陕西省榆林育才中学高中数学 第1章《三角函数》8函数的图像(1)导学案 北师大版必修4
高中数学第一章三角函数1.8函数y=Asin(ωxφ)的图象课堂导学案北师大版必修4
1.8 函数y=Asin （ωx+φ）的图象课堂导学三点剖析1.求y=Asin(ωx+φ)的振幅,周期,频率,相位及初相 【例1】 用五点法作出函数y=2sin(x-3π)+3的图象，并指出它的周期、频率、相位、初相、最值及单调区间.思路分析：本题考查y=Asin(ωx+φ)的基本概念,注意辨别初相与相位. 解：列表如下：x3π 65π 34π 611π37π x-3π 02π π 123π 2π y 3 5313描点作图，如下图：周期T=2π，频率f=T 1=π21，相位x-3π，初相-3π，最大值5，最小值1，单调减区间［2k π+65π,2k π+611π］(k∈Z ),单调增区间［2k π-6π,2k π+65π］(k∈Z ).友情提示y=Asin(ωx+φ)+k 沿y 轴方向平移，所以函数最值发生变化.（1）用五点法作函数y=Asin(ωx+φ)+k 的图象，五个点应是使函数取得最大值、最小值以及曲线与x 轴的交点.（2）用五点法作函数y=Asin(ωx+φ)+k 的图象的步骤是： 第一步：列表x ωϕ-ωϕωπ-2 ωϕωπ- ωϕωπ-23 ωϕωπ-2 ωx+φ 0 2ππ 23π 2π ykA+kkk-Ak注意：由ωx+φ=0、2π、π、23π、2π先求出x ，再由ωx+φ的值求出y 的值.第二步：在同一坐标系中描出各点.第三步：用光滑的曲线连接这些点，而成图象.各个击破 类题演练 1 已知函数y=3sin(2x+3π). (1)求出它的周期;(2)用“五点法”作出一个周期的简图； （3）指出函数的单调区间. 解析:(1)周期为:T=22π=π. (2)列表. 2x+3π 02π π23π 2πx6π-12π 3π 127π 65π y 0 3-3描点连线（如下图）（3）可见在一个周期内,函数在［12π,127π］上递减,又因函数的最小正周期为π,所以函数的递减区间为［k π+12π,k π+127π］(k∈Z ).同理,增区间为［k π-125π,k π+12π］(k∈Z ).变式提升 1如右图，已知y 1=Asin(ωx+φ)的一个周期的图象. （1）写出y 1的解析式；（2）若y 2与y 1的图象关于直线x=2对称，写出y 2的解析式； （3）指出y 2的周期、频率、振幅和初相. 解析:（1）由题图易知：A=2,T=7-(-1)=8,ω=82ππ=2T =4π. ∴y 1=2sin(4πx+φ)，将点（-1，0）代入得 2sin(-4π+φ)=0.∴φ=4π.∴y 1=2sin(4πx+4π).（2）作出与y 1的图象关于直线x=2对称的图象，可以看出y 2的图象相当于将y 1的图象向右平移2个单位得到的.∴y 2=2sin ［4π(x-2)+4π］=2sin(4πx-4π). （3）由（2）知，y 2的周期T=42ππ=8，频率f=811=T ，振幅A=2,初相φ=-4π.2.由y=sinx 到y=Asin(ωx+φ)以及由y=cosx 到y=Acos(ωx+φ)的图象变换【例2】 要得到函数y=sin(2x-3π)的图象，只要将y=sin 21x 的图象（ ）A.先把每个x 的值扩大4倍，y 值不变，再向右平移3π个单位B.先把每个x 的值缩小4倍，y 值不变，再向左平移3π个单位C.先把每个x 的值扩大4倍，y 值不变，再向左平移6π个单位D.先把每个x 的值缩小4倍，y 值不变，再向右平移6π个单位解析:21x→2x，先缩小4倍，又∵-3π＜0，∴右移23π=6π.答案:D 友情提示 y=sin21x 变换成y=sin2x 是把每个x 值缩小4倍，有的同学错认为是扩大4倍，这样就错选A 或C ；再把y=sin2x 变换成y=sin(2x-3π)，即变为y=sin2(x-6π)，则应当向右平移6π，有的同学认为是平移3π，这样导致错选A 或B ；也有的同学左右平移方向搞错，导致出错. 类题演练 2 作出函数y=3cos(2x-4π)的图象,并说明这个图象可以由y=cosx 的图象经过怎样的变化得到?解析:①列出五个关键点如下: 2x-4π 02π π23π 2πx8π 83π 85π 87π 89π y 3 0-3②描点作图.③以π为周期把所得图象向左,右扩展,得 y=3cos(2x-4π)的图象. 这个图象可以由y=cosx 的图象先向右平移4π个单位,再将图象上每一点的横坐标压缩到原来的21,每一点的纵坐标伸长到原来的3倍而得到. 变式提升 2使函数y=f(x)图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标缩小到原来的21倍,然后再将其图象沿x 轴向左平移6π个单位得到的曲线与y=sin2x 的图象相同,则f(x)的表达式为（ ） A.y=sin(4x-3π) B.y=sin(x-6π)C.y=sin(4x+3π)D.y=sin(x-3π)解析:据题意,y=sin2x −−−−−→−个单位向右平移6πy=sin2(x-6π)=sin(2x-3π)y=sin(x-3π). 答案:D3.根据图象写出函数的解析式 【例3】 如下图所示,函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象上相邻的最高点与最低点的坐标分别为(125π,3)和(1211π,-3). 求该函数的解析式.思路分析：根据相邻的最高点与最低点确定2T从而确定ω;由点的坐标满足图象解析式,代入得出φ.解:依题意知A=3,设最小正周期为T,则12512112ππ-=T =2π,∴T=π,又T=ωπ2, ∴ω=2.∴函数解析式为y=3sin(2x+φ).∵点(125π,3)在图象上, ∴3=3sin(2×125π+φ)⇒sin(65π+φ)=1.⇒65π+φ=2k π+2π⇒φ=2k π-3π,k∈Z . ∴y=3sin(2x+2k π-3π).故y=3sin(2x-3π)为所求. 友情提示这类问题的求解难点是φ的确定,除以上方法外,常用移轴方法:做平移,使移轴公式为x=x′+6π,y=y′,则易知函数在新坐标系中的方程是y′=3sin2x′,而x′=x -6π. ∴所求函数y=3sin ［2(x-6π)］,而平移时,方向与符号易出错.类题演练 3如下图,某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足y=Asin(ωx+φ)+b ，(1)求这段时间的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式. 解析:(1)20°. (2)A=10,b=20. ∵2T=14-6=8, ∴T=16. ∴16=ωπ2, ∴ω=8π. ∴y=10sin(8πx+φ)+20. 由五点法知,10sin(8π×6+φ)+20=10.即8π×6+φ=23π,∴φ=43π.∴y=10sin(8πx+43π)+20,x∈［6,14］.变式提升 3如右图,它是函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),|φ|<π的图象,根据图中数据,写出该函数解析式.解析:由图象知,A=5,T=3π,于是ω=32,所以y=5sin(32x+φ). 将最高点坐标(4π,5)代入y=5sin(32x+φ),得5sin(6π+φ)=5.∴6π+φ=2k π+2π,∴φ=2k π+3π,(k∈Z ),取φ=3π. ∴该函数的解析式为y=5sin(32x+3π).。
