来研究对数函数x y a lo g =(0,1)a a >≠且的图象和性质． 二、对数函数的图象在同一坐标系中画出对数函数x y 2log =和x y 21log =的图象（可用描点法，也可借助科学计算器或计算机）．（图及表格见课本第70页）讨论：函数x y 2log =和x y 21log =的图象之间的关系．x x y 221log log -==，又点),(y x 和点),(y x -关于x 轴对称，所以，xy 2log =和x y 21log =的图象关于x 轴对称．思考函数x y a log =与x y a1log =(0a >，且1)a ≠的图象有什么关系？三、对数函数的性质一般地，对数函数x y a log =(0,1)a a >≠且的图象和性质如下表所示．课堂例题例1 （课本71页例7） 求下列函数的定义域：（1）2log x y a =；（2）)4(log x y a -=．例2 （课本72页例8）该两例是巩固对数函数的概念，利用单调性比较对数式的大小． 课堂练习课本第73页练习第1、2、3题． 布置作业课本第74页习题2.2A 组第7、8、9题．第五课时2.2.2对数函数及其性质（2） 复习导入通过提问复习上节课主要学习内容．问：我们是怎样研究对数函数的？投影出一般的对数函数的特征图象，总结其单调性和特殊点． 新课进展四、对数函数的应用 课堂例题例1 （课本第72页例9）引导学生利用对数函数，解决溶液酸碱度pH 值得测量问题，体会对数函数的应用价值．例2 （课本第75页习题2.2A 组第12题）指导学生学习用数学的观点处理现实问题的方法，进一步引导学生体会对数函数的应用价值．例3 （课本第75页习题2.2B 组第3题） 启发学生体会对数函数应用的广泛性． 课堂练习课本第75页习题2.2A 组第12题． 布置作业课本第82页复习参考题A 组第9题． 课本第83页复习参考题B 组第5题．第六课时2.2.2对数函数及其性质（3）——对数函数与指数函数的关系 问题导入问：在指数函数xy 2=中，x 为自变量，y 为因变量．如果把y 当成自变量，x 当成因变量，那么x 是y 的函数吗？如果是，那么对应关系是什么？如果不是，请说明理由．通过对问题的讨论，形成反函数的概念．通过摄氏温度与华氏温度的换算，进一步明确反函数的概念．在指数函数2xy =中，x 是自变量，定义域是x ∈R ，y 是x 的函数，且值域(0)y ∈∞，+．根据指数与对数的关系，由指数式2x y =可得到对数式2log x y =，这样，对于任意一个(0)y ∈∞，+，通过式子2log x y =，x 在R 中都有唯一确定的值和它对应．我们可以把y 作为自变量，x 作为y 的函数，这时，我们就把2log x y = ((0))y ∈∞，+称为函数2x y =()x ∈R 的反函数（inverse function ）． 在函数2log x y =中，y 是自变量，x 是y 的函数．但习惯上，我们通常用x 表示自变量，y 表示函数．为此，我们把函数2log x y =中的字母x ，y 交换，把它写成2log y x =，这样，对数函数2log y x =((0))x ∈∞，+是指数函数2x y =x ∈R 的反函数．课堂讨论1．如何说明指数函数xay =(0,1)a a >≠且与对数函数x y a log =(0,1)a a >≠且互为反函数．2．互为反函数的这两个函数的定义域和值域有什么关系？ 3．互为反函数的这两个函数的图象有什么关系？ 答案提示：1．在指数函数xa y =中，x 是自变量，定义域是x ∈R ，y 是x 的函数，且值域(0)y ∈∞，+．根据指数与对数的关系，由指数式x a y =可得到对数式y x a log =，这样，对于任意一个(0)y ∈∞，+，通过式子y x a log =，x 在R 中都有唯一确定的值和它对应．我们可以把y 作为自变量，x 作为y 的函数，这时，y x a log =((0))y ∈∞，+就为指数函数x a y =的反函数，把自变量用x 表示，因变量用y 表示，则对数函数x y a log =就是指数函数xa y =的反函数(0,1)a a >≠且．反之，也可类似说明对数函数x y a l o g =(0,1)a a >≠且是指数函数x a y =(0,1)a a >≠且的反函数．2．互为反函数的这两个函数的定义域和值域恰好互换，例如2xy =的定义域为实数集R ，值域为),0(+∞，2xy =的反函数的定义域为),0(+∞，值域为实数集R ．11 3．在同一个直角坐标系中，互为反函数的函数图象关于直线x y =对称．说明：作为探究与发现，教材只要求学生了解指数函数xa y =和对数函数x y a log =(0,1)a a >≠且互为反函数．对反函数的一般概念、判断一个函数是否存在反函数以及求函数的反函数等均不作要求．课堂例题例1 求下列函数的反函数：（1）x y )31(=；（2）x y 5log =． 解：（1）x y )31(=的反函数为),0(,log 31+∞∈=x x y ．（2）函数x y 5log =的反函数为R x y x ∈=,5．课堂练习写出下列函数的反函数：（1）x y 4log =；（2）x y 41log =．本课小结1．对数函数x y a log =(0,1)a a >≠且与同底的指数函数xa y =互为反函数．2．对数函数x y a log =与同底的指数函数x a y =的性质相互对应．布置作业1．根据对数函数x y a log =(0,1)a a >≠且与同底的指数函数x a y =互为反函数的关系，列出指数函数与对数函数的对照表．2．课本第82页复习参考题A 组第8题．。
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一、选择题(每小题5分，共20分)
1．下列语句正确的是( )
(1)对数式log a N ＝b 与指数式a b ＝N 是同一关系的两种不同表示方法；
(2)若a b ＝N (a >0且a ≠1，N >0)，则a log a N ＝N 一定成立；
(3)对数的底数可以为任意正实数；
(4)log a a b ＝b 对一切a >0且a ≠1恒成立．
A ．(1)(2)(3)(4)
B ．(1)(2)(4)
C ．(1)(3)(4)
D ．(2)(3)(4)
解析： 由对数定义可知(1)(2)(4)均正确，而(3)中对数的底数不等于1.
