第10章 湍流边界层

第10章 湍流边界层
10.1 壁面湍流特性和速度分布规律
当边界层内流体及管内流体处于层流流动状态时，流体受到壁面的限制仅仅表现在粘性切应力作用下，进行粘性旋涡的扩散；而当处于湍流流动状态时，流体受到壁面的限制则是在粘性切应力和湍流附加切应力的同时作用下，进行旋涡的扩散。

由于湍动旋涡的扩散速度远大于粘性旋涡扩散的速度，因此，在相同条件下，湍流速度边界层的厚度要比层流速度边界层厚。

但在高雷诺数的条件下，湍流速度边界层仍是贴近壁面的薄层，因此，建立湍流边界层方程的前提条件与层流时相同。

但是，由于两种切应力的作用，湍流速度边界层的结构要比层流速度边界层复杂得多。

因此，一定要先了解壁面湍流的分层结构和时均速度分布规律。

10.1.1 壁面湍流分层结构及其特性
在壁面湍流中，随着壁面距离的变化，粘性切应力和湍流附加切应力各自对流动的影响也发生变化。

以y 表示离开壁面的垂直距离，随着y 的增加，粘性切应力的影响逐渐减小，而湍流附加切应力的影响开始不断增大，而后逐渐减小。

这就形成了具有不同流动特征的区域。

壁面湍流速度边界层可以分为内层（壁面区），包括粘性底层、过度层（重叠层）和对数律层（完全湍流层）；外层，包括尾迹律层和粘性顶层（间歇湍流层）。

定义
()ρ
τw
x v v =
=** (10.1.1) 因为*v 具有速度的量纲，故称为壁面切应力速度，它在湍流中是一个重要的特征速度。

以下对各层的划分做详细说明。

粘性底层：所在厚度约为*
5
0v y ν
≤≤，其内粘性切应力起主要作用，湍流附加切应力可以忽
略，流动接近于层流状态，因此在早期研究中称之为层流底层。

由于近期的实验研究，观察到该层内有微小旋涡及湍流猝发起源的现象，因此称为粘性底层。

过渡层：所在厚度约为*
*
30
5
v
y v
ν
ν
≤≤，其内粘性切应力和湍流附加切应力为同一数量级，流
动状态极为复杂。

由于其厚度不大，在工程计算中，有时将其并入对数律层的区域中。

对数律层：所在厚度约为()δν
ν
2.01030
*
3
*
≈≤≤v y v ，其内流体受到的湍流附加切应力大于粘
性切应力，因而流动处于完全湍流状态。

由这三层组成的内层，称为三层结构模式，若将过度层归入对数律层，则称为两层结构模式。

外层中的尾迹律层和粘性顶层所在厚度分别约为δν
4.010*
3
≤≤y v
和δδ≤≤y 4.0。

对于尾迹
律层，层内流体受到的湍流附加切应力远远大于粘性切应力，流动处于完全湍流状态，但与对数律层相比，湍流强度已明显减弱；对于粘性顶层，由于湍流的随机性和不稳定性，外部非湍流流体不断进入边界层内而发生相互掺混，使湍流强度显著减弱，同时，边界层内的湍流流体也不断进入临近的非湍流区，因此，湍流和非湍流的界面是瞬息变化的，具有波浪的形状。

因此，所谓湍流速度边界层厚度δ是平均意义上的厚度。

实际上，湍流峰可能伸到δ之外，而外流的势流也可以深入到δ之内。

这就是导致粘性顶层内的流动呈现间歇性的湍流，即在空间固定点上的流动有时是湍流，有时是非湍流。

10.1.2 光滑壁面内层的时均速度分布
这个区域一般假设为常应力区域。

若用ν
*
yv y =+
表示无量纲离壁面距离，则对于光滑壁面，
存在如下无量纲函数关系：
()
+
=y f v
v x * (10.1.2) 其中 x v 表示湍流的时均速度。

1．粘性底层（*
5
0v y ν
≤≤）
这一层紧贴壁面，在早期的研究中一度认为该层流态是层流，直到最近才在研究中发现这一层的流动中有小涡存在，湍流的猝发大都起始于该层。

该层中，湍流的附加切应力很小，通常可以忽略不记。

根据Prandtl 的混合长度理论，有：
d d x w t
v y
τμ= (10.1.3)
对上式进行积分，考虑到当y=0时，0=x v ，可以得到时均速度的分布式为：
y y v w w x ρν
τ
μτ==
(10.1.4) 注意到无量纲速度和无量纲离壁面距离：
*v
v v x
=+
， ν*yv y =+
所以有 ++=y v x
可见，速度分布是线性的。

因此，粘性底层又称为线性底层。

2．过渡层（*
*
30
5
v
y v
ν
ν
≤≤）
由于在该层中，两种切应力为同一数量级，流动现象极为复杂，分析起来也极为困难，因此，通常由实验来确定时均速度的分布：
***151ln 3.055ln 5x
v v y v y v νν⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣
⎦ (10.1.5)
3．对数律层（()δν
ν
2.01030
*
3
*
≈≤≤v
y v
）
该层处于内层的外部区域。

