江苏省盐城市第一中学2020届高三下学期6月调研考试数学试题及答案解析

盐城市第一中学2019-2020届高三调研考试数学试题
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）
1.设全集{}0,1,2U =，集合{}0,1A =，则U C A =________． 【答案】{}2 【解析】 【分析】
由补集的运算法则可得解.
【详解】{}{}0,1,2,0,1U A ==Q
{}2U C A ∴=
故答案为：{}2
【点睛】本题考查了补集的运算，属于基础题. 2.设121i
z i i
+=
+-，则||z =_________. 【答案】3 【解析】 【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，再由复数模的公式计算得答案． 【详解】解：2
1(1)22231(1)(1)
i i z i i i i i i i i ++=+=+=+=--+， 则||3z =． 故答案为：3
【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算和复数模的求法，是基础题．
3.双曲线22
1916
x y -=的左焦点到渐近线的距离为________．
【答案】4 【解析】 【分析】
首先根据题中所给的双曲线方程，求出其左焦点坐标和渐近线方程，之后利用点到直线的距离公式求得结
果.
【详解】根据题意，双曲线的方程为22
1916
x y -=，其中3,4a b ==，
所以5c =，所以其左焦点的坐标为(5,0)-， 渐近线方程为4
3
y x =±
，即430x y ±=， 则左焦点到其渐近线的距离为22
20020
45
43d -±==
=+， 故答案为：4.
【点睛】该题考查的是有关双曲线的问题，涉及到的知识点有根据双曲线的方程求其焦点坐标以及渐近线方程，点到直线的距离公式，属于简单题目.
4.从123，，中选2个不同的数字组成一个两位数，这个两位数是偶数的概率为________． 【答案】
1
3
【解析】 【分析】
用列举法写出所有的两位数，计数后可计算出概率．
【详解】列举法：12，21，13，31，23，32，一共6种可能，其中偶数2种，概率为13
【点睛】本题考查古典概率知识点的基本运用，属于基础题型．
5. 如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动 员在这五场比赛中得分的方差为
【答案】6.8 【解析】
试题分析：得分的平均分为89101315
115
x ++++==,
方差()()()()()22222
2
1811911101113111511 6.85s ⎡⎤=
-+-+-+-+-=⎣
⎦. 考点：平均数,方差.
6.阅读如图所示的程序框，若输入的n 是30，则输出的变量S 的值是______.
【答案】240 【解析】 【分析】
执行程序框图，依次写出每次循环得到的S ，n 的值，当0n =时，满足条件2n <，退出循环，输出S 的值，利用等差数列的求和公式即可计算得解. 【详解】解：执行程序框图，有
30n =，0S =；
不满足条件2n <，30S =，28n =； 不满足条件2n <，3028S =+，26n =； 不满足条件2n <，302826S =++，24n =； …
不满足条件2n <，3028264S =++++L ，2n =； 不满足条件2n <，30282642S =+++++L ，0n =； 满足条件2n <，退出循环，输出()
15230302826422402
S +=+++++==L . 故答案为：240.
【点睛】本题主要考察了程序框图和算法，等差数列的求和，属于基本知识的考查.
7.已知{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和．若124,,S S S 成等比数列，且59a =，则数列{}n a 的前n 项和为______． 【答案】2n 【解析】 分析】
根据等比中项的性质列方程，由此求得数列{}n a 的公差，进而求得1a ，从而求得数列{}n a 的前n 项和. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为()d d ≠0，则194S d =-，2187S d =-，43610S d =-，2214S S S =⋅Q ，
所以2
(187)
(94)(3610)d d d -=--，整理得29180d d -=．0d ≠Q ，2d ∴=．5149a a d =+=Q ，
则11a =，21(1)
2
n n n S na d n -=+=Q ． 故答案为：2n
【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查等差数列通项公式和前n 项和公式，属于基础题. 8.已知锐角α满足sin 22cos21αα-=-，则tan()4
π
α+＝_______.
【答案】2 【解析】 【分析】
利用二倍角公式化简已知条件，并转化为只含tan α的表达式，由此求得tan α的值，进而求得tan 4πα⎛
⎫
+ ⎪⎝
⎭
的值.
