二项式定理PPT课件
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高中数学《二项式定理》课件
03
二项式定理的证明
数学归纳法的应用
数学归纳法是一种证明数学命题的重 要方法，尤其在证明二项式定理时， 它能够通过有限步骤来证明无限递推 关系。
然后，通过假设当$n=k$时二项式定 理成立，推导出当$n=k+1$时二项 式定理也成立。
在二项式定理的证明中，数学归纳法 首先证明基础步骤，即当$n=0$或 $n=1$时，二项式定理成立。
二项式定理的推导
二项式定理推导思路
通过组合数的性质，将二项式定理展开式中的每一项表示为组合数的形式，从而推导出二项式定理的 展开式。
二项式定理的推导过程
根据组合数的性质，将二项式定理展开式中的每一项表示为C(n, k)的形式，其中k表示二项式中某一 项的次数。通过计算，可以得到二项式定理的展开式为C(n, 0) + C(n, 1)x + C(n, 2)x^2 + ... + C(n, n)x^n。
C(n, m) = C(n, n-m)，即从n个不同元素中取出m个元素和取出n-m个元素的 组合数相等。
组合数的性质2
C(n+1, m) = C(n, m-1) + C(n, m)，即从n+1个不同元素中取出m个元素的组 合数等于从n个不同元素中取出m-1个元素的组合数加上从n个不同元素中取出 m个元素的组合数。
详细描述
二项式定理的应用场景非常广泛。在多项式的展开中，二项式定理可以用来求解形如$(x+y)^n$的多项式的展开 结果。在组合数学中，二项式定理可以用来计算组合数和排列数等。在概率论中，二项式定理可以用来计算事件 的概率和期望值等。此外，二项式定理在统计学、物理、工程等领域也有广泛的应用。
02
二项式定理的推导过程
二项式定理ppt课件
①展开式中，每一项是怎样得到的？ （4次） ②既然这样，每一项的次数都应为几次？ 展开后具有哪些形式的项呢？ (a4，a3b，a2b2，ab3，b4) ③每一项在展开式中出现多少次，也就是展开式中各项 系数为什么？ 探索：(a+b)4= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)在上面4个括号中： 每个都不取b，有 C 4 恰有１个取b，有 恰有２个取b，有 恰有３个取b，有
tr12二项式系数与项的系数不同二项式系数是组合数而项的系数是该项的数字因数3通项公式可用求展开式中任意一项求时必需明确r
二 项 式 定 理
回顾：
（a b) a 2ab b 3 (a b) (a b)(a b)(a b) 2 2 (a b)(a ab ba b ) 2 2 3 2 a a b aba ab ba 3 2 bab b a b 3 2 2 3 a 3a b 3ab b 1 0 0 4 (a b) ？ (a b) ？
∴ 9-2r=3，r=3，
3 3 3 ∴ 的系数 (1)3 C9 84 , 3的二项式系数 C9 84．
例题点评
求二项展开式的某一项,或者求满足某种条
件的项,或者求某种性质的项,如含有x 3项
的系数,有理项,常数项等,通常要用到二项
式的通项求解.
注意(1)二项式系数与系数的区别.
4、在定理中，令a=1，b=x，则
(1 x) C C x C x C x C x
n 0 n 1 n 2 2 n r n r n n
n
尝试二项式定理的应用：
1 4 例 1 展 开 (1 ) x 1 4 1 4 1 1 1 1 2 3 1 3 解: (1 ) 1 C4 ( ) C4 ( ) C4 ( ) ( ) x x x x x
tr12二项式系数与项的系数不同二项式系数是组合数而项的系数是该项的数字因数3通项公式可用求展开式中任意一项求时必需明确r
二 项 式 定 理
回顾：
（a b) a 2ab b 3 (a b) (a b)(a b)(a b) 2 2 (a b)(a ab ba b ) 2 2 3 2 a a b aba ab ba 3 2 bab b a b 3 2 2 3 a 3a b 3ab b 1 0 0 4 (a b) ？ (a b) ？
∴ 9-2r=3，r=3，
3 3 3 ∴ 的系数 (1)3 C9 84 , 3的二项式系数 C9 84．
例题点评
求二项展开式的某一项,或者求满足某种条
件的项,或者求某种性质的项,如含有x 3项
的系数,有理项,常数项等,通常要用到二项
式的通项求解.
注意(1)二项式系数与系数的区别.
4、在定理中，令a=1，b=x，则
(1 x) C C x C x C x C x
n 0 n 1 n 2 2 n r n r n n
n
尝试二项式定理的应用：
1 4 例 1 展 开 (1 ) x 1 4 1 4 1 1 1 1 2 3 1 3 解: (1 ) 1 C4 ( ) C4 ( ) C4 ( ) ( ) x x x x x
二项式定理ppt课件
1
答案:10
课堂小结
1.二项式定理的概念、特点,用二项式定理解决整除问题.
2.通项的应用.利用通项求二项展开式的某一项,特定项和特定项的系数.
3.简单了解二项式系数.
点击进入
课时作业
(2)解:0.998 =(1-0.002) =1+ ×(-0.002)+ ×(-0.002) +…+ ×(-0.002) .
2
2
由题意知 T3= ×(-0.002) =15×0.002 =0.000 06<0.001,
且第 3 项以后(包括第 3 项)的项的绝对值都远小于 0.001,
探究点一
角度1
通项公式及其应用
求二项展开式中的特定项
[例 1] ( -
10
) 的展开式中,所有的有理项为
.
解析:二项展开式的通项为
-
Tk+1= (- ) .
-
由题意知
令
∈Z,且 0≤k≤10,k∈N.
-
=r(r∈Z),则 10-2k=3r,k=5- r.
n
答案:(-1)n
.
4.已知(1+kx2)6(k是正整数)的展开式中,x8的系数小于120,则k=
.
解析:x 是(1+kx ) 的展开式的第 5 项,x 的系数为 k =15k .由已知得
4
4
15k <120,即 k <8.又 k 是正整数,故 k=1.