陕西省榆林市育才中学高中数学 常见函数的导数导学案 新人教A版选修1-1
陕西省榆林市育才中学高中数学 常见函数的导数导学案 新人教A 版选修1-1学习目标：掌握定义法求函数导数的方法，求熟练运用基本初等函数的求导公式，求常见函数的导数重点、难点：用定义推导常见函数的导数公式自主学习①：陕西省榆林市育才中学高中数学 常见函数的导数导学案 新人教A 版选修1-1 ②：'C (C 为常数)③：=)'(a x ④：=)'(log x a⑤：=)'(x a ⑥：=)'(x e⑦：=)'(ln x ⑧：=)'(sin x⑨：=)'(cos x合作探究：1.下列各项中，正确的为 （ ）①：2)'12(=+x ；②：21)'2(ln =；③：)(')]'([00x f x f =④：0)]'([0=x f A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④2.一质点的运动方程是tS sin 2= ①：求3π=t 时的速度；②：求该质点运动的加速度.3.求抛物线2x y =和直线1-=x y 间最短距离.练习反馈1. 用定义法推导233)'(x x =；x x 21)'(=2. 求函数x y 1=的图像在点（2，21）处的切线的方程.3. 若直线b x y +-=是函数xy 1=图像的切线，求b 及切点坐标.4. 若对于任意x ，有34)('x x f =，1)1(-=f ，则此函数=)(x f5. 直线321+=x y 能作为函数)(x f y =图像的切线吗？若能，求出切点坐标，若不能，简述理由：①x x f 1)(= ②4)(x x f = ③x x f sin )(= ④x e x f =)(。
陕西省榆林育才中学高中数学 第1章《三角函数》1-2周期现象与角的概念的推广导学案 北师大版必修4
陕西省榆林育才中学高中数学第1章《三角函数》1-2周期现象与角的概念的推广导学案北师大版必修4【学习目标】1.了解周期现象在现实生活中的广泛存在，通过周期现象的实例感悟周期现象的特征.2.通过实例理解角的概念的推广的必要性，理解任意角的概念，能根据角的终边旋转方向判断正角、负角和零角.3.掌握终边相同角的表示方法，会判断象限角和坐标轴上的角.【重点难点】【自主学习】1.潮汐现象、地球公转与自转、单摆的摆动等都是_________________.2.角可以看成平面内一条射线绕着________从一个位置旋转到另一个位置所形成的_________. 射线在旋转时有两个相反的方向，_________________________________________________为正角；______________________________________为负角；_______________________________________为零度角，又称零角.3.在直角坐标系中讨论角时，使角的顶点与_____重合，角的始边与________重合. 角的终边在第几象限，就把这个角叫作________________________.如果终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，称这个角为坐标轴上的角.4.终边相同的角有________个，相等的角终边一定__________，但终边相同的角不一定__________.S5.一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合=____________________________________.6. 与 490-终边相同的最小正角是_________，最大负角是________，绝对值最 小的角是________，它们是第______象限角.【合作探究】1.在 360~0范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角.（1） 120-； （2） 640； （3）'8950 -.2. 在直角坐标系中，写出终边在y 轴上的角的集合（用 360~0的角表示）.3.写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式 720360<≤-β 的元素β写出来.（1） 60； （2） 225-.【课堂检测】1. 下列说法中，正确的是（ ）A. 第一象限的角是锐角B. 锐角是第一象限的角C. 小于 90的角是锐角D. 0到 90的角是第一象限的角2. 若时针走过2小时40分，则分针转过的角度是________.3. 若α是第三象限角，则2α是第几象限角？2α是第几象限角？【课堂小结】1. 角的推广；2. 象限角的定义；3. 终边相同角的表示；4. 终边落在坐标轴等；5. 区间角表示.第一象限角：｛α|k ⨯360o ＜α＜k ⨯360o +90o ,k∈Z } 第二象限角：｛α|k ⨯360o +90o ＜α＜k ⨯360o +180o ,k∈Z }第三象限角:｛α|k ⨯360o +180o ＜α＜k ⨯360o +270o ,k∈Z }第四象限角：{α|k ⨯360o +270o ＜α＜k ⨯360o +360o ,k ∈Z }【课后训练】1.276-是（ ）A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角2. 今天是星期二，从今天算起，27天后的那一天是星期_____，第50天是星期 _______.。
高中数学 第一章 三角函数 1.8 函数y=Asin(ωx φ)的图像与性质(一)学案北师大版必修4
函数y=Asin （ωx+φ的图像与性质（一）班级 姓名 组号【学习目标】1、会用五点法作sin (0)y A x A =>、sin()y x ϕ=+一个周期上的图像；2、掌握由函数sin y x =的图像得到函数sin (0)y A x A =>、sin()y x ϕ=+图像的变换的方法与过程;【教学重点】振幅变换与相位变换的方法与过程【教学难点】振幅变换与相位变换的实质【学习过程】一、预习自学1、知识点一： sin y x =与sin (0)y A x A =>图像的变换关系----振幅变换阅读课本第43-45页内容，理解五点法做函数12sin sin 2y x y x ==、的图像过程，观察此过程发生了自变量或函数值的怎样替换？思考归纳出sin (0)y A x A =>与sin y x =图像间的变换关系：2、知识点二： sin y x =与sin()y x ϕ=+图像的变换关系----相位变换阅读课本第45-47页内容，理解用五点法做函数sin()4y x π=+、 sin()6y x π=-的图像过程. 观察此过程发生了自变量或函数值的怎样替换？思考归纳出sin()y x ϕ=+与sin y x =图像间的变换关系：二、课堂探究（巩固提升）问题1：五点法做函数下列函数的简图，并说明它与sin y x =的图像关系：（1）1sin 3y x =（2）4sin y x =问题2：五点法做函数下列函数的简图，并说明它与sin y x =的图像关系：（1）sin()6y x π=+（2） sin()4y x π=-问题3：（1）2sin(3)y x =+的图像可由函数sin y x =的图像怎样得到？（2）函数1cos(1)2y x =-的图像可由函数cos y x =的图像怎样得到？【达标检测】1、要得到函数sin y x =的图像，只需要把函数sin()3y x π=-的图像 . 2、要得到函数1cos 3y x =的图像，只需要把函数1cos 2y x =的图像 . 3、函数3sin()6y x π=-的图像如何由sin y x =的图像得到？【我的疑惑】。