【
详解】∵sin 22cos21αα-=-，
∴2
2
2
2
2sin cos 2(cos sin )sin cos 0αααααα--++=，
化简得223sin 2sin cos cos 0αααα+-=，两边同时除以2cos α得，
23tan 2tan 10αα+-=，∵α为锐角，∴tan α＞0
解得1tan 3
α=
， ∴11
tan tan
34tan()2141tan tan 11
43
π
απαπα+++=
==--⨯. 故答案为：2
【点睛】本小题主要考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，属于基础题.
9.已知函数f （x ）()2
1
11x x log x x ≤⎧=⎨-⎩，，＞，则函数y ＝f （f （x ））﹣1的所有零点构成的集合为_____.
【答案】{1，3，9} 【解析】 【分析】
根据零点定义解方程(())10f f x -=，求出零点．
【详解】函数y ＝f [f （x ）]﹣1的零点，即求方程f [f （x ）]﹣1＝0的解，利用换元法进行求解即可. 解：由y ＝f （f （x ））﹣1＝0得f （f （x ））＝1， 设t ＝f （x ），则等价为f （t ）＝1， 当x ≤1时，由f （x ）＝x ＝1得x ＝1，
当x ＞1时，由f （x ）＝log 2（x ﹣1）＝1得x ＝3， 即t ＝1或t ＝3，
当x ≤1时，由f （x ）＝x ＝1，得x ＝1；由f （x ）＝x ＝3，得x ＝3（舍），故此时x ＝1； 当x ＞1时，由f （x ）＝log 2（x ﹣1）＝1得x ＝3；由f （x ）＝log 2（x ﹣1）＝3，得x ＝9， 综上x ＝1，或x ＝3或x ＝9．
所以函数y ＝f [f （x ）]﹣1的所有零点所构成的集合为：{1，3，9} 故答案为：{1，3，9}.
【点睛】本小题主要考查函数的零点、方程的解法等基础知识，利用换元法结合数形结合是解决本题的关键.
10.若对任意1x >-，不等式2
1
22
x a x x +≤++恒成立，则a 的取值范围是______. 【答案】1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
【解析】 【分析】
将2122
x x x +++化简化()()
1
111x x +++，根据基本不等式的性质求最大值，即可得出a 的取值范围.
【详解】依题意得：设
()()()
22111
12+211
11x x y x x x x x ++=
==
+++++
+ 因为1x >-，则10x +> 所以()()
1
121y x x =++
≥=+
得
()1
1
1211
y x x =
≤
++
+，即1
2
y ≤
当且仅当111
x x +=
+时，即0x =时，y 取得最大值为12，
又因为2
122x a x x +≤++恒成立，即max y a ≤，得1
2
a ≥， 即a 的取值范围为1
,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
.
故答案为：1,2
⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
【点睛】本题考查利用基本不等式求最大值，解决含参数的恒成立问题.
11.在日常生活中，石子是我们经常见到的材料，比如在各种建筑工地或者建材市场上常常能看到堆积如山的石子，它的主要成分是碳酸钙.某雕刻师计划在底面边长为2m 、高为4m 的正四棱柱形的石料
1111ABCD A B C D -中，雕出一个四棱锥O ABCD -和球M 的组合体，其中O 为正四棱柱的中心，当球的
半径r 取最大值时，该雕刻师需去除的石料约重___________kg .（最后结果保留整数，其中 3.14π≈，石料
的密度3
2.4g/p cm =，质量m pV =）
【答案】()21952kg 【解析】 【分析】
求出正四棱柱的体积，和正四棱锥、球的体积，从而得出需去除的石料的体积，再由公式计算出质量． 【详解】依题意知，正四棱柱的体积()2
3
12416m V =⨯=.四棱锥O ABCD -的底面为正方形，高2h =，
所以其体积()232182233V m =
⨯⨯=.球M 的半径r 最大为1，此时其体积()33334441m 333
V r πππ==⨯=.故该雕刻师需去除的石料的体积()3
1238427.4416333
V V V V m π=--=-
-≈.又32.4g /cm ρ==32400/kg m ，所以该雕刻师需去除的石料的质量为()27.44
2400219523
kg ⨯
=.