8
答案:1
2 6
8
4
4
课堂探究·素养培育
6
6
答案:10
课堂小结
1.二项式定理的概念、特点,用二项式定理解决整除问题.
2.通项的应用.利用通项求二项展开式的某一项,特定项和特定项的系数.
3.简单了解二项式系数.
点击进入
课时作业
(2)解:0.998 =(1-0.002) =1+ ×(-0.002)+ ×(-0.002) +…+ ×(-0.002) .
2
2
由题意知 T3= ×(-0.002) =15×0.002 =0.000 06<0.001,
且第 3 项以后(包括第 3 项)的项的绝对值都远小于 0.001,
探究点一
角度1
通项公式及其应用
求二项展开式中的特定项
[例 1] ( -
10
) 的展开式中,所有的有理项为
.
解析:二项展开式的通项为
-
Tk+1= (- ) .
-
由题意知
令
∈Z,且 0≤k≤10,k∈N.
-
=r(r∈Z),则 10-2k=3r,k=5- r.
n
答案:(-1)n
.
4.已知(1+kx2)6(k是正整数)的展开式中,x8的系数小于120,则k=
.
解析:x 是(1+kx ) 的展开式的第 5 项,x 的系数为 k =15k .由已知得
4
4
15k <120,即 k <8.又 k 是正整数,故 k=1.
8
答案:1
2 6
8
4
4
课堂探究·素养培育
6
6
人教版数学选择性必修三6.3.1二项式定理课件
2
5
8
10
(－3)2x2，10
(－3)5，10
(－3)8x－2.
10−2
3
典例精析
题
型
三
求
二
项
式
系
数
与
项
的
系
数
例3
在
2 2
1
−3
8
的展开式中，求：
(1)第5项的二项式系数及第5项的系数；
(2)倒数第3项．
利用通项公式求解
例3
在
2 2
1
−3
8
的展开
(1)
1 4
4
2
8－4
T5＝8 ·(2x ) ·− 3
提示：(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4.
问题2：上述两个等式的右侧有何特点？
提示：(a＋b)3的展开式有4项，每项的次数是3；
(a＋b)4的展开式有5项，每一项的次数为4.
问题3：你能用组合的观点说明(a＋b)4是如何展开的吗？
3
为有理数
k能被2整除，且20－k能被3整除
0≤k≤20
k＝2,8,14,20
例2
(2)设二项式
1
−3
5
的展开式中常
数项为A，则A＝_______.
－10
+1 =
5
令
2
5
5
−
6
5−
1
−3
＝0，得k＝3，
所以A＝－53 ＝－10.
=
5
−1
5 5
−
5
8
10
(－3)2x2，10
(－3)5，10
(－3)8x－2.
10−2
3
典例精析
题
型
三
求
二
项
式
系
数
与
项
的
系
数
例3
在
2 2
1
−3
8
的展开式中，求：
(1)第5项的二项式系数及第5项的系数；
(2)倒数第3项．
利用通项公式求解
例3
在
2 2
1
−3
8
的展开
(1)
1 4
4
2
8－4
T5＝8 ·(2x ) ·− 3
提示：(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4.
问题2：上述两个等式的右侧有何特点？
提示：(a＋b)3的展开式有4项，每项的次数是3；
(a＋b)4的展开式有5项，每一项的次数为4.
问题3：你能用组合的观点说明(a＋b)4是如何展开的吗？
3
为有理数
k能被2整除，且20－k能被3整除
0≤k≤20
k＝2,8,14,20
例2
(2)设二项式
1
−3
5
的展开式中常
数项为A，则A＝_______.
－10
+1 =
5
令
2
5
5
−
6
5−
1
−3
＝0，得k＝3，
所以A＝－53 ＝－10.
=
5
−1
5 5
−
二项式定理---课件
• 对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；而对于有理 项，一般是根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰 好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指 数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求 解．若求二项展开式中的整式项，则其通项公式中同一字母的指 数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．
一个展开式的第三项．
[解析] (a＋b)2n 展开式中奇数项的二项式系数的和
为 22n－1，
x＋ 1 n 3 x
展开式中偶数项的二项式系数的和为
2n－1. 依题意，有 2n－1＝22n－1－120，即(2n)2－2n－240＝0，
解得 2n＝16 或 2n＝－15(舍)．∴n＝4.
于是，第一个展开式中第三项为
3．“杨辉三角”与二项式系数的性质 (1)对称性：在(a＋b)n 的展开式中，________的两个二 项式系数相等，即 C0n＝Cnn，C1n＝Cnn－1，…，Crn＝Cnn－r. (2)增减性与最大值：当 k<n＋2 1时，二项式系数是逐 渐 ________ 的 ， 由 对 称 性 可 知 它 的 后 半 部 分 是 逐 渐 ________的，且在中间取到最大值．当 n 是偶数时，中间 两项的二项式系数________取得最大值；当 n 是偶数时， 中间两项的二项式系数________相等，且同时取到最大 值．
• a0－a1＋a2－…＋a2 010＝32 010②
• 与①式联立，①－②得
• 2(a1＋a3＋…＋a2 009)＝1－32 010，
(3)∵Tr＋1＝Cr2 010·12 010－r·(－2x)r ＝(－1)r·C2r 010·(2x)r. ∴a2k－1<0(k∈N＋)，a2k>0(k∈N＋)． ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 010| ＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 010， 所以令 x＝－1 得：a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 010＝32 010.
1.3.1二项式定理1-人教A版高中数学选修2-3课件
a4
C
1 4
a
3b
C
2 4
a
2b2
C
3 4
ab3
C
4 4
b
4
猜想 (a b)n ?
探究3：请分析(a+b)n的展开过程，证明猜想.
(a b)n (a b)(ab )(ab)
n
①项： a n a n1b … ankbk … bn
②系数：
C
0 n
C
1 n
C
k n
C
n n
分析a nk b k
k个(a b)中选b n个(a b)相乘 n k个(a b)中选a
b
C
k n
a
nk
b
k
C
n n
b
n
(n
N*)
①项数： 共有n＋1项
②次数：各项的次数都等于n， 字母a按降幂排列，次数由n递减到0, 字母b按升幂排列，次数由0递增到n.