由理论和实验研究表明，该层中，湍流附加切应力远远大于粘性切应力，粘性切应力可以略去不计。

有：
y
v
y v x m x t
w ∂∂=∂∂=ρεμτ (10.1.6) 对于内层，通常假设y kv m *=ε，代入上式，并且考虑到()ρ
τw
x v v =
=**，整理可得： y
v ky
v x
∂∂=* (10.1.7) 转换成相应的无量纲形式得
d 1
d x v y ky
++
+=
(10.1.8) 积分上式，得
C y k
v x +=
++ln 1
(10.1.9) 通常根据实验取k=0.4，C=5.5（或5），于是对数律层的速度分布为
5.5ln 5.2+=++y v x (10.1.10)
如果采用不计过度层的两层结构模式，可以认为粘性底层与对数律层的分界面在8.10=+y 处，由于该处也属于粘性底层，因此有
8.10==++y v x (10.1.11)
对式(10.1.8)进行积分得
10.810.811
d d x v y x v y k y +
++=⎰⎰ (10.1.12)
即
8
.10ln 18.10+
+=-y k v x
(10.1.13)
取k=0.41，整理上式，可得
0.5ln 44.2+=++y v x (10.1.14)
可见，上式与式（2）相符合，这说明了内层若按两层划分，只要适当选取粘性底层与对数律层的分界面，所得的对数律层的速度分布与按三层划分的对数律层的分布是一致的。

可以看出对数律层内的时均速度分布是对数形式，虽然这是在某些限定的简化条件下得出的，但是却与实验相符合。

10.1.3 外层时均速度分布
根据实验观察，由于壁面的滞止作用，外层中的时均速度仍然低于边界层外的势流速度V ，但其受壁面的影响比内层要大大减弱，并且比较明显的受到沿壁面在流动方向上压力梯度
d d p
x
的影
响。

当引用亏损速度x v V -时，根据实验存在函数关系式：
d ,,,,d x w p V v f y x τρδ⎛
⎫-= ⎪⎝⎭
(10.1.15)
1．尾迹律层（δν
4.010*
3
≤≤y v
）
这一层中，流动已经完全进入湍流状态，湍流应力起主要作用。

湍流强度与对数律层相比已经明显减弱。

这一层中的时均速度分布用亏损速度来表示是：
A y
k v
v V x +-=-δln 1*
(10.1.16) 前面已经介绍过k=0.4，由实验研究表明，对于管内流动和边界层流动，k 都是此值。

而常数C 的数值对于这两种流动有明显的不同：对于管内的流动65.0≈C ，而对于边界层流动35.2≈C 。

2．粘性顶层（δδ≤≤y 4.0）
由于粘性顶层内流动呈现间歇性的湍流，流动现象十分复杂，时均速度分布主要由实验来确定，可表示为：
2
*16.9⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-=-δy v v V x (10.1.17)
10.1.4 通用速度分布公式
上面应用了湍流时均动量方程与Prandtl 混合长度理论的假设，以及量纲分析和实验材料，分别得出壁面湍流的各层速度分布。

实际上，这种机械地将湍流分层，所得到的时均速度分布表达式有可能使速度分布在某些层与层之间不连续，以致于当利用热量和动量比拟的方法求解温度分布时，在相应层间，温度梯度也可能是不连续的。

特别是温度分层公式在应用上是不方便的，因此，许多学者都力图求得适合整个内层的时均速度分布的表达式，进而可以求得相应的温度分布表达式。

湍流时均动量方程在某些简化条件下，利用壁面的边界条件及Prandtl 混合长度理论，得到
d d d d x x t
w v v y
y
μ
μτ+=
2
2d d d d x
x w v v l y y μρτ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
(10.1.18) 由此式出发，若能给出混合长度l 或湍流粘度t ν的函数表达式，可以求出相应的时均速度分布。

范·德来斯特于1956年提出了适用于整个内层的混合长度表达式
1exp y l y A χ⎡⎤
⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦ (10.1.19)
将上式的l 表达式代入，则对整个内层有
2
2
22*2
d d 1exp d d x
x v v y y v y A y νχ⎛⎫⎡⎤⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭ (10.1.20)
无量纲化为
()2
d d 10d d x x
v v a y y y ++
+++⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
(10.1.21) 式中
()()2
2
ex p 1⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=++++A y y y a χ
ν
*
yv y =
+
， *
v v v x
x =
+
其中 41.0=χ或0.4，范·德来斯特通过实验确定3.25*
==+
ν
Av A
由式(10.1.21)得
d 12d x v a y ++
-+=
=
(10.1.22) 积分上式，并利用0=+y ，0=+
x v 的边界条件，得
1
22222d 1141exp 25.3y x y v y y χ+
+
+
++=⎧⎫⎡⎤⎛⎫-⎪
⎪++-⎢⎥⎨⎬
⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎪
⎣⎦⎩⎭
⎰
(10.1.23)
上式适用于粘性底层、过度层、对数层的整个内层区，称为内层关系式。

但是，由于它是积分形式，因此应用起来不太方便。

另外，1956年Coles.D 提出适合于整个边界层的时均速度分布关系式
⎪⎭
⎫
⎝⎛∏
+
+=
++
δχχ
y W B y v x ln 1
(10.1.24) 可以看出，上式是在内层的对数律层时均速度分布的基础上加一修正项，由于湍流边界层中，压力梯度对外层特性影响明显，显然修正项与压力梯度
d d p
x
成函数关系，称 1d d w p
x
δβτ=
为平衡参数，它反映了压力梯度的大小，将β为常数的湍流边界层称为平衡湍流边界层，否则为非平衡湍流边界层。