高中数学第一章三角函数1.8函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质(一)学案北师大版必修4(20
2018-2019学年高中数学第一章三角函数1.8 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像与性质（一）学案北师大版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第一章三角函数1.8 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像与性质（一）学案北师大版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018-2019学年高中数学第一章三角函数1.8 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像与性质（一）学案北师大版必修4的全部内容。
§8函数y＝A sin（ωx＋φ）的图像与性质（一）学习目标 1.结合具体实例,了解y＝A sin（ωx＋φ) 的实际意义（重点).2.能借助计算器或计算机画出y＝A sin（ωx＋φ）的图像，观察参数A,ω、φ对函数图像变化的影响（难点）．知识点1 振幅变换(1）在函数y＝A sin x(A＞0)中，A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A 为振幅．（2)要得到函数y＝A sin x（A＞0，A≠1）的图像,只要将函数y＝sin x的图像上所有点的纵坐标伸长(当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时)到原来的A倍（横坐标不变）即可得到．【预习评价】（1)函数y＝－2sin错误!的最大值为________最小值为________．答案 2 －2(2)函数y＝－错误!cos x取得最大值时的x的集合为________．答案{x｜x＝2kπ＋π,k∈Z｝知识点2 相位变换（1)在函数y＝sin(x＋φ)中，φ决定了x＝0时的函数值，通常称φ为初相，x＋φ为相位．(2）对于函数y＝sin（x＋φ)(φ≠0）的图像,可以看作是把y＝sin x的图像上所有的点向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平行移动｜φ｜个单位长度得到的．【预习评价】(1）如何由y＝sin x的图像变换为y＝sin错误!的图像？提示向左平移错误!个单位长度．（2）如何由y＝sin错误!的图像变换为y＝sin x的图像？提示向右平移错误!个单位长度知识点3 周期变换(1)在函数y＝sin ωx(ω＞0)中，ω决定了函数的周期T＝错误!，通常称周期的倒数f＝错误!＝错误!为频率．（2）对于函数y＝sin ωx(ω＞0，ω≠1)的图像，可以看作是把y＝sin x的图像上所有点的横坐标缩短（当ω＞1时）或伸长（当0＜ω＜1时)到原来的错误!倍（纵坐标不变)而得到的．【预习评价】1．函数y＝2sin错误!的周期、振幅依次是（）A．4π，－2 B．4π，2C．π,2D．π，－2答案B2．若函数y＝3sin ωx的最小正周期为π，则ω＝________。
陕西省榆林育才中学高中数学 第1章《立体几何初步》垂直关系的判定导学案 北师大版必修2
陕西省榆林育才中学高中数学 第1章《立体几何初步》垂直关系的判定导学案 北师大版必修2你的 疑惑3.（1）半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成 _________，其中的________都叫作半平面.（2）二面角：从一条直线出发的___________所组成的图形叫作二面角，___________叫做二面角的棱，______________叫作二面角的面.（3）二面角的记法：以直线AB 为棱，半平面α、β为面的二面角，记作________________.（如下图（1））（4）二面角的平面角：以二面角的棱上_________为端点，在两个半平面内分别作___________的两条射线，这两条射线所组成的角叫作二面角的平面角. 如下图（2）中的AOB ∠. ______________的二面角叫作直二面角.（5）两个平面相交，如果所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直.4. 将一支铅笔垂直于桌面，再用一本书紧贴着铅笔转动，你能观察到书本和桌面的关系吗？再观察下图（1）（2）中的长方体，可以发现：平面α内的直线a 与平面β________，这时，α____β.抽象概括平面和平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条_______，那么这两个平面互相垂直.图形语言： 符号语言：若直线AB ____平面β，AB ______平面α，策略与反思 纠错与归纳【学习目标】 1. 理解直线和平面、平面和平面垂直的判定定理，并能进行简单应用. 2. 通过垂直关系判定定理的探究和应用过程，进一步提高空间想象能力和逻辑思维能力. 3. 通过垂直关系判定定理的探究和应用过程，体会数学和生活的紧密联系. 【重点难点】 重点：直线和平面、平面和平面垂直的判定定理及应用. 难点：对直线和平面、平面和平面垂直判定定理的理解. 【使用说明】 1. 认真阅读课本第35—37页的内容，独立完成自主学习内容. 2. 在自主学习的基础上，通过小组讨论，完成合作探究内容. 【自主学习】 1. 如右图，拿一块教学用的直角三角板，放在墙角，使三角板的 直角顶点C 与墙角重合，直角边AC 所在直线与墙角所在直线重合，将三角板绕AC 转动，在转动过程中，直角边CB 与地面紧贴，这就表示，AC 与地面垂直.抽象概括 直线和平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的___________直线都_________，那么称这条直线和这个平面垂直. 2. 观察上图（1）的长方体，c b ,是平面α内的两条_______直线，直线a __b ，a __c ，这时，a __α. 观察上图（2）的长方体，平面α内的两条直线c b ,不相交，虽然直线a 与c b ,都______，但是a 与α_________. 抽象概括 直线和平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的_______________都垂直，那么该直线与此平面垂直. 图形语言： 符号语言：若直线a ____平面α，直线b _____平面α， 直线l ____a ， 直线l ____b ，a ____A b =， 则α⊥l .天才在于积累 聪明在于勤奋。
陕西省榆林育才中学高中数学 第1章《立体几何初步》平行关系与垂直关系习题课导学案 北师大版必修2