③二项式系数:
C
k n
(k {0,1,2,, n})
④二项展开式的通项:
Tk 1
C
k n
a
n
k
b
k
概念理解
(a
b)n
C
0 n
a
作业：P37 4
Cnk
③展开式：
(a b)n
C
0 n
a
n
C
1 n
a
n1
b
C
k n
a
n
k
b
k
C
n n
b
n
(n
N*)
定理的证明
(a+b)n是n个(a+b)相乘，每个(a+b)在相乘时有两种 选择，选a或b. 而且每个(a+b)中的a或b选定后才能 得到展开式的一项。
二项式性质课件
展开式的应用
二项式定理的展开式在数学、物理、工程等多个领域都有广泛应用 ，例如组合数学、概率论、统计学等。
定理表述
定理表述
定理证明
定理推论
二项式定理表述为(a+b)^n的展开式 为(C(n,0)a^n+C(n,1)a^{n1}b+dots+C(n,n)b^n)，其中 (C(n,k))表示组合数，即从n个不同元 素中取出k个元素的组合数。
03
二项式定理的应用
组合数学中的应用
二项式系数
二项式定理可以用来计算组合数，特 别是当组合数的上标和下标非常大时 ，使用二项式定理可以大大简化计算 过程。
排列数
通过二项式定理，我们可以推导出排 列数的公式，从而快速计算给定集合 的所有可能排列的数量。
概率论中的应用
概率计算
在概率论中，二项式定理常用于计算复杂事件的概率。例如，在n次独立重复 试验中，某一事件恰好发生k次的概率可以使用二项式定理来求解。
详细描述
牛顿二项式定理基于组合数学和幂级数展开，通过将二项式展开为幂级数形式，可以更方便地计算和 推导二项式的展开结果。
感谢您的观看
THANKS
1. 组合数的计算公式 为C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)，其中"!"表 示阶乘。
2. 组合数具有对称性 ，即C(n, k) = C(n, nk)。
3. 组合数具有递推性 ，即C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)。
指数性质
总结词：二项式定理的指数表示从n个不 同元素中取出k个元素的排列方式数。
贝努利概率模型
贝努利概率模型是二项式定理在概率论中的一个重要应用，它描述了一个成功 概率为p的试验中，进行n次独立重复试验，成功次数k的概率。
二项式定理的展开式在数学、物理、工程等多个领域都有广泛应用 ，例如组合数学、概率论、统计学等。
定理表述
定理表述
定理证明
定理推论
二项式定理表述为(a+b)^n的展开式 为(C(n,0)a^n+C(n,1)a^{n1}b+dots+C(n,n)b^n)，其中 (C(n,k))表示组合数，即从n个不同元 素中取出k个元素的组合数。
03
二项式定理的应用
组合数学中的应用
二项式系数
二项式定理可以用来计算组合数，特 别是当组合数的上标和下标非常大时 ，使用二项式定理可以大大简化计算 过程。
排列数
通过二项式定理，我们可以推导出排 列数的公式，从而快速计算给定集合 的所有可能排列的数量。
概率论中的应用
概率计算
在概率论中，二项式定理常用于计算复杂事件的概率。例如，在n次独立重复 试验中，某一事件恰好发生k次的概率可以使用二项式定理来求解。
详细描述
牛顿二项式定理基于组合数学和幂级数展开，通过将二项式展开为幂级数形式，可以更方便地计算和 推导二项式的展开结果。
感谢您的观看
THANKS
1. 组合数的计算公式 为C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)，其中"!"表 示阶乘。
2. 组合数具有对称性 ，即C(n, k) = C(n, nk)。
3. 组合数具有递推性 ，即C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)。
指数性质
总结词：二项式定理的指数表示从n个不 同元素中取出k个元素的排列方式数。
贝努利概率模型
贝努利概率模型是二项式定理在概率论中的一个重要应用，它描述了一个成功 概率为p的试验中，进行n次独立重复试验，成功次数k的概率。
2025届高中数学一轮复习课件《二项式定理》ppt
3．二项式系数 二项展开式中各项的系数___C_nk__(k∈{0，1，…，n})叫做二项式系数．
高考一轮总复习•数学
第6页
二 二项式系数的性质 1．对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数__相__等_____．
2．增减性与最大值：当 n 是偶数时，中间的一项_________取得最大值；当 n 是奇数时，
高考一轮总复习•数学
第8页
1．判断下列结论是否正确． (1)Crnan－rbr 是(a＋b)n 的展开式中的第 r 项．( ) (2)通项公式 Tr＋1＝Crnan－rbr 中的 a 和 b 不能互换．( √ ) (3)(a＋b)n 的展开式中某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的 二项式系数不同．(√ ) (4)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则 a7＋a6＋…＋a1 的值为 128.( )
或者其他量.
高考一轮总复习•数学
第19页
对点练 1(1)在2x－mx 6 的展开式中，若常数项为－20，则实数 m 的值为(
)
A．12
B．－12
C．－2
D．2
(2)(2024·湖北部分重点中学第二次联考)用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中
个位小于百位且百位小于万位的五位数有 n 个，则(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5＋…＋(1＋x)n
(3)(3
3－2)7 的展开式的通项
Tk＋1＝Ck7·(3
7－k
3)7－k·(－2)k＝Ck7·3 3
·(－2)k(k＝0,1,2,3,4,5,6,7)，
高考一轮总复习•数学
第17页
要使第 k＋1 项为有理数，则7－3 k∈Z，则 k 可取 有理项的求法．
高考一轮总复习•数学
第6页
二 二项式系数的性质 1．对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数__相__等_____．
2．增减性与最大值：当 n 是偶数时，中间的一项_________取得最大值；当 n 是奇数时，
高考一轮总复习•数学
第8页
1．判断下列结论是否正确． (1)Crnan－rbr 是(a＋b)n 的展开式中的第 r 项．( ) (2)通项公式 Tr＋1＝Crnan－rbr 中的 a 和 b 不能互换．( √ ) (3)(a＋b)n 的展开式中某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的 二项式系数不同．(√ ) (4)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则 a7＋a6＋…＋a1 的值为 128.( )
或者其他量.