根据Coles.D 的设想，认为式(10.1.24)中的∏是反映压力梯度影响的剖面参数，
称为尾迹参数，()β∏=∏。

而⎪⎭
⎫
⎝⎛δy W 称为尾迹律函数。

Coles.D 通过实验和计算得出了⎪⎭
⎫
⎝⎛δy W 和()β∏=∏得近似函数拟合形式：
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛≈⎪⎭⎫ ⎝⎛δπδπδy y y W cos 12sin 22 (10.1.25) 对于平衡湍流边界层，当∞≤≤-β5.0时，()β∏=∏可以拟合为
()
75
.05.08.0+≈∏β (10.1.26)
不过，在β很大时，也可以认为
β1.21+≈∏ (10.1.27)
将以上()β∏=∏和⎪⎭
⎫
⎝⎛δy W 的经验函数表达式代入到式（10.c ）中，就可以得出适合于整个湍流边
界层的时均速度分布表达式。

10.1.5 粗糙壁面的时均速度分布
壁面的粗糙度对外层的时均速度分布的影响可以忽略。

因此，前面所介绍的外层时均速度规律，对光滑和粗糙壁面都适用。

粗糙度的影响主要在内层。

根据Prandtl 的推理，粗糙壁面时均速度的分布取决于壁面切应力w τ，流体密度ρ，动力粘度μ，离壁面距离y ，以及壁面粗糙高度∆，而与壁面在流动方向上的压力梯度
d d p
x
无关，即： ()∆=,,,,y F v w x μρτ (10.1.28)
由量纲分析得
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆=νν
***,v yv f v v x
(10.1.29) 应用内层与外层交界处速度梯度相等的条件，建立等式，即：
****d ,d d yv v y f y f yv y y yv ννδνδδν⎡⎤⎛⎫∆⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
⎣⎦=-
⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
(10.1.30) 由变量独立的条件，上式左右两边必然等于同一常数D ，经积分可得
A y
D v
v V x +-=-δln *
(10.1.31) B yv D v v x +=ν*
*
ln (10.1.32)
其中 k
D 1
=
因此对于粗糙壁面，时均速度分布为
B yv k
v v x +=ν*
*ln 1 (10.1.33)
注意到当粗糙高度0=∆时，上式应还原为光滑壁面的速度分布形式，即
C yv k
v v x +=ν*
*ln 1 (10.1.34)
两式相减，可得
*
v v C B x
∆-
= (10.1.34) 通常式中的x v ∆根据实验资料给出，即
⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=-=∆ν*3.01ln 1
v k v v v x x x 粗
光 (10.1.35) 因此粗糙壁面的时均速度分布的表达式为
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+-+=νν***3.01ln 1ln 1v k C yv k v v x (10.1.36) 上式适用于粗糙壁面的整个内层（壁面区）。

10.2 湍流边界层基本方程
本节为了简便，紧推导二维不可压缩、常物性流体平稳湍流边界层方程。

同层流边界层微分方程的建立一样，在流动平面内，取边界层坐标系xoy 。

以物体壁面前缘点o 为坐标原点，沿物体壁面的流动方向为x 轴，其外法线方向为y 轴，相应的时均速度分别为y x v v ,。

时均温度为T 。

10.2.1 湍流速度边界层方程
层流速度边界层方程是由连续性方程和N-S 方程简化而得，这里所要建立的湍流速度边界层方程则要由湍流时均运动连续方程和湍流时均动量方程简化而得。

对于二维不可压缩流体
0=∂∂t
ρ
，因此对于二维常物性流体，不记质量力，在平稳湍流流动时，连续方程和动量方程可以写成：
0=∂∂+∂∂y
v x v y
x (10.2.1a) y v v x v y v x
v x p
y v v x v v y x x
x x y y x x ∂''∂-∂'∂-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂2
22221νρ (10.2.1b) x v v y v y v x v y p
y v v x v v y
x y y y y y x x ∂''∂-∂'∂-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂2
22221νρ (10.2.1c) 在湍流边界层的薄层内，时均速度x v 和y v 以及边界层内的坐标x 和y 的关系分别为：
y v <<x v ， y <<x
因而
x y ∆<<∆，
y
x ∂∂<<∂∂ 对于式(10.2.1a)，(10.2.1b)和(10.2.1c)进行数量级比较，过程与层流时类似。

连续方程(10.2.1a)
的两项数量级相同，因而边界层流动的连续方程为
动量方程式(10.2.1b)和(10.2.1c)中的压力项是被动项，其数量级的大小取决于速度场，而不能预先确定。

在湍流边界层中，雷诺应力项和粘性应力项应与惯性力项同一数量级而共存。

这与层流边界层方程建立过程中，所用到的边界层内粘性力项和惯性力项为同一数量级的原则是一样的。

但
是方程式(10.2.1b)中的两项雷诺应力x
v x
∂'∂2
与y v v y x ∂''∂是否都与惯性力项同一数量级，现在还不清楚，
因而暂时全部保留，粘性力的两项中，22x v x ∂∂与22y
v x
∂∂相比是小量，可以略去，因此方程式(10.2.1b)
可以简化为
y v v x v y v x p y v v x v v y x x
x y y x x ∂''∂-
∂'∂-∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂2
2
21νρ (10.2.2) 式(10.2.1c)中的
x
v v y x ∂''∂与式(10.2.1b)中的
y
v v y x ∂''∂相比是小量级。