【点睛】本题考查棱柱、棱锥、球的体积，掌握体积公式是解题基础．
12.如图，在圆的内接四边形ABCD 中，对角线BD 为圆的直径，
5AB =，4=AD ，1CD =，点E 在BC
上，且()310
AE AB R t AC t ∈
=+u u u r u u u r u u u r ，则AE AC ⋅u u u r u u u r
的值为________．
【答案】
997
【解析】 【分析】
先由点E 在BC 上，且310AE AB t AC =+u u u r u u u r u u u r ，得7
10
t =，再建立平面直角坐标系进行求解． 【详解】解：因为点E 在BC 上，且()310AE AB R t AC t ∈=+u u u r u u u r u u u r ，所以7
10
t =． 易知AB AD ⊥，以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x ，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则
()0,0A ，(
)
5,0B
，()0,4D ，设(),C x y ，由1CD =，得()2
241x y +-=①，又对角线BD 为圆的直径，
所以()2
2
521224x y ⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭②，由①②，可得3530,77C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． 所以3530,77AC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
u u u r ，(
)
5,0AB =
u u u r
则2
373710101010AE AC AB AC AC AB AC AC ⎛⎫⋅=+⋅=⋅+=
⎪⎝⎭
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 22
33573530995101077
⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⨯⨯+⨯+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
．
故答案为：
997
【点睛】本题综合考查平面向量的基本定理及数量积等，考查考生的运算求解能力、数形结合能力，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象．
13.已知函数()211ln x f x k x k x -⎛
⎫=++ ⎪⎝⎭
，[)1,k ∈+∞，曲线()y f x =上总存在两点()11,M x y ，
()22,N x y ，使曲线()y f x =在M 、N 两点处的切线互相平行()12x x ≠，则12x x +的取值范围为______.
【答案】()2,+∞ 【解析】 【分析】
求出函数()y f x =的导数()f x '，由()()12f x f x ''=化简可得12121x x k x x k ⎛
⎫
+=+
⎪⎝⎭
，利用2
12122x x x x +⎛⎫< ⎪⎝⎭可得出12
41x x k k +>+，结合基本不等式可求得12x x +的取值范围. 【详解】()211ln x f x k x k x -⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭Q ，()21111f x k k x x ⎛⎫'∴=+⋅-- ⎪⎝⎭，
由题意可得()()12f x f x ''=，即2
2112211111111k k k x x k x x ⎛
⎫⎛
⎫+
--=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭， 12x x ≠Q ，化简可得
12111k x x k +=+，即12121x x k x x k ⎛⎫
+=+ ⎪⎝
⎭， 而2
12122x x x x +⎛⎫<
⎪⎝⎭，2
121212x x x x k k +⎛⎫⎛⎫∴+<+⋅ ⎪ ⎪
⎝
⎭⎝⎭，则1241x x k k
+>
+， 当1k ³
时，由基本不等式可得4
2
1k k
≤
=+
，当且仅当1k =等号成立，
所以，122x x +>，因此，12x x +的取值范围为()2,+∞. 故答案为：()2,+∞.
【点睛】本题考查利用切线斜率相等求参数的取值范围，涉及导数几何意义以及基本不等式的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
14.在ABC V 中，记角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，面积为S ，则
22S
a bc
+的最大值为______
【答案】3 【解析】 【分析】
利用面积公式和余弦定理，结合均值不等式以及线性规划即可求得最大值.
【详解】Q 2
221
sin 1sin 222cos 2222cos bc A
S A b c a bc b c bc A bc A c b
==⨯++-+++- 1sin 4cos 2
A A ≤-⨯-（当且仅当b c =时取等号）.
令sin ,cos A y A x ==，
故
21242
S y
a bc x ≤-⨯+-，
因为22
1x y +=，且0y >，
故可得点(,)x y 表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：
目标函数2
y
z x =
-上，表示圆弧上一点到点(2,0)A 点的斜率， 由数形结合可知，当且仅当目标函数过点132H ⎛ ⎝⎭，即60A =︒时，取得最小值3 故可得3,023y
z x ⎡⎫=∈-⎪⎢⎪-⎣⎭
， 又
21242S y a bc x ≤-⨯+-，故可得2
13324312
S a bc ≤-⨯-=+， 当且仅当60,A b c =︒=，即三角形为等边三角形时，取得最大值.