陕西省榆林育才中学高中数学第1章《立体几何初步》平行关系与垂直关系习题课导学案北师大版必修2【要点回顾】.1.平行关系的转化判定判定线线平行线面平行面面平行性质性质⑴直线与平面平行的判定定理：⑵平面与平面平行的判定定理：⑶直线与平面平行的性质定理：⑷平面与平面平行的性质定理：2.垂直关系的转化判定判定线线垂直线面垂直面面垂直性质性质⑴直线与平面垂直的判定定理：⑵平面与平面垂直的判定定理：⑶直线与平面垂直的性质定理：⑷平面与平面垂直的性质定理：【基础自测】1. 在空间给出下列四个命题：①如果平面α内的一条直线a垂直于平面β内的任意一条直线，则αβ⊥；②如果直线a与平面β内的一条直线平行，则α//β；③如果直线a与平面β内的两条直线都垂直，则aβ⊥；④如果平面α内的两条直线都平行于平面β，则α//β.其中正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D.42. 下列命题中，,m n表示两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列四个命题：①若,m nα⊥//α，则m n⊥；②若,αγβγ⊥⊥，则α//β；③若m//α,n//β，则m//n；④若α//β,β//γ,m⊥α，则mγ⊥；其中正确的命题的序号是_____________3. 已知α//β，A,C,α∈B,Dβ∈,直线AB,CD交于点S，且AS=8，BS=9，CD=34.①当S在,αβ之间时，CS=_____；②当S不在,αβ之间时，CS=_____3.正方体1111ABCD A B C D-中，E,F,G,H分别为111111,,,AA CC C D D A的中点，试判断四边形EFGH的形状，并说明理由.【合作探究】1.已知直角梯形ABCD中，AB//CD,AB⊥BC,过A作AE⊥CD,垂足为E,G,F分别为AD,CE的中点，现将∆ADE沿AE折叠，使DE⊥EC.①求证：BC⊥平面CDE; ②求证：FG//平面BCD你的疑惑策略与反思纠错与归纳课题：平行关系与垂直关系习题课高一数学 天才在于积累 聪明在于勤奋2、如图，B 为∆ACD 所在的平面外一点，M,N,G 分别为∆ABC ，∆ABD ，∆BCD 的重心. ① 求证：平面MNG//平面ACD; ② 求证：:MNG DC s s ∆∆A【课堂检测】1. 设ABCD 和ABEF 均为平行四边形，它们不在同一平面，M, N 分别为对角线AC, BF 上的点，且AM ：FN=AC ：BF. 求证：MN // 平面BEC2. 已知∆ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，且EC ，DB 在平面ABC 的同侧，M 为EA 的中点，CE=CA=2BD. 求证： ①DE=DA ；② 平面BDM ⊥平面ECA ； ③ 平面DEA ⊥平面ECA.（提示：取AC 中点N ，连接MN ，BN ）【课后训练】1. 已知正方体ABCD-1111D C B A ，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：① O C 1//平面11D AB ② ⊥C A 1 面 11D AB2四面体ABCD 中，BD=2a ，AB=AD=CB=CD=AC=a ， 求证：平面ABD ⊥平面BCD （提示：取BD 的中点E ）策略与反思 纠错与归纳策略与反思 纠错与归纳。
「精品」高中数学第一章三角函数1.8函数y=Asinωx+φ的图像教案北师大版必修4
函数y=Asin(ωx+φ)的图像整体设计教学分析本节通过图像变换,揭示参数φ、ω、A变化时对函数图像的形状和位置的影响,讨论函数y=Asin(ωx+φ)的图像与正弦曲线的关系,以及A、ω、φ的物理意义,并通过图像的变化过程,进一步理解正、余弦函数的性质,它是研究函数图像变换的一个延伸,也是研究函数性质的一个直观反映.这节是本章的一个难点,也是高考考查的重点.如何经过变换由正弦函数y=sinx来获取函数y=Asin(ωx+φ)的图像呢?通过引导学生对函数y ＝sinx到y＝Asin(ωx+φ)的图像变换规律的探索,让学生体会到由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想；并通过对周期变换、相位变换先后顺序调整后,将影响图像变换这一难点的突破,让学生学会抓住问题的主要矛盾来解决问题的基本思想方法;通过对参数φ、ω、A的分类讨论,让学生深刻认识图像变换与函数解析式变换的内在联系.本节课建议充分利用多媒体,倡导学生自主探究,在教师的引导下,通过图像变换和“五点”作图法,正确找出函数y＝sinx到y＝Asin(ωx+φ)的图像变换规律,这也是本节课的重点所在.由于本节是本章的一个难点,为了便于学生的理解和接受,在探究y=sinx与y=Asin(ωx+φ)的关系上,对A、ω、φ对函数及其图像的影响顺序作了适当调整.三维目标1.通过学生自主探究,理解φ对y=sin(x+φ)的图像的影响,ω对y=sin(ωx+φ)的图像的影响,A对y=Asin(ωx+φ)的图像的影响.2.通过探究图像变换,会用图像变换法画出y=Asin(ωx+φ)图像的简图,并会用“五点法”画出函数y=Asin(ωx+φ)的简图.3.通过学生对问题的自主探究,渗透数形结合思想.培养学生的独立意识和独立思考能力.学会合作意识,培养学生理解动与静的辩证关系,善于从运动的观点观察问题,培养学生解决问题抓主要矛盾的思想.在问题逐步深入的研究中唤起学生追求真理,乐于创新的情感需求,引发学生渴求知识的强烈愿望,树立科学的人生观、价值观.重点难点教学重点:用参数思想分层次、逐步讨论字母φ、ω、A变化时对函数图像的形状和位置的影响,掌握函数y=Asin(ωx+φ)图像的简图的作法.教学难点:由正弦曲线y=sinx到y=Asin(ωx+φ)的图像的变换过程.课时安排3课时教学过程第1课时导入新课思路1.(情境导入)在物理和工程技术的许多问题中,都要遇到形如y=Asin(ωx+φ)的函数(其中A、ω、φ是常数).例如,物体做简谐振动时位移y与时间x的关系,交流电中电流y与时间x的关系等,都可用这类函数来表示.这些问题的实际意义往往可从其函数图像上直观地看出,因此,我们有必要画好这些函数的图像.揭示课题:函数y=Asin(ωx+φ)的图像.思路2.(直接导入)从解析式来看,函数y=sinx与函数y=Asin(ωx+φ)存在着怎样的关系?从图像上看,函数y=sinx与函数y=Asin(ωx+φ)存在着怎样的关系?接下来,我们就分别探索φ、ω、A对y=Asin(ωx+φ)的图像的影响.推进新课新知探究提出问题①观察交流电电流随时间变化的图像,它与正弦曲线有何关系？你认为可以怎样讨论参数φ、ω、A 对y=Asin(ωx+φ)的图像的影响？ ②分别在y=sinx 和y=sin(x+3π)的图像上各恰当地选取一个纵坐标相同的点,同时移动这两点并观察其横坐标的变化,你能否从中发现,φ对图像有怎样的影响？对φ任取不同的值,作出y=sin(x+φ)的图像,看看与y ＝sinx 的图像是否有类似的关系？③请你概括一下如何从正弦曲线出发,经过图像变换得到y=sin(x+φ)的图像.④你能用上述研究问题的方法,讨论探究参数ω对y=sin(ωx+φ)的图像的影响吗？为了作图的方便,先不妨固定为φ=3π,从而使y=sin(ωx+φ)在ω变化过程中的比较对象固定为y=sin(x+3π). ⑤类似地,你能讨论一下参数A 对y=sin(2x+3π)的图像的影响吗？为了研究方便,不妨令ω=2,φ=3π.此时,可以对A 任取不同的值,利用计算器或计算机作出这些函数在同一坐标系中的图像,观察它们与y=sin(2x+3π)的图像之间的关系.