另外式(10.2.1c)中两惯性力项
y v v x v v y
y y
x ∂∂+∂∂以及两粘性应力项⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛∂∂+∂∂2222y v x v y
y ν同式(10.2.1b)中相应的两惯性力以及粘性应力项相比，也都是高阶小量，所以式(10.2.1c)可以简化为
y
v y p
y ∂'∂-
=∂∂2
1ρ (10.2.3) 再将式(10.2.3)从边界层内y 到边界δ进行积分。

在y=δ处，压力为()x p e ，脉动速度在外边界层上可以认为零，即0='e v ，因此
()()2
,y e v y x p x p '=-ρ (10.2.4)
于是，式(10.2.2)中
2
2
d d d d y y
e v v p p V V x x x x x
ρρρ
''∂∂∂=-=-∂∂∂ (10.2.5) 式中，表示边界层外界的势流速度。

将上式代入(10.2.2)中，可以得到
()
2
2d d y x x x
y
x y y
x v v v V v v V
v v v v x y x y y x
ν∂∂∂⎛⎫∂∂''''+=+-+- ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭ (10.2.6) 由于x v '与y v '为同一数量级，因此一般情况下，上式最后一项是可以忽略的。

于是，湍流速度边界
层方程为：
d 1d y
txy
x
x y v v V v v V x y x y τρ∂∂∂+=+
∂∂∂ (10.2.7) 式中 y x x
txy v v y
v ''-∂∂=ρμ
τ
0y
x
v v x y
∂∂+=∂∂
10.2.2 湍流温度边界层方程
对于二维不可压缩、常物性流体的平稳湍流，当0=v q 时，湍流的时均能量方程可以写为
p x
y p x p y
T T T
T C v v k C v T k C v T x y x x y y ρρρ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂''''+=-+-+Φ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝
⎭⎝⎭
(10.2.8) 式中时均耗散函数Φ可以表示成
y v v y v v v x v y v y
v v v x v y v x v v x v y
y y x y y x x y x y x x
x x ∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-∂∂+⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡''-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡''-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛'-∂∂=Φ2222ρμρμρνρμ
在边界层内对上式进行数量级比较，可得简化后耗散函数的表达式
y v v v y v x y x x ∂∂⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛''-∂∂=Φρμ (10.2.9)
将式(10.2.9)代入式(10.2.10)中，并将其余各项进行数量级比较，所得出的湍流温度边界层方程为
y
v v v y v T v C y T
k y y T v x T v C x y x x y p y x
p ∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''-∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛
∂∂+∂∂ρμρρ (10.2.10) 上式右边的第二项考虑了粘性耗散。

10.2.3 基本方程组及边界条件
归纳以上各基本方程： 连续方程
0=∂∂+∂∂y
v x v y
x 速度边界层方程
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛''-∂∂∂∂+=∂∂+∂∂y x x
y y x x
v v y v y dx dV V y v v x v v ν 温度边界层方程
y
v v v y v T v C y T
k y y T v x T v C x y x x y p y x
p ∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''-∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛
∂∂+∂∂ρμρρ 为二维不可压缩流体平稳湍流边界层基本方程组，其边界条件为
w y x T T v v y ====,0:
()()x T T X V v y e x ==∞→,:
或 ()()x T T y x V v y e T x ====:;:δδ
上式中，()x T e 为温度边界层外边界上的温度分布。

10.2.4 动量积分关系式
以()x V 乘连续方程的两边，可得
()()d d y
x x
Vv Vv V
v
x
y
x
∂∂+=∂∂ (10.2.11) 利用连续方程，可将速度边界层方程改写为
()(
)2d 1
d x y
x x
x y v v v v V V v v x
y
x
y y μρρ∂∂∂⎛⎫∂''+=+- ⎪∂∂∂∂⎝⎭
(10.2.12) (10.2.11)- (10.2.12)得
()()()
d 1d x
x x x y x y x y v V v V v V v Vv v v v v x x y y y μρρ∂⎛⎫∂∂∂''⎡⎤-+-+-=-- ⎪⎣⎦∂∂∂∂⎝⎭
(10.2.13)
将上式从0到δ对y 进行积分，有
()()()0
000
d d d d d 1
d x x x y x y x
x y V
v V v y V v y Vv v v y
x x
y v v v y y y δ
δ
δ
δ
μρρ∂∂
⎡⎤-+-+-⎣⎦∂∂∂⎛
⎫∂''=-
- ⎪∂∂⎝⎭
⎰
⎰⎰⎰ (10.2.14)
上式左边第一项
()()0
0d d d d x x x x v V v y v V v y x x
δ
δ
∂⎡⎤-=-⎣⎦∂⎰
⎰ (10.2.15a)
左边第三项，由于δ=y 时，V v x =和0=y 时，0==y x v v ，所以
()()
00
d |0x x y y x y Vv v v y Vv v v y
δ
δ∂
-=-=∂⎰
(10.2.15b)
右边则由于壁面和在外边界上，脉动速度y x v v ''，均为零，
1
1d |1x x
x y x y x y w v v v v y v v y y y v y δ
δμρμρρρμρτρ
=∂∂⎛⎫⎛⎫∂''''-
-=-- ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭
∂⎛⎫
= ⎪∂⎝⎭=
⎰ (10.2.16c)
于是
()()00
d d d d d d w
x x
x V
v V v y V v y x x
δδ
τρ-+-=⎰⎰
(10.2.17)
式(10.2.17)为不可压缩流体湍流速度边界层的动量积分关系式，在形式上与层流速度边界层的动量
积分关系式完全相同，只是速度是以时均速度表示。