故答案为：
312
. 【点睛】本题主要考查利用正余弦定理求范围问题，涉及线性规划以及均值不等式，属综合困难题.
二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
15.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12A A AC =，D ，E ，F 分别为线段AC ，1A A ，1C B 的中点
.
（1）证明：//EF 平面ABC ； （2）证明：1C E ⊥平面BDE .
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析； 【解析】 【分析】
（1）取BC 的中点G ，连结AG ，FG ，可证四边形AEFG 是平行四边形，得EF ∥AG ，即可证明结论；
（2）根据已知可得222
11EB C E C B +=，得出1C E BE ⊥，再由已知得BD AC ⊥，结合正三棱柱的垂直
关系，可证BD ⊥平面11A ACC ，进而有1BD C E ⊥，即可证明结论. 【详解】（1）如图，取BC 的中点G ，连结AG ，FG . 因为F 为1C B 的中点，所以FG ∥111
,2
C C FG C C =
. 在三棱柱111ABC A B C -中，1A A ∥111,C C A A C C =， 且E 为1A A 的中点，所以FG ∥,EA FG EA =. 所以四边形AEFG 是平行四边形.所以EF ∥AG . 因为EF ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ， 所以EF ∥平面ABC .
（2）因为在正三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，
BD ⊂平面ABC ，所以1A A BD ⊥.
因为D 为AC 的中点，BA BC =，所以BD AC ⊥.
因为1A A AC A =I ，1A A ⊂平面11A ACC ，AC ⊂平面11A ACC ， 所以BD ⊥平面11A ACC .因为1C E ⊂平面11A ACC ，所以1BD C E ⊥. 根据题意，可得16
EB C E AB ==
，13C B AB =， 所以222
11EB C E C B +=.从而190C EB ∠=︒，即1C E EB ⊥.
因为BD EB B =I ，BD ⊂平面BDE ，EB ⊂平面BDE ， 所以1C E ⊥平面BDE .
【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明直线与平面平行以及直线与平面垂直，注意空间垂直关系的相互转化，属于中档题.
16.在ABC V 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知()3,m a c b =-u r ，()cos ,cos n B C =-r
，且
m n ⊥u r r
.
（1）求sin B 的值；
（2）若2b =，ABC V 6
ABC V 的周长. 【答案】（122
（233 【解析】 【分析】
（1）根据题意，利用向量垂直即两向量数量积等于零，利用正弦定理转化等式，进一步求得1cos 3
B =
，利用平方关系求得22
sin B =
，得到结果；
（2
）利用余弦定理和面积公式得到三角形的边所满足的条件，求得1a c +=，进而得到其周长.
【详解】（1）∵m n ⊥u r r ，∴(3)cos cos 0m c b n a B C ⋅=--=u r r
， 由正弦定理可得(3sin sin )cos sin cos 0A C B B C --=，
即3sin cos sin cos sin cos 3sin cos sin()0A B C B B C A B B C --=-+=. ∵sin()sin B C A +=，∴3sin cos sin 0A B A -=. ∵sin 0A ≠，∴1
cos 3
B =
. ∵()0,B π∈
，∴sin B ==
（2）根据余弦定理可知2222cos b a c ac B =+-， ∴2
2
243a c ac =+-
，即284()3
a c ac =+-. ∵ABC V
∴
11sin 22ac B ac ==
ac =，
∴2
28
()441)3
a c ac +=+
=+=
，∴1a c +=. 故ABC V
3.
【点睛】该题考查的是有关向量与解三角形的综合题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，正弦定理，三角形中的恒等变换，利用余弦定理和正弦定理解三角形，三角形的面积公式，属于简单题目.
17.某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：
()
253,02()50,251x x W x x x x
⎧+≤≤⎪
=⎨<≤⎪
+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x
元．已知这种水果的市场售价大约为15元／千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为()f x （单位：元）．
（Ⅰ）求()f x 的函数关系式；
（Ⅱ）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?