高考一轮总复习•数学
第19页
对点练 1(1)在2x－mx 6 的展开式中，若常数项为－20，则实数 m 的值为(
)
A．12
B．－12
C．－2
D．2
(2)(2024·湖北部分重点中学第二次联考)用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中
个位小于百位且百位小于万位的五位数有 n 个，则(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5＋…＋(1＋x)n
(3)(3
3－2)7 的展开式的通项
Tk＋1＝Ck7·(3
7－k
3)7－k·(－2)k＝Ck7·3 3
·(－2)k(k＝0,1,2,3,4,5,6,7)，
高考一轮总复习•数学
第17页
要使第 k＋1 项为有理数，则7－3 k∈Z，则 k 可取 有理项的求法．
二项式定理ppt课件
$(a+b)^4$ 的中间项是 什么？
$(a-b)^5$ 的展开式中 ，$a^4$ 的系数是多少
？
深化习题
01
02
03
04
深化习题1
利用二项式定理展开 $(a+b)^5$，并找出所有项
的系数。
深化习题2
求 $(a+b+c)^3$ 的展开式中 $a^2b$ 的系数。
深化习题3
利用二项式定理证明 $(a+b)^n$ 的展开式中，中
组合数学是研究组合问题的一 门数学分支，与二项式定理密 切相关。
在二项式定理的推导过程中， 组合数学原理提供了组合数的 计算方法和组合公式的应用。
通过组合数的计算，我们可以 得到二项式展开的各项系数， 进一步验证二项式定理的正确 性。
幂级数的展开与收敛
幂级数是数学分析中的重要概念 ，与二项式定理的推导密切相关
微积分中的应用
二项式定理在微积分中有着广泛的应用，如在求极限、求导和积分等运算中。
概率论中的应用
在概率论中，二项式定理可以用于计算组合数学中的一些概率分布，如二项分 布和超几何分布等。
05
习题与思考题
基础习题
基础习题1
基础习题2
基础习题3
基础习题4
$(a+b)^2$ 的展开式是 什么？
$(a-b)^3$ 的展开式是 什么？
概率分布
利用二项式定理，可以推 导二项分布的概率分布函 数和概率密度函数。
概率推断
在贝叶斯推断中，二项式 定理可以用于计算后验概 率和预测概率。Leabharlann 二项式定理在组合数学中的应用
01
组合数的计算
利用二项式定理，可以计算组合数$C(n, k)$，即从n个不同元素中取出
第十章第三节 二项式定理课件
(2)因为(x－1x )6 的展开式中的常数项与 2 的乘积为 2C36 x3(－1x )3＝－ 2C36 ＝－40，(x－1x )6 的展开式中含 x－2 的项与 x2 的乘积为 C26 x2(－1x )4×x2 ＝C26 ＝15.所以(x2＋2)(x－1x )6 的展开式中的常数项为－40＋15＝－25.]
D．20
(2)(2020·成
都
市
诊
断
性
检
测
)(x2
＋
2)(x
－
1 x
)6
的展开式中的常数项为
()
A．25
B．－25
C．5
D．－5
(1)C (2)B [(1)因为(x＋y)5 的展开式的第 r＋1 项 Tr＋1＝Cr5 x5－ryr，所以 (x＋yx2 )(x＋y)5 的展开式中 x3y3 的系数为 C35 ＋C15 ＝15.故选 C.
2．(2x－y)(x＋2y)5 展开式中 x3y3 的系数为( )
A．－40
B．120
C．160
D．200
B
[(2x － y)·(x ＋ 2y)5
展开式中
x3y3
的项为
2x·C
3 5
x2 · (2y)3 ＋ ( －
y)C25 ·x3·(2y)2＝160x3y3－40x3y3＝120x3y3，则展开式中 x3y3 的系数为 120.
1．(a＋b)n 的展开式的三个重要特征 (1)项数：项数为 n＋1. (2)各项次数：各项的次数都等于二项式的幂指数 n，即 a 与 b 的指数和 为 n. (3)顺序：字母 a 按降幂排列，从第一项开始，次数由 n 逐项减 1 直到 0； 字母 b 按升幂排列，从第一项开始，次数由 0 逐项增 1 直到 n.
D．20
(2)(2020·成
都
市
诊
断
性
检
测
)(x2
＋
2)(x
－
1 x
)6
的展开式中的常数项为
()
A．25
B．－25
C．5
D．－5
(1)C (2)B [(1)因为(x＋y)5 的展开式的第 r＋1 项 Tr＋1＝Cr5 x5－ryr，所以 (x＋yx2 )(x＋y)5 的展开式中 x3y3 的系数为 C35 ＋C15 ＝15.故选 C.
2．(2x－y)(x＋2y)5 展开式中 x3y3 的系数为( )
A．－40
B．120
C．160
D．200
B
[(2x － y)·(x ＋ 2y)5
展开式中
x3y3
的项为
2x·C
3 5
x2 · (2y)3 ＋ ( －
y)C25 ·x3·(2y)2＝160x3y3－40x3y3＝120x3y3，则展开式中 x3y3 的系数为 120.
1．(a＋b)n 的展开式的三个重要特征 (1)项数：项数为 n＋1. (2)各项次数：各项的次数都等于二项式的幂指数 n，即 a 与 b 的指数和 为 n. (3)顺序：字母 a 按降幂排列，从第一项开始，次数由 n 逐项减 1 直到 0； 字母 b 按升幂排列，从第一项开始，次数由 0 逐项增 1 直到 n.
人教A版高中数学选择性必修第三册6-3-1二项式定理课件
A．9
B．10
C．11
D．12
解析：由二项式定理的公式特征可知 n＝10.
答案：B
3．(x－ 2)10 展开式中 x6 项的二项式系数为
A．－C410 C．－4C410
B．C410 D．4C410
解析：含 x6 项为展开式中第 5 项，所以二项式系数为 C410.