引用以时均速度表达的位移厚度1δ和动量厚度2δ的定义式
10
1d x v y V δ
δ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
⎰
(10.2.18) 20
1d x x
v v y V V
δ
δ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
⎰
(10.2.19) 则式(10.2.17)可以改写为
()222d d 2d d w V
H x V x V
τδδρ++= (10.2.20) 式中 2
1
δδ=
H ，与层流时相同，称为形状因子，是与壁面形状有关的参数。

式(10.2.18)为湍流动量积分关系式的另一种形式。

湍流速度边界层的动量积分关系式解法的基本思想与层流时类似：补充一个速度分布公式，利用21δδ、等的定义式，将动量积分关系式化为关于速度边界层某以特征量的常微分方程，最后根据边界条件求解这一常微分方程。

根据式(10.2.18)和式(10.2.19)，可以分别写出
*
1
1*
d d x
x V v V v v y y V
V
v δ
δ
δλ--∆==
=
⎰
⎰
(10.2.21)
()()
2
2222
2
**2
*2
*0
1
2
2
2d d d x x x x x V
Vv V Vv v y
V V v V v v v y y V v V
v δ
δδ
δλ
λ---+=--⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
∆∆=
-
⎰
⎰
⎰
(10.2.22) 式中 fx
w
C V v V 2
*=
==
ρ
τλ, λ被称为壁面摩擦系数。

另外，亏损厚度1∆和平方亏损厚度2∆分别表示为
1*
d x V v y v
δ
-∆=⎰
2
2*0
d x V v y v δ
-⎛⎫
∆= ⎪⎝⎭
⎰
形状因子
1
2
211
211-⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=∆-∆∆==λλλλδδG H 式中 1
2
∆∆=
G ，被称为亏损形状因子。

由于各层时均速度分布规律是不同的，为了避免从δ~0分层进行积分的困难，采用柯尔斯提出的适用于整个湍流速度边界层的通用时均速度分布公式(10.1.24)可得
λ
δδx ∏+=11 (10.2.23) 2
2225.1179.321λλδδx x ∏+∏+-∏+= (10.2.24) ()()()
25.1179.3211∏+∏+-∏+∏+=λλx x H (10.2.25)
()
∏+∏+∏+=15.1179.322
x G (10.2.26)
χ
ν
δ
χ
λ∏
+
+=
2ln
1
*B v (10.2.27)
10.3 湍流速度边界层的求解
当来流的雷诺数ν
L
V ∞=
1Re （L 为沿流动方向壁面的长度）足够大时，沿壁面边界层流动流体，
就从前缘开始先经过层流段，再经过过度段，才达到湍流流动的区域。

因此湍流速度边界层实际上总是从前缘点之后一段距离才开始的。

这种具有层流段、过度段和湍流段的边界层称为混合边界层。

为了讨论方便，首先假设从壁面的前缘开始，就是湍流边界层流动。

10.3.1 光滑平板湍流速度边界层
1. 动量积分关系式解法
对于平板，由于压力梯度为零，动量积分关系式(10.2.20)可以简化为
2
2d d w x V τδρ∞
= (10.3.1) 由于
ν
x
V x ∞=
Re ，ν
δδ2
2Re ∞=
V ，22
1∞=
V C w
fx ρτ
式(10.3.1)可以改写为
22
d R
e 1
d R
e 2
fx x
C δλ
=
=
(10.3.2)
由于()x C C fx fx =，即()x λλ=，而()λδδ22=，所以()()2Re 2δλδλλ==，其具体关系式可以推导如下。

取Coles,D ．通用时均速度分布关系式中4.0=χ，B=5.5，对于平板由式(10.1.26)有5.0≈∏，所以
4
.05
.025.51ln 4.01⨯+
+⎪⎭⎫ ⎝⎛=
∞λνδλV 即
()84.0-∞
=
λνλ
δe V (10.3.3)
另外
22224.05.05.15.0179.324.05.01λ
λδδ⨯+⨯+-+= 把(10.3.3)式代入得
()84.02
2
778.2475.3Re 2-∞⎪⎭
⎫ ⎝⎛-==
λδλλλν
δe V (10.3.4) 上式就是()()2Re 2δλδλλ==的具体关系式，将式(10.3.2)与上式利用x=0，02=δ的边界条件，进行数值积分，可以求得λ与x Re 的关系，进一步可求出边界层其他参数与x Re 的关系，最后可以得到如下的拟合公式：
7
1
Re 025.0-≈x
fx C (10.3.5a)
76
Re 0142.0Re 2x ≈δ (10.3.5b) 7
6
Re 018.0Re 1x
≈δ (10.3.5c)
7
6
Re 14.0Re x
≈δ (10.3.5d)
由此不难看出，边界层的各种厚度()21δδδ，，都随着76
x 近似线性的增长，与平板层流边界层解的结果式中各种厚度随21
x 相比，要快得多，而且局部壁面摩擦阻力系数也大得多。