【答案】（Ⅰ）()27530225,02,75030,2 5.1x x x f x x x x x
⎧-+≤≤⎪
=⎨-<≤⎪
+⎩（Ⅱ）当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最
大利润是480元． 【解析】 【分析】
（1）根据题意可得f （x ）＝15w （x ）﹣30x ，则化为分段函数即可，（2）根据分段函数的解析式即可求出最大利润．
【详解】（Ⅰ）由已知()()()1520101530f x W x x x W x x =--=-
()
2155330,02,501530,251x x x x x x x ⎧⨯+-≤≤⎪=⎨⨯-<≤⎪+⎩
27530225,02,75030,2 5.1x x x x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨-<≤⎪
+⎩ (Ⅱ)由(Ⅰ)得
()()22175222,02,7530225,02,5=75030,2 5.25780301,2 5.11x x x x x f x x x x x x x x ⎧⎛⎫
-+≤≤⎧-+≤≤⎪
⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎨-<≤⎡⎤⎪⎪-++<≤+⎩⎢⎥⎪+⎣⎦⎩
当02x ≤≤时，()()max 2465f x f ==； 当25x <≤时，()()257803011f x x x ⎡⎤=-++⎢⎥+⎣⎦
78030480≤-⨯= 当且仅当
25
11x x
=++时，即4x =时等号成立． 因为465480<，所以当4x =时，()max 480f x =．
∴当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元．
【点睛】本题考查了函数的应用、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>
>:10m x y -+=经过椭圆C 的上顶点，直线
:10n x +=交椭圆C 于,A B 两点，P 是椭圆C 上异于,A B 的任意一点，直线,AP BP 分别交直线:40l x +=于,Q R 两点．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）求证：OQ OR ⋅uuu r uuu r
（O 为坐标原点）为定值．
【答案】（1）2
214
x y +=；
（2）详见解析． 【解析】 【分析】
（1）根据直线m 求得b ，根据离心率以及222b c a +=求得,a c ，由此求得椭圆的标准方程.
（2）设出,,P A B 的坐标，求得直线AP 、直线BP 的方程，由此求得Q 点和R 点的纵坐标.由此求得Q R
y y ⋅的值，从而求得OQ OR ⋅uuu r uuu r
的值.
【详解】（1）据题设知，点(0,)b 在直线:10m x y -+=上，得1b =．
又因为
3
c a =
222b c a +=，0a >， 所以2a =，3c =，
所以所求椭圆C 的标准方程为2
214
x y +=．
（2）设()00,P x y ，(1,)A t -，(1,)B t --，则有2
200440x y +-=．
直线AP 的方程为00(1)1t y y t x x --=
+--．令4x =-，整理得()00
0431Q x t y y x +-=+．
同理可得点R 纵坐标()000
341Q y x t
y x --+=
+，
所以点,Q R 的纵坐标之积()()00000
433411Q R x t y y x t
y y x x +---+⋅=
⋅++
()()
2
22
002
0941y x t x -+=
+．
又因为2
2
00114y x =-
，234
t =， 所以()()()()
22200022
00139143144311Q R x x x y y x x ⎛
⎫--+ ⎪-+⎝⎭⋅===-++， 所以()()4,4,1613Q R Q R OQ OR y y y y ⋅=-⋅-=+⋅=u u u r u u u r ，即OQ OR ⋅uuu r uuu r
（O
坐标原点）为定值．
【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的
求法，考查椭圆中的定值问题，考查运算求解能力，属于中档题.
19.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*
22,n n S a n N =-∈.
（1）求证：数列{}n a 为等比数列；
（2）设数列2
{}n a 的前n 项和为n T ，求证：
2n
n
S T 为定值； （3）判断数列{
}
3n
n a -中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论. 【答案】（1）见解析（2）见解析（3）不存在 【解析】
试题分析：（1）依据题设探求出12n n a a -=，再运用等比数列的定义进行推证；（2）借助等比数列的前项和公式分别求出2n S ，n T ，然后再求其比值；（3）假设存在满足题设条件的三项，然后运用假设进行分析推证，找出矛盾，从而断定不存在假设的三项：
解：（1）当1n =时，1122,S a =-，解得12a =.
