解析几何难题——教师版,附解答

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解析几何

【例01】点,A B 的坐标分别是(0,1)-，(0,1)，直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为12

-

． (1)求点M 轨迹C 的方程.

(2)若过点()2,0D 的直线l 与(1)中的轨迹C 交于不同的两点E 、F (E 在D 、F 之间)，试求

ODE ∆与ODF ∆面积之比的取值围(O 为坐标原点)．

解(1)设点M 的坐标为(,)x y ，∵12AM BM k k ⋅=-

0x ≠)，这就是动点M 的轨迹方程．

(2)方法一 由题意知直线l 的斜率存在，设l 的方程为()2y k x =-(1

2

k ≠±

) ① 将①代入12

22

=+y x ，得0)28(8)12(2222=-+⋅-+k x k x k ，

由0∆>，解得2102k <<．设()11,E x y ，()22,F x y ，则⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+-=+=+.

1228,12822

212221k k x x k k x x ②

令OBE OBF S S λ∆∆=

，则||

||

BE BF λ=，即BE BF λ=⋅，即()1222x x λ-=-，且0 1.λ<< 由②得，1221212122

4(2)(2),2122)(2)2()4.21x x k x x x x x x k -⎧-+-=⎪⎪+⎨⎪-⋅-=-++=⎪+⎩（即()()()22222412,2122.21x k x k λλ-⎧+-=⎪⎪+⎨⎪-=⎪+⎩

22

22

2141,(1)8(1)2

k k λλλλ+∴==-++即． 21

02

k <<

且214k ≠24110(1)22λλ∴<-<+且2

411(1)24λλ-≠+．

解得33λ-<<+1

3

λ≠

01λ<<，1223<<-∴λ且1

3λ≠．

∴△OBE 与△OBF

面积之比的取值围是113,133⎛⎫⎛⎫

- ⎪

⎪⎝

⎭⎝⎭

． 方法二 由题意知直线l 的斜率存在，设l 的方程为2x sy =+(2)s ≠± ①

将①代入12

22

=+y x ，整理，得22(2)420s y sy +++=， 由0∆>，解得22s >．

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设()11,E x y ，()22,F x y ，则1221224,22.2s y y s y y s ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩② 令112

2

1212OBE OBF OB y S y S y OB y λ∆∆⋅===⋅，且01λ<< .

将12y y λ=代入②，得()2222241,22.

2s y s y s λλ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩

∴()222

182s s λλ+=+．即()2222161s λλλ+=--． ∵22s >且24s ≠，∴()2221261λλλ+>--且()2

2214

61

λλλ+≠--．即2

610λλ-+<且13λ≠．

解得33λ-<<+13λ≠． 01λ<<，1223<<-∴λ且1

3

λ≠．

故△OBE 与△OBF

面积之比的取值围是113,133⎛

⎫⎛⎫

- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

．

【例02】在△ABC 中，A 点的坐标为(3，0)，BC 边长为2，且BC 在y 轴上的区间[-3，3]上滑动．

(1)求△ABC 外心的轨迹方程．

(2)设直线l ∶y =3x +b 与(1)的轨迹交于E 、F 两点，原点到直线l 的距离为d ，求d

EF |

|的最大 值并求出此时b 的值．

解 (1)设B 点的坐标为(0，0y )，则C 点坐标为(0，0y +2)(-3≤0y ≤1)， 则BC 边的垂直平分线为y =0y +1 ①)2

3

(3200-=+

x y y y ②由①②消去0y ，得862-=x y ．∵130≤≤-y ，∴2120≤+=≤-y y ．故所求的△ABC 外心的轨迹方程为：)22(862≤≤--=y x y ．

(2)将b x y +=3代入862

-=x y 得08)1(692

2

=++-+b x b x ．由862

-=x y 及22≤≤-y ，得

234≤≤x ．所以方程①在区间34[，2]有两个实根．设8)1(69)(22++-+=b x b x x f ，则方程③在3

4

[，2]上有两个不等实根的充要条件是： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪

⎨⎧≤--≤

≥++-+=≥++-+=>+--=∆⋅⋅⋅⋅⋅⋅．，，，

292)

1(63

4082)1(629)2(0834

)1(6)34(9)34(0)8(94)]1(6[2

22222b b b f b b f b b 得34-≤≤-b

∵723

2984)]1(32[||2

22

1--=+--=-⋅b b b x x ∴72103

2

||1||212--=

-+=⋅b x x k EF 又原点到直线l 的距离为10

|

|b d =，∴7

1)711(73202732072320

||222++-=--=--=b b b b b d EF ∵34-≤≤-b ，

∴41131-≤≤-b ．∴当411-=b ，即4-=b 时，3

5

||max =d EF ．