以上湍流边界层拟合式适用于9510Re 10<<x 的范围。

如果忽略外层尾迹的影响()0=∏尾迹参数，重复上述计算，可得到忽略外层尾迹影响的壁面局部摩擦阻力系数为
7
1
Re 027.0-=x
fx C (10.3.6a)
将上式与式(10.3.5a)进行比较，可以看出平板湍流边界层外层尾迹项对壁面摩擦的影响很小，实验证明按式(10.3.5a)计算的fx C 值偏小，因此通常在工程上常取
7
1
Re 026.0-=x
fx C (10.3.7b)
值得注意的是外层尾迹项对边界层各种厚度影响却比较明显，如果忽略尾迹参数∏，会有较大的
偏差。

2. 内层关系式解法
由上面的分析可知，平板湍流边界层外层的尾迹流对壁面摩擦阻力系数的影响不大，因此，可以用内层时均速度分布（内层关系式）来求解速度边界层方程组。

由以前推导的内层关系式可以看出，+
x v 仅是+y 的函数，即
()++
=y f v x (10.3.8)
结合湍流边界层的连续方程和速度边界层方程，可以写出平板速度边界层方程组为
01y
x tyx x
x x
y x
tyx x y
v v x y v v v v x y y v v v y τρτμρ∂⎧∂+=⎪∂∂⎪⎪∂∂∂⎪+=⎨∂∂∂⎪⎪∂''=-⎪∂⎪⎩
(10.3.9) 将上式中的y x v v 、作如下变换
*v v v x x +
= (10.3.10)
()()()0
**0****0*
*0*
*0**d d d d d d d d d d d d d d d d d y
x y y x
y x x y y
x x
y x x v v y
x
v v y x
v v y v v v v y x x v y v v v y v y x v y v v y y x v y v v y x v
ν
νν
νν
+
++
+++++++
++
+
+++
+
++++++
∂=-∂∂=-
∂⎛⎫∂=-+ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎛⎫∂=-
+ ⎪∂⎝⎭∂=-∂=-⎰⎰⎰⎰⎰ (10.3.11)
将以上y x v v 、的表达式代入速度边界层方程组中，整理后可得
*2
d 1d tyx
x
v v x y τμ++
∂=
∂ (10.3.12) 将上式从0到+y 积分，得
()()()*
d 0d x v x y x G v x
ττμ+
+-=，， (10.3.13)
式中
()*
220
d d yv y x x x G v v y v y ν
+
+++++==⎰⎰
上式表示沿+y 方向横截面上切应力的分布. 在边界层外边界上，即
νδ*v y =+
，*v
V v x =+
时
()0*=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=+
νδττv x y x ，， (10.3.14) ()*
2*0
d yv x x V G v v y G v ν
+++⎛⎫
== ⎪⎝⎭
⎰
(10.3.15)
考虑到*v
V
=
λ，因此式(10.3.1)可以转化为 ()*
*2
d d w v v G x
τρμλ==- (10.3.16)
上式进一步可写成
()2
2
d d V V G x ρ
μ
λλλ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
(10.3.17) 对于平板，∞=V V ，上式简化为
()
d d V G x λλν
∞
= (10.3.18) 若假定湍流边界层从0=x 开始，积分上式
()0
Re d x V x
G λ
λλν
∞=
=⎰ (10.3.19)
另外应用内层关系式可以得到（此处不与推导）
2321d 1d 2x v B x x x y e e v v v χχχχχχ++
-+++⎡⎤⎛⎫=+--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦ (10.3.20)
因此，
()()*
*
20
22320345322d 11d 2122233410x v x V v B v x x x x B Z G v y v e e v v v e Z Z Z e Z Z δνχχχλχχχχλχ
∞+++
+-+++-=⎡⎤⎛⎫=+--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦⎡⎤
=+-+----⎢⎥⎣⎦
⎰
⎰ (10.3.21) ()()
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-----+-+==-⎰602012266412Re 654234
Z Z Z Z Z Z e e d G Z B x χλλ
λχλ
(10.3.22)
式中 χλ=Z
式(10.3.22)是Kestin J.和Persen L.N.在1962年建立的。

此式是一个隐式，应用起来不方便。

后来White 提出了一个在9020<<λ范围内的近似式
()λλ48.00.8e G ≈ (10.3.23)
代入式(10.3.19)中，积分并整理成便于应用的显示公式
()
x fx C Re 06.0ln 455
.02≈
(10.3.24)
上式虽然形式简单，但很准确，它与式（10.15）相比，误差不超过%2±。

另外，在工程较多采用形式更简单的方程式7
1
Re 026.0-=x
fx C 。

10.3.2 光滑平板壁面边界层平均摩擦阻力系数
1. 光滑平板壁面平均摩擦阻力系数
若湍流边界从平板前缘开始，则平均摩擦阻力系数的定义式可以写为
()021d 1
2
L
f fx
D
C C x x L V L ρ∞=
=
⎰ (10.3.25) 把前面fx C 的表达式代入上式，可方便求出
71
Re 0303.0-≈L f C (10.3.26)
式中 ν
L
V L ∞=
Re
另外还有一些近似公式：
51
Re 074.0-≈L f C (10.3.27a) ()58
.2Re log 455
.0L f C ≈ (10.3.27b)
()
2
Re 06.0ln 523
.0L f C ≈
(10.3.27c) 第一个近似公式只有在7510Re 105<<⨯L 范围内才适用。