答案：B
() ()
4．C0n·2n＋C1n·2n－1＋…＋Ckn·2n－k＋…＋Cnn等于________．
题型二 求展开式中的特定项或系数
[学透用活]
[典例 2]
已知在3
x－
3
n
3
x
的展开式中，第
6
项为常数项．
(1)求 n；
(2)求含 x2 项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
n－r
r
[解] 二项式通项为 Tr＋1＝Crnx 3 (－3)rx－3＝
n－2r
Crn(－3)rx 3 .
(1)∵第 6 项为常数项，∴当 r＝5 时，有n－32r＝0，即 n＝10.
答案：D
()
3．若x－
xa2 6
的展开式的常数项为
60，则实数
a
的值为
A．4
B．2
C．8
D．6
()
解析：x－
xa2 6
的二项式通项
Tr＋1＝Cr6x6－r－
xa2 r＝(－1)ra2rC6rx6－3r，
令 6－3r＝0，解得 r＝2，则常数项为(－1)2aC26＝60，解得 a＝4.故选 A.
答案：A
(2)令10－3 2r＝2，解得 r＝2，∴x2 项的系数为 C210(－3)2＝405.
二项式定理 课件
命题方向3 ⇨二项式系数与项的系数问题
典例 3 (1)求二项式(2 x－1x)6 的展开式中第 6 项的二项式系数和第 6 项 的系数；
(2)求(x－1x)9 的展开式中 x3 的系数．
• [思路分析] 利用二项式定理求展开式中的某一项，可以 通过二项展开式的通项公式进行求解．
[解析] 由已知得二项展开式的通项为 Tr＋1＝C6r(2 x)6－r·(－1x)r ＝(－1)rCr626－r·x3－32r ∴T6＝－12·x－92． ∴第 6 项的二项式系数为 C56＝6， 第 6 项的系数为 C56·(－1)·2＝－12． (2)Tr＋1＝Cr9x9－r·(－1x)r＝3，
• [点评] 要注意区分某项的系数与二项式系数．
• 『规律总结』 1.展开二项式可按照二项式定理进行．展 开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点 是展开二项式的前提条件．
• 2．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便．
• 3．对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆 用．对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各 项幂指数的规律以及各项的系数．
[解析] (1－2x)6 的展开式的通项 Tr＋1＝Cr6(－2)rxr，当 r＝2 时，T3＝C26(－2)2x2 ＝60x2，所以 x2 的系数为 60．
命题方向1 ⇨求二项展开式中特定的项
典例 1 已知( x－2)n 展开式中第三项的系数比第二项的系数大 162，求： x
(1)n 的值； (2)展开式中含 x3 的项．
∴r＝3，即展开式中第四项含 x3，其系数为(－1)3·C39＝－84．
『规律总结』 1.二项式系数都是组合数 Cnr(r∈{0,1,2，…，n})，它与二项 展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式 中“项的系数”这两个概念．
二项式定理ppt课件
二项式定理
汇报人：
2023-11-28
目录
• 二项式定理的背景和定义 • 二项式定理的公式和证明 • 二项式定理的应用 • 二项式定理的扩展和推广 • 二项式定理的意义和影响 • 二项式定理的实例和分析
01
二项式定理的背景和定义
背景介绍
二项式定理在数学中有着悠久的历史，它起源于17世纪，是组合数学中的一种基本理论。
03
二项式定理的应用
组合数学中的应用
排列数公式
二项式定理可以用于计算排列数公式，即从n个不同的元素中取出m个元素的所有排列的个数。
组合数公式
二项式定理可以用于计算组合数公式，即从n个不同的元素中取出m个元素的所有组合的个数。
插入与删除操作
二项式定理可以用于计算在n个元素中进行插入或删除操作的总次数，以及进行特定次数的插入或删除操 作的所有可能方式的个数。
概率论中的应用
概率分布
二项式定理可以用于计算二项分布的概率分布，即某个事 件在n次独立试验中发生的次数的概率分布。
01
组合概率
二项式定理可以用于计算多个事件同时 发生的概率，即组合事件发生的概率。
02
03
事件的独立性
二项式定理可以用于判断两个事件是 否独立，即一个事件的发生是否会影 响另一个事件发生的概率。
组合数性质：在二项式定理中，我们 使用了组合数的性质。组合数 $C(n,k)$ 等于 $C(n-1,k-1) + C(n1,k)$，这是组合数的一个重要性质。 这个性质可以帮助我们在二项式定理 的证明过程中进行简化。
指数性质：在证明二项式定理的过程 中，我们还使用了指数的性质。例如 ，当 $n$ 为偶数时，$(a+b)^n = (a+b)^{n/2} \times (a+b)^{n/2}$ ；当 $n$ 为奇数时，$(a+b)^n = (a+b)^{n/2} \times (a+b)^{n/2-1} \times b$。这些指数性质可以帮助 我们在计算过程中进行简化。
汇报人：
2023-11-28
目录
• 二项式定理的背景和定义 • 二项式定理的公式和证明 • 二项式定理的应用 • 二项式定理的扩展和推广 • 二项式定理的意义和影响 • 二项式定理的实例和分析
01
二项式定理的背景和定义
背景介绍
二项式定理在数学中有着悠久的历史，它起源于17世纪，是组合数学中的一种基本理论。
03
二项式定理的应用
组合数学中的应用
排列数公式
二项式定理可以用于计算排列数公式，即从n个不同的元素中取出m个元素的所有排列的个数。
组合数公式
二项式定理可以用于计算组合数公式，即从n个不同的元素中取出m个元素的所有组合的个数。
插入与删除操作
二项式定理可以用于计算在n个元素中进行插入或删除操作的总次数，以及进行特定次数的插入或删除操 作的所有可能方式的个数。
概率论中的应用
概率分布
二项式定理可以用于计算二项分布的概率分布，即某个事 件在n次独立试验中发生的次数的概率分布。
01
组合概率
二项式定理可以用于计算多个事件同时 发生的概率，即组合事件发生的概率。
02
03
事件的独立性
二项式定理可以用于判断两个事件是 否独立，即一个事件的发生是否会影 响另一个事件发生的概率。
组合数性质：在二项式定理中，我们 使用了组合数的性质。组合数 $C(n,k)$ 等于 $C(n-1,k-1) + C(n1,k)$，这是组合数的一个重要性质。 这个性质可以帮助我们在二项式定理 的证明过程中进行简化。
指数性质：在证明二项式定理的过程 中，我们还使用了指数的性质。例如 ，当 $n$ 为偶数时，$(a+b)^n = (a+b)^{n/2} \times (a+b)^{n/2}$ ；当 $n$ 为奇数时，$(a+b)^n = (a+b)^{n/2} \times (a+b)^{n/2-1} \times b$。这些指数性质可以帮助 我们在计算过程中进行简化。
二项式定理ppt课件
b=29.