当2n ≥时，()()111222222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-，即12n n a a -=. 因为10a ≠，所以
1
2n
n a a -=，从而数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以2n n a =. （2）因为()
2
22
4n n
n
a ==，所以21
24n n
a a +=， 故数列{}
2
n a 是以4为首项，4为公比的等比数列， 从而(
)(
)
222122
4112
n
n n
S
-=
=--，(
)()
4144
4114
3
n n
n T -=
=--，
所以23
2
n n S T =. （3）假设{
}
3n
n a -中存在第,,()m n k m n k <<项成等差数列， 则(
)
2333n
m k
n m k a a a -=-+-，即(
)
233232n
m m k k
n a -=-+-. 因为m n k <<，且*,,m n k N ∈，所以1n k +≤. 因为(
)
1
12332323232n
m m k k m m n n n a ++-=-+-≥-+-，
所以332n m m -≥-，故矛盾，
所以数列{
}
3n
n a -中不存在三项成等差数列.
点睛：数列是江苏高考的特色问题，这类问题的设置旨在考查等比数列、等差数列等特殊数列的通项公式前项和公式等基础知识、基本公式与基本概念，同时考查运算求解能力和推理论证能力． 20.设,a b ∈R ，||1a ≤.已知函数32()63(4)f x x x a a x b =---+，()()x g x e f x =. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）已知函数()y g x =和x
y e =的图象在公共点（x 0，y 0）处有相同的切线，
（i ）求证：()f x 在0x x =处的导数等于0；
（ii ）若关于x 的不等式()e x g x ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，求b 的取值范围.
【答案】（I ）单调递增区间为(,)a -∞，(4,)a -+∞，单调递减区间为(,4)a a -.（II ）（i ）见解析.（ii ）
[7,1]-.
【解析】
试题分析：求导数后因式分解根据1a ≤，得出4a a <-，根据导数的符号判断函数的单调性，给出单调
区间，对()g x 求导，根据函数()y g x =和x y e =的图象在公共点（x 0，y 0）处有相同的切线，解得0()0f x '=，
根据()f x 的单调性可知()()1f f x a ≤=在[1,1]a a -+上恒成立，关于x 的不等式()e x g x ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，得出32()63(4)1f a a a a a a b =---+=，得32261b a a =-+，11a -≤≤，
求出()f a 的范围，得出b 的范围.
试题解析：（I ）由()()3
2
634f x x x a a x b =---+，可得
()()()()()2'3123434f x x x a a x a x a =---=---，
令()'0f x =，解得x a =，或4x a =-.由1a ≤，得4a a <-. 当x 变化时，()'f x ，()f x 的变化情况如下表：
所以，()f x 的单调递增区间为(),a -∞，()4,a -+∞，单调递减区间为(),4a a -.
（II ）（i ）因为()()()()''x
g x e f x f x =+，由题意知()()0
000'x x g x e g x e ⎧=⎪⎨=⎪⎩
，
所以()()()()0000000'x x x x f x e e e f x f x e ⎧=⎪⎨+=⎪⎩
，解得()()001
'0f x f x ⎧=⎪⎨=⎪⎩. 所以，()f x 在0x x =处的导数等于0.
（ii ）因为()x
g x e ≤，[]
001,1x x x ∈-+，由0x e >，可得()1f x ≤.
又因为()01f x =，()0'0f x =，故0x 为()f x 的极大值点，由（I ）知0x a =. 另一方面，由于1a ≤，故14a a +<-，
由（I ）知()f x 在()1,a a -内单调递增，在(),1a a +内单调递减，
故当0x a =时，()()1f x f a ≤=在[]1,1a a -+上恒成立，从而()x
g x e ≤在[]
001,1x x -+上恒成立.
由()()3
2
6341f a a a a a a b =---+=，得32261b a a =-+，11a -≤≤.
令()3
2
261t x x x =-+，[]
1,1x ∈-，所以()2'612t x x x =-，
令()'0t x =，解得2x =（舍去），或0x =.