而后两个公式在整个湍流范围内与实验符合的都比较好。

2. 光滑平板壁面混合边界层平均摩擦阻力系数
前已指出，边界层流动中，从平板壁面前缘点开始就是湍流实际上是不存在的，而总是先有一段层流和过度段。

为了计算混合边界层的平均阻力系数，将这一实际流动情况给予简化处理：以一点T 代替过渡段；过渡点T 以后的实际的湍流边界层性质与前缘点o 开始的湍流边界层的性质相同。

以上两点简化由图10-1所示。

图中的虚线部分表示从前缘点开始的湍流边界层的外边界线，自过渡点T 之后，就与实际的湍流外边界线重合。

图 10-1 光滑平板壁面混合边界层
以()t f C 表示湍流边界层从前缘点o 开始时，整个平板壁面的平均摩擦阻力系数；()t f C '表示湍流边界层从前缘点o 开始时，oT 段平板壁面的平均摩擦阻力系数；()L f C 表示层流边界层从前缘点o
开始时，oT 段平板壁面的平均摩擦阻力系数；f C 表示混合边界层的平板壁面的平均摩擦阻力系数。

于是，单位厚度平板的摩擦阻力为
()()()()
t L f t t f t f f x C x C L C V LC V D +'-==
∞∞222
1
21ρρ (10.3.28)
因此，平板壁面的平均摩擦阻力系数
()()()()
L f t f L
xt
t f f C C C C -'-
=Re Re (10.3.29) 令
()()()L f t f xt C C A -'=Re
则上式变为
()L
t f f A
C C Re -
= (10.3.30)
10.3.3 粗糙平板壁面摩擦阻力系数与平均摩擦阻力系数
当平板粗糙高度∆为常数时，由适用于整个内层的粗糙壁面的时均速度分布公式
()
+
+∆+-
+=
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+-+=3.01ln 1
ln 1
3.01ln 1ln 1***χ
χ
νχνχB y v B yv v v x (10.3.31)
采用与光滑平板内层关系式解法同样的步骤，可以得到
()()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-∆+∆-+-∆+=+
+
+
13.013.0643.0173125.1Re 24.0Z Z Z e
x λ
(10.3.32) 式中
λ4.0=Z ，fx C 2=
λ，()()
fx
x x C x x v 2
Re Re *∆=∆=∆=∆+
λν 式(10.3.32)是一个隐示公式. 当+∆很大时，式中的++∆≈∆+3.01，于是雷诺数的影响完全消失，式(10.3.32)转化为适用于完全粗糙壁条件下的关系式：
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-≈∆λλ755194.02
4.0Z Z e x (10.3.33) 当168<<Z 时，括号内的多项式可以用指数λ04.08.0e 近似，上式变为
λ44.042.0e x
≈∆
(10.3.34) 此时，壁面局部摩擦阻力系数fx C 的显式为
2
log 7.34.1-⎪⎭⎫ ⎝
⎛
∆+≈x C fx (10.3.35)
与上式相应的完全粗糙壁的平均摩擦阻力系数为
6
1024.0⎪⎭
⎫
⎝⎛∆≈L C f (10.3.36)
其推导过程在此不予介绍。

10.4 管内湍流
管内流动分为进口段和充分发展段，当2300Re <=ν
Vd
d 时，充分发展段的流动为层流状态；
当2300Re >=
ν
Vd
d 时，
充分发展段的流动可能为湍流状态。

充分发展段中的湍流与边界层流动比较有如下特点： 1). 管流的半径R 与边界层厚度δ相当，即R =δ，因此不存在湍流与非湍流相互交替作用的粘性顶层。

2). 边界层的外流速度()x V V =，当沿平板壁面流动时∞=V V ，对于管内流动与V 对应的是管内中心线处的速度m V 。

3). 边界层流动，当沿平板壁面时，w τ沿壁面随x 坐标增大或减小，直的管内流动，只要沿管中心线的压力梯度恒定，沿管壁上的切应力w τ就是恒定的。

4). 管内湍流的时均速度分布与湍流边界层内的时均速度分布规律是类似的。

10.4.1 管内不可压缩流体平稳湍流动量方程
将管内层流流动在柱坐标系中的动量方程式的各物理量，均以湍流运动的瞬时值代入，再对整个方程时均化之后，考虑到时均运动与轴坐标x 无关，并且是轴对称的，所以在柱坐标系中，切向速度θv =0，径向速度0=r v ，而且()r v v x x =，
0=∂∂x v x ，0=∂∂θ
r v x ，脉动量2
θv '，2r v '，x r v v ''等只是径向坐标r 的函数。

于是管内湍流的动量方程时均化后得
d 11d d d x
r x v p r rv v x r r r νρ⎛⎫∂''=- ⎪∂⎝⎭
(10.4.1) ()2211d d r v p rv r r r r θ
ρ'⎡⎤∂'=--⎢⎥∂⎣⎦
(10.4.2)
与充分发展的管内层流相比，由于有脉动值，r
p
∂∂就不等于零，而且还存在湍流附加切应力。