⑥可否先伸缩后平移？怎样先伸缩后平移的？活动:问题①,教师先引导学生阅读课本开头一段,教师引导学生思考研究问题的方法.同时引导学生观察y=sin(x+3π)图像上点的坐标和y=sinx 的图像上点的坐标的关系,获得φ对y=sin(x+φ)的图像的影响的具体认识.然后通过计算机作动态演示变换过程,引导学生观察变化过程中的不变量,得出它们的横坐标总是相差3π的结论,并让学生讨论探究.最后共同总结出:先分别讨论参数φ、ω、A 对y=Asin(ωx+φ)的图像的影响,然后再整合.图1问题②,由学生作出φ取不同值时,函数y=sin(x+φ)的图像,并探究它与y=sinx 的图像的关系,看看是否仍有上述结论.教师引导学生获得更多的关于φ对y=sin(x+φ)的图像影响的经验.为了研究的方便,不妨先取φ=3π,利用计算机作出在同一直角坐标系内的图像,如图1,分别在两条曲线上恰当地选取一个纵坐标相同的点A 、B,沿两条曲线同时移动这两点,并保持它们的纵坐标相等,观察它们横坐标的关系.可以发现,对于同一个y 值,y=sin(x+3π)的图像上的点的横坐标总是等于y=sinx 的图像上对应点的横坐标减去3π.这样的过程可通过多媒体课件,使得图中A 、B 两点动起来(保持纵坐标相等),在变化过程中观察A 、B 的坐标、x B -x A 、|AB|的变化情况,这说明y=sin(x+3π)的图像,可以看作是把正弦曲线y=sinx 上所有的点向左平移3π个单位长度而得到的,同时多媒体动画演示y=sinx 的图像向左平移3π使之与y=sin(x+3π)的图像重合的过程,以加深学生对该图像变换的直观理解.再取φ=-4π,用同样的方法可以得到y=sinx 的图像向右平移4π后与y=sin(x-4π)的图像重合.如果再变换φ的值,类似的情况将不断出现,这时φ对y=sin(x+φ)的图像的影响的铺垫已经完成,学生关于φ对y=sin(x+φ)的图像的影响的一般结论已有了大致轮廓.问题③,引导学生通过自己的研究认识φ对y=sin(x+φ)的图像的影响,并概括出一般结论: y=sin(x+φ)(其中φ≠0)的图像,可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当φ＞0时)或向右(当φ＜0时)平行移动|φ|个单位长度而得到.如图2.图2问题④,教师指导学生独立或小组合作进行探究,教师作适当指导.注意提醒学生按照从具体到一般的思路得出结论,具体过程是:(1)以y=sin(x+3π)为参照,把y=sin(2x+3π)的图像与y=sin(x+3π)的图像作比较,取点A 、B 观察.发现规律:图3如图3,对于同一个y 值,y=sin(2x+3π)的图像上点的横坐标总是等于y=sin(x+3π)的图像上对应点横坐标的21倍.教学中应当非常认真地对待这个过程,展示多媒体课件,体现伸缩变换过程,引导学生在自己独立思考的基础上给出规律. (2)取ω=21,让学生自己比较y=sin(21x+3π)的图像与y=sin(x+3π)图像.教学中可以让学生通过作图、观察和比较图像、讨论等活动,得出结论:把y=sin(x+3π)图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),就得到y=sin(21x+3π)的图像. 当取ω为其他值时,观察相应的函数图像与y=sin(x+3π)的图像的关系,得出类似的结论.这时ω对y=sin(ωx+φ)的图像的影响的铺垫已经完成,学生关于ω对y=sin(ωx+φ)的图像的影响的一般结论已有了大致轮廓.教师指导学生将上述结论一般化,归纳y=sin(ωx+φ)的图像与y=sin(x+φ)的图像之间的关系,得出结论:函数y=sin(ωx+φ)的图像可以看作是把y=sin(x+φ)的图像上所有点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的ω1倍(纵坐标不变)而得到.如图4.图4问题⑤,教师点拨学生,探索A 对图像的影响的过程,与探索ω、φ对图像的影响完全一致,鼓励学生独立完成.学生观察y=3sin(2x+3π)的图像和y=sin(2x+3π)的图像之间的关系.如图5,分别在两条曲线上各取一个横坐标相同的点A 、B,沿两条曲线同时移动这两点,并使它们的横坐标保持相同,观察它们纵坐标的关系.可以发现,对于同一个x 值,函数y=3sin(2x+3π)的图像上的点的纵坐标等于函数y=sin(2x+3π)的图像上点的纵坐标的3倍.这说明,y=3sin(2x+3π)的图像,可以看作是把y=sin(2x+3π)的图像上所有的点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)而得到的.通过实验可以看到,A 取其他值时也有类似的情况.有了前面两个参数的探究,学生得出一般结论:图5函数y=Asin(ωx+φ)(其中A ＞0,ω＞0)的图像,可以看作是把y=sin(ωx+φ)上所有点的纵坐标伸长(当A ＞1时)或缩短(当0＜A ＜1时)到原来的A 倍(横坐标不变)而得到,从而,函数y=Asin(ωx+φ)的值域是\[-A,A\],最大值是A,最小值是-A.如图6.图6由此我们得到了参数φ、ω、A 对函数y=Asin(ωx+φ)(其中A ＞0,ω＞0)的图像变化的影响情况.一般地,函数y=Asin(ωx+φ)(其中A ＞0,ω＞0)的图像,可以看作用下面的方法得到:先画出函数y ＝sinx 的图像;再把正弦曲线向左(右)平移|φ|个单位长度,得到函数y=sin(x+φ)的图像；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的ω1倍,得到函数y=sin(ωx+φ)的图像；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A 倍,这时的曲线就是函数y=Asin(ωx+φ)的图像.⑥教师引导学生类比得出,其顺序是:先伸缩横坐标(或纵坐标),再伸缩纵坐标(或横坐标),最后平移.但学生很容易在第三步出错,可在图像变换时,对比变换,以引起学生注意,并体会一些细节.由此我们完成了参数φ、ω、A 对函数图像影响的探究.教师适时地引导学生回顾思考整个探究过程中体现的思想:由简单到复杂,由特殊到一般的化归思想.讨论结果:①把从函数y=sinx 的图像到函数y=Asin(ωx+φ)的图像的变换过程,分解为先分别考察参数φ、ω、A 对函数图像的影响,然后整合为对y=Asin(ωx+φ)的整体考察. ②略.③图像左右平移,φ影响的是图像与x 轴交点的位置关系. ④纵坐标不变,横坐标伸缩,ω影响了图像的形状. ⑤横坐标不变,纵坐标伸缩,A 影响了图像的形状.⑥可以先伸缩后平移(提醒学生尽量先平移),但要注意第三步的平移.y=sinx 的图像)()10()1(横坐标不变倍为原来的或缩短纵坐标伸长A A A <<>得y=Asinx 的图像横)(1)1()10(纵坐标不变到原来的或缩短横坐标伸长ωωω><<得y=Asin(ωx)的图像个单位平移或向右向左ωϕϕϕ)0()0(<>得y=Asin(ωx+φ)的图像. 规律总结:先平移后伸缩的步骤程序如下:y=sinx 的图像个单位长度平移或向右向左ϕϕϕ)0()0(<>得y=sin(x+φ)的图像)(1)1()10(纵坐标不变到原来的或缩短横坐标伸长ωωω><<得y=sin(ωx+φ)的图像)()10()1(横坐标不变倍为原来的或缩短纵坐标伸长A A A <<>得y=Asin(ωx+φ)的图像.