因为()17t -=-，()13t =-，()01t =，故()t x 的值域为[]
7,1-. 所以，b 的取值范围是[]
7,1-. 【考点】导数的应用
【名师点睛】利用导数工具研究函数是历年高考题中的难点问题，利用导数判断函数的单调性，求函数的极值或最值，利用导数的几何意义研究曲线的切线方程以及利用导数研究函数的零点和值域也是常见考法，本题把恒成立问题转化为函数值域问题很巧妙，问题转化为借助导数研究函数在某区间上的取值范围去解决，方法灵活思维巧妙，匠心独运.
附加试题：
【选做题】（每小题10分，共计20分.请在答卷卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. A.选修4—2：矩阵与变换
21.已知矩阵 3 00 4A =⎡⎤⎢⎥⎣⎦
．
（1）求A 的逆矩阵1A -；
（2）求圆22
144x y +＝
经过1A -变换后所得的曲线的方程． 【答案】（1）-1
103104A ⎡⎤
⎢⎥
=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
；（2）22
1169x y +=． 【解析】 【分析】
（1）由题意结合1
1001AA -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，即可得解；
（2）求出圆上的
点()
,P x y '
'
'
经过1A -变换后所得的点(),P x y ，即可得解.
【详解】（1）由条件3
00
4A ⎡⎤=⎢
⎥⎣⎦且11001AA -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，可得-1
1
0310
4A ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
； （2）设变换后新曲线上任一点(),P x y ，变换前对应点(
)
,P x y '
'
'
，
则103104x x y y ⎡⎤⎢⎥'⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣
⎦，即13
14x x y y ⎧=⎪⎪⎨''⎪=⎪⎩
，
所以34x x y y ''=⎧⎨=⎩
，代入22
144x y +=得：221169x y +=，
所以曲线2
2
144x y +=经过1
A -变换后所得曲线的方程为22
1169
x y +=.
【点睛】本题考查了逆矩阵的求解及矩阵变换的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
B.选修4—4：坐标系与参数方程
22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为1322x t y ⎧=+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正
半轴为极轴建立极坐标系，⊙O
的极坐标方程为ρθ=． （1）写出⊙O 的直角坐标方程；
（2）P 为直线上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 【答案】（1
）22(3x y += （2）(3,0)P 【解析】 【分析】
（1）通过公式2
2
2
,sin x y y ρρθ=+=可将极坐标方程变形为普通方程；
（2）设P
点坐标为1(3)2t +
，求出其与圆心(的距离，进而可得最值. 【详解】解：（1）由222
,sin x y y ρρθ=+=得
222sin x y ρθρθ=⇒=⇒+=，
即⊙O
的直角坐标方程为220x y +-=，
即22(3x y +=；
（2）设P
点坐标为1(3,)22
t +
， P 到圆心C
的距离d ==≥= 当0t =时，P 到圆心C
的距离取最小值 此时(3,0)P .
【点睛】本题考核极坐标方程和普通方程的互化，考查直线参数方程的应用，是基础题.
【必做题】（第23题、第24题，每题10分，共计20分.请在答卷卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.
23.已知()()()()()23012311111n n
n x a a x a x a x a x +=+-+-+-++-L ，（其中n N +∈）. （1）求0a 及12323n n S a a a na =++++L ； （2）试比较n S 与3n 的大小，并说明理由.
【答案】（1）02n a =，13n n S n -=⋅；（2）当1,3n =时，3n S n =；当2n =时，3n S n <，当4n ≥时，3n S n >.
【解析】
试题分析：（1）与二项式系数有关问题可用赋值法求得，取1x =可得0a ，观察n S ，对原等式两边求导后取2x =可得n S ；（2）要比较n S 与3n 的大小，即比较：13n -与2n 的大小，可对开始的几个正整数代入计算比较，再猜想证明．
试题解析：（1）取1x =，则02n a =
对等式两边求导，得()
()()()
1
21
123121311n n n n x a a x a x na x --+=+-+-++-L
取2,x =则1
123233n n n S a a a na n -=+++=⋅L ；
（2）要比较n S 与3n 的大小，即比较：13n -与2n 的大小，
当1n =时，123n n -=；当2n =时，123n n -<；当3n =时，123n n -=
当4,5n =时，123n n ->；猜想，当4n ≥时，123n n ->，下面用数学归纳法证明： 由上述过程可知，4n =时结论成立，假设当()4n k k =≥时结论成立，即123k k -> 当1n k =+时，()11123333k k k +--=⋅>，而
()()2
22312212112431230k k k k k k -+=--=--≥⨯⨯-=> ()()()2
2
1123131k k k k +-∴>+∴>+，即1n k =+时结论也成立.
