数值逼近

第八章 框架(I) 8.1 8.2 8.3 定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 伪逆 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 对偶框架 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R
我们有如下的定理： 定理 1.2 如果 f 和 g 属于 L1 (R), 那么 f ∗ g 也在 L1 (R) 中. 且 ∥f ∗ g ∥1 ≤ ∥f ∥1 ∥g ∥1 . 练习 1.1 证明 f ∗ g = g ∗ f, (f ∗ g ) ∗ h = f ∗ (g ∗ h).
从上面的结果可看出, 卷积运算满足分配律与结合律. 那么, 是否存在一个单位元 δ ∈ L1 (R), 使得对任意的 f ∈ L1 (R), 我们均有 f ∗ δ = f? 事实上, 在通常函数的意义下, 这样的函数 δ 并不存在. 但是, 我们可以构造一个函数序 列 {Kn }n∈N , 使得当 n 趋向于无穷的时候, Kn ∗ f 在 f 连续的紧集上一致收敛到 f . 也 就是说, 函数序列 {Kn }n∈N 逐渐收敛到一个“单位元”. 下面我们介绍 Dirac 序列的定义. 我们说函数序列 K1 , K2 , . . . 是一个 Dirac 序 列(或者说“好核”) 如果满足如下条件： 1. （非负性）对所有的 n ∈ N, Kn ≥ 0； 2. （单位性）对所有的 n ∈ N, ∫
n ∑ k=0
(k − nx)2 Bn,k (x)
n ∑ k=0
(k − nx)2 Bn,k (x) = nx(1 − x) ≤ n/4. 证毕.
我们能证明这个宣称.
1.2 卷积逼近 注 1.1 Bernstein 基底 Bn,k (x) = (n)
k
7 xk (1 − x)n−k 在上述证明里边扮演重要角色.
5
6
第一章 WEIERSTRASS 逼近定理与卷积逼近
这个结论蕴含着 Weierstrass 逼近定理. 为证明这一结论, 我们考察
f |f (x) − Bn (x)| = | n ∑ k=0
f (x)Bn,k (x) −
n ∑ k=0
f (k/n)Bn,k (x)| ∑
|k−nx|>n3/4
≤
∑
第九章 框架II 9.1 9.2 9.3 9.4 第十章 Riesz基 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 逆框架计算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 框架投影与减噪 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 采样与量子化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gabor框架和小波框架 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1 Gabor框架 10.3 特殊函数 10.5 小波框架
10.2 Gabor框架的对偶框架 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4 紧框架 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x∈[0,1]
由 f 的连一致续性可知, 随着 n 的增大, ϵn 趋向于0. 我们现在考察 ∑ Bn,k (x).
|k−nx|>n3/4
我们宣称 n 3 /2 因而, 我们有
∑
|k−nx|>n3/4
Bn,k (x) < nx(1 − x) ≤ n/4. ( ) 1 /2 1 . n ( ) 1 /2 1 . n
第一章
Weierstrass 逼近定理与卷积逼 近
逼近论的基本思想即是采用简单的函数去逼近复杂的函数。 最为简单的函数则莫 过于多项式函数. 因此, 人们首先考虑了多项式函数对一般函数的逼近问题. Weierstrass 逼近定理则表明, 对于闭区间上任意连续函数, 均存在一多项式序列对其进行一致逼近. 这为人们采用多项式函数逼近一般的连续函数提供了理论基础.
5 5 7 9 13 14 15 17 19 20 22 27 27 30 32 37 37 40 43 43 43 46
第二章 多项式插值 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 第三章 3.1 3.2 3.3 第四章 4.1 4.2 第五章 5.1 5.2 5.3 Lagrange 插值公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Newton 插值公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 差商 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 多项式插值的误差 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 插值算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 二元多项式插值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 多项式最佳逼近 L∞ 范数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 范数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
|f (x) − f (k/n)|Bn,k (x) + ∑ Bn,k (x),
|f (x) − f (k/n)|Bn,k (x)
|k−nx|≤n3/4
≤ ϵn + 2M 此处, ϵn :=
|k−nx|>n3/4
(k,x):|k−nx|≤n3/4
max
|f (x) − f (k/n)|,
M := max |f (x)|.
f Bn (x) := n ∑ k=0
f (k/n)Bn,k (x),
此处
( ) n k Bn,k (x) := x (1 − x)n−k . k
f 我们将证明 Bn 在区间 [0, 1] 上一致收敛于 f , 也就是说, 对任意的 ϵ > 0 存在一个 n0 , 当
n ≥ n0 时, 我们有
x∈[0,1] f max |Bn (x) − f (x)| ≤ ϵ.
目录
49 49 50 51 51 51 53 53 54 55 57 57 57 59 61 61 61 62 63 65 65 68 68 68 69
非均匀样条函数 定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 递归公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schoenberg-Whitney定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Байду номын сангаас
现在, 这个基底也在计算机辅助几何设计中应用广泛, 例如 B´ ezier 曲线即是用 Bernstein 基底来表示. Bernstein 基底的高维推广直到今天仍然是一个令人感兴趣的研究课题.
1.2
卷积逼近
上面我们介绍的证明并非 Weierstrass 的原始证明. Weierstrass 是如何证明该定理 的呢? 他采用了卷积逼近的方法. 我们下面将介绍这一方法. 假定 f 和 g 是定义在 R 上 的两个函数, 那么它们的卷积可形式定义为： ∫ (f ∗ g )(x) := f (y )g (x − y )dy.
∑
|k−nx|>n
1 Bn,k (x) ≤ 4 3/4 M < ϵn + 2
我们最终得到 |f (x) − 我们仍然需要证明如上的宣称： n 3 /2 注意到 n3/2 和 ∑
|k−nx|>n3/4 f Bn (x)|
Bn,k (x) < nx(1 − x) ≤ n/4.
∑
|k−nx|>n3/4
Bn,k (x) <
数值逼近
许志强
2
目录
第一章 Weierstrass 逼近定理与卷积逼近 1.1 1.2 1.3 Weierstrass 逼近定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 卷积逼近 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fourier 级数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 第六章 样条函数 6.1 6.2 样条函数 6.2.1 6.2.2 6.2.3 第七章 7.1 7.2 7.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B-样条函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 截断幂插商 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 卷积观点 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B-样条函数性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 2
L 范数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pad´ e 逼近 基本理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ε-算法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 平方逼近 定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 直交函数系与广义Fourier级数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 几种特殊的直交多项式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1
多项式 P 使得
Weierstrass 逼近定理
定理 1.1 (Weierstrass 逼近定理) 假设 f ∈ C [a, b]. 那么, 对任意的 ε > 0 存在一个 max |P (x) − f (x)| ≤ ε.
a≤x≤b
证明： 我们将介绍 Bernstein 的构造性证明. 不失一般性, 我们假定区间 [a, b] = [0, 1]. 对于给定的 f ∈ C [0, 1], 我们定义如下的多项式序列：