题型分类 深度剖析
题型一 求展开式中的特定项或特定项的系数
【例1】在二项式 ( x 1 )n 的展开式中，前三项的 24 x
系数成等差数列，求展开式中的有理项和二项式系
数最大的项.
思维启迪 利用已知条件前三项的系数成等差数
列求出n,再用通项公式求有理项.
解 ∵二项展开式的前三项的系数分别是1，n ，
探究提高 用二项式定理处理整除问题，通常把 底数写成除数（或与除数密切关联的数）与某数的 和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面 （或者是前面）一、二项就可以了. 同时，要注意余数的范围，a=cr+b，其中余数b∈ ［0，r），r是除数，利用二项式定理展开变形后， 若剩余部分是负数要注意转换.
(
1)r x
(1)r
Crn
x2n3r ,
常数项是15，则2n=3r,且 C=rn 15，验证n=6时，r=4
合题意.
5.（2009·北京理，6）若（1+ 2）5=a+b 2(a、b为
有理数)，则a+b=
（C ）
A.45
B.55
C.70
D.80
解析 ∵(1+ 2 )5=1+5 2 +20+20 2 +20+4 2 =41+29 2 =a+b 2, 又a、b为有理数,∴ a=41, ∴a+b=41+29=70.
2)3,则a2的值为
（ B）
A.3
B.6
C.9
D.12
解析 ∵x3=［2+（x-2）］3，
∴展开式中含（x-2）2项的系数为
a2=T2+1= C32 ×23-2=3×2=6.
题型分类 深度剖析
题型一 求展开式中的特定项或特定项的系数
【例1】在二项式 ( x 1 )n 的展开式中，前三项的 24 x
系数成等差数列，求展开式中的有理项和二项式系
数最大的项.
思维启迪 利用已知条件前三项的系数成等差数
列求出n,再用通项公式求有理项.
解 ∵二项展开式的前三项的系数分别是1，n ，
探究提高 用二项式定理处理整除问题，通常把 底数写成除数（或与除数密切关联的数）与某数的 和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面 （或者是前面）一、二项就可以了. 同时，要注意余数的范围，a=cr+b，其中余数b∈ ［0，r），r是除数，利用二项式定理展开变形后， 若剩余部分是负数要注意转换.
(
1)r x
(1)r
Crn
x2n3r ,
常数项是15，则2n=3r,且 C=rn 15，验证n=6时，r=4
合题意.
5.（2009·北京理，6）若（1+ 2）5=a+b 2(a、b为
有理数)，则a+b=
（C ）
A.45
B.55
C.70
D.80
解析 ∵(1+ 2 )5=1+5 2 +20+20 2 +20+4 2 =41+29 2 =a+b 2, 又a、b为有理数,∴ a=41, ∴a+b=41+29=70.
2)3,则a2的值为
（ B）
A.3
B.6
C.9
D.12
解析 ∵x3=［2+（x-2）］3，
∴展开式中含（x-2）2项的系数为
a2=T2+1= C32 ×23-2=3×2=6.
二项式定理-PPT课件
1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理
1
问题提出
1.(a＋b)2和(a＋b)3展开后分别等 于什么？
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3.
2
问题提出
2.对于a＋b，(a＋b)2，(a＋b)3， (a＋b)4，(a＋b)5等代数式，数学上统 称为二项式，其一般形式为(a＋b)n
7
问题探究
根据归纳推理，你能猜测出
(a＋b)n(n∈N*)的展开式是什么
吗？
(a b)n
Cn0an Cn1an 1b Cn2an 2b2
C
n n
1abn
1
C nnb n
如何证明这个猜想？
8
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
9
形成结论
(a b)n Cn0an Cn1an 1b
Cnkan kbk
C nnb n
叫做二项式定理，等式右边叫做二项展
开式，其中各项的系数
C
k n
(k＝0，1，2，
…，n)叫做二项式系数.
10
问题探究
共有n＋1项；字母a的最高次
数为n且按降幂排列；字母b的最高
次数为n且按升幂排列；各项中a与
b的指数幂之和都是n；各项的二项
式系数依次为 b无关.
C
n0,C
n1,C
n2,
13
问题探究
在(a＋b)n的二项展开式中，
Tk 1 Cnkan kbk 叫做二项展开式的通
项，那么(a－b)n的二项展开式的通项
是什么？
Tk 1 ( 1)kCnkan kbk
14
问题探究
(2x＋3y)20的二项展开式的通项是什 么？
1
问题提出
1.(a＋b)2和(a＋b)3展开后分别等 于什么？
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3.
2
问题提出
2.对于a＋b，(a＋b)2，(a＋b)3， (a＋b)4，(a＋b)5等代数式，数学上统 称为二项式，其一般形式为(a＋b)n
7
问题探究
根据归纳推理，你能猜测出
(a＋b)n(n∈N*)的展开式是什么
吗？
(a b)n
Cn0an Cn1an 1b Cn2an 2b2
C
n n
1abn
1
C nnb n
如何证明这个猜想？
8
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
9
形成结论
(a b)n Cn0an Cn1an 1b
Cnkan kbk
C nnb n
叫做二项式定理，等式右边叫做二项展
开式，其中各项的系数
C
k n
(k＝0，1，2，
…，n)叫做二项式系数.