∴当4n ≥时，123n n ->成立.综上得，当1,3n =时，3n S n =；当2n =时，3n S n <
当4n ≥时，3
n S n >.
考点：二项式定理的应用，赋值法，归纳猜想证明，数学归纳法．
【名师点睛】在研究二项式的系数和问题时，“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b)n 、(ax 2＋bx ＋c)m (a ，b ∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如
(ax ＋by)n (a ，b ∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．具体对参数赋什么值，要根据二项式与所求和的关系进行分析比较．象本题在求n S 是时，首先对已知式求导之后现赋值才能得到要求的形式及结果．
24.已知点(1,0)F 为抛物线22(0)y px p =>的焦点，点P 在抛物线C 上，过点(,0)R t 的直线交抛物线C 于
,A B 两点，线段AB 的中点为M ，且满足2PM MF =u u u u r u u u r ．
（1）若直线AB 的斜率为1，求点P 的坐标；
（2）若65
t ≤，求四边形FBPA 面积的最大值． 【答案】（1）(9,6)P （226． 【解析】
【分析】 (1)由得(1,0)F 抛物线的方程为24y x =，设直线AB 方程为x y t =+，与抛物线方程联立可得到M 的纵坐标，从而得到点P 的坐标.
(2) 设直线AB 方程为x my t =+，与抛物线方程联立可得到()22,2M m t m +，又2PM MF =u u u u r u u u r ，可得2323
t m -=，则可求出t 的范围,然后用弦长公式求出||AB 的长，求出点F 到AB 的距离，2326(31)(1)FBPA ABF S S t t ==--V 然后再求最大值.
【详解】解（1）点(1,0)F 是抛物线的焦点，则抛物线的方程为24y x =．
设直线AB 方程为x y t =+，()00,M x y ，()11,A x y ，()22,B x y
由24y x x y t
⎧=⎨=+⎩，得2440y y t --=，124y y ∴+=，02y =，
由2PM MF =u u u u r u u u r
得()020P P y y y -=-
所以6P y =，29
4P P y x ==，(9,6)P ∴．
（2）设直线AB 方程为x my t =+．
24y x x my t
⎧=⎨=+⎩，得2440y my t --=， 从而()2
160m t ∆=+>121244y y m y y t +=⎧⎨=-⎩． 由于M 为线段AB 的中点，则02y m =，202x m t =+，即()22,2M m t m +
又2PM MF =u u u u r u u u r ，则()22221224p p m t x m t m y m ⎧+-=--⎪⎨-=-⎪⎩，从而()
2632,6P m t m +- 点P 在抛物线上，则()22364632m m t =+-，2323
t m -=． 由于2232036203t m t m t -⎧=≥⎪⎪⎨-⎪∆=+=>⎪⎩
且65t ≤，得2635t ≤≤， 又,,A B F 三点共线时，1t =，所以26,11,35t ⎡⎫⎛⎤∈⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦． 又()()()222
22121212||1141AB m y y m y y y y m m t =+-=++-=++点F 到AB 的距离21d m =
+ 则()22236(1)26(31)(1)FBPA ABF S S m t t t t ==+-=--V
记226()(31)(1),11,35f t t t t ⎛⎫⎡⎫⎛⎤=--∈⋃⎪ ⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦⎝⎭
，则()(95)(1)f t t t '=--． 故()f t 在区间2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，61,5⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，max 261()max ,359f t f f ⎧⎫⎛⎫⎛⎫==⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩
⎭，此时23t =
所以13FBPA S =≤=
四边形FBPA ． 【点睛】本题考查求抛物线上满足条件的点的坐标和求四边形的面积的最大值，属于难题.。