先伸缩后平移的步骤程序(见上). 应用示例例1 画出函数y=2sin(31x-6π)的简图.活动:本例训练学生的画图基本功及巩固本节所学知识方法. (1)可引导学生从图像变换的角度来探究,这里的φ＝-6π,ω＝31,A ＝2,鼓励学生根据本节所学内容自己写出得到y=2sin(31x-6π)的图像的过程:只需把y ＝sinx 的曲线上所有点向右平行移动6π个单位长度,得到y=sin(x-6π)的图像;再把后者所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),得到y=sin(31x-6π)的图像;再把所得图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)而得到函数y=2sin(31x-6π)的图像,如图7所示.图7(2)学生完成以上变换后,为了进一步掌握图像的变换规律,教师可引导学生作换个顺序的图像变换,要让学生自己独立完成,仔细体会变化的实质.(3)学生完成以上两种变换后,就得到了两种画函数y=2sin(31x-6π)简图的方法,教师再进一步地启发学生能否利用“五点法”作图画出函数y=2sin(31x-6π)的简图,并鼓励学生动手按“五点法”作图的要求完成这一画图过程.解:方法一:画出函数y=2sin(31x-6π)简图的方法为y=sinx )6sin(6ππ-=−−−−→−x y 个单位右移)631sin(3π-=−−−→−x y 倍纵坐标伸长到原来的横坐标不变 )631sin(22π-=−−−→−x y 倍纵坐标伸长到原来的横坐标不变 方法二:画出函数y=2sin(31x-6π)简图的又一方法为y=sinx 倍纵坐标伸长到原来的横坐标不变3−−−→−y=2sin −−−−→−个单位右移231πx y=)631sin(2π-x )2(31sin 2π-=x 方法三:(利用“五点法”作图——作一个周期内的图像)令X=1x-π,则x=3(X+π).列表:描点画图,如图8所示.图8点评:学生独立完成以上探究后,对整个的图像变换及“五点法”作图会有一个新的认识.但教师要强调学生注意方法二中第三步的变换,左右平移变换只对“单个”x 而言,这点是个难点,学生极易出错.对于“五点法”作图,要强调这五个点应该是使函数取最大值、最小值以及曲线与x 轴相交的点.找出它们的方法是先作变量代换,设X=ωx+φ,再用方程思想由X 取0, 12π,π,23π,2π来确定对应的x 值. 变式训练1.(2007山东威海一模统考,12)要得到函数y=sin(2x+3π)的图像,只需将函数y=sinx 的图像( ) A.向左平移3π个单位,再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变 B.向右平移3π个单位,再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变 C.向左平移3π个单位,再把所有点的横坐标缩短到原来的21倍,纵坐标不变 D.向右平移3π个单位,再把所有点的横坐标缩短到原来的21倍,纵坐标不变 答案:C2.(2007山东菏泽一模统考,7)要得到函数y=2sin(3x-5π)的图像,只需将函数y ＝2sin3x 的图像( )A.向左平移5π个单位B.向右平移5π个单位 C.向左平移15π个单位 D.向右平移15π个单位答案:D2.将y=sinx 的图像怎样变换得到函数y=2sin(2x+4π)+1的图像? 活动:可以用两种图像变换得到.但无论哪种变换都是针对字母x 而言的.由y=sin2x 的图像向左平移8π个单位长度得到的函数图像的解析式是y=sin2(x+8π)而不是y=sin(2x+8π),把y=sin(x+4π)的图像的横坐标缩小到原来的21,得到的函数图像的解析式是y=sin(2x+4π),而不是y=sin2(x+4π).解:方法一:①把y=sinx 的图像沿x 轴向左平移4π个单位长度,得y=sin(x+4π)的图像；②将所得图像的横坐标缩小到原来的21,得y=sin(2x+4π)的图像；③将所得图像的纵坐标伸长到原来的2倍,得y=2sin(2x+4π)的图像；④最后把所得图像沿y 轴向上平移1个单位长度得到y=2sin(2x+4π)+1的图像.方法二:①把y=sinx 的图像的纵坐标伸长到原来的2倍,得y=2sinx 的图像；②将所得图像的横坐标缩小到原来的21,得y=2sin2x 的图像；③将所得图像沿x 轴向左平移8π个单位长度,得y=2sin2(x+8π)的图像；④最后把图像沿y 轴向上平移1个单位长度得到y=2sin(2x+4π)+1的图像. 点评:三角函数图像变换是个难点.本例很好地巩固了本节所学知识方法,关键是教师引导学生理清变换思路和各种变换对解析式的影响. 变式训练1.将y=sin2x 的图像怎样变换得到函数y=cos(2x-4π)的图像? 解:y=sin2x=cos(2π-2x)=cos(2x-2π). 在y=cos(2x-2π)中以x-a 代x,有y=cos ［2(x-a)-2π］=cos(2x-2a-2π).根据题意,有2x-2a-2π=2x-4π,得a=-8π.所以将y=sin2x 的图像向左平移8π个单位长度可得到函数y=cos(2x-4π)的图像.2.如何由函数y=3sin(2x+3π)的图像得到函数y=sinx 的图像？解法一:y=3sin(2x+3π)−−−−−−→−倍纵坐标缩短到原来的31y=sin(2x+3π)−−−−−−→−倍纵坐标缩短到原来的2y=sin(x+3π) −−−→−3π向右平移y=sinx.解法二:y=3sin(2x+3π)=3sin2(x+6π)−−−→−6π向右平移y=3sin2x −−−−−−→−倍纵坐标伸长到原来的31y=sin2x −−−−−−→−倍纵坐标伸长到原来的2y=sinx.3.(2007山东高考,4)要得到函数y=sinx 的图像,只需将函数y=cos(x-3π)的图像( ) A.向右平移6π个单位 B.向右平移3π个单位C.向左平移3π个单位 D.向左平移6π个单位答案:A 知能训练课本本节练习1 1、2、3. 课堂小结1.由学生自己回顾总结本节课探究的知识与方法,以及对三角函数图像及三角函数解析式的新的认识,使本节的总结成为学生凝练提高的平台.2.教师强调本节课借助于计算机讨论并画出y=Asin(ωx+3π)的图像,并分别观察参数φ、ω、A 对函数图像变化的影响,同时通过具体函数的图像的变化,领会由简单到复杂、特殊到一般的化归思想.从函数到图像、从图像到函数地理解图像变换. 作业1.用图像变换的方法在同一坐标系内由y=sinx 的图像画出函数y=-21sin(-2x)的图像. 2.要得到函数y=cos(2x-4π)的图像,只需将函数y=sin2x 的图像通过怎样的变换得到? 3.指出函数y=cos2x+1与余弦曲线y=cosx 的关系. 解答:1.∵y=-21sin(-2x)=21sin2x,作图过程: y=sinx .2sin 212sin 2121x y x y =−−−−−−→−=−−−−−−→−横坐标不变倍纵坐标变为原来的纵坐标不变倍横坐标变为原来的 2.∵y=cos(2x -4π)=sin[2π+(2x-4π)]=sin(2x+4π)=sin2(x+8π), ∴将曲线y=sin2x 向左平移8π个单位长度即可.3.∵y=cos2x+1,∴将余弦曲线y=cosx 上各点的横坐标缩短到原来的21,再将所得曲线向上平移1个单位长度,即可得到曲线y=cos2x+1.