10
问题探究
共有n＋1项；字母a的最高次
数为n且按降幂排列；字母b的最高
次数为n且按升幂排列；各项中a与
b的指数幂之和都是n；各项的二项
式系数依次为 b无关.
C
n0,C
n1,C
n2,
13
问题探究
在(a＋b)n的二项展开式中，
Tk 1 Cnkan kbk 叫做二项展开式的通
项，那么(a－b)n的二项展开式的通项
是什么？
Tk 1 ( 1)kCnkan kbk
14
问题探究
(2x＋3y)20的二项展开式的通项是什 么？
《二项式定理》(共17张)-完整版PPT课件全文
展开式的第3项是240x
例1.(2)求(2 x 1 )6的展开式 x
对于例1（2）中，请思考： ①展开式中的第3项的系数为多少？ ②展开式中的第3项的二项式系数为多少？ ③你能直接求展开式的第3项吗？
④你能直接求展开式中 x 2的系数吗？
解：④ Tk1 C6k (2
x)6k ( 1 )k x
(1)k 26k C6k x3k
N*)
①项数： 展开式共有n＋1项.
②次数： 各项的次数均为n
字母a的次数按降幂排列，由n递减到0 , 字母b的次数按升幂排列，由0递增到n .
③二项式系数: Cnk (k 0,1,2,, n)
④二项展开式的通项: Tk1 Cnk ankbk
典例剖析
例1.(1)求(1 1 )4的展开式； x
(2)求(2 x 1 )6的展开式. x
N
*
)
(1)二项式系数： Cnk (k 0,1,2,, n)
(2)二项展开式的通项：Tk1 Cnk ankbk
思想方法：
(1) 从特殊到一般的数学思维方式.
(2) 类比、等价转换的思想.
巩固型作业： 课本36页习题1.3A组第2，4题
思维拓展型作业
二项式系数Cn0 , Cn1,, Cnk ,, Cnn有何性质?
1) x
C62 (2
x )4 (
1 x
)2
C63
(2
x )3 (
1 x
)3
C64
(2
x )2 (
1 )4 x
C65 (2
x )(
1 x
)5
C66
(
1 )6 x
64x3
192x2
240x
二项式定理的推导 教学课件 (共27张PPT) 高中数学北师大版选择性必修第一册
解：
(1 x)n 1 C1n x C2n x2
Ckn xk
xn
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例 2： 求 x 2 5 的展开式.
解：
(x 2)5
C95 x5 20 C15x4 21 C52 x3 22 C35x2 23 C54 x124 x5 10x4 40x3 80x2 80x 32.
k bk
共有
C
k n
个，将它们合并同类项可得
(a b)n C0nan C1nan 1b
Cknan kbk
Cnnbn n N
对二项式通项的理解 1．二项式通项体现了二项展开式的项数、系数及a与b的指数的变化规律，是 二项式定理的核心，它在求二项展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数 项、中间项、有理项、系数最大项等）或项的系数等方面有着广泛的应用．
A.1
B. 1
C. (1)n
D.3n
解析：1 2C1n 4C2n 8C3n (2)n Cnn
(2)0 C0n
(2)1 C1n
(2)
2
C
2 n
(2)3 C3n
(2)n
C
n n
(1 2)n (1)n
故选:C.
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-x 6.
2．二项式定理是一个恒等式． （1）利用二项式定理可以展开给定的二项式，逆用二项式定理可以化简、求和、 证明．
（2）对于任意的 a，b，该等式都成立．
例如：① (a b)n C0nan
1 C1nan 1b
② 1 x n C0n C1n x Cn2 x2
(1 x)n 1 C1n x C2n x2
Ckn xk
xn
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例 2： 求 x 2 5 的展开式.
解：
(x 2)5
C95 x5 20 C15x4 21 C52 x3 22 C35x2 23 C54 x124 x5 10x4 40x3 80x2 80x 32.
k bk
共有
C
k n
个，将它们合并同类项可得
(a b)n C0nan C1nan 1b
Cknan kbk
Cnnbn n N
对二项式通项的理解 1．二项式通项体现了二项展开式的项数、系数及a与b的指数的变化规律，是 二项式定理的核心，它在求二项展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数 项、中间项、有理项、系数最大项等）或项的系数等方面有着广泛的应用．
A.1
B. 1
C. (1)n
D.3n
解析：1 2C1n 4C2n 8C3n (2)n Cnn
(2)0 C0n
(2)1 C1n
(2)
2
C
2 n
(2)3 C3n
(2)n
C
n n
(1 2)n (1)n
故选:C.
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-x 6.
2．二项式定理是一个恒等式． （1）利用二项式定理可以展开给定的二项式，逆用二项式定理可以化简、求和、 证明．
（2）对于任意的 a，b，该等式都成立．
例如：① (a b)n C0nan
1 C1nan 1b
② 1 x n C0n C1n x Cn2 x2
二项式定理课件ppt
二项式定理的应用举例
04
求解某些特定形式的幂级数展开式
01
幂级数展开式的求解
二项式定理可以用于求解某些特定形式的幂级数展开式 ，例如$(a+b)^n$的展开式。
02
泰勒级数展开
利用二项式定理，我们可以求解一些函数的泰勒级数展 开，从而得到函数在某个点的近似值。
03
幂级数的求和
对于一些特定的幂级数，我们可以利用二项式定理找到 其求和的方法。
其中，C(n,k)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数。
二项式系数的性质
二项式系数是组合数的推广 ，它具有与组合数相同的性 质，例如
1. 对称性：对于任何自然数n ，C(n,k) = C(n,n-k)。
2. 递推性：C(n+1,k) = C(n,k-1) + C(n,k)。
3. 组合恒等式：C(n,k) + C(n,k-1) = C(n+1,k)。
二项式定理的历史背景
二项式定理最初由牛顿在17世纪发 现，用于解决一些特殊的数学问题。
之后，许多数学家都对二项式定理进 行了研究和推广，使其成为现代数学 中的基本工具之一。
二项式定理的意义与应用
01
二项式定理是组合数学的基础，可以帮助我们理解和分 析一些组合问题的内在规律。
02
在统计学中，二项式定理可以用于计算样本数量较少时 的置信区间和置信度。
深化理解的进阶题目
总结词
深入理解概念
详细描述
在基本掌握二项式定理的基础上，通过解决 一些相对复杂的进阶题目，帮助学生深入理 解二项式定理的概念和变形方式，进一步提 高解题能力。
有趣的开放性问题
总结词
激发学习兴趣
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解析：(x2＋x＋y)5 为 5 个 x2＋x＋y 之积，其中有三个取 y，一个取 x2，一个取 x 即可，所以 x3y3 的系数为 C53C21C11＝10×2×1＝20.
