函数零点问题

y=x+a的图象有三个不同的交点.画出函数
的图象,观察可知,直线过(1,0)或直线与
y=|x2-4x+3|的图象 3
相切时,符合题意,实数a的值是-1或- . 4
(1)(2015·广州模拟)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个 数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【规范解答】(1)选B.函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点即2x|log0.5x|
零点存在性定理：
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续
不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函
数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c∈(a,b)， 使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。
注意:
1、图像是连续不断的曲线
a
2 f (a) f (b) 0
【解析】选A.根据f(x)的性质及f(x)在[-1,1]上的解析式可作图 如图:
3．(2012·北京)函数f(x)＝ －12x的零点个数为
A．0
B．1
C．2
D．3
( )．
答案：B [因为
在 x∈[0，＋∞)上单调递增，y＝12x 在
x∈R 上单调递减，所以 f(x)＝x12－12x 在 x∈[0，＋∞)上单调递增，
又 f(0)＝－1＜0，f(1)＝12＞0，所以 f(x)＝x12－12x 在定义域内有唯
例2：(2009山东)若函数 f(x)=a -x-a(a>0且a
1)有两个零点，则实数a的取
值范围是
.
{a | a 1}
y
y
1
0
x
1
0
x
变式：（08湖北卷13）方程
的实数解的个数为
f
x


1
x

,
gx

x2

3
y
2
3
由图可知， 原方程有2个解
1
0
x
【典例3】(1)(2013·湖南高考)函数
【解析】选B.函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+1)=-f(x), 故f(x+2)=-f(x+1)=-[-f(x)]=f(x), 即函数f(x)的周期为2,作出x∈(-1,1]时, f(x)=|x|的图象,并利用周期性作出函数f(x)在[-5,5]上的图象,在同一 坐标系内再作出g(x)在[-5,5]上的图象,
-1=0的解,即|log0.5x|=( 1 )的x 解,作出函数g(x)=|log0.5x|和函数
h(x)=
(
1
的图象,由图象可2知,两函数图象共有两个交点,故函数 )x
f(x)=2x2|log0.5x|-1有2个零点.
函数f(x)=
ln x x2 2x,x 0,
4x
1,
x

由图象可知,函数f(x)与g(x)的图象有9个交点, 所以函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,5]上的零点的个数为9.
(2014·长春模拟)已知函数y=f(x)的周期为 2,当x∈[-1,1]时f(x)=x2,那么函数y=f(x) 的图象与函数y=|lgx|的图象的交点共有 () A.10个 B.9个 C.8个 D.1个
0,
则零点的个数如何?
【解析】当x>0时,令g(x)=ln x,h(x)=x2-2x.画出g(x)与h(x)的图象
如图:
故当x>0时,f(x)有2个零点.
当x≤0时,由4x+1=0,得x=-1 , 4
综上函数f(x)的零点个数为3.
4.(12分)(2014·郑州模拟)已知y=f(x)是定义域为R的奇 函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)=x2-2x. (1)写出函数y=f(x)的解析式. (2)若方程f(x)=a恰有3个不同的解,求a的取值范围.
一零点，选 B.]
【例 1】► (2011·陕西)函数 f(x)＝ x－cos x 在[0，＋∞)内
( )．
A．没有零点
B．有且仅有一个零点
C．有且仅有两个零点
D．有无穷多个零点
[审题视点] 将问题转化为判断 y＝ x与 y＝cos x 的交点个数
[听课记录]
答案：B [在同一直角坐标系中分别作出 函数y＝ x和y＝cosx的图象，如图，由于 x＞1时，y＝ x＞1，y＝cosx≤1，所以两图 象只有一个交点，即方程 x－cosx＝0在[0，＋∞)内只有一个根， 所以f(x)＝ x－cosx在[0，＋∞)内只有一个零点．]
例1、函数
的零点所在的大致区 间是（ ）
（A）（0，1）； （B）（1，2）； （C） （2，e）； （D）（3，4）。
选B
用数形结方法求解
例3.求
零点的个数。
由函数
的零点也是方程
的根，即方程
的解， 可构造函数
,在同一坐标系中作出它们的图象，可得
Y
出它们有三个交点，所以
、
零点的个数有三个。
X O
3.(2014·哈尔滨模拟)已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+1)=-f(x),
且当x∈(-1,1]时,f(x)=|x|,函数g(x)= sinx, x 0, 则函数h(x)=
f(x)-g(x)在区间[-5,5]上的零点的个数为(1x
,
x
0，
)
A.8
B.9
C.10
D.11
1.(2014·天津模拟)若函数f(x)=|x2-4x+3|-x-a
恰有三个不同的零点,则实数a的值是( )
A.-1
B.-3
4
C.1或 3
4
D.-1或- 3
4
【解析】选D.函数f(x)=|x2-4x+3|-x-a
恰有三个不同的零点,即|x2-4x+3|=x+a
有三个不同的解,也就是函数y=|x2-4x+3|,
b
同号去，异号算，零点落在异号间.
利用零点存在性定理求解
• 1．(2010·天津)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一 个区间是
• ( )．
• A．(－2，－1)
B．(－1,0)
• C．(0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1)
D．(1,2)
答案：B [由 f(－1)＝12－3＜0，f(0)＝1＞0 及零点定理，知 f(x)的零点在区间(－1,0)上．]
f(x)=2lnx的图象与函数g(x)=x2-4x+5的图
象的交点个数为( )
A.3
B.2
C.1
D.0
【规范解答】(1)选B.因为g(x)= x2-4x+5=(x-2)2+1, 又当x=2时, f(x)=2ln2=ln4>1, 在同一坐标系内画出函数f(x)=2lnx与 g(x)=x2-4x+5的图象如图所示,可知f(x) 与g(x)有两个不同的交点.