光束传播法基础
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发展：有限元光束传播法。
软件：COMSOL MULTIPHYSICS
(3) 时域有限差分法
时域有限差分法是近年来开始流行的一种数 值模拟方法，它通过将麦克斯韦方程在时间 空间上离散化的方法实现对电磁波传播的模 拟。它能够得到电磁波传输的瞬态（即时域） 信息，通过傅里叶变换即可得到相应的频域 信息。
4 1 x y m 1 ,n 1 m 1 ,n 1
(m ,n )
m 1 ,n 1 m 1 ,n 1 (28)
将以上各式应用到式(22a)，就可以得到有限差 分光束传播法的基本方程
P E lx 1m ,n lx 1m ,n P E lx 1m 1 ,n lx 1m 1 ,n P E lx 1m ,n 1 lx 1m ,n 1
应用范围
这种方法已被成功地应用于分析Y型波导及S 型弯曲波导中的光波传输，且对损耗的计算也 得到了准确的结果；FD-BPM还被用于分析条 形波导、三维弯曲波导、二阶非线性效应以及 有源器件。
频域分析方面，同样可采用光束传播法进行分 析：即虚轴光束传播法或基于相关函数法的光 束传播法。
方法特点
分离 E x x ( x ,y ,z ) e x p ( iz ) (12a)
E y y (x ,y ,z )e x p ( iz )
H x x ( x ,y ,z ) e x p ( iz )
H y y ( x ,y ,z ) e x p ( iz )
(12b) (12c) (12d)
x,y,x,y
z
Ex,Ey ,Hx,Hy
缓变包络近似原理示意图
将式(12)代入式(11)可得包络函数的矢量波方程:
x 1 r xr x 2 y 2x 2 z 2x 2 i zx
22 x x 1 r yr y 2 x y y0 (13a)
(6)方程离散化处理
(一)纵向数值处理 采用有限差分方法，其核 心就是把导数写成差分的形式。
在纵向(即沿着光的传播方向z）的近似处理有缓
变包络近似(SVEA)、广角近似等。
如果包络函数随z的变化足够缓慢，使得
2 z2
0
(Φ代表包络函数。)
则有
2z 2 2i z2i z
(17a)
因此(14a)式 2z 2x2i zxA xx xA xy y
l
若右边值已知，则由l面上的场分布，就可以获得 l+1面上的场分量。
这样，式(18)可进一步化为
C A x x x l 1 C 1 A x x x l A x y y l
(22a)
，
(二)横向数值处理
目的: 解决横向(x、y方向)偏导问题
(m-1,n+1)
(m,n+1) y
(m+1,n+1)
x
(m-1,n)
x
(m,n)
y百度文库
(m+1,n)
(m-1,n-1) (m,n-1)
(m+1,n-1)
有限差分网格结构
差分公式：
(m1,n)(m1,n)
(23)
x(m,n)
2x
(m,n1)(m,n1)
(24)
y(m,n)
2y
2 (m 1 ,n)(m 1 ,n)2 (m ,n)
P E lxm ,n lxm ,nP E lxm 1 ,n lxm 1 ,n
P E lxm ,n 1 lxm ,n 1
(29a)
光束传播法计算步骤
设置折射率分布 设置波源(初始场分布): 高斯型，模式场等 步进求解（三角化，递推法） 后处理[有效折射率，传输损耗，色散，双折
射，模式耦合]
第四章 光束传播法基础
江苏大学机械学院 陈明阳
第一节 电磁场数值计算方法简介
1．电磁场数值计算
电磁场数值计算是一种基于麦克斯韦方程组，
通过建立逼近实际工程电磁场问题的连续型的 数学模型，然后采用相应的数值计算方法，经 离散化处理，把连续型数学模型转化为等价的 离散型数学模型，计算出待求离散数学模型的 离散解(数值解)，从而获得相应结果的一种方 法。
2.常用电磁场数值方法简介
（1）有限差分法(频域有限差分法) 有限差分法是利用划分网格的方法将定解区域
离散化为网格离散节点的集合，然后基于差分 原理，以各离散点上函数的差商来近似替代该 点上的偏导数，这样待求的偏微分方程定解问 题可转化为一组相应的差分方程的问题。
根据差分方程组，解出各离散点上的待求函数 值，即为所求定解问题的离散解。