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考点二 二项展开式的系数和问题 1.二项式系数和
命题点 2.各项的系数和 3.部分项的系数和
当 r＝1 时，T2＝ 当 r＝2 时，T3＝ 故系数最大的项为 T2 或 T3.
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2．在本例(2)中，求展开式中的常数项．
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解：由 Tr＋1＝Cr6x6－r·ir 可知，当 r＝6 时． 常数项为 T7＝C66·i6＝－1.
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3．在本例(4)中，求展开式中含x3y3的系数．
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[例 2] 在(2x－3y)10 的展开式中，求： (1)二项式系数的和； (2)各项系数的和； (3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； (4)奇数项系数和与偶数项系数和； (5)x 的奇次项系数和与 x 的偶次项系数和．
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解：设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，(*)
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3．判断下列结论的正误(正确的打“√”错误的打“×”) (1)Crnan－rbr 是二项展开式的第 r 项．(×) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(×) (3)(a＋b)n 的展开式中某一项的二项式系数与 a，b 无关．(√) (4)在(1－x)9 的展开式中系数最大的项是第五、第六两项．(×) (5)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则 a7＋a6＋…＋a1 的值为 128.(×)
(x2＋x＋y)5 为 5 个 x2＋x＋y 之积，其中有两个取 y，两个取 x2，一 个取 x 即可，所以 x5y2 的系数为 C25C23C11＝30. 答案：C
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[方法引航] 求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进 行，化简通项公式后，含字母的指数符合要求求常数项时，指数 为零；求有理项时，指数为整数等，解出项数 k＋1，代回通项公 式即可.
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解析：Tr＋1＝Cr5(2x)5－r·( x)r＝25－rC5r· ，令 5－2r＝3，得 r＝4，∴T5＝10x3，∴x3 的系数为 10. 答案：10
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(2)(2016·高考四川卷)设 i 为虚数单位，则(x＋i)6 的展开式中含 x4
的项为( )
A．－15x4
B．15x4
C．－20ix4
D．20ix4
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解析：∵Tr＋1＝Cr6xr(i)6－r，∴含 x4 的项为 T5＝C64x4i2＝－15x4. 答案：A
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(3)(2017·河北唐山一模)x2＋x12－23 展开式中的常数项为(
)
A．－8
B．－12
C．－20
D．20
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解析：∵x2＋x12－23＝x－1x6，∴Tr＋1＝Cr6x6－r－1xr＝Cr6(－1)rx6－2r， 令 6－2r＝0，得 r＝3，∴常数项为 C36(－1)3＝－20. 答案：C
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(4)(2015·高考课标全国卷Ⅰ)(x2＋x＋y)5 的展开式中，x5y2 的系数为
A．10
B．20
()
C．30
D．60
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解析：法一：利用二项展开式的通项公式求解．
(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5， 含 y2 的项为 T3＝C25(x2＋x)3·y2. 其中(x2＋x)3 中含 x5 的项为 C13x4·x＝C31x5. 所以 x5y2 的系数为 C25C13＝30.故选 C. 法二：利用组合知识求解．
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2.二项式系数的性质
(1)0≤k≤n 时，Ckn与 Cnn－k的关系是 Ckn＝Cnn－k . (2)二项式系数先增后减中间项最大
当 n 为偶数时，第 n2＋1 项的二项式系数最大，最大值为 Cn2n；当
n 为奇数时，第
n＋1 2
项和
n＋3 2
项的二项式系数最大，最大值为
(3)各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝ 2n ，C0n＋C2n＋C4n＋… ＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝ 2n－1 .
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考点一 二项展开式的通项及应用
1.求二项展开式特定项的系数 命题点 2.非二项式展开式的特定项系数
3.二项展开式中系数最值问题
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[例 1] (1)(2016·高考全国乙卷)(2x＋ x)5 的展开式中，x3 的系数是 ________．(用数字填写答案)
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各项系数和为 a0＋a1＋…＋a10，奇数项系数和为 a0＋a2＋…＋a10， 偶数项系数和为 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1＋a3＋a5＋…＋a9，x 的奇次项系数和为 a1＋a3
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(6)在(x＋1)n 的展开式中，每一项的二项式系数就是这项的系 数．(√) (7)(a＋b)n 与(b＋a)n 的展开式中通项公式是一样的．(×) (8)(x－y)n 的展开式中，第 m 项的系数为(－1)mCmn －1.(×) (9)(1＋2x)5 的展开式中含 x 的项的系数为 5.(×) (10)2x－31xn 的展开式中不可能有常数项．(×)
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1．在本例(1)中，求展开式中系数最大的项是第几项．
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解：设第 r＋1 项的系数最大，Tr＋1＝25－rC5r· ， 第 r 项的系数为 26－rCr5－1 第 r＋2 项的系数为 24－rCr5＋1 ∴2255－－rrCC55rr≥≥2246－－rrCCr5r5＋－11 ，1≤r≤2
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第2课时 二项式定理
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1．二项式定理 二项式定理 (a＋b)n＝C0nan＋Cn1an－1b1＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn(n
∈N*) 二项展开式
Tk＋1＝Cknan－kbk，它表示第 k＋1 项 的通项公式 二项式系数 二项展开式中各项的系数 Ckn(k∈{0,1,2，…，n})