答案： B
2．若log 2[log 3(log 5x )]＝0，则x 等于( )
A ．125
B ．5
C ．3
D ．2
解析： 由题意知log 3(log 5x )＝1，
∴log 5x ＝3，∴x ＝53＝125.
答案： A
3．在N ＝log (5－b )(b －2)中，实数b 的取值范围是( )
A ．b <2或b >5
B ．2<b <5
C ．4<b <5
D ．2<b <5且b ≠4 解析： 要使N ＝log (5－b )(b －2)有意义，
须使⎩⎪⎨⎪⎧ 5－b >0，5－b ≠1，
b －2>0，
∴2<b <5且b ≠4.
答案： D
4．已知f (log 2x )＝x ，则f ⎝⎛⎭⎫12＝( )
A.12
B.14
C. 2 D ．1
解析： 令log 2x ＝12
， 则x ＝212＝2， 即f ⎝⎛⎭⎫12＝f (log 22)＝ 2.
答案： C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．有以下四个说法：
(1)lg(lg 10)＝0；
(2)若10＝lg x ，则x ＝10；
(3)ln(ln e)＝0；
(4)若e ＝ln x ，则x ＝e 2.
其中正确的序号是________．
解析： lg(lg 10)＝lg 1＝0；ln(ln e)＝ln 1＝0，故(1)，(3)正确．若10＝lg x ，则x ＝1010，
(2)错误．若e ＝ln x ，则x ＝e e ，故(4)错误．
答案： (1)(3)
6．若log a 3＝m ，log a 5＝n ，则a 2m ＋n ＝________.
解析： log a 3＝m ⇒a m ＝3，log a 5＝n ⇒a n ＝5，
∴a 2m ＋n ＝a 2m ·a n ＝(a m )2·a n ＝32·5＝45.
答案： 45
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．求下列各式的值：
(1)lg 1；(2)log (2－3)(2＋3)－
1； (3)10lg 3－10 log 81＋πlog π6；(4)22＋log 23＋32－log 39.
解析： (1)∵100＝1，∴lg 1＝0.
(2)因为(2＋3)－1＝
12＋3＝2－3， 所以log (2－
3)(2＋3)－1 ＝log (2－3)(2－3)＝1.
(3)10lg 3－10 log 81＋πlog π6＝3－0＋6＝9.
(4)22＋log 23＋32－log 39＝22×2log 23＋32
3log 39
＝22
×3＋329＝12＋1＝13. 8．(1)求对数式log (2x －1)1－x 2中x 的取值范围；
(2)若log 5[log 3(log 2x )]＝0，求x . 解析： (1)要使对数式log (2x －1)
1－x 2有意义， 只须使⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1>0，2x －1≠1，
1－x 2>0，解得12
<x <1. (2)由题意得log 3(log 2x )＝1， ∴log 2x ＝3，
∴x ＝23＝8. 尖子生题库☆☆☆
9．(10分)已知α，β是方程
x 2－10x ＋2＝0的两实根，求log 2α2－αβ＋β2
|α－β|. 解析： ∵α，β是方程x 2－10x ＋2＝0的两实根， ∴α＋β＝10，αβ＝2，
∴α2－αβ＋β2|α－β|＝(α＋β)2－3αβ(α＋β)2－4αβ ＝10－610－8
＝42＝22， ∴原式所求值转化为求log 22 2.
令log 222＝x ，则2x ＝22＝232
， ∴x ＝32，∴log 2α2－αβ＋β2|α－β|
＝32.。