2 H y 1 x H y x H x y 1 z H z y2 H y 0 (10d)
(10a)进一步可以写为
1
x r
xrEx
2Ex y2
2Ex z2
2Ex
x
1
r
y
rEy
2Ey xy
0
(11a)
(5) 缓变包络近似
把Ex、Ey、Hx、Hy随z的快速周期变化部分
x2 (m ,n)
x2
(25)
y 2 2(m ,n)(m ,n1 )( m y ,n 2 1 )2 (m ,n)
(26)
2
x y
4 1 x y m 1 ,n 1 m 1 ,n 1
(m ,n )
m 1 ,n 1 m 1 ,n 1 (27)
2
y x
整理后得到:
2z 2x2i zxA xx xA xy y
此即推导得到的最终公式
(14a)
三维半矢量形式
忽略x，y场之间的耦合，则有
2z 2x2i zx Axxx
(15a)
三维标量形式 (忽略场的方向性)
2z 2 2i z A
(16a)
相应的还有： 二维半矢量形式 与三维半矢量类似，但是折射率分布更简单 二维标量形式
可简化为: 2i zxA xx xA xy y (18a)
设相邻的两个截面分别用l和l+1标志，两截面
的间距为Δz
Z
l1 z
l
相邻截面差分格式示意图
式(18)中右边的偏微分项可差分为
l1 l
z
z
式18可表示为
l1l f
z
l
(19) (20)
即： l 1 zf l
(21)
HHxiHyj
展开得到标量方程形式
2E x x 1 r x rE x y rE y 2E x0
(10a)
2E y y 1 r x rE x y rE y 2 E y 0 (10b)
2 H x 1 y H x y H y x 1 z H z x2 H x 0(10c)
(8a) (8b)
(4)去除矢量的z方向标量
考虑准TE模( E z 0 )和准TM( H z 0 )模，有:
2E (1 rE )2E 0 r
(9a)
2 H 1 ( H ) 1 zk ( zk H )2 H (0 9b)
这里：
x
i
y
j
EExiEyj
( E )20(i )E0
(6)
再定义：
r
ii
(
0
i ) 0
2200 c2 2(2)2
得到: 电场的矢量波方程
(E)2E (7a)
采用同样的过程，可以得到关于磁场矢量波方程
( H ) 1( ) ( H ) 2 H (7b)
利用矢量公式进行化简，得到
2E(1rrE)2E0
2H 1 ( H )2H 0
(3b)
t
(2)去掉时间依赖项
考虑到场对时间的依赖
E ( t ) E e x p ( it ) , H ( t ) H e x p ( it )
(4)
把式(4)代入式(3),有
E i 0 H 0
(5a)
H ( i )E (5b)
(3)减少单个方程的变量数
利用矢量公式及方程(5)，可得结果：
1 剖分示例
锥形波导结构图
计算参数(z方向步长取为10微米)
计算时波导的实际折射率分布
计算参数(z方向步长取为100微米)
计算时波导的实际折射率分布
2 光束传播法公式推导
BPM理论来源于波动方程，波动方程是建立在 Maxwell方程基础上的。
Maxwell方程的一般形式
E(t)B(t)0
对于形状和分布复杂的三维问题，由于其变量多和剖 分要求细，往往因计算机内存而受到限制。程序设计 复杂、计算量较大。
适用范围：求解光波导的模式（有效折射率、色散、 双折射、传输损耗等）。
现状：功能最强大的数值方法之一。特别是上 世纪90年代出现的矢量有限元方法，完全解决 了有限元方法出现的伪解问题，大大降低了有 限元法的后处理过程。
(1a)
t
H(t)J(t)D(t) (1b)
D (t) t
(1c)
B (t)0
(1d)
(1)减少矢量数
J ( t ) E ( t ) , B ( t ) 0 H ( t ) , D ( t ) E ( t )(2)
将式(2)代入式(1)有：
E(t)0H t(t)0
(3a)
H(t)E(t)E(t)
适用范围：计算光波导的模场分布、有效折射率；研 究波导之间的连接、耦合问题。
注：主要用于一维和二维光波导的分析。三维波导分 析计算量稍大。
