贝特朗悖论

19世纪末，概率论的广泛应用提出了对概率论的基础概念与原理进行解释的需要．另外，科学家发现的一些概率悖论提示了古典概率论的基本理论所存在的矛盾，其中最著名的是贝特朗悖论．悖论提出后，在数学界引起了很大震动，促使数学家理性反思概率论的基础理论．1932年，这个问题才由前苏联的数学家柯尔莫哥洛夫解决，他在其经典的著作《概率论基础》中建立了在测度论的基础上的概率论公理系统，从而把概率论建立在完全严格的数学基础之上，那么什么是贝特朗悖论呢？下面我将简要向同学们介绍一下．

贝特朗悖论是法国数学家贝特朗提出的关于几何概型的悖论．1889年贝特

朗在著作《概率计算》中提出：在圆内作任一弦，求其长超过圆内接正三角形边

长的概率．现按几何概型的计算方法，可毫无计算错误地求得三种不同的结果，

从而使几何概型陷入逻辑矛盾之中．

（1） 如图1，弦l BC ∥，由ABC △是正三角形知，

2R OD OD '==，OE d =，有PQ BC >，2

R d <． 由Ｅ点在圆Ｏ直径上的等可能性，因此所求概率为21222

R

P R ⨯==． （2）如图2，弦l 的弦切角为α，由ABC △是正三角形知，60MAB ∠=°，

120MAC ∠=°，有AP AB >，60120α<<°°．

由于弦l 在圆内的等可能性，因此所求概率为1206011803

P -=

=°°°． （3）如图3，弦l 的弦心距OE 为d ，ABC △的内切圆半径为，

由于弦l 在大圆内和交点Ｅ在小圆内的等可能性，因此所求概率为 22π12π4

R P R ⎛⎫ ⎪⎝

⎭==． 出现以上三种不同结果的根本原因不是别的，就是本题进行了无穷多个等可能性随机试验，而“等可能”概念缺乏一个明确的客观标准．这一悖论揭示了几何概率在19世纪刚兴盛时期存在着其逻辑基础的脆弱性，也反映出古典概率有着相当的局限．这也推动了20世纪概率论合理化工作的早日到来． 当然这也提醒我们在解决几何概型问题时，必须找准观察角度、明确随机选择的意义、判断好基本事件的等可能性．