利用柱面坐标和球面坐标共24页

例4 用球面坐标计算 z2dv . 其中
z
: x2y2z21.
解 画 图。
o
y
确定 r， ， 的上下限。 x
(1) 将 向 xoy 面投影，得
0 2 .
(2) 任取一 [0,2],过 z 轴作半平面，得
0.
(3) 在半平面上，任取一 [0,],过原点作
射线，得 0r1 .
(3) 在半平面上，任取一 [0,],过原点作
r 3
o
A
或
D:
02,
0r 3.
过 (r, )∈D 做平行于 z 轴
的直线，得
r2 z 4r2.
x
3
0 2,
即 : 0r 3, r2 3z 4r2.
Izd xd yzd rdz rddz
02d03drr324r2rzdz
13 4
.
z
o •(r,) y
x y
r r
cos sin
, ,
o
y
x d
f(rc o ,rs i,n z)rdd rd.z
再根据 中 z，r， 的关系，化为三次积分。
一般，先对 z 积分，再对 r ，最后对 积分。
例1 利用柱面坐标计算三重积分 z dxdyd,z 其中
是由z曲 x2 面 y2与平 z面 4所围成的闭
解 (1) 画 图
z
(2) 确定 z，r， 的上下限
z2dv r2 co 2sr2sin dd rd
0 2 d0 d0 1 r4 c2 ossid nrzxyrrrcssoiinns.scions,,
02d0 co2ssinr551 0d d vr2sin drd d
1 50 2 d0 co 2sin d
Hx
或
0 2,
D: 0rH.
z
HH
过 (r, )∈D 做平行于 z 轴
的直线，得
o•(r,)
y
rzH .
0 2 ,
即 : 0 r H , r z H
x
y
H
H o H
Hx
(x2y2)dv r2rdrddz.
0 2d0 HdrrHr3dz
x y
r r
cos sin
, ,
z z .
规定： 0r ,
0,
0 2 .
z
r•M (x,y,z)
o
y
•P
x
z
如图，三坐标面分别为
r 为常数
为常数
球 面； 圆锥面；
r
o
y
为常数 半平
面．
x
球面坐标与直角坐标的关系为
x r sin cos ,
y
r
sin
sin
,
z r cos .
z
r •M(x,y,z)
z
o
x
A
y
x
•
P
y
如图， 球面坐标系中的体积元素为
如图，三坐标面分别为
r 为常数
为常数
z 为常数
圆柱面； 半平面； 平 面．
柱面坐标与直角坐标的 关系为
x r cos ,
y
r
sin
,
z
z.
z
z
or
y
x
z
M (x,y,z)
•
o
x
r
y
• P(r,)
如图，柱面坐标系中的 体积元素为
d vrddr d,z
z
rd dr
r dz
于是，
f(x, y,z)dxdydz
z z .
d vrddr d,z
例3 计算三重积分 (x2y2)dv, 其中 是由曲
面 z x2y2与平 zH 面 (H0)所围成
z
解 将 向 xoy 面投影，得
D: x2y2H2
HH
或
D:
0 2,
0rH.
过 (r, )∈D 做平行于 z 轴
的直线，得
rzH .
o•(r,)
y
y
x
H
H o H
1228r216r602
64 3
.
例 2求 Izdx， d其 y中 d z是 球 面x2y2z24
与 抛 物 面x2y23z 所 围 的 立 体 .
解 求交线： x2 y2 z2 4
x2 y2 3z
zx21.y2 3,
z
o x
y
将 向 xoy 面投影，得 D: x2y23.
或
D:
02,
0r 3.
射线，得 0r1 .
z
0 2 , 即 : 0 ,
0 r 1.
o
y
பைடு நூலகம்
x
z2dv r2 co 2sr2sin dd rd
0 2 d0 d0 1 r4 c2 ossid nrzxy
r sin cos , r sin sin , r cos.
02d0 co2ssinr551 0d d vr2sin drd d
d vr2sin dd r d,
z
dr
d
rsin
r
rsin d
rd
d
f(x, y,z)dxdydz
o
y
d
x
f ( r s i cn , o r ss i sn , i r c n ) o r 2 ss i d d n d r.
再根据再 中 r， ， 的关系，化为三次积分。
一般，先对 r 积分，再对 ，最后对 积分。
44
将 向 xoy 面投影，得
D: x2y24
或
0 2,
D:
0r 2.
o•(r,)
yy
xx
r2
过 (r, )∈D 做平行于 z 轴
的直线，得
o 2A
过 (r, )∈D 做平行于 z 轴
的直线，得 r2z4
0 2 ,
即 : 0 r 2,
r
2
z
4
于是，
z
4
o•(r,)
y
x
r2
o 2A
d vrddr d,z
0 2 ,
即 : 0 r H , r z H
(x2y2)dv r2rdrddz.
0 2d0 HdrrHr3dz
0 2d0 Hr3zH rdr
20H(H3rr4)dr
H5
10
.
x y
r r
cos sin
, ,
z z .
d vrddr d,z
二、利用球面坐标计算三重积分
一、利用柱面坐标计算三重积分
设M(x,y,z)为空间内一点M ， 在x并 o面 y设上 点
的投P影 的极坐r标 , ， 为则这样的r,三 ,z个数
就叫M 点 的柱面坐标． z
规定： 0r ,
02,
•M(x,y,z)
z . 简单地说，柱面坐标就是
or
y
•
P(r,)
x
xoy 面上的极坐标 + z 坐标
zdxdydz zrdrddz.
0 2d0 2drr42rzdz
x y
r r
cos sin
, ,
z z .
d vrddr d,z
zdxdydz zrdrddz
0 2d0 2drr42rzdz
02d02r z224r2dr 1 20 2d0 2(1r 6r5)dr
1 2028r21 6r60 2d
设M(x, y,z)为空间内一点，M 则可点用三个有次
序的数r，， 来确定，其r中 为原点O与点M间 的 距 离 ，为 有 向 线O段M与z 轴 正 向 所 夹 的角 ，
为从正z 轴来看自 x轴按逆时针方向转向到线有段 OP的角，这P里为点M在xoy面上的投影，这
样的三个r数 ，， 就叫做点 M的球面坐标．