现状：ADI FDTD，可应用于各向异性介质，非线性介 质，PML吸收边界
(4)光束传播法
光束传播法(Beam Propagation Method，简 写BPM)是目前光波导器件研究与设计领域最 流行的方法之一，其基本思想是在给定初始场 的前提下，一步一步地计算出各个传播截面上 的场。
总结
1. 计算得到的场分布是场的强度分布 2. 不考虑光的反射问题 3.要求光近似为直线传播（Ez=0,Hz=0; 缓变包
络近似) 4. 步长影响计算结果 5. 矢量类型影响计算结果
方法特点
原理: 偏导差分 方法特点：原理简单、通用性好；对复杂结构，
计算量大(矩阵运算)。(频域分析) 适用范围：计算光波导的模式求解。 现状：适用于较简单结构的分析。但有限差分
(偏导差分)原理被广泛应用于各种数值计算
(2) 有限元法
有限元法是以变分原理为基础，把所要求解的 微分方程转化为相应的变分问题，即泛函求极 值问题。
BPM与FDTD的区别：FDTD每次都要同时计 算整个波导的模场，而BPM只算一个面。
计算量较小，应用范围非常广泛 适用范围：计算光波导的模式、色散、双折射、
传输损耗等；分析波导传输、连接、耦合，光 栅的传输特性等。
第二节 有限差分光束传播法基本原理
光束传播法(BPM)的基本思想就是把波导沿着 传播方向剖分成若干个截面，根据前一个或几 个截面上的已知场分布得到下一个截面上的场 分布。
时域有限差分法由K.S.Yee于1966年首先提出， 此后经过众多学者的努力，使之不断完善，现 已比较成熟。
计算过程为：设置初始场，然后依时间步推进 计算，并在每一时间步交替地计算每一离散点 的电场和磁场。
特点：不需要矩阵运算，只需简单的加减乘除运算由 前一时刻的场来获得下一时刻场的值。而且，非常适 合于并行计算。
将分析的区域划分为很多三角形(每个三角形 成为一个基元)，每个基元内的场用多项式来 表达，然后加入不同基元间场的连续条件，就 可得到整个横截面的场分布。
方法特点
较复杂---需要前处理(三角化，剖分)；后处理：（场 分布，伪解剔除）
（通用性强，精度高）根据该方法对于各种各样的电 磁计算问题具有较强的适应能力性，所形成的代数方 程矩阵求解容易、收敛性好。
软件：COMSOL MULTIPHYSICS
(3) 时域有限差分法
时域有限差分法是近年来开始流行的一种数 值模拟方法，它通过将麦克斯韦方程在时间 空间上离散化的方法实现对电磁波传播的模 拟。它能够得到电磁波传输的瞬态（即时域） 信息，通过傅里叶变换即可得到相应的频域 信息。
4 1 x y m 1 ,n 1 m 1 ,n 1
(m ,n )
m 1 ,n 1 m 1 ,n 1 (28)
将以上各式应用到式(22a)，就可以得到有限差 分光束传播法的基本方程
P E lx 1m ,n lx 1m ,n P E lx 1m 1 ,n lx 1m 1 ,n P E lx 1m ,n 1 lx 1m ,n 1
应用范围
这种方法已被成功地应用于分析Y型波导及S 型弯曲波导中的光波传输，且对损耗的计算也 得到了准确的结果；FD-BPM还被用于分析条 形波导、三维弯曲波导、二阶非线性效应以及 有源器件。
频域分析方面，同样可采用光束传播法进行分 析：即虚轴光束传播法或基于相关函数法的光 束传播法。
方法特点
分离 E x x ( x ,y ,z ) e x p ( iz ) (12a)
E y y (x ,y ,z )e x p ( iz )
H x x ( x ,y ,z ) e x p ( iz )
H y y ( x ,y ,z ) e x p ( iz )
(12b) (12c) (12d)
x,y,x,y
z
Ex,Ey ,Hx,Hy
缓变包络近似原理示意图
将式(12)代入式(11)可得包络函数的矢量波方程:
x 1 r xr x 2 y 2x 2 z 2x 2 i zx
22 x x 1 r yr y 2 x y y0 (13a)
(6)方程离散化处理
(一)纵向数值处理 采用有限差分方法，其核 心就是把导数写成差分的形式。
在纵向(即沿着光的传播方向z）的近似处理有缓
变包络近似(SVEA)、广角近似等。
如果包络函数随z的变化足够缓慢，使得
2 z2
0
(Φ代表包络函数。)