对式(10.4.2)从r 到
2
d
（d 表示圆管直径）积分可得 ()()22
2
2d d r r w r
v v p x r v r p x r
θρρ''-'+-=⎰
， (10.4.3)
于是有
()d d w w
p x p p x x x
∂∂==∂∂ (10.4.4) 因此，(10.4.1)可写成
d d 11d d d d w x
r x p v r rv v x r r r νρ⎛⎫''=- ⎪⎝⎭
将上式两边乘以r d r ，并对r 从0到r 积分，可得
d d 2d d d d w x
r x p v rv v x
r r r μ⎛⎫''=
- ⎪⎝⎭
(10.4.5) 由于上式左边为x 的函数，右边是r 的函数，因此上式左右两边均为同一常数，且2
d
r =
时0='='x r v v ，所以
2
d d 44
d d w x w d r p v const x
d r d
μτ=⎛⎫=
=-= ⎪⎝⎭ (10.4.6) 对上式从0到x 积分可得
()()x d
p x p w w w τ4
0-=- (10.4.7)
将式(10.4.7)代入到式(10.4.3)中，得
()()2222
40d d
r w w r r v v p x r p x v r d r
θτρρ''-'-=--+⎰， (10.4.8)
比较式(10.4.5)和式(10.4.6)可得
w x r x v v dr v d τρμ=⎪⎭
⎫
⎝⎛''-- (10.4.9)
上式说明管内流动粘性切应力与湍流附加切应力总和沿径向为一常数值。

定义
2
d d 2w p V x
d
ρλ
=- (10.4.10)
式中，V 为管内平均速度，λ为管壁沿程阻力系数。

将上式代入式(10.4.6)，可得
w d
d
V τρλ
4
22
=
(10.4.11) 则沿程阻力系数
fx w C V
v V 48822
*
2
===ρτλ (10.4.12)
10.4.2 湍流光滑管的阻力计算
当圆管管内为湍流流动时，沿程阻力系数λ由式(10.4.12)出发进行求解。

由时均速度求得圆管平均速度为
2
12d R
x V rv r R ππ=
⎰
(10.4.13)
由管壁算起的y 与由管中心线算起的r 之间的关系为
d d y R r y r =-=-，
因此式(10.4.13)为
2
2
00
122
2d d d R
R R
x x x V rv r v y v y y R R R
ππ=
=-⎰
⎰⎰
(10.4.14)
同前面一样引入无量纲量，上式变为
2
2
*
00
22
d d R R x x V v y v y y R R
v νν++
+++++=-⎰⎰
(10.4.15)
于是
4
Re 4d d R R d x x Vd
v y v y y R
ν
+
+
+
+
++++
=
=-⎰
⎰
(10.4.16)
由式(10.4.12)，得
2
2
22
*Re 328d
R V v +
==λ (10.4.17) 当时均速度分布采用
B y v x +=
++
ln 1
χ
(10.4.18)
与式(10.4.17)一起代入到式(10.4.16)中，整理后可得
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡-+⎪⎪
⎭⎫ ⎝
⎛≈3232Re ln 2132
χλχλB d (10.4.19) 取4.05.5==χ，B ，采用以10为底的对数，上式可以整理为
()
913.0Re log 0351.21
-≈λλ
d (10.4.20)
上式是Prandtl 于1935年推导出的，由于忽略了内层区中粘性底层，因此有误差。

后来他对式中
常数做了修正，得出
()
8.0Re log 01.21
-≈λλ
d (10.4.21)
此式是比较适用的，但由于是隐式，应用起来不方便。

后来White 提出采用
()5.2Re log 02.11
-≈d λ
(10.4.22)
其准确度约为%3±。

10.4.3 湍流粗糙管的阻力计算
管内湍流流动中，一般可按管壁的无量纲平均粗糙高度+∆来划分管内流动情况：
4<∆+ ，为湍流光滑管，()d Re λλ=
604<∆<+，为湍流粗糙管，()∆=,Re d λλ 60>∆+，为完全粗糙管，()∆=λλ
对于完全粗糙管阻力计算公式可采用
2
2.1log 2-⎪⎭
⎫
⎝⎛+∆=d λ (10.4.23)
适用于湍流光滑管、湍流粗糙管和完全粗糙管的阻力计算公式为
⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛+
∆-≈λλd d Re 7
.182log 0.274.11
(10.4.24) 8.0Re 1.01Re log
0.21
-⎪⎭
⎫
⎝⎛∆+≈λ
λ
λ
d d d (10.4.25)
可以看出，以上两式当
d ∆很小时，均可转化为光滑管的阻力公式；当d ∆
很大时，均可转化为完全粗糙管的阻力公式；当d
∆
为中等值时，阻力可按两式中的任何一个计算.
10.5 不可压缩流体湍流温度边界层的求解
本章第二节建立的湍流边界层微分方程组为
0=∂∂+∂∂y
v x v y
x ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛''-∂∂∂∂+=∂∂+∂∂y x x
y y x x v v y v y dx dV V y v v x v v ν y
v v v y v T v C y T
k y y T v x T v C x y x x y p y x p ∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''-∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂ρμρρ 由速度边界层方程的求解可知，脉动量的相关项y x v v ''给求解带来的困难，是通过涡粘性理论或混合长度理论补充方程来解决的。

由于温度边界层方程中也存在脉动量的相关项，若按层流温度边界层的解法，将速度边界层解出的速度分布代入到温度边界层方程中进行求解，是难以实现的。

但是却可以从热量传递和动量传递比拟的思想考虑解决热量传递的问题。

10.5.1 热量传递和动量传递的比拟
在速度边界层方程式中，由涡粘性理论，引进了湍流运动粘度t ν或湍流动力粘度t μ，则
()()y
v y v v v y v x
t
x t y x x t ∂∂+=∂∂+=''-∂∂=ννρμμρμ
τ (10.5.1) 而在湍流温度边界层方程式中，比拟于动量传递，可以写出。