设计感想1.本节图像较多,学生活动量大,关键是理清字母φ、ω、A 对函数及图像变化的影响.因此本节设计的主要指导思想是充分利用信息技术工具,从整体上探究参数φ、ω、A 对函y=Asin(ωx+φ)图像整体变化的影响.这符合新课标精神,符合教育课改新理念.现代教育求学生去主动学习,合作探究,教师仅是学生主动学习的激发者和引导者.2.对于函数y=sinx 的图像与函数y=Asin(ωx+φ)的图像间的变换,由于“平移变换”与“伸缩变换”在“顺序”上的差别,直接会对图像平移量产生影响,这点也是学习三角函数图像变换的难点所在,设计意图旨在通过对比让学生领悟它们的异同.3.学习过程是一个认知过程,学生内部的认知因素和学习情景的因素是影响学生认知结构的变量.如果学生本身缺乏学习动机和原有的认知结构,外部的变量就不能发挥它们的作用,但外部变量所提供的刺激也能使内部能力引起学习.第2课时导入新课思路1.(直接导入)上一节课中,我们分别探索了参数φ、ω、A 对函数y=Asin(ωx+φ)的图像的影响及“五点法”作图.现在我们进一步熟悉掌握函数y=Asin(ωx+φ)(其中A ＞0,ω＞0,φ≠0)的图像变换及其物理背景.由此展开新课.思路2.(复习导入)请同学们分别用图像变换及“五点作图法”画出函数y=4sin(21x-3π)的简图,学生动手画图,教师适时地点拨、纠正,并让学生回答有关的问题.在学生回顾与复习上节所学内容的基础上展开新课.推进新课 新知探究 提出问题①在上节课的学习中,用“五点作图法”画函数y=Asin(ωx+φ)的图像时,列表中最关键的步骤是什么？②(1)把函数y ＝sin2x 的图像向_________平移__________个单位长度得到函数y ＝sin(2x －3π)的图像；(2)把函数y ＝sin3x 的图像向_________平移__________个单位长度得到函数y ＝sin(3x ＋6π)的图像；(3)如何由函数y ＝sinx 的图像通过变换得到函数y ＝sin(2x+3π)的图像？③将函数y=f(x)的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移2π个单位长度,所得到的曲线是y=21sinx 的图像,试求函数y=f(x)的解析式. 对这个问题的求解现给出以下三种解法,请说出甲、乙、丙各自解法的正误.(多媒体出示各自 解法)甲生:所给问题即是将y=21sinx 的图像先向右平移2π个单位长度,得到y=21sin(x-2π)的图像,再将所得的图像上所有点的横坐标缩短到原来的21,得到y=21sin(2x-2π),即y=-21cos2x 的图像,∴f(x)=-21cos2x. 乙生:设f(x)=Asin(ωx+φ),将它的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍,得到y=Asin(2ωx+φ)的图像,再将所得的图像向左平移2π个单位长度,得到y=Asin(2ωx+2π+φ)=21sinx,∴A=21,2ω=1,2π+φ=0,即A=21,ω=2,φ=-2π.∴f(x)=21sin(2x-2π)=-21cos2x.丙生:设f(x)=Asin(ωx+φ),将它的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍,得到y=Asin(2ωx+φ)的图像,再将所得的图像向左平移个单位长度,得到y=Asin[2ω(x+2π)+φ]=Asin(21)42(=++ϕωπωx sinx, ∴A=21,2ω=1,4ωπ+φ=0.解得A=21,ω=2,φ=-2π,∴f(x)=21sin(2x-2π)=-21cos2x.活动:问题①,复习巩固已学三种基本变换,同时为导入本节课重、难点创设情境.让学生回答并回忆A 、ω、φ对函数y=Asin(ωx+φ)图像变化的影响.引导学生回顾“五点作图法”,既复习了旧知识,又为学生准确使用本节课的工具提供必要的保障.问题②,让学生通过实例综合以上两种变换,再次回顾比较两种方法平移量的区别和导致这一现象的根本原因,以此培养训练学生变换的逆向思维能力,训练学生对变换实质的理解及使用诱导公式的综合能力.问题③,反例更能澄清概念的内涵及外延.甲生的解法是考虑以上变换的“逆变换”,即将以上变换倒过来,由y=21sinx 变换到y=f(x),解答正确.乙、丙两名同学都是采用代换法,即设y=Asin(ωx+φ),然后按题设中的变换得到两次变换后图像的函数解析式,这种思路清晰,但值得注意的是:乙生的解答过程中存在实质性的错误,就是将y=Asin(2ωx+φ)的图像向左平移个单位长度时,把y=Asin(2ωx+φ)函数中的自变量x 变成x+2π,应该变换成y=Asin[2ω(x+2π)+φ],而不是变换成y=Asin(2ωx+2π+φ),虽然结果一样,但这是巧合,丙同学的解答是正确的.三角函数图像的“逆变换”一定要注意其顺序,比如甲生解题的过程中如果交换了顺序就会出错,故在对这种方法不是很熟练的情况下,用丙同学的解法较合适(即待定系数法).平移变换是对自变量x 而言的,比如乙同学的变换就出现了这种错误.讨论结果:①将ωx+φ看作一个整体,令其分别为0,2π,π,23π,2π. ②(1)右,6π；(2)左,18π；(3)先y ＝sinx 的图像左移3π,再把所有点的横坐标压缩到原来的21倍(纵坐标不变).③略. 提出问题①回忆物理中简谐运动的相关内容,并阅读本章开头的简谐运动的图像,你能说出简谐运动的函数关系吗？②回忆物理中简谐运动的相关内容,回答:振幅、周期、频率、相位、初相等概念与A 、ω、φ有何关系.活动:教师引导学生阅读并适时点拨.通过让学生回忆探究,建立与物理知识的联系,了解常数A 、ω、φ与简谐运动的某些物理量的关系,得出本章开头提到的“简谐运动的图像”所对应的函数解析式有如下形式:y=Asin(ωx+φ),x ∈［0,+∞),其中A ＞0,ω＞0.物理中,描述简谐运动的物理量,如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关:A 就是这个简谐运动的振幅,它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离;这个简谐运动的周期是T=ωπ2,这是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间;这个简谐运动的频率由公式f=T l =πω2给出,它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数;ωx+φ称为相位; x=0时的相位φ称为初相. 讨论结果:①y=Asin(ωx+φ),x ∈［0,+∞),其中A ＞0,ω＞0. ②略. 应用示例例1 图1是某简谐运动的图像.试根据图像回答下列问题: (1)这个简谐运动的振幅、周期和频率各是多少?(2)从O 点算起,到曲线上的哪一点,表示完成了一次往复运动?如从A 点算起呢? (3)写出这个简谐运动的函数表达式.图1活动:本例是根据简谐运动的图像求解析式.教师可引导学生再次回忆物理学中学过的相关知识,并提醒学生注意本课开始时探讨的知识,思考y=Asin(ωx+φ)中的参数φ、ω、A 在图像上是怎样反映的,要解决这个问题,关键要抓住什么.关键是搞清φ、ω、A 等参数在图像上是如何得到反映的.让学生明确解题思路,是由形到数地解决问题,学会数形结合地处理问题.