2018届山西省祁县中学高三12月月考数学(理)试题

祁县中学2017年高三年级12月月考数学（理）答案

一、选择题

BDCABC BCACBB

二、填空题

13.161-=y 14.Z k k k ∈++-],,

[ππ

ππ12

512

15.[-1,3] 16.52π

三、解答题

17.解：

（1）

的最大值为2．

要使

取最大值，

，

故的集合为

（2），即

．

化简得

，只有

．

在

中，由余弦定理，

．

由

知

，即

，当

时取最小值1．

18.解：(1) 12n n a n +=⋅；

(2) ()()1

3122

9

n n n S ++-+=-

.

19.解：（1）由三视图可知，四棱锥P ABCD -中PA ⊥平面ABCD ，…………………………(1

分)

同时，222BC AD CD ===，四边形ABCD 为直角梯形．……………………………………(2分)

过点A 作AG BC ⊥于G ，则1AG CD ==,1GC AD ==．

∴AC ==

,AB ，

∴222AC AB BC +=，故A C A B ⊥．……………………………………………………………(4分) ∵PA ⊥平面A B ,AC ⊂平面A B ,∴PA AC ⊥.…………………………………………(5分)

∵PA AB A =，∴AC ⊥

平面PAB ．……………………………………………………………(6分)

（2）由三视图可知，四棱锥P ABCD -的正三角形侧面为面PBC ． (7)

)

PBC ∆为正三角形，∴2PB BC ==．在Rt PAB ∆

中，PA

以A 为原点，,,AG AD AP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，

有(1,1,0),(1,1,0)P B C -．……………………………………………………(8分) 由（Ⅰ）知(1,1,0)AC =是平面PAB 的一条法向量．……………………………………………(9分)

向量(0,2,0),(1,1,BC PC ==，

设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =n ，由0,0,

BC PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，得n

的一组解=n ．……(10

分)

设平面ABP 与正三角形侧面PBC 所成二面角为θ，

则c o s AC AC θ⋅==

n n

……………(12分)

20.

21.

22.解（1）当0a >，0b =时，函数()f x 在区间()0,+∞上的零点的个数即方程2

x e ax =根的个数．

由2

2x

x

e e ax a x

=⇒=， ………………………………(1

分)

令()()()()

()223222x x x

xe x e x e h x h x x x x --'=⇒==， …………………………(2分)

则()h x 在()0,2上单调递减，这时()()()

2,h x h ∈+∞；()h x 在()2,+∞上单调递增，这时

()()()2,h x h ∈+∞．

所以()2h 是()y h x =的极小值即最小值，即()2

24

e h =

所以函数()f x 在区间()0,+∞上零点的个数，讨论如下：

当20,4e a ⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭时，有0个零点； …………………………(3分)

当2

4e a =时，有1个零点； ………………………(4分)

当2,4e a ⎛⎫

∈+∞ ⎪⎝⎭

时，有2个零点． ………………………(5分)

（2）由已知()2x f x e ax ax =--，∴()2x

f x e ax a '=--，

1x ，2x 是函数()f x 的两个不同极值点（不妨设12x x <）

， ∴0a >（若0a ≤时，()0f x '>，即()f x 是R 上的增函数，与已知矛盾）

， 且()10f x '=，()20f x '=．∴1

120x e ax a --=，2

220x e ax a --=……………(6分)

两式相减得：12

12

2x x e e a x x -=-， ……………………………(7分)

于是要证明()12ln 22x x a +<，即证明12

12212

x x

x x e e e x x +-<-，两边同除以2x

e ， 即证12

122

12

1x x x x e e

x x ---<

-，即证()12122121x x x x

x x e e --->-，即证()12

1221210x x x x x x e e ----+>， 令12x x t -=， 0t <．即证不等式2

10t t

te e -+>，当0t <时恒成立． ………(9分)

设()2

1t t t te e ϕ=-+，