则有
2z 2 2i z2i z
(17a)
因此(14a)式 2z 2x2i zxA xx xA xy y
l
若右边值已知，则由l面上的场分布，就可以获得 l+1面上的场分量。
这样，式(18)可进一步化为
C A x x x l 1 C 1 A x x x l A x y y l
(22a)
，
(二)横向数值处理
目的: 解决横向(x、y方向)偏导问题
(m-1,n+1)
(m,n+1) y
(m+1,n+1)
x
(m-1,n)
x
(m,n)
y百度文库
(m+1,n)
(m-1,n-1) (m,n-1)
(m+1,n-1)
有限差分网格结构
差分公式：
(m1,n)(m1,n)
(23)
x(m,n)
2x
(m,n1)(m,n1)
(24)
y(m,n)
2y
2 (m 1 ,n)(m 1 ,n)2 (m ,n)
P E lxm ,n lxm ,nP E lxm 1 ,n lxm 1 ,n
P E lxm ,n 1 lxm ,n 1
(29a)
光束传播法计算步骤
设置折射率分布 设置波源(初始场分布): 高斯型，模式场等 步进求解（三角化，递推法） 后处理[有效折射率，传输损耗，色散，双折
射，模式耦合]
第四章 光束传播法基础
江苏大学机械学院 陈明阳
第一节 电磁场数值计算方法简介
1．电磁场数值计算
电磁场数值计算是一种基于麦克斯韦方程组，
通过建立逼近实际工程电磁场问题的连续型的 数学模型，然后采用相应的数值计算方法，经 离散化处理，把连续型数学模型转化为等价的 离散型数学模型，计算出待求离散数学模型的 离散解(数值解)，从而获得相应结果的一种方 法。
2.常用电磁场数值方法简介
（1）有限差分法(频域有限差分法) 有限差分法是利用划分网格的方法将定解区域
离散化为网格离散节点的集合，然后基于差分 原理，以各离散点上函数的差商来近似替代该 点上的偏导数，这样待求的偏微分方程定解问 题可转化为一组相应的差分方程的问题。
根据差分方程组，解出各离散点上的待求函数 值，即为所求定解问题的离散解。
2 H y 1 x H y x H x y 1 z H z y2 H y 0 (10d)
(10a)进一步可以写为
1
x r
xrEx
2Ex y2
2Ex z2
2Ex
x
1
r
y
rEy
2Ey xy
0
(11a)
(5) 缓变包络近似
把Ex、Ey、Hx、Hy随z的快速周期变化部分
x2 (m ,n)
x2
(25)
y 2 2(m ,n)(m ,n1 )( m y ,n 2 1 )2 (m ,n)
(26)
2
x y
4 1 x y m 1 ,n 1 m 1 ,n 1
(m ,n )
m 1 ,n 1 m 1 ,n 1 (27)
2
y x
整理后得到:
2z 2x2i zxA xx xA xy y
此即推导得到的最终公式
(14a)
三维半矢量形式
忽略x，y场之间的耦合，则有
2z 2x2i zx Axxx
(15a)
三维标量形式 (忽略场的方向性)
2z 2 2i z A
(16a)
相应的还有： 二维半矢量形式 与三维半矢量类似，但是折射率分布更简单 二维标量形式
可简化为: 2i zxA xx xA xy y (18a)
设相邻的两个截面分别用l和l+1标志，两截面
的间距为Δz
Z
l1 z
l
相邻截面差分格式示意图
式(18)中右边的偏微分项可差分为
l1 l
z
z
式18可表示为
l1l f
z
l
(19) (20)
即： l 1 zf l
(21)
HHxiHyj
展开得到标量方程形式
2E x x 1 r x rE x y rE y 2E x0
(10a)
2E y y 1 r x rE x y rE y 2 E y 0 (10b)
2 H x 1 y H x y H y x 1 z H z x2 H x 0(10c)
(8a) (8b)
(4)去除矢量的z方向标量
考虑准TE模( E z 0 )和准TM( H z 0 )模，有:
2E (1 rE )2E 0 r
(9a)
2 H 1 ( H ) 1 zk ( zk H )2 H (0 9b)
这里：
x
i
y
j
EExiEyj
( E )20(i )E0
(6)
再定义：
r
ii
(
0
i ) 0