完成解题后,教师引导学生进行反思学习过程,概括出研究函数y=Asin(ωx+φ)的图像的思想方法,找两名学生阐述思想方法,教师作点评、补充.解:(1)从图像上可以看到,这个简谐运动的振幅为2 cm;周期为0.8 s;频率为45. (2)如果从O 点算起,到曲线上的D 点,表示完成了一次往复运动;如果从A 点算起,则到曲线上的E 点,表示完成了一次往复运动.(3)设这个简谐运动的函数表达式为y=Asin(ωx+φ),x ∈［0,+∞), 那么A=2;由ωπ2=0.8,得ω=25π;由图像知初相φ=0. 于是所求函数表达式是y=2sin25πx,x ∈［0,+∞). 点评:本例的实质是由函数图像求函数解析式,要抓住关键点.应用数学中重要的思想方法——数形结合的思想方法,应让学生熟练地掌握这种方法. 变式训练函数y=6sin(41x-6π)的振幅是__________,周期是__________,频率是__________,初相是__________,图像最高点的坐标是__________. 解:6 8ππ81 -6π (8k π+38π,6)(k ∈Z ) 例2 若函数y=Asin(ωx+φ)+B(其中A ＞0,ω＞0)在其一个周期内的图像上有一个最高点(12π,3)和一个最低点(127π,-5),求这个函数的解析式. 活动:让学生自主探究题目中给出的条件,本例中给出的实际上是一个图像,它的解析式为y=Asin(ωx+φ)+B(其中A ＞0,ω＞0),这是学生未遇到过的.教师应引导学生思考它与y=Asin(ωx+φ)的图像的关系,它只是把y=Asin(ωx+φ)(其中A ＞0,ω＞0)的图像向上(B ＞0)或向下(B ＜0)平移|B|个单位.由图像可知,取最大值与最小值时相应的x 的值之差的绝对值只是半个周期.这里φ的确定学生会感到困难,因为题目中毕竟没有直接给出图像,不像例1那样能明显地看出来,应告诉学生一般都会在条件中注明|φ|＜π,如不注明,就取离y 轴最近的一个即可. 解:由已知条件,知y max =3,y min =-5,则A=21(y max -y min )=4,B=21(y max +y min )=-1,2T =127π-12π=2π. ∴T=π,得ω=2.故有y=4sin(2x+φ)-1.。
北师大版高中数学必修四陕西省西安育才第一章函数的图像教案(1)
第二课时 y ＝sinx 和y ＝sin ωx 的图像， y ＝sinx 和 y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像 一、教学思路【创设情境，揭示课题】上一节课，我们已过y ＝sinx 和y ＝Asinx 的图像，y ＝sinx 和 y ＝sin （x ＋φ）的图像间的关系，请与y ＝Asin(ωx ＋φ)比较一下，还有什么样的我们没作过？ 【探究新知】 例一．画出函数y=sin2x x ∈R ；y=sin 21x x ∈R 的图象（简图）。
解：∵函数y=sin2x 周期T=π ∴在[0, π]上作图 令t=2x 则x=2t从而sint=sin2x列表：x函数y=sin 2x周期T=4π ∴在[0, 4π]上作图列表配套练习：函数y ＝sin 32x的图像与函数y ＝sinx 的图像有什么关系？引导, 观察启发 与y=sinx 的图象作比较，结论：1．函数y=sin ωx, x ∈R (ω>0且ω≠1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的ω1倍（纵坐标不变）2．若ω<0则可用诱导公式将符号“提出”再作图。
由上例和练习可以看出：在函数y=sin ωx, x ∈R (ω>0且ω≠1)中，ω决定了函数的周期T ＝ωπ2，通常称周期的倒数f ＝T 1＝πω2为频率。
例二．画出函数y=3sin(2x+3π) x ∈R 的图象。
解：设-1小结平移法过程（步骤）两种方法殊途同归【巩固深化，发展思维】教材P58练习1、2、3二、归纳整理，整体认识（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到主要数学思想方法有那些？（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？三、布置作业:教材P62习题2、3、4四、课后反思。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
陕西省榆林育才中学高中数学 第1章《三角函数》8函数的图像（1）导
学案 北师大版必修4
【学习目标】
1. 了解)sin(ϕω+=x A y 的实际意义.
2. 通过作函数)sin(ϕω+=x A y 的图像，理解参数ϕω,,A 对函数图像变化的影响.
3. 会用“五点法”画函数)sin(ϕω+=x A y 的图像.
【重点难点】
重点：ϕω,,A 对函数)sin(ϕω+=x A y 图像的影响.
难点：)sin(ϕω+=x A y 的图像与函数x y sin =的图像间的关系.
【使用说明】
通过数形结合和由特殊到一般的思想方法，理解参数ϕω,,A 对函数)sin(ϕω+=x A y 图像的影响，然后总结)sin(ϕω+=x A y 的图像与x y sin =的图像间的关系.
【自主学习】
1. 作函数x y sin 2=和x y sin 21=的简图，并说明它们与函数x y sin =的关系.
思考：将x y sin =的图像作怎样的变换就可以得到函数x A y sin =)0(>A 的图像？
2. 画出函数)4sin(π+
=x y 和)6sin(π-=x y 的简图，并说明它们与函数x y sin =的
关系.
思考：将x y sin =的图像作怎样的变换就可以得到函数x y ωsin =)0(>ω的图像？
4. 函数)sin(ϕω+=x A y ，R x A ∈>>,0,0ω的振幅为_______，周期=T _______， 频率=f __________，初相为________.
【合作探究】
1.阅读课本第49—51页，说明如何由x y sin =的图像变换得到1)62sin(3++
=πx y
的图像.
思考：如何由x y sin =的图像变换到b x A y ++=)sin(ϕω)0,0(>>ωA 的图像？ 方法一： x y sin = x y ωsin = )sin(ϕω+=x y
)sin(ϕω+=x A y b x A y ++=)sin(ϕω 方法二： x y sin = )sin(ϕ+=x y )sin(ϕω+=x y )sin(ϕω+=x A y b x A y ++=)sin(ϕω
2. 利用“五点法”作出函数1)62sin(3++
=πx y 在一个周期内的简图.
【课堂检测】
1.为了得到函数)321sin(
π-=x y 的图像，只需将x y 21sin =的图像上每一点（ ） A.横坐标向左平移3π个单位长度 B.横坐标向右平移3
π个单位长度 C.横坐标向左平移32π个单位长度 D.横坐标向右平移3
2π个单位长度 2.将函数)542cos(π+=x y 的图像上各点向右平行移动2
π个单位长度，再把横坐标缩 短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图像的函数解析式为______________________.
3. 已知函数)34sin(8)(π+
=x x f ，求函数)(x f 的周期、振幅、相位与初相.
【课堂小结】。