2200 c2 2(2)2
得到: 电场的矢量波方程
(E)2E (7a)
采用同样的过程，可以得到关于磁场矢量波方程
( H ) 1( ) ( H ) 2 H (7b)
利用矢量公式进行化简，得到
2E(1rrE)2E0
2H 1 ( H )2H 0
(3b)
t
(2)去掉时间依赖项
考虑到场对时间的依赖
E ( t ) E e x p ( it ) , H ( t ) H e x p ( it )
(4)
把式(4)代入式(3),有
E i 0 H 0
(5a)
H ( i )E (5b)
(3)减少单个方程的变量数
利用矢量公式及方程(5)，可得结果：
1 剖分示例
锥形波导结构图
计算参数(z方向步长取为10微米)
计算时波导的实际折射率分布
计算参数(z方向步长取为100微米)
计算时波导的实际折射率分布
2 光束传播法公式推导
BPM理论来源于波动方程，波动方程是建立在 Maxwell方程基础上的。
Maxwell方程的一般形式
E(t)B(t)0
对于形状和分布复杂的三维问题，由于其变量多和剖 分要求细，往往因计算机内存而受到限制。程序设计 复杂、计算量较大。
适用范围：求解光波导的模式（有效折射率、色散、 双折射、传输损耗等）。
现状：功能最强大的数值方法之一。特别是上 世纪90年代出现的矢量有限元方法，完全解决 了有限元方法出现的伪解问题，大大降低了有 限元法的后处理过程。
(1a)
t
H(t)J(t)D(t) (1b)
D (t) t
(1c)
B (t)0
(1d)
(1)减少矢量数
J ( t ) E ( t ) , B ( t ) 0 H ( t ) , D ( t ) E ( t )(2)
将式(2)代入式(1)有：
E(t)0H t(t)0
(3a)
H(t)E(t)E(t)
适用范围：计算光波导的模场分布、有效折射率；研 究波导之间的连接、耦合问题。
注：主要用于一维和二维光波导的分析。三维波导分 析计算量稍大。
现状：ADI FDTD，可应用于各向异性介质，非线性介 质，PML吸收边界
(4)光束传播法
光束传播法(Beam Propagation Method，简 写BPM)是目前光波导器件研究与设计领域最 流行的方法之一，其基本思想是在给定初始场 的前提下，一步一步地计算出各个传播截面上 的场。
总结
1. 计算得到的场分布是场的强度分布 2. 不考虑光的反射问题 3.要求光近似为直线传播（Ez=0,Hz=0; 缓变包
络近似) 4. 步长影响计算结果 5. 矢量类型影响计算结果
方法特点
原理: 偏导差分 方法特点：原理简单、通用性好；对复杂结构，
计算量大(矩阵运算)。(频域分析) 适用范围：计算光波导的模式求解。 现状：适用于较简单结构的分析。但有限差分
(偏导差分)原理被广泛应用于各种数值计算
(2) 有限元法
有限元法是以变分原理为基础，把所要求解的 微分方程转化为相应的变分问题，即泛函求极 值问题。
BPM与FDTD的区别：FDTD每次都要同时计 算整个波导的模场，而BPM只算一个面。
计算量较小，应用范围非常广泛 适用范围：计算光波导的模式、色散、双折射、
传输损耗等；分析波导传输、连接、耦合，光 栅的传输特性等。
第二节 有限差分光束传播法基本原理
光束传播法(BPM)的基本思想就是把波导沿着 传播方向剖分成若干个截面，根据前一个或几 个截面上的已知场分布得到下一个截面上的场 分布。
时域有限差分法由K.S.Yee于1966年首先提出， 此后经过众多学者的努力，使之不断完善，现 已比较成熟。
计算过程为：设置初始场，然后依时间步推进 计算，并在每一时间步交替地计算每一离散点 的电场和磁场。
特点：不需要矩阵运算，只需简单的加减乘除运算由 前一时刻的场来获得下一时刻场的值。而且，非常适 合于并行计算。
将分析的区域划分为很多三角形(每个三角形 成为一个基元)，每个基元内的场用多项式来 表达，然后加入不同基元间场的连续条件，就 可得到整个横截面的场分布。
方法特点
较复杂---需要前处理(三角化，剖分)；后处理：（场 分布，伪解剔除）
（通用性强，精度高）根据该方法对于各种各样的电 磁计算问题具有较强的适应能力性，所形成的代数方 程矩阵求解容易、收敛性好。